高二物理磁场对运动电荷的作用力·典型例题解析

高二物理电荷在匀强磁场中运动试题答案及解析1.如图所示，一束电子以不同速率沿图示水平方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，只考虑洛仑兹力作用，下列说法正确的是A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大B．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同C．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长D．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合【答案】A【解析】电子在磁场中的运动时间为,可见运动时间与圆心角成正比，A正确；对3、4、5三条轨迹，运动时间都为半个周期，时间相同，但粒子速度是不同的，半径不同，BCD错误.【考点】带电粒子在磁场中的运动2.（12分）以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。

一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿负x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿正y方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从 A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？【答案】（1）（2）【解析】（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。

（1分）粒子由 A点射入，由 C点飞出，其速度方向改变了 90°，则粒子轨迹半径（1分）又（2分）则粒子的比荷（1分）（2）粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60°角，故 AD 弧所对圆心角 60°，粒子做圆周运动的半径（2分）（1分）所以（2分）粒子在磁场中飞行时间（2分）【考点】左手定则带电粒子在磁场中运动3.圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示.若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（）A．a粒子速率最大B．c粒子速率最大C．a粒子在磁场中运动的时间最长D．它们做圆周运动的周期Ta <Tb<Tc【答案】BC【解析】粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，得：，由图知a的轨道半径最小，c的轨道半径最大，故a粒子速率最小，c粒子速率最大，所以A错误；B正确；粒子在磁场中做圆周运动的周期，a、b、c三个质量和电荷量都相同，故周期相同，所以D错误；在磁场中运动的时间，由图知a粒子轨迹的圆心角最大，故运动的时间最长，所以C正确。

高中物理磁场专题分类题型一、【磁场的描述 磁场对电流的作用】典型题1．如图所示，带负电的金属环绕轴OO ′以角速度ω匀速旋转，在环左侧轴线上的小磁针最后平衡时的位置是( )A ．N 极竖直向上B ．N 极竖直向下C ．N 极沿轴线向左D ．N 极沿轴线向右解析：选C ．负电荷匀速转动，会产生与旋转方向反向的环形电流，由安培定则知，在磁针处磁场的方向沿轴OO ′向左．由于磁针N 极指向为磁场方向，可知选项C 正确．2．磁场中某区域的磁感线如图所示，则( )A ．a 、b 两处的磁感应强度的大小不等，B a ＞B bB ．a 、b 两处的磁感应强度的大小不等，B a ＜B bC ．同一通电导线放在a 处受力一定比放在b 处受力大D ．同一通电导线放在a 处受力一定比放在b 处受力小解析：选A ．磁感线的疏密程度表示磁感应强度的大小，由a 、b 两处磁感线的疏密程度可判断出B a >B b ，所以A 正确，B 错误；安培力的大小跟该处的磁感应强度的大小B 、电流大小I 、导线长度L 和导线放置的方向与磁感应强度的方向的夹角有关，故C 、D 错误．3.将长为L 的导线弯成六分之一圆弧，固定于垂直纸面向外、大小为B 的匀强磁场中，两端点A 、C 连线竖直，如图所示．若给导线通以由A 到C 、大小为I 的恒定电流，则导线所受安培力的大小和方向是( )A ．ILB ，水平向左B ．ILB ，水平向右C ．3ILB π，水平向右D ．3ILB π，水平向左解析：选D ．弧长为L ，圆心角为60°，则弦长AC ＝3L π，导线受到的安培力F ＝BIl ＝3ILB π，由左手定则可知，导线受到的安培力方向水平向左．4．如图所示，M 、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 为半圆弧的圆心，∠MOP ＝60°，在M 、N 处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，这时O 点的磁感应强度大小为B 1.若将M 处长直导线移至P 处，则O 点的磁感应强度大小为B 2，那么B 2与B 1之比为( )A ．3∶1B ．3∶2C ．1∶1D ．1∶2解析：选B ．如图所示，当通有电流的长直导线在M 、N 两处时，根据安培定则可知：二者在圆心O 处产生的磁感应强度大小都为B 12；当将M 处长直导线移到P 处时，两直导线在圆心O 处产生的磁感应强度大小也为B 12，做平行四边形，由图中的几何关系，可得B 2B 1＝B 22B 12＝cos 30°＝32，故选项B 正确．5.阿明有一个磁浮玩具，其原理是利用电磁铁产生磁性，让具有磁性的玩偶稳定地飘浮起来，其构造如图所示．若图中电源的电压固定，可变电阻为一可以随意改变电阻大小的装置，则下列叙述正确的是( )A ．电路中的电源必须是交流电源B ．电路中的a 端点须连接直流电源的负极C ．若增加环绕软铁的线圈匝数，可增加玩偶飘浮的最大高度D ．若将可变电阻的电阻值调大，可增加玩偶飘浮的最大高度解析：选C ．电磁铁产生磁性，使玩偶稳定地飘浮起来，电路中的电源必须是直流电源，电路中的a 端点须连接直流电源的正极，选项A 、B 错误；若增加环绕软铁的线圈匝数，电磁铁产生的磁性更强，电磁铁对玩偶的磁力增强，可增加玩偶飘浮的最大高度，选项C 正确；若将可变电阻的电阻值调大，电磁铁中电流减小，产生的磁性变弱，则降低玩偶飘浮的最大高度，选项D 错误．6.一通电直导线与x 轴平行放置，匀强磁场的方向与xOy 坐标平面平行，导线受到的安培力为F .若将该导线做成34圆环，放置在xOy 坐标平面内，如图所示，并保持通电的电流不变，两端点ab 连线也与x 轴平行，则圆环受到的安培力大小为( )A ．FB ．23πFC ．223πFD ．32π3F 解析：选C ．根据安培力公式，安培力F 与导线长度L 成正比；若将该导线做成34圆环，由L ＝34×2πR ，解得圆环的半径R ＝2L 3π，34圆环ab 两点之间的距离L ′＝2R ＝22L 3π.由F L ＝F ′L ′解得：F ′＝223πF ，选项C 正确． 7.在绝缘圆柱体上a 、b 两个位置固定有两个金属圆环，当两环通有如图所示电流时，b 处金属圆环受到的安培力为F 1；若将b 处金属圆环移动到位置c ，则通有电流为I 2的金属圆环受到的安培力为F 2.今保持b 处金属圆环原来位置不变，在位置c 再放置一个同样的金属圆环，并通有与a 处金属圆环同向、大小为I 2的电流，则在a 位置的金属圆环受到的安培力( )A ．大小为|F 1－F 2|，方向向左B ．大小为|F 1－F 2|，方向向右C ．大小为|F 1＋F 2|，方向向左D ．大小为|F 1＋F 2|，方向向右解析：选A ．c 金属圆环对a 金属圆环的作用力大小为F 2，根据同方向的电流相互吸引，可知方向向右，b金属圆环对a金属圆环的作用力大小为F1，根据反方向的电流相互排斥，可知方向向左，所以a金属圆环所受的安培力大小|F1－F2|，由于a、b间的距离小于a、c 间距离，所以两合力的方向向左．8．如图，两根相互平行的长直导线过纸面上的M、N两点，且与纸面垂直，导线中通有大小相等、方向相反的电流．a、O、b在M、N的连线上，O为MN的中点，c、d位于MN的中垂线上，且a、b、c、d到O点的距离均相等．关于以上几点处的磁场，下列说法正确的是()A．O点处的磁感应强度为零B．a、b两点处的磁感应强度大小相等，方向相反C．c、d两点处的磁感应强度大小相等，方向相同D．a、c两点处磁感应强度的方向不同解析：选C．由安培定则可知，两导线中的电流在O点产生的磁场均竖直向下，合磁感应强度一定不为零，选项A错；由安培定则知，两导线中的电流在a、b两点处产生的磁场的方向均竖直向下，由于对称性，M中电流在a处产生的磁场的磁感应强度等于N中电流在b处产生的磁场的磁感应强度，同时M中电流在b处产生的磁场的磁感应强度等于N 中电流在a处产生的磁场的磁感应强度，所以a、b两点处磁感应强度大小相等，方向相同，选项B错；根据安培定则，两导线中的电流在c、d两点处产生的磁场垂直c、d两点与导线的连线方向向下，且产生的磁场的磁感应强度大小相等，由平行四边形定则可知，c、d 两点处的磁感应强度大小相等，方向相同，选项C正确；a、c两点处磁感应强度的方向均竖直向下，选项D错．9. (多选)如图所示，金属细棒质量为m，用两根相同轻弹簧吊放在水平方向的匀强磁场中，弹簧的劲度系数为k，棒ab中通有恒定电流，棒处于平衡状态，并且弹簧的弹力恰好为零．若电流大小不变而方向反向，则()A ．每根弹簧弹力的大小为mgB ．每根弹簧弹力的大小为2mgC ．弹簧形变量为mg kD ．弹簧形变量为2mg k解析：选AC ．电流方向改变前，对棒受力分析，根据平衡条件可知，棒受到的安培力竖直向上，大小等于mg ；电流方向改变后，棒受到的安培力竖直向下，大小等于mg ，对棒受力分析，根据平衡条件可知，每根弹簧弹力的大小为mg ，弹簧形变量为mg k，选项A 、C 正确．10.如图所示，两平行光滑金属导轨CD 、EF 间距为L ，与电动势为E 0的电源相连，质量为m 、电阻为R 的金属棒ab 垂直于导轨放置构成闭合回路，回路平面与水平面成θ角，回路其余电阻不计．为使ab 棒静止，需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为( )A ．mgR E 0L，水平向右 B ．mgR cos θE 0L，垂直于回路平面向上 C ．mgR tan θE 0L，竖直向下 D ．mgR sin θE 0L，垂直于回路平面向下 解析：选D ．对金属棒受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示；从图可以看出，当安培力沿斜面向上时，安培力最小，故安培力的最小值为：F A ＝mg sin θ，故磁感应强度的最小值为B ＝F A IL ＝mg sin θIL ，根据欧姆定律，有E 0＝IR ，故B ＝mgR sin θE 0L，故D 正确．11.已知直线电流在其空间某点产生的磁场，其磁感应强度B 的大小与电流强度成正比，与点到通电导线的距离成反比．现有平行放置的三根长直通电导线，分别通过一个直角三角形△ABC的三个顶点且与三角形所在平面垂直，如图所示，∠ACB＝60°，O为斜边的中点．已知I1＝2I2＝2I3，I2在O点产生的磁场磁感应强度大小为B，则关于O点的磁感应强度，下列说法正确的是()A．大小为2B，方向垂直AB向左B．大小为23B，方向垂直AB向左C．大小为2B，方向垂直AB向右D．大小为23B，方向垂直AB向右解析：选B．导线周围的磁场的磁感线，是围绕导线形成的同心圆，空间某点的磁场沿该点的切线方向，即与该点和导线的连线垂直，根据右手螺旋定则，可知三根导线在O点的磁感应强度的方向如图所示．已知直线电流在其空间某点产生的磁场，其磁感应强度B 的大小与电流强度成正比，与点到通电导线的距离成反比，已知I1＝2I2＝2I3，I2在O点产生的磁场磁感应强度大小为B，O点到三根导线的距离相等，可知B3＝B2＝B，B1＝2B，由几何关系可知三根导线在平行于AB方向的合磁场为零，垂直于AB方向的合磁场为23B.综上可得，O点的磁感应强度大小为23B，方向垂直于AB向左．故B正确，A、C、D 错误．12．(多选)光滑平行导轨水平放置，导轨左端通过开关S与内阻不计、电动势为E的电源相连，右端与半径为L＝20 cm的两段光滑圆弧导轨相接，一根质量m＝60 g、电阻R＝1 Ω、长为L的导体棒ab，用长也为L的绝缘细线悬挂，如图所示，系统空间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，当闭合开关S后，导体棒沿圆弧摆动，摆到最大高度时，细线与竖直方向成θ＝53°角，摆动过程中导体棒始终与导轨接触良好且细线处于张紧状态，导轨电阻不计，sin 53°＝0.8，g＝10 m/s2，则()A．磁场方向一定竖直向下B．电源电动势E＝3.0 VC．导体棒在摆动过程中所受安培力F＝3 ND．导体棒在摆动过程中电源提供的电能为0.048 J解析：选AB．导体棒向右沿圆弧摆动，说明受到向右的安培力，由左手定则知该磁场方向一定竖直向下，A项正确；导体棒摆动过程中只有安培力和重力做功，由动能定理知BIL·L sin θ－mgL(1－cos θ)＝0，代入数值得导体棒中的电流为I＝3 A，由E＝IR得电源电动势E＝3.0 V，B项正确；由F＝BIL得导体棒在摆动过程中所受安培力F＝0.3 N，C项错误；由能量守恒定律知电源提供的电能W等于电路中产生的焦耳热Q和导体棒重力势能的增加量ΔE的和，即W＝Q＋ΔE，而ΔE＝mgL(1－cos θ)＝0.048 J，D项错误．13．(多选)某同学自制的简易电动机示意图如图所示．矩形线圈由一根漆包线绕制而成，漆包线的两端分别从线圈的一组对边的中间位置引出，并作为线圈的转轴．将线圈架在两个金属支架之间，线圈平面位于竖直面内，永磁铁置于线圈下方．为了使电池与两金属支架连接后线圈能连续转动起来，该同学应将()A．左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉B．左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉C．左转轴上侧的绝缘漆刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉D．左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉解析：选AD．若将左、右转轴下侧的绝缘漆都刮掉，这样当线圈在图示位置时，线圈的上下边受到水平方向的安培力而转动，转过一周后再次受到同样的安培力而使其连续转动，选项A正确；若将左、右转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，则当线圈在图示位置时，线圈的上下边受到安培力而转动，转过半周后再次受到相反方向的安培力而使其停止转动，选项B 错误；左转轴上侧的绝缘漆刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉，电路不能接通，故不能转起来，选项C 错误；若将左转轴上下两侧的绝缘漆都刮掉，右转轴下侧的绝缘漆刮掉，这样当线圈在图示位置时，线圈的上下边受到安培力而转动，转过半周后电路不导通，转过一周后再次受到同样的安培力而使其连续转动，选项D 正确．14．光滑的金属轨道分水平段和圆弧段两部分，O 点为圆弧的圆心．两金属轨道之间的宽度为0.5 m ，匀强磁场方向如图所示，大小为0.5 T ．质量为0.05 kg 、长为0.5 m 的金属细杆置于金属水平轨道上的M 点．当在金属细杆内通以电流强度为2 A 的恒定电流时，金属细杆可以沿轨道由静止开始向右运动．已知MN ＝OP ＝1 m ，则下列说法中正确的是( )A ．金属细杆开始运动时的加速度大小为5 m/s 2B ．金属细杆运动到P 点时的速度大小为5 m/sC ．金属细杆运动到P 点时的向心加速度大小为10 m/s 2D ．金属细杆运动到P 点时对每一条轨道的作用力大小为0.75 N解析：选D ．金属细杆在水平方向受到安培力作用，安培力大小F 安＝BIL ＝0.5×2×0.5 N ＝0.5 N ，金属细杆开始运动时的加速度大小为a ＝F 安m＝10 m/s 2，选项A 错误；对金属细杆从M 点到P 点的运动过程，安培力做功W 安＝F 安·(MN ＋OP )＝1 J ，重力做功W G ＝－mg ·ON ＝－0.5 J ，由动能定理得W 安＋W G ＝12m v 2，解得金属细杆运动到P 点时的速度大小为v ＝20 m/s ，选项B 错误；金属细杆运动到P 点时的向心加速度大小为a ′＝v 2r＝20 m/s 2，选项C 错误；在P 点金属细杆受到轨道水平向左的作用力F 和水平向右的安培力F 安，由牛顿第二定律得F －F 安＝m v 2r，解得F ＝1.5 N ，每一条轨道对金属细杆的作用力大小为0.75 N ，由牛顿第三定律可知金属细杆运动到P 点时对每一条轨道的作用力大小为0.75 N ，选项D 正确．二、【磁场对运动电荷的作用】典型题1．如图所示，a 、b 、c 、d 为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O 点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右解析：选B ．根据安培定则及磁感应强度的矢量叠加，可得O 点处的磁场方向水平向左，再根据左手定则判断可知，带电粒子受到的洛伦兹力方向向下，B 正确．2.如图，半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径OC 与OB 夹角为60°.甲电子以速率v 从A 点沿直径AB 方向射入磁场，从C 点射出．乙电子以速率v 3从B 点沿BA 方向射入磁场，从D 点(图中未画出)射出，则( )A ．C 、D 两点间的距离为2RB ．C 、D 两点间的距离为3RC ．甲在磁场中运动的时间是乙的2倍D ．甲在磁场中运动的时间是乙的3倍解析：选B ．洛伦兹力提供向心力，q v B ＝m v 2r 得r ＝m v qB，由几何关系求得r 1＝R tan 60°＝3R ，由于质子乙的速度是v 3，其轨道半径r 2＝r 13＝33R ，它们在磁场中的偏转角分别为60°和120°，根据几何知识可得BC ＝R ，BD ＝2r 2tan 60°＝R ，所以CD ＝2R sin 60°＝3R ，故A 错误，B 正确；粒子在磁场中运动的时间为t ＝θ2πT ＝θ2π·2πm qB，所以两粒子的运动时间之比等于偏转角之比，即为1∶2，即甲在磁场中运动的时间是乙的12倍，故C 、D 错误． 3. (多选)如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB 和BC 组成，两斜面在B 处用一光滑小圆弧相连接，P 是BC 的中点，竖直线BD 右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B 处可认为处在磁场中，一带电小球从A 点由静止释放后能沿轨道来回运动，C 点为小球在BD 右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )A ．C 点与A 点在同一水平线上B ．小球向右或向左滑过B 点时，对轨道压力相等C ．小球向上或向下滑过P 点时，其所受洛伦兹力相同D ．小球从A 到B 的时间是从C 到P 时间的2倍解析：选AD ．小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力永不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C 点与A 点等高，在同一水平线上，选项A 正确；小球向右或向左滑过B 点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B 错误；同理小球向上或向下滑过P 点时，洛伦兹力也等大反向，选项C 错误；因洛伦兹力始终垂直BC ，小球在AB 段和BC 段(设斜面倾角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为g sin θ，由x ＝12at 2得小球从A 到B 的时间是从C 到P 的时间的2倍，选项D 正确． 4．如图甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B 1、B 2，则B 1与B 2的比值为( )A ．2cos θB ．sin θC ．cos θD ．tan θ解析：选C ．设有界磁场Ⅰ宽度为d ，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图1、图2所示，由洛伦兹力提供向心力知Bq v ＝m v 2r ，得B ＝m v rq，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tan θ，联立得B 1B 2＝cos θ，选项C 正确．5．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边界从a 点射入，从b 点射出．下列说法正确的是( )A ．粒子带正电B ．粒子在b 点速率大于在a 点速率C ．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出D ．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短解析：选C ．由左手定则知，粒子带负电，A 错．由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B 错．由R ＝m vqB ， 若仅减小磁感应强度B ，R 变大，则粒子可能从b 点右侧射出，C 对．由R ＝m v qB ，若仅减小入射速率v, 则R 变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大．由t ＝θ2πT ，T ＝2πm qB 知，运动时间变长，D 错．6．如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析：(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r3又q v 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr3m.(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又q v 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr 4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m. 答案：(1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m7. (多选)如图所示为一个质量为m 、带电荷量为＋q 的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．现给圆环向右初速度v 0，在以后的运动过程中，圆环运动的v -t 图象可能是下图中的( )解析：选BC ．当q v B ＝mg 时，圆环做匀速直线运动，此时图象为B ，故B 正确；当q v B ＞mg 时，F N ＝q v B －mg ，此时：μF N ＝ma ，所以圆环做加速度逐渐减小的减速运动，直到q v B ＝mg 时，圆环开始做匀速运动，故C 正确；当q v B ＜mg 时，F N ＝mg －q v B ，此时：μF N ＝ma ，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，所以其v -t 图象的斜率应该逐渐增大，故A 、D 错误．8.如图所示，水平放置的平行板长度为L 、两板间距也为L ，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在两板正中央P 点有一个不计重力的电子(质量为m 、电荷量为－e )，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v 0，欲使电子不与平行板相碰撞，则( )A ．v 0>eBL 2m 或v 0<eBL4mB ．eBL 4m <v 0< eBL2mC ．v 0>eBL2mD ．v 0<eBL4m解析：选A ．此题疑难点在于确定“不与平行板相碰撞”的临界条件．电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R ＝m v 0eB ，如图所示．当R 1＝L 4时，电子恰好与下板相切；当R 2＝L2时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)．由R 1＝m v 1eB ，解得v 1＝eBL4m ，由R 2＝m v 2eB ，解得v 2＝eBL 2m ，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v 0应满足v 0>eBL 2m 或v 0<eBL4m ，故选项A 正确．9．如图所示，在x >0，y >0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ，现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的某点P (不在原点)沿着与x 轴成30°角的方向射入磁场．不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是( )A ．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B ．粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5 πm 3qBC ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πmqBD ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm6qB解析：选C ．利用“放缩圆法”：根据同一直线边界上粒子运动的对称性可知，粒子不可能通过坐标原点，A 项错误；粒子运动的情况有两种，一种是从y 轴边界射出，最短时间要大于2πm 3qB ，故D 项错误；对应轨迹①时，t 1＝T 2＝πm qB ，C 项正确，另一种是从x 轴边界飞出，如轨迹③，时间t 3＝56T ＝5πm 3qB，此时粒子在磁场中运动时间最长，故B 项错误．10.如图所示，OM 的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM 左侧到OM 距离为L 的P 处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力不计)，速率均为v ＝qBLm，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )A ．πm 2qBB ．πm 3qBC ．πm 4qBD ．πm 6qB解析：选B ．粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：q v B ＝m v 2r ，将题设的v 值代入得：r ＝L ，粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子运动轨迹对应的弦最短，最短弦为L ，等于圆周运动的半径，根据几何关系，粒子转过的圆心角为60°，运动时间为T 6，故t min ＝T 6＝16×2πm qB ＝πm 3qB，故B 正确，A 、C 、D 错误．11．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12B 和B 、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )A ．5πm 6qBB ．7πm6qBC ．11πm 6qBD ．13πm6qB解析：选B ．带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由r ＝m vqB 知，第一象限内的圆半径是第二象限内圆半径的2倍，如图所示．粒子在第二象限内运动的时间：t 1＝T 14＝2πm 4qB ＝πm 2qB ；粒子在第一象限内运动的时间：t 2＝T 26＝2πm ×26qB ＝2πm 3qB ，则粒子在磁场中运动的时间t ＝t 1＋t 2＝7πm 6qB，选项B 正确．12．如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d ，不计重力．求：(1)带电粒子的比荷；(2)带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．解析： (1)设带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，加速后的速度大小为v .由动能定理有qU ＝12m v 2①设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 q v B ＝m v 2r②由几何关系知d ＝2r ③ 联立①②③式得q m ＝4UB 2d2.④(2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x 轴所经过的路程为 s ＝πr2＋r tan 30°⑤带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间为t ＝sv ⑥联立②④⑤⑥式得t ＝Bd 24U ⎝⎛⎭⎫π2＋33.⑦ 答案：(1)4U B 2d 2 (2)Bd 24U ⎝⎛⎭⎫π2＋33三、【带电粒子在组合场中的运动】典型题1．(多选)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是( )A ．增大匀强电场间的加速电压B ．增大磁场的磁感应强度C ．减小狭缝间的距离D ．增大D 形金属盒的半径解析：选BD ．回旋加速器利用电场加速和磁场偏转来加速粒子，粒子射出时的轨道半径恰好等于D 形盒的半径，根据q v B ＝m v 2R 可得，v ＝qBR m ，因此离开回旋加速器时的动能E k ＝12m v 2＝q 2B 2R 22m 可知，与加速电压无关，与狭缝距离无关，A 、C 错误；磁感应强度越大，D 形盒的半径越大，动能越大，B 、D 正确．2．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A 中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S 1进入电压为U 的加速电场区加速后，再通过狭缝S 2从小孔G 垂直于MN 射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN 为切线、磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外半径为R 的圆形匀强磁场．现在MN 上的F 点(图中未画出)接收到该粒子，且GF ＝3R .则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( )。

磁场对运动电荷的作用(建议用时45分钟)1.如图,a是竖直平面P上的一点,P前有一条形磁铁垂直于P,且S极朝向a点,P后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下,在水平面内向右弯曲经过a点。

在电子经过a点的瞬间,条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向()A.向上B.向下C.向左D.向右【解析】选A。

a点处条形磁铁的磁场垂直于纸面向外,根据左手定则可以判断电子受力向上,A 正确。

2.粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线,俯视图如图所示,两根导线中通有相同的电流,电流方向垂直纸面向里。

水平面上一带电滑块(电性未知)以某一初速度v沿两导线连线的中垂线入射,运动过程中滑块始终未脱离水平面。

下列说法正确的是()A.滑块可能做加速直线运动B.滑块可能做匀速直线运动C.滑块可能做曲线运动D.滑块一定做减速直线运动【解析】选D。

根据安培定则,知两导线连线上的垂直平分线上:上方的磁场方向水平向右,而下方的磁场方向水平向左,根据左手定则,可知滑块受到的洛伦兹力方向垂直于水平面向上或向下,滑块所受的支持力减小或增大,滑块所受的滑动摩擦力与速度反向,滑块一定做减速直线运动,故A、B、C错误,D正确。

【补偿训练】如图所示,电子枪射出的电子束进入示波管,在示波管正下方有竖直放置的通顺时针电流的环形导线,则示波管中的电子束将()A.向上偏转B.向下偏转C.向纸外偏转D.向纸里偏转【解析】选A。

由安培定则知,环形导线在电子束所在处的磁场方向为垂直纸面向外,由左手定则判断,电子束将向上偏转,A对。

3.(2019·北京高考)如图所示,正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。

一带电粒子垂直磁场边界从a点射入,从b点射出。

下列说法正确的是()A.粒子带正电B.粒子在b点速率大于在a点速率C.若仅减小磁感应强度,则粒子可能从b点右侧射出D.若仅减小入射速率,则粒子在磁场中运动时间变短【解析】选C。

根据洛伦兹力用来提供向心力,运动轨迹向力的方向弯曲,根据左手定则:磁场穿入手心,四指指向正电荷运动方向或者负电荷运动反方向,拇指所指方向为洛伦兹力方向,由此可以判断出,粒子带负电,选项A错误;因为洛伦兹力与速度始终垂直,所以洛伦兹力只改变速度的方向,不改变速度的大小,粒子在a、b两点速率相同,选项B错误;由qBv=m解得r=,若只B减小,其他条件不变,半径r变大,粒子从b点右侧射出,选项C正确;根据T==,仅改变入射速率并不影响带电粒子运动周期T,速率减小,半径减小,由图可知,半径减小,在磁场中的轨迹所对应的圆心角先增大后不变,时间先变长后不变,选项D错误。

磁场对运动电荷的作用[基础知识·填一填][知识点1] 洛伦兹力1．定义：运动电荷在磁场中所受的力．2．大小(1)v∥B时，F＝0.(2)v⊥B时，F＝qvB.(3)v与B夹角为θ时，F＝qvB sin_θ.3．方向(1)左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向．(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)．由于F始终垂直于v的方向，故洛伦兹力永不做功．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．(×)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)(3)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)(4)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)(5)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．(×)[知识点2] 带电粒子在匀强磁场中的运动1．若v ∥B ，带电粒子以入射速度v 做 匀速直线 运动．2．若v ⊥B ，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v 做 匀速圆周 运动．3．基本公式(1)向心力公式：qvB ＝ m v 2r. (2)轨道半径公式：r ＝ mv Bq. (3)周期公式：T ＝2πr v ＝2πm qB ；f ＝1T ＝ Bq2πm ；ω＝2πT ＝2πf ＝ Bq m. 判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)公式T ＝2πr v说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T 与v 成反比．(×)(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．(√)(3) 带电粒子在磁场中一定做匀速圆周运动．(×)[教材挖掘·做一做]1．(人教版选修3－1 P98第1题改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )答案：B2．(人教版选修3－1 P97思考与讨论改编)(多选)如图所示，电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的，电子束经过加速电场区域后，进入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于圆面．不加磁场时，电子束将通过磁场中心O而打到屏幕上的中心M，加磁场后电子束偏转到屏幕边缘的P点外侧．现要使电子束偏转回到P点．可行的办法是( )A．增大加速电压B．增加偏转磁场的磁感应强度C．将圆形磁场区域向屏幕靠近些D．将圆形磁场的半径增大些解析：AC [当射入圆形磁场的电子运动的半径越大，圆形磁场射出时偏转角越小，故要使电子束偏转回到P点，可以增大电子在磁场中运动的半径，由r＝mvqB可知，增大速度或减小偏转磁场的磁感应强度都可使运动半径增大，故选项A正确，B错误．由题图可知C正确．将圆形磁场的半径增大些，电子束一定偏转到P点外侧，选项D错误．]3．(人教版选修3－1 P99演示改编)如图为洛伦兹力演示仪的结构图．励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直．电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制，磁场强弱可通过励磁线圈的电流来调节．下列说法正确的是( )A ．仅增大励磁线圈的电流，电子束径迹的半径变大B ．仅提高电子枪的加速电压，电子束径迹的半径变大C ．仅增大励磁线圈的电流，电子做圆周运动的周期将变大D ．仅提高电子枪的加速电压，电子做圆周运动的周期将变大 解析：B [当仅增大励磁线圈的电流时，也就是增大磁感应强度B ，由牛顿第二定律知qvB ＝m v 2R ，得R ＝mv qB，电子束径迹的半径变小，选项A 错误；当仅提高电子枪的加速电压时，由qU ＝12mv 2和qvB ＝m v 2R 得R ＝2mqU qB，可知电子束径迹的半径变大，选项B 正确；由T ＝2πRv ＝2πmqB 知，增大励磁线圈的电流，B 增大，T减小，电子做圆周运动的周期T 与速度v 大小无关，仅提高加速电压，T 不变，选项C 、D 错误．]4．(人教版选修3－1 P102第3题改编)如图所示，一束质量、速度和电荷不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A 、B 两束，下列说法中正确的是( )A ．组成A 束和B 束的离子都带负电B ．组成A 束和B 束的离子质量一定不同C ．A 束离子的比荷大于B 束离子的比荷D ．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外答案：C考点一对洛伦兹力的理解[考点解读]1．洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．(4)洛伦兹力一定不做功．2．洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力．(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．3．洛伦兹力与电场力的比较[典例1] (多选)如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，圆环以初速度v 0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为( )A ．0 B.12mv 20 C.m 3g 22q 2B2 D.12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 20－m 2g 2q 2B 2 [解析] ABD [若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A 正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，圆环以初速度v 0向右做减速运动．若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则一直减速到零，圆环克服摩擦力做的功为12mv 20，选项B 正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力达到稳定，稳定速度v ＝mg qB，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W ＝12mv 20－12mv 2＝12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 20－m 2g 2q 2B 2，选项C 错误，D 正确．]理解洛伦兹力的四点注意1．正确分析带电粒子所在区域的合磁场方向．2．判断洛伦兹力方向时，特别区分电荷的正、负，并充分利用F ⊥B 、F ⊥v 的特点．3．计算洛伦兹力大小时，公式F ＝qvB 中，v 是电荷与磁场的相对速度．4．洛伦兹力对运动电荷(或带电体)不做功、不改变速度的大小，但它可改变运动电荷(或带电体)速度的方向，影响带电体所受其他力的大小，影响带电体的运动时间等．[题组巩固]1．图中曲线a 、b 、c 、d 为气泡室中某放射物发生衰变放出的部分粒子的径迹，气泡室中磁感应强度方向垂直于纸面向里．以下判断可能正确的是( )A ．a 、b 为β粒子的径迹B ．a 、b 为γ粒子的径迹C ．c 、d 为α粒子的径迹D ．c 、d 为β粒子的径迹解析：D [γ粒子不带电，不会发生偏转，故B 错．由左手定则可判定，a 、b 粒子带正电，c 、d 粒子带负电，又知α粒子带正电，β粒子带负电，故A 、C 均错，D 正确．]2．带电粒子以初速度v 0从a 点垂直y 轴进入匀强磁场，如图所示，运动中粒子经过b 点，Oa ＝Ob .若撤去磁场加一个与y 轴平行的匀强电场，仍以v 0从a 点垂直y 轴进入电场，粒子仍能过b 点，那么电场强度E 与磁感应强度B 之比为( )A ．v 0B ．1C ．2v 0 D.v 02解析：C [带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O 为圆心，故Oa ＝Ob ＝mv 0qB，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故Ob ＝v 0t ，Oa ＝qE 2m t 2，联立以上各式解得E B＝2v 0，故选项C 正确．] 考点二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动[考点解读]1．带电粒子在匀强磁场中运动圆心、半径及时间的确定方法(1)圆心的确定①已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．②已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点)．(2)半径的确定可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．(3)运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为： t ＝θ2πT (或t ＝θR v)． 2．重要推论(1)当速率v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(2)当速率v 变化时，圆心角大的运动时间长．[考向突破][考向1] 直线边界磁场(进出磁场具有对称性，如图所示)[典例2] (2016·全国卷Ⅲ)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB[审题指导] (1)审关键词：①OM 和ON 平面之间的夹角为30°.②速度与OM 成30°角．③只有一个交点，并从OM 上另一点射出．(2)思路分析：根据题意画出运动轨迹，找圆心，定半径，由几何知识求距离．[解析] D [根据题意画出带电粒子的运动轨迹，粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，故轨迹与ON 相切，粒子出磁场的位置与切点的连线是粒子做圆周运动的直径，大小为2mv qB ，根据几何知识可知，粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为d ＝2mv qBsin 30°＝4mv qB，选项D 正确．] [考向2] 圆形边界磁场 1．圆形边界中，若带电粒子沿径向射入必沿径向射出，如图所示，轨迹圆与区域圆形成相交圆，巧用几何关系解决．2．带电粒子在圆形磁场中不沿径向，轨迹圆与区域圆相交，抓住两圆心，巧用对称性解决．[典例3] (2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v 2∶v 1为( ) A.3∶2 B.2∶1C.3∶1 D．3∶2[审题指导] 粒子速度方向改变、大小不变时其轨迹半径相等，当粒子的轨迹直径与磁场区域相交时，其弦长最长，即为最大分布．[解析] C [由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同．由qvB＝m v2R可知R＝mvqB，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场边界的出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场边界的出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝R2，R2＝R cos30°＝32R，则v2v1＝R2R1＝3，C项正确．][考向3] 平行边界磁场(存在临界条件，如图所示)[典例4] 如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是( ) A．电子将向右偏转B．电子打在MN上的点与O′点的距离为dC．电子打在MN上的点与O′点的距离为3dD ．电子在磁场中运动的时间为πd 3v 0[解析] D [电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏转，如图所示，A 错误；设电子打在MN 上的点与O ′点的距离为x ，则由几何知识得：x ＝r －r 2－d 2＝2d －2d 2－d 2＝(2－3)d ，故B 、C 错误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝d 2d＝0.5，得θ＝π6，则电子在磁场中运动的时间t ＝θr v 0＝πd 3v 0，故D 正确．][考向4] 三角形边界磁场[典例5] 如图所示，在边长为2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m 、电荷量为－q (q >0)的带电粒子(重力不计)从AB 边的中心O 以速度v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60°，若要使粒子能从AC 边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B 需满足( )A ．B >3mv 3aqB ．B <3mv 3aqC ．B >3mv aqD ．B <3mv aq[解析] B [若粒子刚好达到C 点时，其运动轨迹与AC 相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝atan 30°＝3a.由qvB＝mv2r得r＝mvqB，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<3mv3aq，选项B正确．]带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法考点三带电粒子在磁场中运动的多解问题[考点解读]类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解[典例6] (2019·湖北华中师大一附中模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场．已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：(1)磁感应强度B 0的大小．(2)要使正离子从O ′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值．[解析] 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B 0qv 0＝mv 20R做匀速圆周运动的周期T 0＝2πR v 0由以上两式得磁感应强度B 0＝2πm qT 0(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，v 0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，有R ＝d 4； 当两板之间正离子运动n 个周期，即nT 0时，有R ＝d 4n(n ＝1,2,3，…)．联立求解，得正离子的速度的可能值为v 0＝B 0qR m ＝πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…)[答案] (1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…) 解决多解问题的一般思路1．明确带电粒子的电性和磁场方向．2．正确找出带电粒子运动的临界状态． 3．结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分析计算．[题组巩固]1．(2019·商丘模拟)(多选)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A.4qB mB.3qB mC.2qB mD.qB m解析：AC [依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqR m，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bq m，应选A 、C.] 2．如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m ，电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是多少．解析：题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷．若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆周圆弧，轨道半径：R ＝mv Bq又d ＝R －R2解得v ＝(2＋2)Bqd m. 若q 为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN ′相切的34圆周圆弧，则有：R ′＝mv ′Bq d ＝R ′＋R ′2，解得v ′＝(2－2)Bqd m. 答案：(2＋2)Bqd m (q 为正电荷)或(2－2)Bqd m(q 为负电荷) 物理模型(九) 两类典型的“动态圆”模型[模型阐述][模型1] 旋转圆模型(确定的入射点O 和速度大小v ，不确定速度方向)在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆圆心O 1、O 2、O 3 、O 4 、O 5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O 为圆心，R ＝mv qB为半径的一个圆周上(如图虚线所示)．(2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆(如图实线所示)．(3)各动态圆相交于O点．[模型2] 放缩圆模型(确定入射点O和速度方向，不确定速度大小)在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B的匀强磁场中，在O点有一粒子源在纸面内，沿同一方向发射速度为v，质量为m，电荷量为＋q的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆的圆心(取七个圆)分布在与速度方垂直的同一条直线上，如图所示．(2)各动态圆的半径R各不相同．(3)各动态圆相交于O点．[典例赏析][典例] 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mv.哪个图是正确的？( )Bq[解析] A [由于带电粒子从O点以相同速率射入纸面内的各个方向，射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，其运动半径是相等的．沿ON方向(临界方向)射入的粒子，恰能在磁场中做完整的圆周运动，则过O点垂直MN右侧恰为一临界半圆；若将速度方向沿ON 方向逆时针偏转，则在过O 点垂直MN 左侧，其运动轨迹上各个点到O 点的最远距离，恰好是以O 为圆心，以2R为半径的14圆弧，A 正确．] [题组巩固]1．(多选)如图所示，纸面内有宽为L 水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m ，电荷量为－q ，速率为v 0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B 0＝mv 0qL，A 、C 、D 选项中曲线均为半径是L 的14圆弧，B 选项中曲线为半径是L 2的圆)( ) 解析：AB [由于带电粒子流的速度均相同，则当飞入A 、C 选项中的磁场时，它们的轨迹对应的半径均相同．B 、D 选项因为磁场是2B 0，粒子在其中运动半径是在A 、C 中运动半径的一半．然而当粒子射入C 、D 两选项时，均不可能汇聚于同一点．所以只有A 、B 选项能汇聚于一点．]2．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场解析：AC [如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53t 0，综上可知，A 、C 正确，B 、D 错误．]。

磁场对运动电荷的作用力一、选择题：1．一个电子穿过某一空间而未发生偏转，则（）A．此空间一定不存在磁场B．此空间可能有磁场，方向与电子速度方向平行C．此空间可能有磁场，方向与电子速度方向垂直D．此空间可能有正交的磁场和电场，它们的方向均与电子速度方向垂直2．关于洛伦兹力和安培力的描述，正确的是（）A．通电直导线在匀强磁场中一定受到安培力的作用B．安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现C．带电粒子在匀强磁场中运动受到的洛伦兹力做正功D．通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行3．（2016 宜昌一模）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是()A．M带负电，N带正电B．M的速率小于N的速率C．洛伦兹力对M、N不做功D．M的运行时间大于N的运行时间4．来自宇宙的质子流以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将（）A．竖直向下沿直线射向地面 B．相对于预定地点向东偏转C．相对于预定地点向西偏转 D．相对于预定地点向北偏转5．设空间存在着竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示．已知一离子在静电力和洛伦兹力的作用下，从静止开始自a点沿曲线acb运动，到达b点时速度恰为零，c点是运动轨迹的最低点，不计重力，以下说法正确的是（）A．该离子必带正电荷 B．a和b位于同一高度C．离子经过c点时速度最大 D．离子到达b点后，将按原路返回到a6．如图所示，匀强磁场的方向竖直向下．磁场中有光滑的水平桌面，在桌面上平放着内壁光滑、底部有带电小球的试管．在水平拉力F的作用下，试管向右匀速运动，带电小球能从试管口飞出，则（）A．小球带负电B．小球离开管口前运动的轨迹是一条抛物线C．洛伦兹力对小球做正功D．拉力F应逐渐减小7．下列关于带电荷量为+q的粒子在匀强磁场中运动的说法，正确的是（）A．只要速度的大小相同，所受洛伦兹力的大小就相同B．如果把+q改为－q，且速度反向而大小不变，则洛伦兹力的大小、方向都不变C．洛伦兹力方向一定与电荷运动的速度方向垂直，磁场方向也一定与电荷的运动方向垂直D．当粒子只受洛伦兹力作用时，动能不变8．(2015 贵阳一模)如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。

洛伦兹力【典型例题1】磁场对电流有力的作用，而电流是由电荷的定向运动形成的，因此，我们自然会想到：这个力可能是作用在运动电荷上的，作用在整根导线上的力，只不过是作用在运动电荷上的力的宏观表现。

后来实验证明了这一点。

我们把磁场对运动电荷的作用力称为洛仑兹力。

设在磁感应强度为B （T ）的匀强磁场中，垂直于磁场方向放入一段长为L （m ）的通电导线，每米导线中有n 个自由电荷，每个自由电荷的电量为q （C ），定向运动的速度为v （m/s ），试由安培力公式推导出计算洛仑兹力的公式。

解答：导线中的电流强度应为I ＝nqv ，整根导线所受的安培力为F ＝BIL ＝BLnqv ，所以每个运动电荷所受磁场力应为f ＝F N ＝BLnqv Ln＝Bqv 。

【典型例题2】如图63-1所示，摆球带负电的单摆在匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场方向垂直，摆球每次通过平衡位置O 时相同的物理量有（ ）（A ）摆球受到的磁场力， （B ）悬线对摆球的拉力， （C ）摆球的动能， （D ）摆球的动量。

解答：因为洛伦兹力不做功，所以摆球两次经过O 点时的速度大小相等，则摆球每次通过平衡位置O 时的动能相同，（C ）正确。

而向左通过和向右通过时速度方向不同，因此动量也不同，（D ）错误。

摆球受到的磁场力大小为Bqv ，每次经过平衡位置O 时磁场力大小是相等的，但从左向右经过时所受磁场力方向向下，而从右向左经过时所受磁场力方向向上，因此所受磁场力不同，（A ）错误。

从左向右通过最低点时有：T 1－mg －Bqv ＝m v 2R， 而从右向右左通过最低点时有：T 2－mg ＋Bqv ＝m v 2R，可见悬线对摆球的拉力大小不相等，（B ）错误。

故应选（C ）。

【典型例题3】如图63-2所示，电子电量和质量分别为e 和m ，电子以速率v在匀强磁场中从P 点沿半圆弧运动到Q 点，PQ 间的距离为L ，则在电子运动的区域中匀强磁场的方向是_______________，磁感应强度的大小为_______________，电子由P 运动到Q 所用的时间是_______________。

图13 图14图15磁场对运动电荷的作用例题1．带电粒子在直线边界磁场中的运动问题例1 如图13所示，在一底边长为2a ，θ＝30°的等腰三角形区 域内(D 在底边中点)，有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质 量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子，从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从D 点垂直于EF 进入磁场，不计重力与空气阻力的影响． (1)若粒子恰好垂直于EC 边射出磁场，求磁场的磁感应强度B 为多少？(2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED 板，求粒子从进入磁场到第一次打到ED 板的最长时间是多少？跟踪训练1 (2011·浙江卷·20) 利用如图14所示装置可以选 择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方是磁感应 强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两 条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量 为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大 2．带电粒子在圆形边界磁场内的运动问题例2 可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此， 它被俗称为“人造太阳”．热核反应的发生，需要几千万度 以上的高温，然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上的 容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托卡马 克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模型．有 一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 其截面内半径为R 1＝1.0 m ，磁感应强度为B ＝1.0 T ，被约束粒子的比荷为q /m ＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面的P 点以速度v 0 ＝4.0×107 m/s 沿环的半径方向射入磁场(不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．图16(1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R 2；(2)若改变该粒子的入射速度v ，使v ＝33v 0，求该粒子从P 点进入磁场开始到第一次回到P 点所需要的时间t .跟踪训练2 如图16所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起 的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.10 T ，磁场区域半径r ＝23 3 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外，两区域切点为C .今有质量 m ＝3.2×10－26kg 、带电荷量q ＝1.6×10－19C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点以速度v＝1×106 m/s 正对O 1的方向垂直射入磁场，它将穿越C 点后再从右侧区穿出．求： (1)该离子通过两磁场区域所用的时间；(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)图17图18 3、带电粒子在多个磁场中运动的分析例3、如图17所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直 于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区 域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°.一质量为m 、带电荷量 为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30° O角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用 的时间为t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．跟踪训练3如图18所示，以ab 为边界的两匀强磁场的磁感 应强度为B 1＝2B 2＝B ，现有一质量为m 、带电荷量＋q 的粒 子从O 点以初速度v 沿垂直于ab 方向发射．在图中作出粒 子的运动轨迹，并求出粒子发射后第7次穿过直线ab 时所经 历的时间、路程及离开点O 的距离．(粒子重力不计)图1图21．磁感应强度的极值问题例1 如图1所示，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入，两个 板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d ，板长 为d ，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应 强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e ，质量为m )．2．偏角的极值问题例2 在真空中，半径r ＝3×10－2 m 的圆形区域内有匀强磁场，方向v 0如图2所示，磁感应强度B ＝0.2 T ，一个带正电的粒子以初速度＝1×106 m/s 从磁场边界上直径ab 的一端a 射入磁场，已知该粒子的比荷qm ＝1×108 C/kg ，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v 0与ab 的夹角θ及粒子的最大偏转角．图3图4 图93．时间的极值问题例3 如图3所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板， 两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带 电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加 速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大 小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘 板，它与N 板的夹角为θ＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ， 当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求： (1)两板间电压的最大值U m ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域的长度x ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m .4．面积的极值问题例4 如图4所示，质量为m ，电荷量为e 的电子从坐标原点O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v 0. 现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感 应强度大小为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y 轴平 行的荧光屏MN 上，求： (1)电子从y 轴穿过的范围； (2)荧光屏上光斑的长度； (3)所加磁场范围的最小面积．例5 不计重力的带正电粒子，质量为m ，电荷量为q ，以与y 轴成30°角的速度v 0从y 轴上的a 点射入图9中第一象限所在区域．为了使该带 电粒子能从x 轴上的b 点以与x 轴成60°角的速度射出，可在适当的 地方加一个垂直于xOy 平面、磁感强度为B 的匀强磁场，若此磁场 分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．图9图10图111．带电粒子性质的不确定形成多解例5 如图9所示，直线边界MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场， q磁感应强度为B ，磁场区域足够大．今有一质量为m ，带电荷量为的带电粒子，从边界MN 上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度大小为v ，方向与边界MN 的夹角为θ，求带电粒子在磁场中的运动时间．2．磁场方向不确定形成多解例6 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e 、质量为m ，磁感应强度为B ，不计重力，则电子运动的角速度可能是 ( ) A.4Be m B.3Be m C.2Be m D.Be m 3．运动方向不确定形成多解例7 如图10所示，绝缘摆线长为L ，摆球带正电(电荷量为q ，质量为m ) 悬于O 点，当它在磁感应强度为B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点C 时速率为v ，则摆线的拉力为多大？4．运动的往复性形成多解例8 如图11所示，在NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强 磁场Ⅰ，在MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ， M 、O 、N 在一条直线上，∠MOQ ＝60°，这两个区域磁场的 磁感应强度大小均为B .离子源中的离子带电荷量为＋q ，质 量为m ，通过小孔O 1进入两板间电压为U 的加速电场区域(可认 为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔O 2射出，再从O 点进入磁场区域Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界 MN ，不计离子的重力．(1)若加速电场两板间电压U ＝U 0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R 0；(2)在OQ 上有一点P ，P 点到O 点距离为L ，若离子能通过P 点，求加速电压U 和从O 点到P 点的运动时间．。

一、内容概述本周我们复习磁场对运动电荷的作用力。

运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小与哪些因素有关系，及其方向的判断是这一节的重点。

洛伦兹力对运动电荷不做功是它的一个重要特点，学习时要正确理解。

二、重、难点知识归纳与讲解1、洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用，它是安培力的微观本质。

安培力是洛伦兹力的宏观表现。

2、洛伦兹力的大小（1）当电荷速度方向垂直于磁场的方向时，磁场对运动电荷的作用力，等于电荷量、速率、磁感应强度三者的乘积，即F=qvB.（2）当电荷速度方向平行磁场方向时，洛伦兹力F=0。

（3）当电荷速度方向与磁场方向成θ角时，可以把速度分解为平行磁场方向和垂直磁场方向来处理，此时受洛伦兹力F=qvBsinθ。

3、洛伦兹力的方向安培力的方向可以用左手定则来判断，洛伦兹力的方向也可用左手定则来判断：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场，让磁感线穿过手心，对于正电荷，四指指向电荷的运动方向，对于负电荷，四指的指向与电荷的运动方向相反，大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。

由此可见洛伦兹力方向总是垂直速度方向和磁场方向，即垂直速度方向和磁场方向决定的平面。

4、洛伦兹力的特点因为洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功。

它只改变运动电荷速度的方向，而不改变速度的大小。

三、重、难点知识剖析1、洛伦兹力与电场力的比较（1）与带电粒子运动状态的关系带电粒子在电场中所受到的电场力的大小和方向，与其运动状态无关。

但洛伦兹力的大小和方向，则与带电粒子本身运动的速度紧密相关。

（2）决定大小的有关因素电荷在电场中所受到的电场力F=qE，与两个因素有关：本身电量的多少和电场的强弱。

运动电荷在磁场中所受的磁场力，与四个因素有关；本身电量的多少、运动速度v的大小、速度v的方向与磁感应强度B方向间的关系、磁场的磁感应强度B。

（3）方向的区别电荷所受电场力的方向，一定与电场方向在同一条直线上（正电荷同向，负电荷反向），但洛伦兹力的方向则与磁感应强度的方向垂直。

高中物理【磁场对运动电荷的作用】典型题1．如图所示，a 、b 、c 、d 为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O 点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右解析：选B ．根据安培定则及磁感应强度的矢量叠加，可得O 点处的磁场方向水平向左，再根据左手定则判断可知，带电粒子受到的洛伦兹力方向向下，B 正确．2.如图，半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径OC 与OB 夹角为60°.甲电子以速率v 从A 点沿直径AB 方向射入磁场，从C 点射出．乙电子以速率v 3从B 点沿BA 方向射入磁场，从D 点(图中未画出)射出，则( )A ．C 、D 两点间的距离为2RB ．C 、D 两点间的距离为3RC ．甲在磁场中运动的时间是乙的2倍D ．甲在磁场中运动的时间是乙的3倍解析：选B ．洛伦兹力提供向心力，q v B ＝m v 2r 得r ＝m v qB，由几何关系求得r 1＝R tan 60°＝3R ，由于质子乙的速度是v 3，其轨道半径r 2＝r 13＝33R ，它们在磁场中的偏转角分别为60°和120°，根据几何知识可得BC ＝R ，BD ＝2r 2tan 60°＝R ，所以CD ＝2R sin 60°＝3R ，故A 错误，B 正确；粒子在磁场中运动的时间为t ＝θ2πT ＝θ2π·2πm qB，所以两粒子的运动时间之比等于偏转角之比，即为1∶2，即甲在磁场中运动的时间是乙的12倍，故C 、D 错误．3. (多选)如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB 和BC 组成，两斜面在B 处用一光滑小圆弧相连接，P 是BC 的中点，竖直线BD 右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B 处可认为处在磁场中，一带电小球从A 点由静止释放后能沿轨道来回运动，C 点为小球在BD 右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )A ．C 点与A 点在同一水平线上B ．小球向右或向左滑过B 点时，对轨道压力相等C ．小球向上或向下滑过P 点时，其所受洛伦兹力相同D ．小球从A 到B 的时间是从C 到P 时间的2倍解析：选AD ．小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力永不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C 点与A 点等高，在同一水平线上，选项A 正确；小球向右或向左滑过B 点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B 错误；同理小球向上或向下滑过P 点时，洛伦兹力也等大反向，选项C 错误；因洛伦兹力始终垂直BC ，小球在AB 段和BC 段(设斜面倾角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为g sin θ，由x ＝12at 2得小球从A 到B 的时间是从C 到P 的时间的2倍，选项D 正确． 4．如图甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B 1、B 2，则B 1与B 2的比值为( )A ．2cos θB ．sin θC ．cos θD ．tan θ解析：选C ．设有界磁场Ⅰ宽度为d ，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图1、图2所示，由洛伦兹力提供向心力知Bq v ＝m v 2r ，得B ＝m v rq，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tan θ，联立得B 1B 2＝cos θ，选项C 正确．5．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边界从a 点射入，从b 点射出．下列说法正确的是( )A ．粒子带正电B ．粒子在b 点速率大于在a 点速率C ．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出D ．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短解析：选C ．由左手定则知，粒子带负电，A 错．由于洛伦兹力不做功，粒子速率不变，B 错．由R ＝m v qB， 若仅减小磁感应强度B ，R 变大，则粒子可能从b 点右侧射出，C 对．由R ＝m v qB ，若仅减小入射速率v, 则R 变小，粒子在磁场中的偏转角θ变大．由t ＝θ2πT ，T ＝2πm qB 知，运动时间变长，D 错．6．如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析：(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3又q v 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr 3m .(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又q v 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr 4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr 4m. 答案：(1)3Bqr 3m (2)3Bqr 4m 7. (多选)如图所示为一个质量为m 、带电荷量为＋q 的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．现给圆环向右初速度v 0，在以后的运动过程中，圆环运动的v -t 图象可能是下图中的( )解析：选BC ．当q v B ＝mg 时，圆环做匀速直线运动，此时图象为B ，故B 正确；当q v B ＞mg 时，F N ＝q v B －mg ，此时：μF N ＝ma ，所以圆环做加速度逐渐减小的减速运动，直到q v B ＝mg 时，圆环开始做匀速运动，故C 正确；当q v B ＜mg 时，F N ＝mg －q v B ，此时：μF N ＝ma ，所以圆环做加速度逐渐增大的减速运动，直至停止，所以其v -t 图象的斜率应该逐渐增大，故A 、D 错误．8.如图所示，水平放置的平行板长度为L 、两板间距也为L ，两板之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在两板正中央P 点有一个不计重力的电子(质量为m 、电荷量为－e )，现在给电子一水平向右的瞬时初速度v 0，欲使电子不与平行板相碰撞，则( )A ．v 0>eBL 2m 或v 0<eBL 4mB ．eBL 4m <v 0< eBL 2mC ．v 0>eBL 2mD ．v 0<eBL 4m 解析：选A ．此题疑难点在于确定“不与平行板相碰撞”的临界条件．电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R ＝m v 0eB ，如图所示．当R 1＝L 4时，电子恰好与下板相切；当R 2＝L 2时，电子恰好从下板边缘飞出两平行板(即飞出磁场)．由R 1＝m v 1eB ，解得v 1＝eBL 4m，由R 2＝m v 2eB ，解得v 2＝eBL 2m ，所以欲使电子不与平行板相碰撞，电子初速度v 0应满足v 0>eBL 2m 或v 0<eBL 4m，故选项A 正确．9．如图所示，在x >0，y >0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ，现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的某点P (不在原点)沿着与x轴成30°角的方向射入磁场．不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是( )A ．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点B ．粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5 πm 3qBC ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm qBD ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为πm 6qB解析：选C ．利用“放缩圆法”：根据同一直线边界上粒子运动的对称性可知，粒子不可能通过坐标原点，A 项错误；粒子运动的情况有两种，一种是从y 轴边界射出，最短时间要大于2πm 3qB ，故D 项错误；对应轨迹①时，t 1＝T 2＝πm qB，C 项正确，另一种是从x 轴边界飞出，如轨迹③，时间t 3＝56T ＝5πm 3qB，此时粒子在磁场中运动时间最长，故B 项错误．10.如图所示，OM 的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，OM 左侧到OM 距离为L 的P 处有一个粒子源，可沿纸面向各个方向射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(重力不计)，速率均为v ＝qBL m，则粒子在磁场中运动的最短时间为( )A ．πm 2qBB ．πm 3qBC ．πm 4qBD ．πm 6qB 解析：选B ．粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：q v B ＝m v 2r ，将题设的v 值代入得：r ＝L ，粒子在磁场中运动的时间最短，则粒子运动轨迹对应的弦最短，最短弦为L ，等于圆周运动的半径，根据几何关系，粒子转过的圆心角为60°，运动时间为T 6，故t min ＝T 6＝16×2πm qB ＝πm 3qB，故B 正确，A 、C 、D 错误． 11．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12B 和B 、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )A ．5πm 6qB B ．7πm 6qBC ．11πm 6qBD ．13πm 6qB 解析：选B ．带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由r ＝m v qB知，第一象限内的圆半径是第二象限内圆半径的2倍，如图所示．粒子在第二象限内运动的时间：t 1＝T 14＝2πm 4qB ＝πm 2qB ；粒子在第一象限内运动的时间：t 2＝T 26＝2πm ×26qB ＝2πm 3qB，则粒子在磁场中运动的时间t ＝t 1＋t 2＝7πm 6qB，选项B 正确．12．如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d ，不计重力．求：(1)带电粒子的比荷；(2)带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．解析： (1)设带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，加速后的速度大小为v .由动能定理有qU ＝12m v 2① 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r ，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q v B ＝m v 2r② 由几何关系知d ＝2r ③联立①②③式得q m ＝4U B 2d2.④ (2)由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x 轴所经过的路程为s ＝πr 2＋r tan 30°⑤ 带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间为t ＝s v⑥ 联立②④⑤⑥式得t ＝Bd 24U ⎝⎛⎭⎫π2＋33.⑦ 答案：(1)4U B 2d 2 (2)Bd 24U ⎝⎛⎭⎫π2＋33。

第一章安培力与洛伦兹力磁场对运动电荷的作用力课后篇素养形成必备知识基础练1.电荷量为+q的粒子在匀强磁场中运动,下列说法正确的是()A.只要速度大小相同,所受洛伦兹力就相同B.如果把+q改为-q,且速度大小不变、方向相反,则洛伦兹力的大小、方向均不变C.洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直,磁场方向一定与电荷运动方向垂直D.粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变,而且与粒子速度的方向有关,又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直,速度方向不同时洛伦兹力的方向也不同,所以A选项错误。

因为改为-q且速度反向时所形成的电流方向与原+q运动形成的电流方向相同,由左手定则可知洛伦兹力方向不变,再由F=qvB知大小不变,所以B选项正确。

电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角,所以C选项错误。

因为洛伦兹力总与速度方向垂直,因此洛伦兹力不做功,粒子动能不变,但洛伦兹力可改变粒子的运动方向,使粒子速度的方向不断改变,所以D选项错误。

2.一束混合粒子流从一发射源射出后,进入如图所示的磁场,分离为1、2、3三束粒子流,不考虑重力及粒子间的相互作用,则下列选项不正确的是()A.1带正电B.1带负电C.2不带电D.3带负电,带正电的粒子向左偏,即粒子1;不偏转说明不带电,即粒子2;带负电的粒子向右偏,即粒子3,故选B。

3.如图所示,一束电子流沿管的轴线进入螺线管,忽略重力,电子在管内的运动应该是()A.当从a端通入电流时,电子做匀加速直线运动B.当从b端通入电流时,电子做匀加速直线运动C.不管从哪端通入电流,电子都做匀速直线运动D.不管从哪端通入电流,电子都做匀速圆周运动v∥B,F洛=0,电子做匀速直线运动。

4.如图所示,在竖直绝缘的水平台上,一个带正电的小球以水平速度v0抛出,落在地面上的A点,若加一垂直纸面向里的匀强磁场,小球仍能落到地面上,则小球的落点()A.仍在A点B.在A点左侧C.在A点右侧D.无法确定,小球此时受到了斜向上的洛伦兹力的作用,小球在竖直<g,故小球在空中做曲线运动的时间将增加,同时水平方向上加速,故落方向的加速度a y=mg-qvBcosθm点应在A点的右侧,选项C正确。

人教版高二物理（选修31）第三章磁场磁场对运动电荷的作用力典型例题深度分析（含解析）3.5磁场对运动电荷的作用力典型例题深度剖析【典型例题】【例1】关于运动电荷和磁场的说法中，正确的选项是〔D 〕A 、运动电荷在某点不受洛仑兹力作用，这点的磁感应强度必为零B 、电荷的运动方向、磁感应强度方向和电荷所受洛仑兹力的方向一定相互垂直C 、电子射线由于遭到垂直于它的磁场作用而偏转，这是由于洛仑兹力对电子做功的结果D 、电荷与磁场力没有相对运动，电荷就一定不受磁场的作用力【解析】运动电荷处于磁感线强度为零处,所受洛仑兹力为零,但当运动电荷的速度方向和磁场方向分歧时〔同向或反向〕也不受洛仑兹力的作用；运动电荷遭到的洛仑兹力垂直于磁场方向和电荷运动方向所决议的平面，即洛仑兹力既垂直磁场方向，也垂直于电荷的运动方向，但磁场方向和电荷运动方向不一定垂直；由于洛仑兹力一定垂直于电荷的运动方向，所以洛仑兹力永远不做功；运动电荷才受洛仑兹力的作用，这里的运动应是与磁场的相对运动。

【答案】D【例2】如下图，MDN 为绝缘资料制成的润滑竖直半圆环，半径为R ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外。

一带电量为-q ，质量为m 的小球自M 点无初速下落，以下说法中正确的选项是〔ABD 〕A 、由M 滑到最低度点D 时所用时间与磁场有关B 、球滑到D 时，速度大小v=gR 2C 、球滑到D 点时，对D 的压力一定大于mgD 、滑到D 时，对D 的压力随圆半径增大而减小【解析】对沿润滑竖直半圆环下滑的小球停止受力剖析，如下图，使小球下滑的力只要重力沿轨道的切向分力G t ，洛仑兹力的存在只是增加了小球对轨道的压力，故下滑到最低点所用的时间及到最低点的速度与磁场能否存在均有关。

下滑进程中，只要重力做功，由机械能守恒得：mgR=221mv 所以v=gR 2在最低点时，三个力的合力提供圆周运动的向心力〔如下图〕，即N+F 洛-mg=m ·Rv 2N=mg+2mg- F 洛=3mg- F 洛，不能确认N 和mg 的关系，即不能确定小球对轨道压力和重力关系。

专题四磁场对运动物体的作用基本知识点1．带电物体在磁场或电场中运动的分析方法和分析力学的方法一样，只是比力学多了洛伦兹力和电场力．2．对带电粒子受力分析求合力，若合力为零，粒子做匀速运动或静止；若合力不为零，粒子做变速直线运动，再根据牛顿第二定律分析粒子速度变化情况．3．洛伦兹力的方向总垂直于速度方向，洛伦兹力对运动电荷不做功.例题分析一、带电物体在复合场中的运动例1如图所示，在真空中匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场的方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量同种电荷，其中a静止，b向右做匀速运动，c向左做匀速运动．比较它们的重力G a、G b、G c的关系，正确的是()A．G a最大B．G b最大C．G c最大D．G c最小(对应训练)带电油滴以水平向右的速度v0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图所示，若带电油滴质量为m，磁感应强度为B，则下述说法正确的是()A．油滴必带正电荷，电荷量为mgv0BB．油滴必带正电荷，比荷为qm＝qv0BC．油滴必带负电荷，电荷量为mgv0BD．油滴带什么电性都可以，只要满足q＝mgv0B二、带电物体在斜面上运动的问题例2如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，质量为m、带电荷量为q的小球在倾角为α的光滑斜面上由静止开始下滑。

若带电小球下滑后某个时刻对斜面的压力恰好为零，问：(1)小球的带电性质如何？(2)此时小球下滑的速度和位移分别为多大？(对应训练)一个质量为m＝0.1 g的小滑块，带有q＝5×10－4C的电荷量，放置在倾角α＝30°的光滑斜面上(绝缘)，斜面固定且置于B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图5所示，小滑块由静止开始沿斜面滑下，斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面(g取10 m/s2)．求：(1)小滑块带何种电荷？(2)小滑块离开斜面时的瞬时速度多大？(3)该斜面长度至少多长？三、带电物体受力情况的动态分析例3如图所示，一个带负电的滑环套在水平且足够长的粗糙的绝缘杆上，整个装置处于方向如图所示的匀强磁场B中．现给滑环施以一个水平向右的瞬时速度，使其由静止开始运动，则滑环在杆上的运动情况可能是()A．始终做匀速运动B．先做减速运动，最后静止于杆上C．先做加速运动，最后做匀速运动D．先做减速运动，最后做匀速运动(对应训练)一细棒处于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒与磁场垂直，磁感线方向垂直纸面向里，如图所示，棒上套一个可在其上滑动的带负电的小环c，小环质量为m，电荷量为q，环与棒间无摩擦．让小环从静止滑下，下滑中某时刻环对棒的作用力恰好为零，则此时环的速度为多大？四、洛伦兹力作用下带电体的直线运动例4如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒从a点进入场区并刚好能沿ab直线向上运动，不可忽略重力，下列说法中正确的是()A．微粒一定带负电B．微粒的动能一定减小C．微粒的电势能一定增加D．微粒的机械能一定增加(对应训练)在方向如图所示的匀强电场(场强为E)和匀强磁场(磁感应强度为B)共存的场区中，一电子沿垂直电场线和磁感线的方向以速度v0射入场区，设电子射出场区时的速度为v，则()A．若v0＞E/B，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度v＞v0B．若v0＞E/B，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度v＜v0C．若v0＜E/B，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度v＞v0D．若v0＜E/B，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度v＜v0五、带电体在竖直杆上的运动例5如图所示，套在足够长的绝缘粗糙直棒上的带正电小球，其质量为m，所带的电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放入沿水平方向且相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向外，设小球的电荷量不变，小球由静止下滑的过程中()A．小球加速度一直增加B．小球速度一直增加，直到最后匀速C．棒对小球的弹力一直减小D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变(对应训练)如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的小球，其质量为m，带电荷量为＋q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为E，磁感应强度为B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下滑的最大加速度和最大速度(设小球电荷量不变)．六、带电物体在曲面上的运动例6 如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直．一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆轨道的最高点M 下滑到最右端，则下列说法中正确的是( )A ．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大B ．滑块从M 点到最低点的加速度比磁场不存在时小C ．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小D ．滑块从M 点到最低点所用时间与磁场不存在时相等(对应训练一)如图所示，两个半径相同的半圆形轨道分别竖直放在匀强磁场和匀强电场中，轨道两端在同一高度上，轨道是光滑的．两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放，M 、N 为轨道的最低点，则( )A ．两小球到达轨道最低点的速度v M ＝v NB ．两小球到达轨道最低点的速度v M >v NC ．小球第一次到达M 点的时间大于小球第一次到达N 点的时间D ．在磁场中小球能到达轨道的另一端，在电场中小球不能到达轨道的另一端(对应训练二)如图所示，质量为m ＝1kg 、电荷量为q ＝5×10－2C 的带正电的小滑块，从半径为R ＝0.4m 的光滑绝缘14圆弧轨道上由静止自A 端滑下．整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中．已知E ＝100V/m ，方向水平向右；B ＝1T ，方向垂直纸面向里．求：(1)滑块到达圆弧轨道最低点C时的速度；(2)在C点时滑块所受的洛伦兹力；(3)滑块到达C点时对轨道的压力．(g取10m/s2)七、带电小球在复合场中的做单摆运动满足的规律例7如图所示，用丝线吊一个质量为m的带电(绝缘)小球处于匀强磁场中，空气阻力不计，当小球分别从A点和B点向最低点O运动且两次经过O点时()A．小球的动能相同B．丝线所受的拉力相同C．小球所受的洛伦兹力相同D．小球的向心加速度相同(对应训练)质量为m、带电荷量为＋q的小球，用一长为l的绝缘细线悬挂在方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示，用绝缘的方法使小球位于使悬线呈水平的位置A，然后静止释放，小球运动的平面与B的方向垂直，求小球第一次和第二次经过最低点C时悬线的拉力F T1和F T2.专题训练1．如图所示，在整个空间中存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电物块沿绝缘水平天花板向右做匀速直线运动，则该物块()A．带正电B．带负电C．受到三个力作用D．受到五个力作用2．如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，一带电油滴P恰好处于静止状态，则下列说法正确的是()A．若撤去磁场，P可能做匀加速直线运动B．若撤去电场，P一定做匀加速直线运动C．若给P一初速度，P可能做匀速直线运动D．若给P一初速度，P一定做曲线运动3．如图所示，一个带正电荷的小球沿光滑水平绝缘的桌面向右运动，飞离桌子边缘A，最后落到地板上．设有磁场时飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度大小为v1；若撤去磁场而其余条件不变时，小球飞行的时间为t2，水平射程为x2，着地速度大小为v2.则()A．x1>x2B．t1>t2 C．v1>v2D．v1＝v24．如图所示，在匀强磁场中有一水平绝缘传送带以速度v沿顺时针方向传动。

磁场对运动电荷的作用力典型例题解析【例1】图16－49是表示磁场磁感强度B，负电荷运动方向v和磁场对电荷作用力f的相互关系图，这四个图中画得正确的是(B、v、f两两垂直)[ ]解答：正确的应选A、B、C．点拨：由左手定则可知四指指示正电荷运动的方向，当负电荷在运动时，四指指示的方向应与速度方向相反．【例2】带电量为＋q的粒子，在匀强磁场中运动，下面说法中正确的是[ ] A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B．如果把＋q改为－q，且速度反向且大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C．只要带电粒子在磁场中运动，它一定受到洛伦兹力作用D．带电粒子受到洛伦兹力越小，则该磁场的磁感强度越小解答：正确的应选B．点拨：理解洛伦兹力的大小、方向与哪些因素有关是关键．【例3】如果运动电荷除磁场力外不受其他任何力的作用，则带电粒子在磁场中作下列运动可能成立的是[ ] A．作匀速直线运动B、作匀变速直线运动C．作变加速曲线运动D．作匀变速曲线运动点拨：当v∥B时，f＝0，故运动电荷不受洛伦兹力作用而作匀速直线运动．当v与B不平行时，f≠0且f与v恒垂直，即f只改变v的方向．故运动电荷作变加速曲线运动．参考答案：AC【例4】如图16－50所示，在两平行板间有强度为E的匀强电场，方向竖直向下，一带电量为q的负粒子(重力不计)，垂直于电场方向以速度v飞入两板间，为了使粒子沿直线飞出，应在垂直于纸面内加一个怎样方向的磁场，其磁感应强度为多大？点拨：要使粒子沿直线飞出，洛伦兹力必须与电场力平衡．参考答案：磁感应强度的方向应垂直于纸面向内，大小为E/v跟踪反馈1．关于带电粒子所受洛伦兹力f、磁感应强度B和粒子速度v三者方向之间的关系，下列说法正确的是[ ] A．f、B、v三者必定均保持垂直B．f必定垂直于B、v，但B不一定垂直于vC．B必定垂直于f、v，但f不一定垂直于vD．v必定垂直于f、B，但f不一定垂直于B2．下列说法正确的是[ ] A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力作用B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的动量D．洛伦兹力对带电粒子不做功3．如图16－51所示的正交电场和磁场中，有一粒子沿垂直于电场和磁场的方向飞入其中，并沿直线运动(不考虑重力作用)，则此粒子[ ] A．一定带正电B．一定带负电C．可能带正电或负电，也可能不带电D．一定不带电4．如图16－52所示，匀强电场方向竖直向下，匀强磁场方向水平向里，有一正离子恰能沿直线从左到右水平飞越此区域，则[ ] A．若电子从右向左飞入，电子也沿直线运动B．若电子从右向左飞入，电子将向上偏转C．若电子从右向左飞入，电子将向下偏转D．若电子从左向右飞入，电子也沿直线运动参考答案1．B 2．D 3．C 4．BD。

磁场对运动电荷的作用题型及解题方法（含答案）1．[对洛伦兹力的理解]带电荷量为＋q 的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( ) A ．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B ．如果把＋q 改为－q ，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C ．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D ．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变2．[洛伦兹力的大小计算和方向判定]如图1所示，匀强磁场的磁感应强度均为B ，带电粒子的速率均为v ，带电荷量均为q .试求出图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向．图13．[对带电粒子运动轨迹的确定]试画出图2中几种情况下带电粒子的运动轨迹．图24．[带电粒子在有界匀强磁场中运动的分析]如图3所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A 点以速度v 0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，若∠AOB ＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( ) A.2πr 3v 0 B.23πr 3v 0 C.πr 3v 0 D.3πr 3v 05．[带电粒子在匀强磁场中有关问题分析]如图4所示，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子，以不同的初速度两次从O 点垂直于磁感线和磁场边界向上射入匀 强磁场，在洛伦兹力作用下分别从M 、N 两点射出磁场，测得OM ∶ON ＝3∶4，则下列 说法中错误的是( )A ．两次带电粒子在磁场中经历的时间之比为3∶4B ．两次带电粒子在磁场中运动的路程长度之比为3∶4C ．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为3∶4D ．两次带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小之比为4∶3 规律总结1．带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图5所示)图5(2)平行边界(存在临界条件，如图6所示)图6(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图7所示)图72．确定粒子运动的圆心，找出轨迹对应的圆心角，再求运动时间.考点一洛伦兹力和电场力的比较1．洛伦兹力方向的特点(1)洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．2深化拓展①洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功．②只有运动电荷才会受到洛伦兹力，静止电荷在磁场中所受洛伦兹力一定为零．例1在如图8所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ(不计粒子的重力)，问：(1)匀强磁场的磁感应强度是多大？ (2)粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？ 技巧点拨电荷在匀强电场和匀强磁场中的运动规律不同．运动电荷穿出有界电场的时间与其入射速度的方向和大小有关，而穿出有界磁场的时间则与电荷在磁场中的运动周期有关．在解题过程中灵活运用运动的合成与分解和几何关系是解题关键． 突破训练1在如图9所示的空间中，存在电场强度为E 的匀强电场，同时存在沿x 轴负方向、磁感应强度为B 的匀强磁场(图中均未画出)．一质子(电荷量为e )在该空间恰沿y 轴正方向以速度v 匀速运动．据此可以判断出 ( )A ．质子所受电场力大小等于eE ，运动中电势能减小；沿z 轴正方向电势升高B ．质子所受电场力大小等于eE ，运动中电势能增大；沿z 轴正方向电势降低C ．质子所受电场力大小等于e v B ，运动中电势能不变；沿z 轴正方向电势升高D ．质子所受电场力大小等于e v B ，运动中电势能不变；沿z 轴正方向电势降低 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 1．圆心的确定(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图10甲所示，图中P 为入射点，M 为出射点)．图10(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点)． 2．半径的确定可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小． 3．运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时 间表示为：t ＝θ2πT (或t ＝θR v )．例2 (2012·安徽理综·19)如图11所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角．现将带电粒子的速度变为v3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12ΔtB ．2ΔtC.13ΔtD ．3Δt技巧点拨找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系是解题的关键．例3 如图12所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角为θ＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求： (1)两板间电压的最大值U m ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域的长度s ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m . 规律总结1．带电体在磁场中的临界问题的处理方法带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，处理的方法是寻找临界状态，画出临界轨迹： (1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零． (2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切． 2．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 (1)画轨迹：即画出运动轨迹，并确定圆心，用几何方法求半径．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系．(3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．突破训练2 (2011·浙江·20)利用如图13所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图 中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分 别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子 从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说 法正确的是( )A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大突破训练3 (2012·山西太原市高三模拟试题(二))如图14所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.10 T ，磁场区域半径r ＝233 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外，两区域切点为C .今有质量m ＝3.2×10－26kg 、带电荷量q ＝1.6×10－19C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点以速度v ＝1×106 m/s 正对O 1的方向垂直射入磁场，它将穿越C 点后再从右侧区穿出．求：图14(1)该离子通过两磁场区域所用的时间；(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指在垂直初速度方向上移动的距离)1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点． 临界问题的一般解题模式为： (1)找出临界状态及临界条件； (2)总结临界点的规律； (3)解出临界量； (4)分析临界量列出公式． 2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．例4 如图15所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着匀强磁场，磁感应强度均为B ，方向相反，且都垂直于xOy 平面．一电子由P (－d ，d )点，沿x 轴正方向射入磁场区域Ⅰ.(电子质量为m ，电荷量为e ，sin 53°＝45) (1)求电子能从第三象限射出的入射速度的范围．(2)若电子从(0，d2)位置射出，求电子在磁场Ⅰ中运动的时间t .(3)求第(2)问中电子离开磁场Ⅱ时的位置坐标．突破训练4两极板M 、N 相距为d ，板长为5d ，两板未带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图16所示，一大群电子沿平行于板的方向从各个位置以速度v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B 的范围怎样？(设电子电荷量为e ，质量为m )图16高考题组1．(2012·广东理综·15)质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图17中虚线所示．下列表述正确的是 ( )A ．M 带负电，N 带正电B ．M 的速率小于N 的速率C ．洛伦兹力对M 、N 做正功D ．M 的运行时间大于N 的运行时间2．(2012·江苏单科·9)如图18所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界．一质量为m 、电荷量为q 的粒子在纸面内从O 点射入磁场．若粒子速度为v 0，最远能落在边界上的A 点．下列说法正确的有( )A ．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v 0B ．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v 0C ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v 0－qBd2mD ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v 0＋qBd2m3. (2011·海南单科·10)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图19中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是( )A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大4．(2012·海南单科·16)图20(a)所示的xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy 平面(纸面)垂直，磁感应强度B 随时间t 变化的周期为T ，变化图线如图(b)所示．当B 为＋B 0时，磁感应强度方向指向纸外．在坐标原点O 有一带正电的粒子P ，其电荷量与质量之比恰好等于2πTB 0.不计重力．设P 在某时刻t 0以某一初速度沿y 轴正向从O点开始运动，将它经过时间T 到达的点记为A .(a) (b)图20(1)若t 0＝0，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？(2)若t 0＝T4，则直线OA 与x 轴的夹角是多少？模拟题组5．如图21所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O 点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a 、b 、c 、d 四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间t a 、t b 、t c 、t d ，其大小关系是 ( ) A ．t a <t b <t c <t d B ．t a ＝t b ＝t c ＝t d C ．t a ＝t b >t d >t cD ．t a ＝t b >t c >t d6. 如图22所示，在真空区域内，有宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，MN 、PQ 为磁场的边界．质量为m 、带电荷量为－q 的粒子，先后两次沿着与MN 夹角为θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中，第一次粒子是经电压U 1加速后射入磁场的，粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场；第二次粒子是经电压U 2加速后射入磁场的，粒子刚好能垂直于PQ 射出磁场．(不计粒子重力，粒子加速前的速度认为是零，U 1、U 2未知)图22(1)加速电压U 1、U 2的比值U 1U 2为多少？(2)为使粒子经电压U 2加速射入磁场后沿直线射出PQ 边界，可在磁场区域加一个匀强电场，求该电场的场强大小．►题组1 洛伦兹力的特点与应用1．带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是( )A ．洛伦兹力对带电粒子做功B ．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C ．洛伦兹力的大小与速度无关D ．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向2．如图1所示，ABC 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 为倾斜直轨道，BC 为与AB 相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道AB 上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则( )A ．经过最高点时，三个小球的速度相等B ．经过最高点时，甲球的速度最小C ．甲球的释放位置比乙球的高D ．运动过程中三个小球的机械能均保持不变3. 带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图2所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将 ( )A ．可能做直线运动B ．可能做匀减速运动C ．一定做曲线运动D ．可能做匀速圆周运动4．如图3所示，一个质量为m 、电荷量为＋q 的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处在磁感应强度为B 的匀强磁场中(不计空气阻力)．现给圆环向右的初速度v 0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图象可能是图中的( )图3►题组2 带电粒子在直线边界磁场中的运动5．带电粒子以初速度v 0从a 点进入匀强磁场，如图4所示．运动中经过b 点，Oa ＝Ob ，若撤去磁场加一个与y 轴平行的匀强电场，仍以v 0从a 点进入电场，粒子仍能通过b 点，那么电场强度E 与磁感应强度B 之比为( )A ．v 0B ．1C ．2v 0D.v 026．如图5所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t .若加上磁感应强度为B 、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( )A ．带电粒子的比荷B ．带电粒子在磁场中运动的周期C ．带电粒子的初速度D ．带电粒子在磁场中运动的半径7．如图6所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，垂直于磁场射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子．已知粒子质量为m ，电荷量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：图6(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围；(2)如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．►题组3 带电粒子在圆形边界磁场中的运动8.如图7所示是某粒子速度选择器的示意图，在一半径为R ＝10 cm 的圆柱形桶内有B ＝10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔．粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子源发射比荷为qm ＝2×1011 C/kg 的正粒子，粒子束中速度分布连续．当角θ＝45°时，出射粒子速度v 的大小是( )A.2×106 m/s B ．22×106 m/s C ．22×108 m/sD ．42×106 m/s9. 如图8所示，一半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m ，电荷量为q 的正电荷(重力忽略不计)以速度v 沿正对着圆心O 的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( ) A.m v qR tanθ2B.m v qR cotθ2C.m v qR sinθ2D.m v qR cosθ210．如图9所示装置，圆形磁场区域半径为R 1＝3×10－2 m ，其中分布垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，与磁场区域同心的圆筒半径为R 2＝23×10－2 m ，其左侧与两平行金属板MN 相邻，相邻处有一小孔，将平行板内部和圆筒内部连通．平行金属板MN 内部紧靠M 板处有一带电粒子处于静止状态，且粒子位于小孔和磁场圆心的连线上，其电荷量为q ＝＋3.2×10－19C ，质量为m ＝6.4×10－27 kg.当两金属板间电压为U 1＝225 V 时，带电粒子经过电场加速后通过磁场，速度方向偏转了π3.不计重力和一切阻力，求：图9(1)粒子进入磁场时的速度大小和磁场的磁感应强度的大小B ；(2)如果将两金属板间电压变为U 2＝25 V ，粒子再次由静止加速后通过磁场区域，求两种情况下粒子在圆筒中运动的时间差．►题组4带电粒子在交变磁场中的运动11. 显像管原理的示意图如图13所示，当没有磁场时，电子束将打在荧光屏正中的O点，安装在管径上的偏转线圈可以产生磁场，使电子束发生偏转．设垂直纸面向里的磁场方向为正方向，若使高速电子流打在荧光屏上的位置由a点逐渐移动到b点，下列变化的磁场能够使电子发生上述偏转的是()12．如图11甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：图11(1)磁感应强度B0的大小；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．1．答案B解析因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝q v B，当粒子速度与磁场平行时F＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A选项错．因为＋q改为－q且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝q v B知大小也不变，所以B选项正确．因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C选项错．因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此，洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D选项错．2．答案甲：因v⊥B，所以F＝q v B，方向与v垂直斜向上乙：v与B的夹角为30°，F＝q v B sin 30°＝12q v B，方向垂直纸面向里丙：由于v与B平行，所以电荷不受洛伦兹力，F＝0丁：v与B垂直，F＝q v B，方向与v垂直斜向上3．答案4．答案 D解析 画出带电粒子进、出磁场时速度方向的垂线交于O ′点，O ′ 点即为粒子做圆周运动轨迹的圆心，如图所示．连接O ′O ，设轨迹 半径为R ，由几何关系可知带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R ＝r tan60°＝3r .因为∠AOB ＝120°，故∠AO ′B ＝60°，运动时间t ＝16T ＝16×2πR v 0＝3πr 3v 0，D 正确． 5．答案 AD解析 设OM ＝2r 1，ON ＝2r 2，故r 1r 2＝OM ON ＝34，路程长度之比s M s N ＝πr 1πr 2＝34，B 正确；由r ＝m v qB 知v 1v 2＝r 1r 2＝34，故F M F N＝q v 1B q v 2B ＝34，C 正确，D 错误；由于T ＝2πm Bq ，则t M t N ＝12T M12T N ＝1，A 错． 例1 解析 (1)设宽度为L .当只有电场存在时，带电粒子做类平抛运动水平方向上：L ＝v 0t ，竖直方向上：v y ＝at ＝EqLm v 0tan θ＝v y v 0＝EqL m v 20当只有磁场存在时，带电粒子做匀速圆周运动，半径为R ，如图所示，由几何关系可知sin θ＝LR ，R ＝m v 0qB联立解得B ＝E cos θv 0.(2)粒子在电场中运动时间t 1＝L v 0＝R sin θv 0在磁场中运动时间 t 2＝θ2π·T ＝θ2π·2πm qB ＝θm qB所以t 1t 2＝RqB m v 0·sin θθ＝sin θθ.答案 (1)E cos θv 0 (2)sin θθ突破训练1 答案 C解析 解答本题时利用左手定则判断洛伦兹力的方向，根据平衡条件判断电场力方向及电场方向，注意运用电场力做功与电势能变化的关系，及沿电场线方向电势降低．匀强磁场的磁感应强度B 的方向沿x 轴负方向，质子沿y 轴正方向运动，由左手定则可确定洛伦兹力沿z 轴正方向；由于质子受电场力和洛伦兹力作用沿y 轴正方向做匀速直线运动，故电场力eE 等于洛伦兹力e v B ，方向沿z 轴负方向，即电场方向沿z 轴负方向，质子在运动过程中电场力不做功，电势能不变，沿z 轴正方向即电场反方向电势升高，故C 正确，A 、B 、D 错误． 例2 审题指导 1.粒子做圆周运动的圆心是O 点吗？怎样找？2．要求粒子在磁场中运动的时间，就要先找圆周运动轨迹对应的圆心角，再利用周期公式求解．解析 设带电粒子以速度v 射入磁场做圆周运动，圆心为O 1，半径为r 1，则根据q v B ＝m v 2r ，得r1＝m vqB，根据几何关系得R r 1＝tan φ12，且φ1＝60°.当带电粒子以13v 的速度射入时，轨道半径r 2＝m ·13v qB ＝m v 3qB ＝13r 1，圆心在O 2，则R r 2＝tan φ22.即tan φ22＝R r 2＝3Rr 1＝3tan φ12＝ 3.故φ22＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t ＝φ360°T ，所以Δt 2Δt 1＝φ2φ1＝21，即Δt 2＝2Δt 1＝2Δt ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 答案 B例3 解析 (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C点，如图所示，CH ＝QC ＝L 故半径r 1＝L 又因为q v 1B ＝m v 21r 1且qU m ＝12m v 21所以U m ＝qB 2L 22m.(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD 板相切于K 点，此轨迹的半径为r 2，设圆心为A ，在△AKC 中：sin 45°＝r 2L －r 2解得r 2＝(2－1)L 即KC ＝r 2＝(2－1)L所以CD 板上可能被粒子打中的区域的长度s ＝HK ，即 s ＝r 1－r 2＝(2－2)L .(3)打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以t m ＝T 2＝πmBq.答案 (1)qB 2L 22m (2)(2－2)L (3)πmBq突破训练2 答案 BC解析 利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A 错误．利用q v B ＝m v 2r 知r ＝m vqB，能射出的粒子满足L 2≤r ≤L ＋3d 2，因此对应射出粒子的最大速度v max ＝qBr max m ＝qB (3d ＋L )2m ，选项B 正确．v min ＝qBr minm＝qBL 2m ，Δv ＝v max －v min ＝3qBd 2m ，由此式可判定选项C 正确，选项D 错误． 突破训练3 答案 (1)4.19×10－6 s (2)2 m 解析 (1)离子在磁场中做匀速圆周运动，在左、右两区域的运动轨迹是对 称的，如图所示，设轨迹半径为R ，圆周运动的周期为T 由牛顿第二定律有q v B ＝m v 2R① 又T ＝2πR v② 联立①②得：R ＝m vqB③ T ＝2πm qB④ 将已知数据代入③得R ＝2 m⑤由轨迹图知tan θ＝r R ＝33，即θ＝π6则全段轨迹运动时间t ＝2×2θ2πT ＝T3⑥联立④⑥并代入已知数据得t ＝2×3.14×3.2×10－263×1.6×10－19×0.10s ＝4.19×10－6 s (2)在图中过O 2向AO 1作垂线，联立轨迹对称关系知 侧移距离d ＝2r sin 2θ 将已知数据代入得d ＝2×233sin π3m ＝2 m子偏转 半径范围为d2例4 解析 (1)电子能从第三象限射出的临界轨迹如图甲所示．电<r <d由e v B ＝m v 2r 得v ＝eBrm故电子入射速度的范围为eBd 2m <v <eBdm. (2)电子从(0，d 2)位置射出的运动轨迹如图乙所示．设电子在磁场中运动的轨道半径为R ，则R 2＝(R －d2)2＋d 2解得R ＝5d4由几何关系得∠PHM ＝53°由e v B ＝mR (2πT )2解得T ＝2πmeB则t ＝2πm eB ×53°360°＝53πm 180eB.(3)如图乙所示，根据几何知识，带电粒子在射出磁场区域Ⅰ时 与水平方向的夹角为53°，则在磁场区域Ⅱ位置N 点的横坐标 为3d 8 由△NBH ′可解得NB 的长度等于d ，则QA ＝d －5d8由勾股定理得H ′A ＝918d ，H ′B ＝R cos 53°＝3d4所以电子离开磁场Ⅱ的位置坐标为(d ，34d －918d )．答案 (1)eBd 2m <v <eBd m (2)53πm180eB(3)(d ，34d －918d )突破训练4答案 m v 13ed ≤B ≤2m ved解析 如图所示，靠近M 板进入磁场的电子刚好打到N 板右边缘， 对应的磁感应强度有最小值B 1，设此时轨道半径为R 1，则有 e v B 1＝m v 2R 1由几何关系得 (R 1－d )2＋(5d )2＝R 21联立解得B 1＝m v13ed靠近M 板进入磁场的电子刚好打到N 板左边缘，对应的磁感应强度有最大值B 2，此时轨道半径为R 2e v B 2＝m v 2R 2由几何关系得R 2＝d 2联立解得B 2＝2m v ed综上所述，磁感应强度B 的范围为m v 13ed ≤B ≤2m ved1．答案 A解析 由左手定则知M 带负电，N 带正电，选项A 正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且向心力F 向＝F洛，即m v 2r ＝q v B 得r ＝m vqB，因为M 、N 的质量、电荷量都相等，且r M >r N ，所以v M >v N ，选项B 错误；M 、N 运动过程中，F 洛始终与v 垂直，F 洛不做功，选项C 错误；由T ＝2πmqB知M 、N 两粒子做匀速圆周运动的周期相等且在磁场中的运动时间均为T2，选项D 错误．2．答案 BC解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，q v 0B ＝m v 20r ，所以r ＝m v 0qB ，当带电粒子从不同方向由O 点以速度v 0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r 的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O 点2r 的距离，即OA ＝2r ，落在A 点的粒子从O 点垂直入射，其他粒子则均落在A 点左侧，若落在A 点右侧则必须有更大的速度，选项B 正确．若粒子速度虽然比v 0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A 点左侧，选项A 、D 错误．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，设其半径为r ′，则r ′≥2r －d 2，代入r ＝m v 0qB ，r ′＝m vqB，解得v ≥v 0－qBd2m ，选项C 正确．3.答案 BD解析 带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据q v B ＝m v 2r 得轨道半径r ＝m vqB ，粒子的比荷相同，故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同；相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B 正确．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πmqB ，故所有带电粒子的运动周期均相同，若带电粒子都从磁场左边界出磁场，则这些粒子在磁场中的运动时间是相同的，但不同速度的粒子，其运动轨迹不同，故A 、C 错误．根据θt ＝2πT 得θ＝2πT t ，所以运动时间t 越长，运动轨迹所对的圆心角θ越大，故D正确．4．答案 (1)0 (2)π2。