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李雅普诺夫稳定判据.ppt

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李雅普诺夫稳定性的基本定理描述64页PPT

李雅普诺夫稳定性的基本定理描述64页PPT

1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。

、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。

李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件

李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样 的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法PPT课件

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法PPT课件

03.11.2020
8
三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。
证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换， 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分，而输入－输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此，系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定， 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
03.11.2020
2
本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。
李雅普ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。
此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
03.11.2020
只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
03.11.2020
1
在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性，非常方便有效。

李雅普诺夫稳定性的基本定理 PPT课件

李雅普诺夫稳定性的基本定理 PPT课件
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数。
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义
定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)<0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。

李亚普诺夫判稳第二法 现代控制理论 教学PPT课件

李亚普诺夫判稳第二法 现代控制理论 教学PPT课件

假设 V ( x) 0
V ( x) 2(1 x2 )2 x22
a.x2 (t) 0, x1任意
x2
(t )
0
x2
x2
(t ) (t )
0 0
x1 (t )
x1
(t
)
0 0
意味只有零平衡状态才满足。
b.x2 (t) 1, x1任意
x2
(t
)
1
x2 x2
(t (t
) )
1 0
由判据3，系统在零平衡状态是不稳定的。
2021年4月30日
第5章第19页
例5.18 分析此系统的稳定性。
解1）求平衡状态
xe1 xe2
0 0
2）选择能量函数
0 x 1
1 1 x
a.V ( x) 2x12 x22 0 V ( x) 4x1x1 2x2x2 4x1(x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x22,不定
2021年4月30日
第5章第18页
例5.16分析系统的稳定性。
x
Ax,
A
1 1
1 1
解1）求平衡状态
2）选择能量函数
xe1
xe
2
0 0
V ( x) x12 x22 0 V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2(x12 x22 ) 0
x1 (t )
R L
x1 (t )
1 L
x2 (t)
iR L
x2 (t)
1 C
x1 (t )
u
Cy
y(t) x2 (t)
电容能量 电感能量
T
Q2 2C
1 2

稳定性与李雅普诺夫方法幻灯片PPT

稳定性与李雅普诺夫方法幻灯片PPT

三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
四、对李亚普诺夫函数的讨论
一、 李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路
► 由于系统的复杂性和多样性，一般不容易到 一个能量数来描述系统的能量关系；
► 李亚普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作
为虚构的广义能量函数，根据
•
V(x)dV (x)/dt
的符号特征来判断系统的稳定性；
►李亚普诺夫函数：对于一个正定的标量函 数V(x)，V• (x) 是负定的，则这个系统是稳定的。 这个 V(x) 叫做李亚普诺夫函数；
●经典控制理论中对控制系统稳定性判据 劳斯判据、胡维茨判据、奈奎斯特稳定性判据等。 对于非线性系统和时变系统，经典控制理论的这些判据方法就
李亚普诺夫第一法(间接法) 通过求解系统解微分方程，然后根据解的性质来判断系统稳定 性。
李亚普诺夫第二法（直接法） 特点是不解系统微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性，此方法可用于线性系统，也可 用于非线性系统，可用于定常系统，也可用于时变系统。特别试用 于那些难于求解微分方程的非线性系统和时变系统。该方法是本章 论述的重点。
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
－
三、几种稳定性判据
三、几种稳定性判据
4-2 李雅普诺夫第一法(间接法)
非线性系统的稳定性判据：
4-2 李雅普诺夫第一法(间接法)

第4章 稳定性和李雅普诺夫方法PPT学习课件

a）常取Q=I b) 若 V[x(k)] 沿任一解序列不恒为0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
20
例 试确定系统

x1(k x2 (k
1) 1)

0 0.5
0.5 x1(k)
1


x2
(k
)

在原点的稳定性
解:在李雅普诺夫方程中,取 Q I , 得
称矩阵P，使得 AT P PA 0 。
结论：任意给定实对称Q>0，若存在实对称P>0， 满足李雅
普诺夫方程 AT P PA Q， 则可取
V (x) xT Px
为李雅普诺夫函数。
（2）
5
应用：
1）先选取一个正定矩阵Q 2）代入李雅普诺夫方程 AT P PA Q ，解出P 3）希尔维斯特判据判定P的正定性 4）判断系统的稳定性

1
4
13
J

xT
(0)Px(0)

(

1 4
)
x12
(0)

x1(0)x2 (0)
1 4
x22 (0)
将 x1(0) 1, x代2 (0入) 上0式，知
J 。 1
4
再令 J 0, 于是得 * 1

2
14
4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为：
AT P PA I
a）常取Q=I b) 若 V(x) 沿任一轨迹不恒等于0，那么Q可取为半正定 c) 上述判据是充要条件
6
7
8
9
10
利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题

第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件

第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性，能测性一样，均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说，稳定性是指系统在扰动消 失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能， 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1（李雅普诺夫稳定性的基本定理） 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步，若 V ( x , t ) 还满足： (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动，令输入 u 0 ，系统的齐次状态方程
•
为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统（5-1）在n维状态空间的运动轨线。
在式（5-1）所描述的系统中，存在状态点 x e ，当系统运动
到该点时，系统状态各分量维持平衡，不在随时间变化，即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法：利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法：无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0，使得当 x0xe (,t0)时，系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足

《Lyapunov稳定性》PPT课件


f
(xe 2!
)
(x xe )2
雅可比矩阵
例f
(x)
f1 ( x1 , f2 (x1,
x2 x2
) )
f1
则f
(xe
)
x1 f 2
x1
f1 x2 f 2 x2 x1 x1e
A
x2 x2e
Example
分析系统在其平衡态的稳定性
x2
x1 x2 2 sin x1 3x2
b
[解]先求平衡态，然后求雅可比矩阵，最后解
如果条件（3）中的符号反向，则称V(x)是 负定的（负半定的）。若可正可负，则称不定 的。
Example
（1）V (x) x12 x22，正定的
（2）V (x) x1 x2 2，正半定的（半正定的）
（3）V (x) x12 2x22，负定的
（4）V (x) 3x1 x2 2，负半定的（半负定的）
V x1
V x2
x
2x1
2x2 x 2(x12 x22 )2
容易知道V(x)正定而V (x)负定，且满足
lim V (x) lim x 2 ，故系统大范围渐进稳定
• 稳定性回顾与准备知识 • 李雅普诺夫意义下的稳定 • 李雅普诺夫第一方法（间接法） • 李雅普诺夫第二方法（直接法）
Rev稳iew定与不稳定
临界稳定
Rev全iew局稳定、局部稳定、不稳定
全局稳定（大范 围稳定）
局部稳定 对于线性系统，局部稳 定全局稳定
不稳定
Review
正常工作要求系统是稳定的
xe
A HC
K
状态变换后闭环系统方程
x A BK BK x B
x e

李雅普诺夫稳定性理论PPT课件


b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0

2 0 x
0 xe3 1

0 xe2 1
=f(x,t)的解为 x(t , x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：

xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax xR x a.线性系统
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
4）判
正负半定 ( x, t ) 0 ? V x0 V
( x, t ) 0 反设 V 0 李氏意义下的稳定 若x 0,V 0, 渐近稳定 若 x 0 , V
1 x2 x1 ( x1 x2 ) 试用李氏第二法判稳 eg1.x 2 x1 x2 ( x1 x2 ) x
1 2 2
且 lim x(t , x0 , t0 ) xe
t 0
t t0
则称 xe 是李氏意义下的稳定。
与t0无关 一致稳定
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t , x0 , t0 ) xe 0 2） lim t
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
0
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个 实数 ( , t0 ) 0 满足 x0 xe ( , t0 )
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例4.13 非线性系统的状态方程为


x1 x 2

x2

x1 (x12

x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
取Q=I，P

P11

P12
P12
P22

,代入

T
得
0 1
1 P11

1

P12
P12 P22


P11

P12
P12 0
P22


1
1 1

10
0 1
P12

P11

P12
P12
P22 P22
不恒等于0，V (x) 也不恒等于0，因此， 系统平衡状态是大范围渐进稳定的。
李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可
取 则
V ( x)

1 2
[( x1
x2 ) 2
2 x12

x
2 2
]
V (x) (x1 x2 )(x1 x 2 ) 2x1 x1 x2 x 2
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
=－( x12

2
x
2 2
)是负定的；
4）V (x) = - (x1 x2 )2 是半负定的；
塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为
1 P11
2

P11 P21
P12 P22
P11
…… n
P21
Pn1
P12 P22

Pn 2

P1n
P2n
Pnn ( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所 有主子行列式为正，即:
1 0 2 0 …… n 0
式 中 ,P 为 正 定 的 实 对 称 阵 . 对 于 离 散 系 统 . 采 用
差分 :
V[x(k)] V[x(k 1)]V[x(k)]
代替 V (x) ，则 V[x(k)] xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k)
xT (k)AT PAx(k) xT (k)Px(k)
5）V (x) = x1x2 x22 是不定的，
因为当 x1 0 ， x2 0 时，V (x) 0 ，而 当 x1 x2 0 ， x2 0 时，V (x) 0 。
2．二次型标量函数及其正定性条件
若
P11 P12 P1n x1
V (x) xT Px x1
(x1 x2 )(x1) 2x1x2 x2 (x1 x2 )
( x12 x22 )
因 此 ， 是 V (x) 负 定 的 。 又 因 为 当 x ,V (x) ，所以，系统是大范围渐 进稳定的。
例4.15 分析系统
x1 x1 x2
xT (k)[AT PA P]x(k)
令
AT PA P Q
(4.46）
式(4.43)称为离散系统的李雅普诺夫方程。于 是:
V[x(k)] xT (k)Qx(k)
（4.47）
若Q是正定的，则 V[x(k)] 是负定的。
线性系统的李雅普诺夫稳定判据 线
性定常离散系统 x(k 1) Ax(k) 渐近稳定的充要 条件是，给定任一正定实对称阵Q，存在一个 正定实对称阵P，满足离散系统的李雅普诺夫 代数方程.
连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个 标量函数 V (x) ，对所有 x(t) 的有连续的一阶 偏导数，且V (x) 是正定的，则
当
V ( x)

dV (x) dt
为负定时,平衡状态是渐近稳定的；
当 V (x) 为负定，且 x ,V (x) 时，平衡状态 是大范围渐近稳定的；
当 V (x) 为半负定时，平衡状态是李氏意义下 稳定的；

xe2
xe1
xe1 (xe21 xe2 (xe21
xe22 ) xe22 )
0
xe1 xe1 (xe21 xe22 ) 2 0
x e1 [1
(x
2 e1

x
2 e2
)2
]

0
因为 1 (xe21 xe22 )2 0 ，所以 xe1 0 ， xe2 0 . 即系统 的平衡点为 :

4.3.3 线性连续系统的李雅普 诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据是最一般的方法， 适用于线性和非线性系统。但其主要的问题是 难以寻找李雅普诺夫函数。事实上，李雅普诺 夫稳定性理论本身没有提供构造李雅普诺夫函 数的一般方法。但对线性系统，一定可以用二 次型来构造李雅普诺夫函数。下面介绍线性系 统的李雅普诺夫函数的构造方法与李雅普诺夫 稳定判据。

x
2
x1 x2
的稳定性。
解 平衡点为 xe 0 0T ，取 V (x) x12 x22 则
V(x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) (x1 x2 ) 2(x12 x22 )
可见，V (x) 是正定的，所以，平衡点是不稳定的。
xe [xe1 xe2 ]T [0 0]T
取李雅普诺夫函数为 :
V (x) x12 x22
则
V (x)
dV (x) V

dt
x1
dx1 dt
V

x2
dx2 dt
2x1 x1
2x2 x2
将状态方程代入上式得
V(x) 2x1[x2 x1(x12 x22 )] 2x2[x1 x2 (x12 x22 )] 2(x12 x22 )
所以，P是正定的。因此，系统是（大范围） 渐近稳定的，李氏函数为:
V (x)

xT
Px

3 2
x12

x1 x2

x22
4.3.4 线性离散系统的李雅普 诺夫稳定判据
设线性定常离散系统的状态方程为:
x(k 1) Ax(k) （4.44）
取下列正定二次型函数为李雅普诺夫函数:
V[x(k)] xT (k)Px(k) （4.45）
P11

2P12 1 P12 P22
0
2P12 2P22 1
解得 , , ，则 P11

3 2
P12

1 2
P22 1
P

3 / 1 /
2 2
1 / 2
1

验证正定性：因为
P11

3 2

0
P11
P12
3/ 2
P12 P22 1 / 2
1/ 2 5 0 14
当 V (x) 是半负定的，V (x) 不恒等于0时，平 衡状态是大范围渐近稳定的；
当 V (x) 为正定时，则平衡状态是不稳定的。
标量函数称为李雅普诺夫函数。
离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线
性离散系统
x(k 1) f (x(k)) f (0) 0
(4.37)
若存在一个连续的标量函数 V (x) , V (0) 0 ,对任
V (x, t) xT (t)Q(t)x(t)
(4.42)
若Q是正定的，则 V ( x) 是负定的。
因此，满足式（4.41）的实对称矩阵所构成的正定二
次型函数 V (x, t) ，是线性连续系统的李雅普诺夫函 数。
线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线
性系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实 对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使 得李雅普诺夫矩阵微分方程成立。
可见，V (x) 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平 衡状态是渐进稳定的。又因为时 x ，V(x) ，所以 是大范围渐进稳定的。

例4.14 线性系统的状态方程为


x 2
x1 x2 x1 x2
判别系统稳定性。
解：(0,0) 是唯一的平衡点。取 V (x) x12 x22 ，则
(4.34)
二次型标量函数 V (x) 为负定的充要条件是矩 阵P的各阶主子式满足：
i =
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f (x, t)
(4.36)
不 失 一 般 性 , 设 系 统 的 平 衡 状 态 为 xe 0。 如 果 xe 0，可以通过 X x xe 变换为零。
步骤，应是先取一个正定的实对称阵Q，然后 根据式（4.43）解出P，最后检验P的正定性， 即可确定系统的稳定性。由于Q阵可以任意指 定，而判断结果与Q阵的具体选择无关，为简 化计算通常取Q=I 。
例4.16
系统的状态方程为
x

0 1
1 1 x
，分析系统
的稳定性。
A P PA Q 解
xT (t)AT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)A(t)x(t)