沪科版九年级数学上册 二次函数与一元二次方程教案

二次函数与一元二次方程教学目标1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)教学过程一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点．故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围)若函数y ＝mx2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，根据二次函数与x 轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点．当m ≠0时，Δ＝(m ＋2)2－4m(12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2；当m ＝0时，原函数是一次函数，图象与x 轴只有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．故选D.方法总结：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，当b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点，当b2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点，当b2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数图象与x 轴的交点坐标与一元二次方程根的关系已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为________．解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x ＝3，y ＝0是该函数的一组对应值．将x ＝3，y ＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m ，解得m ＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.方法总结：本题先求出m 的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解．也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)．根据抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3.探究点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根(精确到0.1)． 解析：对于y ＝－x2＋2x －3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x －3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25因此x≈－1.4是方程的一个实数根；(2)另一个根可以类似地求出：x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 x≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．三、板书设计二次函数与一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧1.与x轴交点的情况判断2.确定一元二次方程的解和解的情况、确定对称轴和字母系数的取值范围教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．。

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。

这部分内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上进行的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

教材通过具体的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于如何将二次函数与一元二次方程结合起来，以及如何运用二次函数的性质来解决实际问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过具体的例题和练习题，让学生学会如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握一元二次方程的解法，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法：通过探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解法。

2.教学难点：如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设计富有挑战性的问题，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系；通过具体的案例，让学生学会如何运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题；通过小组合作学习，培养学生合作意识和创新精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备课堂讨论和小组合作学习的时间和空间。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。

第21章二次函数与反比例函数21．3二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程课题21.3二次函数与一元二次方程授课人教学目标知识技能1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．数学思考通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．问题解决能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系．情感态度通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．教学重点掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解．教学难点理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．授课类型新授课课时(续表)教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.一元二次方程的一般形式是2＋＋c＝0(a≠0)，其根的判别式是2－4，求根公式是＝．2．二次函数的一般式是＝2＋＋c(a，b，c是常数，a≠0)，顶点坐标是．3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是直线x＝－1，开口方向是向上，顶点坐标是(－1，－5)．4．抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)．5．已知抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，并且经过点(0，1)，则抛物线所对应的函数表达式为＝－x2＋1．师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结．通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学知识，为学好本节课的新知识做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】问题：如图21－3－6所示，以40 m的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？(2)球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多长时间？从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.图21－3－6师生活动：教师进行引导，飞行高度h与飞行时间t 的表达式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程即可求解．让学生完成解答过程，教师巡视指导．活动二：实践探究交流新知1.探究新知活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程：(1)解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝01＝1，t2＝3.当球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.(2)解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝01＝t2＝2.当球飞行2 s时，它的高度为20 m.(3)不能．理由：解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.因为16－4×4.1<0，所以此方程无解，所以球的飞行高度不能达到20.5 m.(续表)活动二：实践探究交流新知(4)解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝01＝0，t2＝4.当球飞行0 s和4 s时，高度均为0 m，即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面，所以球从飞出到落地要用4 s.教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值．活动二：画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案．问题提示：(1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；(2)教师巡视指导，与学生合作、交流；(3)教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；(4)学生小组讨论、交流、总结二次函数与一元二次方程的关系．图21－3－7活动三：思考：二次函数y＝x2＋x－2；y＝x2－6x＋9；y＝x2－x＋1.(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？师生活动：教师展示二次函数的图象，学生观察图象，展开讨论，并回答问题．(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1.(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．教师总结：一般地，如果二次函数y＝2＋＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2＋＋c＝0的根．2．归纳总结通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论，进行总结：一般地，从二次函数y＝2＋＋c的图象可知，(1)如果抛物线y＝2＋＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是1.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便2．设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联．系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程2＋＋c＝0的一个根．(续表)活动二：实践探究交流新知(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．因为作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根一般是近似的．3．提升归纳问题：(1)观察二次函数y＝x2－6x＋9和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况．(2)二次函数y＝2＋＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程2＋＋c＝0的根有什么关系？师生活动：师生共同讨论总结：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；当Δ<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．3.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形结合带来的方便.活动三：开放训练体现应用【应用举例】图21－3－8例1利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．师生活动：教师引导学生做出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生进行计算．解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象．它与x轴的交点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异．通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用所学知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生一题多解的能力和思维的灵活性，又培养了学生深层次的思维能力.【拓展提升】例2已知抛物线y＝2＋(3－2m)x＋m－2(m≠0)与x由抛物线与x轴的交点个轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1，1)是否在该抛物线上．师生活动：学生自主解答后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理数逆向求函数表达式中的字母系数的取值范围，进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识，提升学生灵活运用知识的能力.(续表)活动四：课堂总结反思【达标测评】1．二次函数y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)，两个交点间的距离为4．2．抛物线y＝x2－2x－8与x轴有2个交点．3．若抛物线y＝x2－4＋4的顶点在x轴上，则b＝±1.4．二次函数y＝2＋＋c的值永远为负值的条件是(D)A．a>0，b2－4<0B．a<0，b2－4>0C．a>0，b2－4>0 D．a<0，b2－4<0学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.【课堂总结】1．课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获，有哪些进步，还有哪些困惑．教师总结：抛物线与x轴的交点问题有三种情况，分别是有两个交点、有一个交点、没有交点，主要判定方法可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定．2．布置作业：教材P33的练习．小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，教师做好点评.②[讲授效果反思]教师引导学生注意以下几点：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即把已知坐标代入；（2）抛物线与x轴交点个数可通过计算b2－4进行判断.③[师生互动反思]教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质。

21.3二次函数与一元二次方程第一课时教学目标：知识与技能：1、理解二次函数y=ax2 +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程Ax2 +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根2、知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况.过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重点、教学难点：重点如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系.难点让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤.教学方法与教学手段：教学方法采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学手段为了使学生的活动更加充分有效，增强教学直观性，利用多媒体、来辅助教学教学过程：一、复习1、一元二次方程x2-2x-3=0的根为：。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。

当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。

3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2活动方式：学生回答，复习巩固已学知识.二、创设问题情境,引入新课师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.三、活动探究二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?师：还请大家先讨论后解答.答：(1)二次函数y= x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y= x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y= x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象和性质的基础上进行学习的，主要让学生通过探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程的知识。

教材通过实例引导学生探究，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但是，对于如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

2.学会运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。

3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

2.难点：如何运用二次函数的图象来解决一元二次方程的问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际操作，探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。

2.准备计算机和投影仪等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题：二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

2.呈现（10分钟）利用课件呈现二次函数的图象，引导学生观察图象，发现图象与一元二次方程的解之间的关系。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，运用二次函数的图象来解决一些一元二次方程的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系。

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。

本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。

因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。

2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。

六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。

3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。

4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。

21.3 二次函数与一元二次方程教学目标1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化．2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法．教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用．教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1．x为何值时，y＝0?2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？推进新课一、合作探究【问题1】画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？教学设计：1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并画出函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)．5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．【问题2】画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点；②有一个交点；③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的c＞(1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0.(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？【问题4】想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．【问题5】利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)．方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围．观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7.方法二：观察图象发现，当自变量为2时，函数值小于0；当自变量为3时，函数值大于0，抛物线是一段连续曲线，所以在2和3之间的某个值，函数值为0，即在2和3之间有根．采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5与3之间有一个根；将2.75代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5与2.75之间有一个根；……最后确定这个根大约是2.7.采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7.点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导，理清思路．二、应用示例【例1】如图所示，(1)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝0的根是多少？(2)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝3的根是多少？(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是什么？(4)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝k 有两个根，则k 的取值范围是什么？解：根据图象知：(1)方程－x 2＋2x ＋3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3.(2)方程－x 2＋2x ＋3＝3的两根为x 1＝0，x 2＝2.(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是0＜x ＜2.(4)k 的取值范围是k ＜4.点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．【例2】 已知抛物线y ＝x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k .(1)求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点；(2)当k ＝0时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．分析：(1)证明方程x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k ＝0有两个不相等的实数根即可．(2)通过解方程，求值即可．点拨：(1)注意利用b 2－4ac 的值――→判断二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况――→判断y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的个数．(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法．三、巩固提高1．抛物线y ＝－x 2＋2kx ＋2与x 轴交点的个数有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对2．小强从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c ＞1；(3)b ＞0；(4)a ＋b ＋c ＞0；(5)a －b ＋c ＞0.你认为其中，正确信息的个数有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与y ＝－x 2＋3x ＋2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为__________．4．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－1,0)和B (2,0)，当y ＜0时，x 的取值范围是__________．5．抛物线y＝x2－6x＋8与x轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程x2－6x＋8＝0的根．6．已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．本课小结1．所学知识：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系．当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解．2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实际上是二次函数y＝ax2＋bx＋c中y＝0时的一种特殊情有一个交点实根奥赛链接已知点A ，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋3的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是__________．解析：分两种情况：(1)因为二次函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋3的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a －3)×1＋3]×[22＋(a －3)×2＋3]＜0.解得－1＜a ＜12-. 由12＋(a －3)×1＋3＝0，得a ＝－1，此时x 1＝1，x 2＝3，符合题意； 由22＋(a －3)×2＋3＝0，得a ＝12-，此时x 1＝2，x 2＝32，不符合题意．(2)令x 2＋(a －3)x ＋3＝0，由判别式Δ＝0，得a ＝3±当a ＝3＋x 1＝x 2＝a ＝3－x 1＝x 2题意．综上所述，a 的取值范围是－1≤a ＜12-或a ＝3－答案：－1≤a ＜12-或a ＝3－。

沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计3一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。

本节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过举例说明了二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用，以及如何利用二次函数解决最值问题、平衡问题等。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对二次函数有了初步的认识。

但学生在实际应用二次函数解决生活中的问题时，往往会因为情境复杂而难以入手。

因此，本节课需要帮助学生建立二次函数与实际问题之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用；2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用；2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，从而解决问题；3.小组讨论法：让学生在小组内讨论问题，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例材料；2.准备多媒体教学设备；3.准备练习题和作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的基本概念、图像和性质。

然后提出本节课的主题：二次函数在实际生活中的应用。

2.呈现（15分钟）教师展示几个实际问题，如抛物线形的跳板、抛物线形的电信塔等，让学生尝试将这些实际问题转化为二次函数问题。

教师引导学生分析问题，找出关键参数，列出二次函数关系式。

3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立解决。

题目包括利用二次函数解决最值问题、平衡问题等。

教师在课后批改学生的练习题，了解学生的掌握情况。