椭圆与向量(精选.)

向量与椭圆结合的解题通法一、向量与椭圆的结合向量与椭圆的结合，主要体现在椭圆的几何性质和向量的几何特性上。

椭圆是一种常见的平面图形，具有丰富的几何性质和运动特性。

向量则是一种具有方向和大小的量，可以用来表示物体的位置和运动。

将向量与椭圆结合起来，可以研究椭圆的各种性质和运动，为解决相关问题提供新的思路和方法。

二、椭圆的向量表示椭圆的向量表示方法有多种，其中比较常用的有：1.焦点法：以椭圆的两个焦点为端点，连接而成的向量表示椭圆的焦点位置和大小。

2.中心法：以椭圆中心为起点，连接椭圆上任意一点的向量表示椭圆的中心位置和大小。

3.方向法：以椭圆上任意一点为起点，沿椭圆轨迹方向引出的向量表示椭圆上该点的位置和运动方向。

三、向量在椭圆上的作用向量在椭圆上的作用主要有：1.描述椭圆上的点的位置和运动状态；2.表示椭圆上的点的速度和加速度；3.研究椭圆上的点的轨迹形状和变化规律；4.分析椭圆上的点的受力情况和运动规律。

四、向量与椭圆的关系向量与椭圆的关系主要体现在：1.向量的大小与椭圆的大小有关；2.向量的方向与椭圆的长轴和短轴有关；3.向量的起点和终点分别对应椭圆的中心和焦点；4.向量的变化与椭圆的变化有关。

五、向量在椭圆运动中的变化当一个物体在椭圆轨迹上运动时，其位置向量将发生相应的变化。

具体来说：1.如果物体沿椭圆轨迹做匀速运动，则其位置向量的长度将保持不变，但方向会不断变化；2.如果物体沿椭圆轨迹做变速运动，则其位置向量的长度和方向都会不断变化。

这时，可以通过求解位置向量的变化率来得到物体的速度和加速度。

六、向量与椭圆的方程的关系椭圆的方程与向量的关系主要体现在：1.椭圆的标准方程可以转化为向量的数量积方程；2.通过向量的数量积运算可以求出椭圆上的点的坐标；3.向量的模长可以表示椭圆的大小，向量的方向可以表示椭圆的长轴和短轴。

七、向量在判断椭圆形状中的作用利用向量可以判断椭圆的形状，具体方法如下：1.根据向量的数量积方程求出椭圆上任一点的坐标；2.根据该点的坐标计算出长短轴的值；3.根据长短轴的值判断出椭圆的形状（如扁圆、圆、竖圆等）。

椭圆中的向量问题一、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．1．向量的数量积问题记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+（l 不经过椭圆的顶点）和椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个交点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 计算过程可分为以下三步：I ．写出向量的坐标（末-初），并将PA PB ⋅u u u r u u u r表示成()1212,f x x x x +的形式 ()()()()11221122,,,,PA PB x t y x t y x t kx m x t kx m ⋅=-⋅-=-+⋅-+u u u r u u u r()()()()22212121k x x km t x x m t =++-+++······① II ．联立直线l 和椭圆，得出()121,x x f k m =，()122,x x f k m +=；联立222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，得()()2222222220a k b x kma x a m b +++-=， 则2122222kma x x a k b +=-+，()22212222a m b x x a k b -=+，III ．将12x x +，12x x 代入①式中，得到(),PA PB g k m ⋅=u u u r u u u r ，将PA PB ⋅u u u r u u u r转化为含,k m 的式子∴PA PB ⋅u u u r u u u r ()()()()222222222222221a m b kma k km t m t a k b a k b-=+--⋅++++其中I 、II 两步可以互换顺序基础练习：请按照以下条件作答1．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，（1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （2）已知点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；2．若斜率为k 的直线l 经过点()0,2与椭圆22132x y +=交于A B 、两点（注意0∆>）， （1）若点O 为原点，请写出OA OB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （2）若点()1,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式； （3）若点()2,0P ，请写出PA PB ⋅u u u r u u u r关于斜率k 的关系式；1.1 求向量数量积的问题（给出点P 的坐标）例1：已知椭圆C ：22143x y +=，直线l 经过C 的右焦点F 与椭圆交于A B 、两点，点()3,0P ． （1）写出PA PB ⋅u u u r u u u r 关于直线l 的斜率k 的关系式；（2271543k PA PB k +⋅=+u u u r u u u r ）（2）若227PA PB ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）（3）若2OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的值；（22k =，2911PA PB ⋅=u u u r u u u r ）（4）求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围；（7,54PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（5）若247AP PB +u u u r u u u r ≤，求PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围；（21k ≥，522,47PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r ）（6）记D E 、分别为椭圆C 的左右顶点，①．若907AD EB AE DB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（1y x =±-）②．求AD EB AE DB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的取值范围．（21,162AD EB AE DB ⎡⎤⋅+⋅∈⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ）练习1.11．已知椭圆2214x y +=的离心率e =，若直线l ：y kx =+点A B 、且2OA OB ⋅>u u u r u u u r，求k 的取值范围．2．已知椭圆22132x y +=的左焦点为F ，设A B 、分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C D 、两点.，若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r，求k 的值．1.2 动点分析问题（直线l 过椭圆顶点的问题）以l 经过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -为例．设l ：()y k x a =+且l 过点A 与椭圆交于点()22,B x y ，联立()222222y k x a b x a y a b ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得()222224422220a k b x k a x a k a b +++-=， ∴4222122222a k a b x x ax a k b -=-=+，得2322222ab a k x a k b -=+，222222ab k y a k b =+，即点23222222222,ab a k ab k B a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 动点分析问题的过程如下： I ．分析问题中涉及的动点；II ．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k 表示出问题中所涉及的动点坐标； III ．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k 表示出来； IV ．将向量的数量积运用含k 的式子表示出来．例2：如图，椭圆E ：2214x y +=，记A B 、为椭圆的左右顶点，点C 为椭圆的上顶点，直线l 经过点C 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 相交于点Q ．当点P 异于点B 时．（1）记k 为直线l 的斜率，用k 表示点P D 、的坐标；（2221814,0,4141k k P D k k k ⎛⎫-⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、） （2）用k 表示出BD l 的斜率；（2142BD k k k +=--） （3）用k 表示出点Q 的坐标；（()4,21Q k k -+）（4）用k 表示出OP u u u r、OQ u u u r 的坐标，并求OP OQ ⋅u u u r u u u r ．（1,0OP k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()4,21OQ k k =-+u u u r ，4OP OQ ⋅=u u u r u u u r）练习1.2：1．已知椭圆C :2212x y +=，若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线l 与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅u u u r u u u r（1）用直线l 的斜率k 表示点A 的坐标；（2）用含k 的式子表示BA u u u r 的坐标，同时表示出BF u u u r的坐标； （3）用含k 的式子表示BA BF ⋅u u u r u u u r，构建方程()2f k =；（4）解出k 的值，写出直线l 的方程.2．已知椭圆2212x y +=若C D 、分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．（1）记直线CM l 的斜率为k ，用含k 的式子表示出点M 的坐标； （2）用含k 的式子表示出点P 的坐标；（3）用含k 的式子分别表示出OP u u u r 、OM u u u u r的坐标； （4）证明OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值．3．已知椭圆2214x y +=，点()2,0A -，设直线l 过点A 与椭圆交于另一点B ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=u u u r u u u r ，求0y 的值． （1）设直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示点B 的坐标；（2）用含k 的式子表示出AB 的中点坐标，并写出AB 的中垂线方程； （3）用含k 的式子表示出点Q 的坐标； （4）用含k 的式子分别表示出QA u u u r，QB u u u r ；（5）运用()4QA QB f k ⋅==u u u r u u u r，求直线l 的方程，并求出点Q 的坐标．2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题2.1 直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．记点(),0P t 是x 轴上的一点，()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+和椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个交点，由之前的讨论可知， ()()2222222222222212a b m a b k kmta PA PB t a k b a k b +-+⋅=++++u u u r u u u r ，若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r．例3：如图，记A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点，12F F 、为椭圆的两焦点，12B B 、分别为12OF OF 、的中点，12AB B △是面积为4的直角三角形．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）过点1B 作直线l 与椭圆相交于P Q 、两点，若22PB QB ⊥，求直线l 的方程． 练习2.11．已知椭圆C ：2212x y +=，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，若过点2F 的直线l 与椭圆C相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥u u u r u u u r，求直线l 的方程．2．已知椭圆G ：2212x y +=，短轴上、下顶点分别为A B 、，若C D 、是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线BC 与x 轴交于点M ，判断以线段MD 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．如图，已知椭圆22142x y +=，设点P Q 、分别是椭圆和圆O 上位于y 轴两侧的动点，若直线PQ 与x 轴平行，直线AP BP、与y 轴的交点记为M N 、，试证明MQN ∠为直角.2.2 角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系①．若90APB ∠<o ，则cos 0APB ∠>，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠>u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆外②．若90APB ∠=o，则cos 0APB ∠=，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆上③．若90APB ∠>o，则cos 0APB ∠<，即cos 0PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠<u u u r u u u r u u u r u u u r点P 在以AB 为直径的圆内2.2.1 角度判断例4：记12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A B 、，且AOB ∠为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．练习2.2.11．已知点F 是椭圆22143x y +=的右焦点，O 为坐标原点，设过点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若222OA OB AB +<，求k 的取值范围．2．设A B 、分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：M BP △为钝角三角形．2.2.2 点与圆的位置关系问题例5：已知椭圆E ：22142x y +=，设直线()1,x my m R =-?交椭圆E 于A B 、两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．练习2.2.21．已知椭圆22132x y +=，直线l 经过椭圆右焦点F 与椭圆相交于A B 、两点，试判断点(2,0)M 与以AB 为直径的圆的位置关系．2．已知椭圆C ：2214x y +=，A B 、为C 的左右顶点，直线l 经过点B且l x ⊥轴，点P 是C 上异于A B 、的任意一点，直线AP 交直线l 于点Q ．（1）记12k k 、分别为直线OQ BP 、的斜率，证明12k k ⋅为定值； （2）当点P 运动时，判断点Q 与以BP 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．3．向量线性运算问题向量的共线问题有很多种出题的模式，在这里我们只讲解最简单的一种模型——椭圆内的平行四边形问题．记点()()1122,,A x y B x y 、是直线l ：y kx m =+与椭圆()222210x y a b a b +=>>的两交点，点()33,P x y 在椭圆上，且四边形OAPB 为平行四边形，如下图．联立22221y kx mb x a y =+⎧⎨+=⎩，得()()2222222221a k b x kma x a m b +++-=， ∴2122222kma x x a k b +=-+，()2122222222b my y k x x m a k b+=++=+， 再由平行四边形的性质可得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，∴312x x x =+，312y y y =+，则点2222222222,kma b mP a k b a k b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 将点P 代入椭圆中可得()()22442222222222214141k m a b m a b a k b a k b ⋅+⋅=++，即222241m a k b=+，得22224=+m a k b ． 在椭圆方程已知的情况下（1）当直线l 过定点，或直线斜率确定，我们可以求出直线的方程；（2）若直线l 不过定点，也未知直线斜率，我们可以得到,k m 的关系，结合0∆>，我们可以求出OP 、AB 、点O 到直线l 的距离d ，AOB △或平行四边形OAPB 的面积等几何量的取值范围．（3）若点P 在以OA OB 、为邻边的平行四边形的对角线上，则OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r，可以得出()3121x x x λ=+，()3121y y y λ=+，进而得到222224=+m a k b λ，这也是一个很有用的结论．例6：已知椭圆C ：22132x y +=，直线l 经过点()0,1P 交椭圆于A B 、两点，以OB OA 、为邻边做平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点． （1）验证当直线l 斜率k 不存在时，是否存在这样的点P ； （2）记直线l 的斜率为k ，用含k 的式子表示12x x +，12y y +； （3）由OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，将点P 的坐标用含k 的式子表示；（4）将点P 代入椭圆方程，得到方程()1f k =； （5）解方程，求出直线方程． 练习3：1．已知椭圆C ：22132x y +=，点F 为椭圆的右焦点，则椭圆上是否存在点P ，使得当l 绕点F 转动到某一位置时，四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标和直线方程；反之，请说明理由．2．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 过点()2,0M 与椭圆相交于A B 、两点，P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r，当PA PB -<u u u r u u u r t 的取值范围．3．如图，已知椭圆E ：2214x y +=，斜率为k 的直线l 经过椭圆的左焦点F 与椭圆交于A B、两点，直线'l ：40x ky +=与椭圆E 交于C D 、两点，点M 是线段AB 的中点． （1）证明：点M 在直线'l 上；（运用点差法即可证明） （2）已知3BDM ACM S S ∆∆=； （i ）证明：3DM CM =；（ii ）证明四边形OACB 是平行四边形； （iii ）求直线l 的方程．。

设 A (x1 , y1 ), B (x2 , y 2 ), 则由韦达定理知
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高中数学教与学 2006 年
1 令 m =2 k2 + 2 , 则 k m ≥ 4, S = 8 +2m 2 =2 . 5+ m 5+ m 16 16 ,故 ≤S <2. 9 9
2 1 4(1 +k ) 1 + 2 k = 2 1 (2 +k ) 2 + 2 k
(2)求点 T 的轨迹 C 的方程 ; (3)试问 : 在点 T 的轨迹 C 上 , 是否 存在 点M , 使 F 1MF 2 的面积 S =b . 若存在 , 求出
2
∠F 1M F 2 的正切值 ; 若不存在 , 说明理由. 分析 (1)取 P (x , y ), 则椭 圆的左 准线 a 方程为 x + =0. c 由椭圆的第二定义知 , | F 1P | a x+ c
2 2
1 2 k = . 1 5 +2 k2 + 2 k 8 +4 k2 +
=
c , a
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第 10 期 高中数学教与学
c | F 1P |= a + x . a c 由 x ≥- a , 知 a + x ≥ - c +a >0. a c ∴| F 1P | =a + x . a (2)设 T (x , y ) . 当 | PT | =0时 , 点 (a, 0)和 (- a, 0)点在 轨迹上 ; 当 | PT | ≠ 0且 TF 2 ≠ 0时 , 由 PT TF 2 = 0 知 PT ⊥ TF 2. 又因 | PQ |= | PF 2 | , 所以 T 为线段 F 2Q 的中点. 设 Q 的坐标为 (x′ , y′ ), 则有 x′ +c x = , 2 y = y′ ; 2 求得 x ′=2x - c, y ′=2y. + | BF | 为定长 , 并求出点 E 、F 的坐标及点 B 的轨迹方程. (2)设 P 为点 B 轨迹上任意一点 , 点 M 、N 分别 在 射 线 PA 、PC 上 , 动 点 Q 满 足 PQ = λ PM PN (λ > 0), 经过 点 A 且 以 | PM | | PN |

向量点乘类1、在直角坐标系中，点尸到两点的距离之和等于4,设点尸的轨迹为a 直线j ■二丘+1与C 交于，『两点.（i ）写出c 的方程；⑵ 山 而，求k 的值.【解析】（i ）设网抽回，由椭圆定义可知，点尸的轨迹c 是以@ 为焦点,长半轴为2的椭圆，它的短半轴b =音-郃丫 =1 ,故曲线C|的方程为x z+ -- - 1 .■ A j 4（2师明:设义工“i）冏孙丁：），其坐标满足" = 消去J 并整理，得+比一 3=。

故…=-£$"=-/.山—丽即必=0,而江二囱LD -做+1）=-0毛+狂巧-工＞1 ,于3 3 后 2M.eXj JC 、十 11： IX — — z = : 二- 1 - 1 =。

是一”… 1+4 V+A ，解得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系2、已知椭圆二十L的方程；（2）若过点C （-1, 0）且斜率为图的直线，与椭圆相交于不同的两点工上,试问在工轴上是否存在点U ,使正工，通 —是与f 无关的常数？若存3V + 1在，求出点n 的坐标；若不存在，请说明理由1g … 0）的离心率为也.，且过点（0Q . （1）求椭圆帮 £=在t 【解析】(1) :椭圆离心率为3 ,3 ,/ 5.1分又.・椭圆2 . 1 .；/.5 b :--过点(虎，1),代入椭圆方程，得了一亍一二所以1 "：用.4分」•椭圆方程为延十—— 设在x 轴上存在点M (m,0),使 3k一 一 1是与k 无关的常数，;直线L 过丁+3厂=5, r . Y点C (-1, 0)且斜率为K, 方程为¥ =如叫，由b'Xc”得8MMM -5=0.设9CO ,则-6k 2 犷-5苛十五,二 ---- 1v _x 、= ------ ——丁 许+-的+1 CIA 口区...XIA - MB --；——=〔工 1 , - m] - ViV. — ———“一十1 一 , - -- jk+1仿一吨L f 升高「二3之一£ Z T 3 % —G 本 r …1 十** ———+ [k- -w - -- h 疗T 十化"十3^+1 3K+1(2)在x 轴上存在点是与K 无关的常数.证明：假凳+1-M -\-6mk"+ 3/K + m2设常数为t,则-k* - 15mli * + 3m "k' - m整理得《讪” - 5m -1 - 3 t;k= -m ” - t =。