湖北省荆州市2018届高三质量检查(III)数学(理)试题及答案解析
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荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理工农医类） 第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B = （ ） A ．3(,)2-∞ B ．(1,)+∞ C ．3(1,)2 D ．3[,3)22.若复数21(1)z m m i =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2z=（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 3.下列命题正确的是（ ）A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D ．命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 4.已知随机变量(1,1)N ξ ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539 5.已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()15793log a a a ++=（ ）A ．-3B ．3C ．13-D ．136.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1 7.偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179.已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（ ）A ．-5B ．-20C ．15D ．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．8+．12+．6+ D ．1211.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ） A．3+．1 D12.已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量(2,)a λ= ，(3,1)b =-，若向量a 与b 共线，则a b ⋅= ．14.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，离心率为3则此椭圆的方程为 ．15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16.设数列{}n a 满足012a =，()210,1,22018n n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整数k = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知向量)22a x x =，()cos ,sin ()2b πθθθ=< ，若()f x a b =⋅ ，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()f A =，且5b =，c =求ABC ∆外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角λ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20.已知倾斜角为4的直线经过抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点F ，与抛物线Γ相交于A 、B 两点，且8AB =.（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点. 21.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心为4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为以极点为原点，极轴方向为x 轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为131x t ay t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数，a R ∈且0a ≠）.（Ⅰ）写出圆C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设不等式112x x +--<的解集为A . （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若m A ∀∈，不等式2210mx x m -+-<恒成立，求实数x 的取值范围.荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题13. 203- 14.221248x y += 15. [4,3]- 16. 2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2cos f x a b x θ=⋅=sin )x x θθ=+，∵函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，∴262k ππθπ⨯+=+，k Z ∈，∴6k πθπ=+，k Z ∈，又2πθ<，∴6πθ=.∴())6f x x π=+.∵函数sin y x =的单调递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，∴2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦. ∴()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）∵())6f A A π=+=，∴sin(2)16A π+=.∵(0,)A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴262A ππ+=，∴6A π=. 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-25122576π=+-⨯⨯=，∴a =由正弦定理得2sin 2a R A==，∴R ，∴7S π=.18.（Ⅰ）证明：法1：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ；在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥， 又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥， ∵1AC 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ， 而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC . 法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 连接1A P 、1B Q ，设(,,)Q x y z ，∵1BQ BA λ= ，∴(,2,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(2,22,2)Q λλλ-. 当点Q 在线段1A B 上运动时，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1APB 的法向量， 设平面1A PB 的法向量为1(,,)n x y z = ，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得1(1,2,1)n =，设平面1B PQ 的法向量为2(,,)n x y z = ，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0(1)0y x z λλ=⎧⎨+-=⎩， 令1z =得211(,0,1)(1,0,)n λλλλλ-==- ，取2(1,0,)n λλ=- ，∵12cos ,n n <>===， ∴29920λλ-+=，∴13λ=或23λ=. 19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为62155=. X 可能取值分别为0，1，2，3，∴0332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，X 的分布列为则()01125125E X =⨯+⨯231251255+⨯+⨯=. （Ⅱ）完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)15151317k ⨯-⨯=⨯⨯⨯7503.394 3.841221=≈<. 据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为2py x =-，令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=，∴123x x p +=， 根据抛物线的定义得，又124AB x x p p =++=，又8AB =，∴48p =，∴2p =. 则此抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，直线1l 的斜率为k ，则tan k α=. 由于直线1l 与2l 的倾斜角互余，则sin()2tan tan()2cos()2παπβαπα-=-=-cos 11sin sin tan cos ααααα===， 则直线2l 的斜率为1k.于是直线CD 的方程为8(12)y k x -=-，即(12)8y k x =-+，联立2(12)84y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2432480ky y k -+-=，∴4C D y y k +=，则241624C D x x k k +=+-，∴2282(12,)M k k k+-， 同理将k 换成1k得：2(1228,2)N k k k +-， ∴2212()112()8()MN k k k k k k k -=---114k k=+-. 则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1410k y x k ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). 21.解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-=， ∵0a ≤，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0f x >，得1x a >；由'()0f x <，得10x a<<； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）令1()()2ax g x f x ax xe -=-+1ln ax xe ax x -=--，则111'()ax ax g x eaxe a x --=+--11(1)ax ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由于1111ax ax xe ex x----=，设1()1ax r x xe -=-，1'()(1)ax r x ax e -=+， 由1'()010r x ax x a >⇒+>⇒<-，所以()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； 由1'()010r x ax x a <⇒+<⇒>-，所以()r x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴max 211()(1)0r x r a ae ⎛⎫=-=-+≤ ⎪⎝⎭（因为21a e ≤-），从而110ax e x --≤.则()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴min 1()g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设(210,t e a ⎤=-∈⎦，221()ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭， 211'()0h t e t=-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减，∴2()()0h t h e ≥=； ∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe-≥-. 说明：判断11ax e x--的符号时，还可以用以下方法判断： 由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设1ln ()x p x x -=，2ln 2'()x p x x -=， 当2x e >时，'()0p x >；当20x e <<时，'()0p x <.从而()p x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增. ∴2min 21()()p x p e e==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π∠=， 在ABC ∆中，AC为直径，)4OB πρθ==-， ∵131x t a y t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=. 法二：在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2,2)，则方程为22(2)(2)8x y -+-=. 即22440x y x y +--=，∴24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin )4πρθθθ=+=+.（Ⅱ）法一：直线过圆C 内一定点(3,1)P ，当CP AB ⊥时，AB 有最小值，∴AB ===法二：点(2,2)C 到直线l的距离d =，∴AB ===.当1a =时，AB有最小值23.解：（Ⅰ）由已知，令2(1)()112(11)2(1)x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩， 由()2f x <得{|11}A x x =-<<.（Ⅱ）将不等式2210mx x m -+-<整理成2(1)210x m x --+<， 令2()(1)21g m x m x =--+，要使()0g m <，则22(1)(1)(1)210(1)(1)1210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤⎪⎩，∴1102x x x ⎧≤--≥⎪⎨≤≤⎪⎩12x ≤≤.。
