向量平行的坐标表示

向量平行坐标关系一、引言向量平行坐标关系是在三维空间中描述向量之间关系的一种方法，它可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。

本文将详细介绍向量平行坐标关系的定义、性质、应用以及相关的数学知识。

二、向量平行坐标关系的定义1. 向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。

在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组$(x,y,z)$或者$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$。

2. 平行向量的概念如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$的方向相同或相反，则称它们为平行向量。

如果两个非零向量平行，则它们可以表示为一个公共方向上长度相等或成比例的两个箭头。

3. 垂直向量的概念如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则称它们为垂直（正交）向量。

垂直向量之间没有公共方向，因此不能表示为一个箭头。

4. 向量平行坐标系的定义在三维空间中，我们可以使用向量平行坐标系来描述向量之间的关系。

向量平行坐标系是由三个平行的坐标面$x=0$，$y=0$和$z=0$组成的，每个向量$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$在这三个坐标面上都有一个对应的点$(y,z)$，$(x,z)$和$(x,y)$。

这些点可以用一条折线连接起来，形成一个平行四边形。

三、向量平行坐标关系的性质1. 平行向量在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$是平行的，则它们在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）。

这是因为它们在公共方向上长度相等或成比例。

2. 垂直向量在向量平行坐标系中具有相互垂直的对角线如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则它们在向量平行坐标系中对应的两条对角线相互垂直。

这是因为它们没有公共方向。

向量知识点公式总结一、向量的概念1. 向量的定义在欧氏空间中，向量是指一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在数学上，向量通常用坐标表示，比如二维空间中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。

向量与点不同，向量只有方向和大小，没有固定的位置。

2. 向量的运算（1）向量的加法设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。

（2）向量的数乘设有向量a=(a1,a2,a3)，k为常数，则ka=(ka1,ka2,ka3)。

3. 向量的模长设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的模长是|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

4. 向量的方向角设有向量a=(a1,a2,a3)，则向量a的方向角分别为α、β、γ，其中cosα = a1/|a|，cosβ =a2/|a|，cosγ = a3/|a|。

二、向量的线性表示1. 点乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a•b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

2. 叉乘设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，则a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

3. 向量的混合积设有向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)，则[a,b,c] = a•(b×c) = b•(c×a) = c•(a×b)。

三、向量的坐标表示1. 平面直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则a=(x2-x1, y2-y1)。

2. 空间直角坐标系上的向量设有向量a，其起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则a=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

向量平行的坐标表示（导学案）使用说明：1.阅读探究课本8988-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。

【学习目标】1．理解平面向量的坐标的概念； 2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 【重点难点】重点：平面向量的坐标运算难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性一、知识链接1. 若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量→AB 的坐标为 .2．若()()1122,,,a x y b x y == ，则a b += ，a b -= ，a λ=二、教材助读1. 设()()1122,,,a x y b x y == ，其中0b ≠ ，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ= ，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2.定理 若两个向量平行，则它们相应的坐标 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们即：a ∥b (b ≠0)⇔预习自测1. 判断下列向量是否平行:（1）)4,3(),3,2(==→→b a （2）)2,34(),3,2(==→→b a2．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，求y .3．已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==- ，且////a b c，求,x y 的值.4. 已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.5．向量(),12OA k = ，()4,5OB = ，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.6．设点P 是线段12PP 上的一点，12,PP 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . （1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标； （2）当点P 是线段12PP 的一个三等分点时，求点P 的坐标.7．在上述问题中当12PP PP λ= ，点P 的坐标是什么？预习案 探究案当堂检测1．已知向量()2,4a =- ，()1,2b =- ，则a 与b的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2．已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133．已知()1,2a = ，(),1b x = ，若2a b + 与2a b -平行，则x 的值为 .4．若→→→+=j i AB 2， →→→-+-=j y i x DC )4()3( (其中→i 、→j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). →AB 与→DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，45．已知,,,A B C D 四点坐标分别为()()1,0,4,3A B ，()()2,4,0,2C D ，试证明：四边形ABCD 是梯形.我的收获：。

平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。

〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。

空间向量平行坐标关系
空间向量平行坐标关系是指在三维空间中，通过平行于坐标轴的直线将向量的三个分量表示在同一平面上，从而形成的一种可视化表示方式。

这种表示方式可以有效地展示向量之间的关系，例如可以通过比较不同向量在某个特定维度上的数值来比较它们的大小、方向等特征。

同时，利用空间向量平行坐标关系还可以进行多维数据的可视化，通过将多个向量的分量表示在同一平面上，可以方便地对它们进行比较和分析。

在实际应用中，空间向量平行坐标关系被广泛运用于数据分析、可视化和图形处理等领域。

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xyz坐标向量平行公式
两个向量a和b平行的条件是它们的方向相同或者说它们的夹角为0度或180度。

假设a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)是两个向量，则a和b平行的条件可以表示为：
a //
b 当且仅当存在一个非零实数k，使得a=kb。

换句话说，如果两个向量a和b平行，那么它们的对应坐标分量之比应该相等。

也就是说，x1/x2=y1/y2=z1/z2=k，其中k是一个非零实数。

另一种判断两个向量是否平行的方法是计算它们的叉积，如果两个向量的叉积为零向量，则它们是平行的。

因此，如果向量
a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)平行，则它们的叉积为零，即：
a x
b = 0。

这就是判断两个向量在xyz坐标系中是否平行的公式。

专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题【知识梳理】1、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++．（2）()121212,,a b x x y y z z -=---．（3）()111,,a x y z λλλλ=．（4）121212a b x x y y z z ⋅=++．（5）若a ，b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．（6）若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．（7）a ==．（8）cos ,a b a b a b⋅〈〉==（9）()111x ,y ,z A ，()222x ,y ,z B =，则d AB AB ==．2、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．3、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．4、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对()x,y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．5、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（2）平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量．（3）平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量．6、用向量方法判定空间中的平行关系（1）线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈．即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线．（2）线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=．即：直线与平面平行⇔直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=．即：两平面平行或重合⇔两平面的法向量共线．7、用向量方法判定空间的垂直关系（1）线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=．即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直．（2）线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=．②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直⇔直线的方向向量与平面的法向量共线⇔直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．（3）面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=．即：两平面垂直⇔两平面的法向量垂直．【专题过关】【考点目录】考点1：空间向量的坐标运算考点2：空间向量模长的坐标运算考点3：空间向量平行的坐标运算考点4：空间向量垂直的坐标运算考点5：空间向量夹角的坐标运算考点6：共面问题考点7：平行问题考点8：垂直问题【典型例题】考点1：空间向量的坐标运算1．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.2．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（）A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)【答案】C【解析】()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3(10,1,16)a b -=-故选：C3．（2021·河北省博野中学高二期中）已知()()3,2,5,1,,1a b x =-=-，且2a b ⋅=，则x 的值是（）A ．5B ．6C ．3D ．4【答案】A【解析】因为3252a b x ⋅=-+-=，所以5x =．故选：A.4．（2021·安徽·高二期中）已知向量()2,3,1a =--，()1,2,4b =，则a b +等于（）A ．()1,1,5--B ．()1,1,5-C ．()1,1,5-D ．()1,1,5【答案】A【解析】∵向量()2,3,1a =--，()1,2,4b =，∴()()()2,3,11,2,41,1,5a b +=--+=--.故选：A.5．（2022·广西桂林·高二期中（理））已知向量()1,0,1a =r ，()2,1,3b =，则2a b -=（）A ．()3,2,5-B ．()3,2,5--C ．()3,2,5--D ．()3,2,5---【答案】D【解析】()2,1,3b =()24,2,6b ∴=()23,2,5a b ∴-=---.故选：D.6．（2021·天津天津·高二期中）在空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3,3,0,1A B --，则线般AB 的中点坐标是（）A ．()1,1,2--B ．()1,1,2-C ．()2,2,4-D ．()2,2,4--【答案】A【解析】设线般AB 的中点M 坐标为(),,x y z ，由AM MB =可得()()1,2,33,,1x y z x y z -+-=----，所以13231x x y y z z -=--⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩可得112x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以线般AB 的中点坐标是()1,1,2--，故选：A.7．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知()0,1,0A ，()3,2,2B ，点D 满足2AD AB =，则点D 的坐标是（）A ．()5,4,3B ．()3,4,3C ．()6,3,4D ．()1,2,3【答案】C【解析】设(),,D x y z ，则()(),1,,3,1,2AD x y z AB =-=，由2AD AB =得6124x y z =⎧⎪-=⎨⎪=⎩即()6,3,4D ，故选：C.8．（2021·北京市昌平区实验学校高二期中）已知(1,=-a，(=-b ，则a b ⋅=______【答案】5-【解析】由已知1(2)(315a b ⋅=⨯-+-+⨯=-．故答案为：5-9．（2021·广东·广州市玉岩中学高二期中）空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点()0,1,2A 、()2,1,4B -、()5,0,3C ，则D 点坐标为________.【答案】()3,2,1【解析】设点(),,D x y z ，由题意可得BA CD =，即()()2,2,25,,3x y z --=--，即52232x y z -=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故点D 的坐标为()3,2,1.故答案为：()3,2,1.考点2：空间向量模长的坐标运算10．（2022·江苏徐州·高二期中）已知点()2,1,0A ，()1,3,0B ，()2,1,1C --，()2,3,1D ，则向量AB 在向量CD 上的投影向量的模为______．【答案】22【解析】因为()2,1,0A ，()1,3,0B ，()2,1,1C --，()2,3,1D ，所以()()()1,3,02,1,01,2,0AB =-=-，()()()2,3,12,1,14,4,0CD =---=，所以1424004AB CD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，CD ==所以向量AB 在向量CD 上的投影为2AB CD CD⋅==；所以向量AB 在向量CD 上的投影向量为)2114,4,0,0222AB CD CD CDCD⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭即向量AB 在向量CD 2=；故答案为：2211．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【答案】2【解析】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A CB B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点，所以()111,1,13AM AC ==-，所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2MN =．故答案为：2.12．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）已知空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是__________．【答案】848(,,)999-【解析】因为空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，所以2024a b ⋅=++=，3b ==，所以向量a 在向量b 上的投影向量为：()418482,1,2(,,)33999a bbb b ⨯=⨯-=-⋅，故答案为：848(,,)999-.13．（2021·湖北武汉·高二期中）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),2,M m n ，则()()(12,0,0,0,2,0,2,2,A C B，(1A ，()(),0,,2,2,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥得：2220,AM CM m m n ⋅=-+=即()2211m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，故11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，要使1A M 最小，只需1B M 最小，即11tan A MB ∠最大，令[]1cos ,sin ,0,m n θθθπ=+=∈， tan，∴当3πθ=时，11tanA MB ∠最大，则113(2,2,(,2,22A M m n =-=-，所以1||A M ==14．（2022·江苏南通·高二期中）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//bc ，则a b +=（）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.15．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量()3,2,4a =-r，()1,2,2b =-，则a b -=（）A ．B ．40C ．6D ．36【答案】C【解析】由题设(4,4,2)a b -=-，则6a b -=.故选：C考点3：空间向量平行的坐标运算16．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，若a b ∥，则实数x 的值为（）A ．2B ．4C ．4-D ．2-【答案】C【解析】因为向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，且a b ∥，所以26213x -==-，解得：4x =-.故选：C17．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）已知()2,3,1a =-，则下列向量中与a 平行的是（）A ．() 1,1,1B ．() 4,6,2--C ．() 2,3,5-D ．()23,5-,-【答案】B【解析】对于A ，因为231111-≠≠，所以A 不正确；对于B ，因为231462-==--，所以B 正确；对于C ，因为231235-=≠-，所以C 不正确；对于D ，因为231235-≠≠--，所以D 不正确.故选：B18．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（）A ．20-B ．17-C ．11D ．4【答案】B【解析】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--，因为AB AC ∥，所以122213y z --==--，解得3y =-，7z =，故217y z -=-.故选：B19．（2022·安徽省舒城中学高二期中）已知向量(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-，若a ∥b ，则x =______.【答案】-6【解析】因为向量(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-，且a ∥b ，所以a =b λ，所以42213x-==-，解得：6x =-.故答案为：-6.20．（2021·安徽宣城·高二期中）在空间直角坐标系中，已知()2,2,4A -，()4,4,2B --，()0,0,2C ，若AB AC λ=，则实数λ=______．【答案】3【解析】由题意得()6,6,6AB =--，()2,2,2AC =--，所以()32,2,23AB AC =--=，即3λ=，故答案为：321．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知(,1,3)a x =r ，(1,3,9)b =-r，若a 与b 共线，则x 的值是__________.【答案】13-【解析】因为(,1,3)a x =r ，(1,3,9)b =-r，且a 与b 共线，所以13139x ==-，解得13x =-，故答案为：13-考点4：空间向量垂直的坐标运算22．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．－1B ．43C ．53D ．75【答案】D【解析】因为()1,1,0a =r，()1,0,2b =-r ，所以(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k +=+-=-，22(1,1,0)(1,0,2)(3,2,2)a b -=--=-，因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()()23(1)240ka b a b k k +⋅-=-+-=，解得75k =，故选：D23．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量(1,1,2)a k =，(1,0,1)b =--，(0,2,1)c =，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．2-C ．4-D ．0【答案】B【解析】()23,1,22a b k -=+，因为向量2a b -与c 互相垂直，故3012220k ⨯+⨯++=，故2k =-，故选：B24．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF =故选：B.25．（2022·江苏徐州·高二期中）已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由于12l l ⊥，所以()()124120,1m m ⨯-+⨯+-⨯==.故选：B26．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，(1,2,)A a -，(2,,0)B a ，(1,,2)C a -，若1()2AB AC BC -⊥，则实数a 的值为（）A ．3B ．32C ．72D ．92【答案】A【解析】由题意(1,2,)AB a a =+-，(0,2,2)AC a a =+--，(1,0,2)BC =--，122(1,,)222a a AB AC +--=，因为1()2AB AC BC -⊥，所以1()1(2)02AB AC BC a -⋅=---=，3a =．故选：A ．27．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量()1,3,2a =-，()2,2,1b =--，点()3,1,4-A ，()2,2,2B -.(1)求2a b +；(2)若直线AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，其中O 为原点，求E 点的坐标.【解析】(1)因为()1,3,2a =-，()2,2,1b =--，所以()20,4,3a b +=-，所以25a b +=；(2)设AE AB λ=，由()3,1,4-A ，()2,2,2B -，得()1,1,2AB =-，则(),,2AE AB λλλλ==-，故()()()3,1,4,,23,1,24OE OA AE λλλλλλ=+=-+-=-+-+，因为OE b ⊥，所以0OE b ⋅=，即()()()2321240λλλ--++--+=，解得2λ=-，所以()2,2,4AE =--，设(),,E x y z ，则()()3,1,42,2,4AE x y z =+--=--，所以321244x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得518x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()5,1,8E --.考点5：空间向量夹角的坐标运算28．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -．(1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【解析】(1)由题设(3,2,6)AB m =--，(2,1,3)CB n =--，又A ，B ，C 三点共线，所以存在R λ∈使AB CB λ=，即322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，可得210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以1m n +=-.(2)由(2,1,3)BC n =--，由（1）知：当,AB BC π<>=时，有1m n +=-；而cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB ，BC 的夹角是钝角，所以2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<，可得m n +13<；综上，3m n +<且10m n =-⎧⎨=⎩不同时成立.29．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB =AC ==所以1cos 2AB AB AC ACθ⋅==⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π30．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间向量(1,0,1),(1,1,)a b n ==，且3a b ⋅=，则n ＝_______，向量a 与b 的夹角为_______．【答案】26π【解析】依题意313a b n ⋅==+=，解得2n =，所以(1,0,1),(1,1,2)a b ==，所以cos ,2a b a b a b⋅=⋅，由于[],0,a b π∈，所以向量a 与b 的夹角为6π.故答案为：2；6π.31．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上.设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的取值范围为___________.【答案】1(,1)3【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)D B =-，11(,,)D P D B λλλλ==-，所以(,,1)P λλλ-，(1,,1),(,1,1)PA PC λλλλλλ=---=---，APC ∠为钝角，则22(1)(1)(1)3410PA PC λλλλλλλ⋅=----+-=-+<，解得113λ<<．又,,A P C 不可能共线，故答案为：1(,1)3．32．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°【解析】因为()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，所以()cos sin ,2,sin cos +=+-+a b αααα，()cos sin ,0,sin cos a b αααα-=--，设向量a b +与a b -的夹角为β，则cos +⨯-+-⨯++-=ααααααααβ2222=0=，因为[]0,βπ∈，所以2πβ=，故向量a b +与a b -的夹角为2π，故选：A.33．（2021·山东·临沭县教育和体育局高二期中）若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（）A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【解析】由题知，2cos ,3a b a b a b⋅<>==即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C34．（多选题）（2022·江苏·马坝高中高二期中）若(1,,2)a λ=--，(2,1,1)b =-，a 与b 的夹角为120°，则λ的值为（）A ．17-B ．17C ．1D ．1-【答案】BD【解析】由题意得cos120︒=解得1λ=-或17λ=故选：BD35．（多选题）（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）若(2,5,4)a x =-r 与(,2,2)b x x =r 的夹角为钝角，则x 的取值可能为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【解析】因为(2,5,4)a x =-r ，(,2,2)b x x =r ，所以221080a b x x ⋅=-+<r r，解得14x <<；当//a b 时，设λa b =，λ无解，即,a b 不能平行；故选：BD考点6：共面问题36．（2021·山东威海·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，,//,2,3AD CD AD BC PA AD CD BC ⊥====．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．(1)求证：CD ⊥面PAD ；(2)设点G 在PB 上，且PGPBλ=．判断是否存在这样的λ，使得A ，E ，F ，G 四点共面，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由PA ⊥面,ABCD CD ⊂面ABCD ，则PA CD ⊥，又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=，可得：CD ⊥面PAD .(2)以A 为原点，面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，,AD AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0)A P C D ，存在这样的λ.由PG PB λ=可得：(2,,2)PG λλλ=--，则(2,,22)AG AP PG λλλ=+=--，若A ，E ，F ，G 四点共面，则AG 在面AEF 内，又面AEF 的一个法向量为(1,1,1)m =-，∴0m AG ⋅=，即2220λλλ-+-=，可得23λ=.∴存在这样的23λ=，使得四点共面.37．（2021·广东深圳·高二期中）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11A D 的中点.(1)求证：1B ，E ，D ，F 四点共面；【解析】（1）如图，以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因为E ，F 分别是BC ，11A D 的中点.所以(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(2,0,2)B ，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)D ，(0,0,0)A ，(2,1,0)E ，(0,1,2)F ，1(2,1,0)B F =-，1(2,1,0)ED B F =-=，所以1//ED B F ，而1E B F ∉，所以1//ED B F ，所以1B ，E ，D ，F 四点共面；38．（2021·广东·广州市第一中学高二期中）已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=．若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=______．【答案】657【解析】因为,a b 不平行，且a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数x ，y ，使c xa yb =+，所以725432x y x y x y λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故答案为：65739．（2021·全国·高二期中）已知点A ､B ､C ､D 的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(,5,3)x ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________.【答案】3【解析】由题意，A ，B ，C ，D 四点共面故,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+又(1,1,1),(1,2,1),(,4,1)AB AC AD x ==-=故12411x λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解得113,,22x λμ==-=故答案为：340．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.【答案】1-【解析】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，据此可得方程组：325432m nm n m nλ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩.故答案为1-．41．（多选题）（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点P 为线段AB 的中点，Q ，R 分别为线段BC ，1AC 上的动点（含端点），下列结论正确的是（）A ．存在点Q 使得11A P C Q ⊥B ．存在点R 使得11A P D R⊥C ．当Q 为BC 中点时，存在点R 使得1A P ，1C Q ，1D R 共面D ．当Q 为BC 中点时，存在点R 使得1C ，Q ，1D ，R 四点共面【答案】BD【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0,22,0,0,0,2,2,D D C C A A ，()2,1,0P ，令()01CQ mCB m ≤=≤，()101CR A n nC ≤=≤，则()2,2,0Q m ，()2,22,2R n n n -，因为()10,1,2A P =-，()12,0,2Q m C =-，1140A P C Q ⋅=≠，即1A P 与1C Q 不垂直，A 不正确；而()12,22,22n n D R n =--，1166A P D R n ⋅=-，当1n =时，110A P D R ⋅=，即存在点R 使得11A P D R ⊥，B 正确；当Q 为BC 中点时，()1,2,0Q ，()11,0,2C Q =-，若存在点R 使得1A P ，1C Q ，1D R 共面，则111D R x A P yC Q =+，,R x y ∈，即()()()2,22,220,1,21,0,2n n n x y --=-+-，即2222222y n x n x y n =⎧⎪=-⎨⎪--=-⎩，解得[]10,1n =-∉，C 不正确；当Q 为BC 中点时，若1C ，Q ，1D ，R 四点共面，则1111D R D C D Q λμ=+，,R λμ∈，而()11,2,2D Q =-，()()()2,22,220,2,01,2,2n n n λμ--=+-，即22222222nn n μλμμ=⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩，解得[]10,13n =∈，D 正确.故选：BD42．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量(2,1,),(1,1,0),(1,2,)a m b p t =-=-=-，若,,a b p 共面，则m t +=()A ．1-B ．0C ．1D ．12-【答案】B【解析】若a 、b 、p 共面，则a b p λμ=+，即(2-，1，)(m λμ=-，2λμ-+，)t μ，故221t mλμλμμ-=-⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，故310t m λμ=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，故选：B ．考点7：平行问题43．（2022·四川成都·高二期中（理））若直线l 的方向向量(1,0,1)a =，平面β的法向量(1,1,1)n =-，则（）A ．l β⊂B ．l β⊥C ．l β//D ．l β⊂或l β//【答案】D【解析】因为110a n ⋅=-=，所以a n ⊥，所以l β⊂或l β//.故选：D44．（多选题）（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．若两条不重合的直线12,l l 的方向向量分别是(2,2,1),(2,2,1)a b =--=--，则12l l //B ．若直线l 的方向向量是(1,1,2)a =，平面α的法向量是(2,2,4)n =---，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量是(0,2,0)a =，平面α的法向量是(2,0,2)n =-，则//l αD ．若两个不同的平面,αβ的法向量分别是(3,4,2),(2,0,3)m n =-=-，则αβ⊥【答案】BD【解析】对于A ，因为向量a b ，不平行，所以12l l ，不平行，故A 不正确；对于B ，因为2n a =-，所以//n a ，故B 正确；对于C ，因为()02+20+020a n ⋅=⨯-⨯⨯=，所以a n ⊥，所以//l α或l 在面α内，故C 不正确；对于D ，因为6+060m n ⋅=-+=，所以αβ⊥，故D 正确．故选：BD ．45．（2020·广东顺德德胜学校高二期中）设向量,v μ分别是平面,αβ的法向量，向量(1,2,2),(2,4,)v m μ=-=--，若,αβ平行，则实数m =___________【答案】4【解析】∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，∴(1λ，2，2)(2-=-，4-，)m ，且R λ∈；解得2λ=-，4m =．故答案为：446．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：【解析】(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA⊥又因为,AD AB PA AB A⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB47．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB ∥DC ，2AD DC AP ===，1AB =.点E 为棱PC 的中点，求证：(1)BE DC ⊥；(2)BE ∥平面PAD ；【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，因为AD AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，所以以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,1)A B C D P E ，所以(0,1,1),(2,0,0)BE DC ==，所以0BE DC ⋅=，所以BE DC ⊥，所以BE DC ⊥，（2）平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)AB =，因为0AB BE ⋅=，所以AB BE ⊥，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD ；48．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)若P 为侧棱SD 上的中点，证明SB //平面PAC ．(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】(1)证明：如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为中点，又P 为侧棱SD 上的中点，所以//OP SB ，又OP ⊂平面PAC ，SB ⊄平面PAC ，所以//SB 平面PAC ；(2)建立如图所示空间直角坐标系：设侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，且SE SC λ=，设正方形ABCD 的边长为1，则,,0,,0,0,B C D S ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,,0,,,0,SC SB SD ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则)1BE SE SB SC SB λλ⎛⎫=-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭，因为SD ⊥平面PAC ，所以SD 是平面PAC 的一个法向量，若BE //平面PAC ，则()131022BE SD λ⋅=+-=，解得23λ=，所以侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，且:2:1SE EC =.49．（2021·湖南·怀化五中高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别AB 、1C D 的中点.（1）求证：//NM 平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M .【解析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()0,1,1M 、()1,1,0N 、()11,2,2B 、()11,0,2A ，()1,0,1NM =-，易知平面11A ADD 的一个法向量为()0,1,0m =u r ，1001100NM m ⋅=-⨯+⨯+⨯=，则NM m ⊥，NM ⊄平面11A ADD ，故//NM 平面11A ADD ；（2）设平面11A B M 的法向量为(),,n x y z =，()110,2,0A B =，()11,1,1A M =--，由11100n A B n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y x y z =⎧⎨-+-=⎩，取1x =-，可得()1,0,1n =-，所以，NM n =，故NM ⊥平面11A B M .考点8：垂直问题50．（多选题）（2021·福建·泉州五中高二期中）已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D ，E 分别是BC ，1CC 的中点，点P 满足()11AP xAB y AC x y AB =++--，下列选项正确的是（）A ．当12y =时，AP BC ⊥B ．当21x y +=时，AP BE⊥C ．当x y =时，DEP ∠为锐角D ．当12x y -=时，1//A P 平面ADE 【答案】ABD 【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则)()()()()1,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,1A B C B E --，所以()()()12,1,0,AB AC AB ==-=，所以()2,2AP y x =-，A.当12y =时，()0,2,0BC =-，420AP BC y ⋅=-=，所以AP BC ⊥，故正确；B.当21x y +=时，()0,2,1BE =-，4220AP BC y x ⋅=-+=，所以AP BE ⊥，故正确；C.当x y =时，()()()0,1,1,0,22,2132ED EP AP AE y x ED EP x y =-=-=--⋅=-+，正负不定，故错误；D.当12x y -=时，()112,22A P AP AA y x =-=--，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DA n ED n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00b c =-=⎪⎩，令1b =，则()0,1,1n =，所以()1210A P n x y ⋅=--=，又1A P ⊄平面ADE ，所以1//A P 平面ADE ，故正确；故选：ABD51．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______．【答案】垂直或l α⊥【解析】因为直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，且a b =-r r ，所以a 与b 共线，，所以直线l 与平面α的位置关系为垂直，故答案为：垂直或l α⊥52．（2022·四川·阆中中学高二期中（理））已知平面,αβ的法向量分别为()11,,4n y =，()2,1,2n x =--，若a β⊥，则x y -的值为___．【答案】8【解析】∵a β⊥，∴平面,αβ的法向量互相垂直，∴120n n ⋅=，即1280n n x y ⋅=--=，解得8x y -=,故答案为：8.53．（2021·福建·泉州五中高二期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB BC CC ===，以D 为坐标原点，向量DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，点P 在平面1111D C B A 上，若DP ⊥平面1ACD ，则点P 的坐标是___________.【答案】1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,【解析】由题意得：()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,1D ，因为点P 在平面1111D C B A 上，所以设点(),,1P m n ，若DP ⊥平面1ACD ，则100DP D C DP AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即21020n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：121n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点P 的坐标是1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,故答案为：1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,54．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .55．（2020·宁夏长庆高级中学高二期中（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、1B C 的中点．(1)用向量法证明平面1//A BD 平面11B CD ；(2)用向量法证明MN ⊥平面1A BD ．【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()12,0,2A ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()10,0,2D ，故()12,0,2DA =，()2,2,0DB =，()12,0,2B C =--uuu r ，()112,2,0B D =--，设平面1A BD 的法向量()1111,,n x y z =，则11100DA n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，令11x =，则()11,1,1n =--，设平面11B CD 的法向量()2222,,n x y z =，则1211200B C n B D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x z x y --=⎧⎨--=⎩，令21x =，则()21,1,1n =--，所以12n n =，即12//n n ，故平面1//A BD 平面11B CD ；（2）由M ，N 是线段AB ，1B C 中点，则()2,1,0M ，()1,2,1N ，所以()1,1,1MN =-，则1//MN n ，所以MN ⊥平面1A BD.56．（2021·四川凉山·高二期中（理））如图，在正四棱锥P －ABCD边长为2．点E ，F 分别CD ，BC 中点．求证：(1)PA ⊥EF ；(2)平面PAB ⊥平面PCD ．【解析】（1）连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，由正四棱锥性质OA ，OB ，OP 两两互相垂直，以OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z轴建系如图．易得2OA 221OP PA OA =-=，∴)2,0,0A ，()0,0,1P ，()2,0B ，()2,0,0C ，()0,2,0D -，22,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1PA =-，()2,0EF =，∵0PA EF ⋅=，∴0PA EF ⊥=，即PA ⊥EF ；（2）设平面PAB ，平面PCD 法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，11112020m PA x z m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取12z =111x y ==，2)m =，22222020n PD x z n PC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取22z =，则221x y ==，(1,1,2)n =-，1120m n ⋅=+-=，∴m n ⊥，∴平面PAB ⊥平面PCD.57．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩，取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=，所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.58．（2021·广西·钦州一中高二期中（理））如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是梯形，四边形ABCD 为矩形，DE ⊥面ABCD ，//AF DE ，112AF AD DE ===，2AB =(1)求证：//BF 平面CDE ；(2)点G 为线段CD 的中点，求证AG ⊥面DBE ．【解析】(1)证明：如图，建立空间坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，(0,0,2)E ，2,0)B =，(1,0,1)F ，(0,2,1)BF =-uu u r ，DE ⊥面ABCD ，DE AD ∴⊥，且AD DC ⊥，又DE DC D ⋂=，AD ∴⊥面EDC ，(1,0,0)DA ∴=uu u r 为面EDC 的法向量，0DA BF ⋅=uu u r uu u r Q ，DA BF ∴⊥uu u r uu u r ，又BF ⊄平面CDE ，BF ∴∥平面CDE．(2)证明：由（1）可知22G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,02AG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，(0,0,2)DE =，2,0)DB =uu u r ，0DE AG ∴⋅=uuu r uuu r ，0DB AG ⋅=uu u r uuu r ，DE AG ∴⊥，DB AG⊥又BD DE D ⋂=，AG ∴⊥面DBE ．59．（2020·天津·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，2PA =．（Ⅰ）求证：AE PD ⊥；（Ⅱ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ．【解析】证明：以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为E 是PC 的中点，所以E 的坐标为()1,1,1，所以(1,1,1)AE =，又因为()0,2,2PD =-，所以10121(2)0AE PD ⋅=⨯+⨯+⨯-=，所以AE PD ⊥，即有AE PD ⊥；（Ⅱ）因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD AP ⊥，因为AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()2,2,0BD =-，设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(2,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-uu u r ，由220220n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，1x =，1y =，所以平面PBD 的一个法向量为(1,1,1)n =，因为1(2)12000n BD ⋅=⨯-+⨯+⨯=，所以n BD ⊥，所以平面PBD ⊥平面PAC .。