一次函数北师大版

第四章：一次函数4.1函数1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 函数的定义中包括三个要素 ① 自变量的取值范围；② 两个变量之间的对应关系；③ 后一个变量被唯一确定而形成的变化范围. 注意：①自变量可以用任意字母表示；②两个变量之间的关系必须是“唯一确定”的； ③函数不是数，而是一种特殊的对应关系．规律方法：判断两个变量是否存在函数关系，关键是看两个变量之间是否是一一对应，即给一个变量一个数值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应.【例1】下列图像给出了变量x 与y 之间的对应关系，其中y 不是x 的函数的是( )【例2】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①②【例3】 已知y ＝2x 2＋4，(1)求x 取12和－12时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．.函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．【例4】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x 的函数，试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。

北师大版八年级上册课题：《一次函数》复习课教学设计一. 教材分析《一次函数》是北师大版八年级上册数学第二章的内容，主要介绍了函数的概念、一次函数的定义、图像和性质。

本节课的教学内容是对一次函数的复习，通过复习使学生掌握一次函数的基本概念、图像和性质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的概念和一次函数的基本知识，但部分学生对一次函数的图像和性质理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。

此外，学生的数学基础和学习兴趣存在差异，因此在教学过程中需要关注学生的个体差异，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：通过对一次函数的复习，使学生掌握一次函数的基本概念、图像和性质，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过复习课的教学，培养学生自主学习、合作交流的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学素养，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：一次函数的基本概念、图像和性质。

2.难点：一次函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生通过自主学习、合作交流，发现一次函数的性质。

3.案例教学法：通过解决实际问题，培养学生应用一次函数的能力。

4.反馈评价法：及时了解学生的学习情况，调整教学策略。

六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的复习课件，包括一次函数的基本概念、图像和性质。

2.教学案例：准备一些实际问题，用于巩固一次函数的应用。

3.作业布置：提前布置一次函数的相关作业，了解学生的掌握情况。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入一次函数，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解购物时打折优惠的问题，引导学生发现折扣率与价格之间的关系是一次函数。

2.呈现（10分钟）呈现一次函数的基本概念、图像和性质，让学生回顾和巩固一次函数的知识。

数学北师大版一次函数知识点
一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k为非零实数，b为实数常数。

以下是关于一次函数的几个重要知识点：
1. 斜率：一次函数的斜率k表示函数图象的倾斜程度，若k > 0，则图象向右上方倾斜；若k < 0，则图象向右下方倾斜；k = 0时，函数图象为水平直线。

2. 截距：一次函数的截距表示函数与坐标轴的交点。

当x = 0时，函数的截距为b，
称为y轴截距；当y = 0时，函数的截距为-b/k，称为x轴截距。

3. 函数图象：一次函数的图象通常是一条直线。

通过两个点即可画出一条直线，通常
选择两个点分别为x轴截距和y轴截距的点，然后使用直线的斜率来确定其他点的位置。

4. 函数的增减性：当k > 0时，随着x的增大，函数值y也随之增大，函数是递增的；当k < 0时，随着x的增大，函数值y反而减小，函数是递减的。

5. 零点：一次函数的零点指函数值等于0的点。

当y = kx + b = 0时，解出x的值，
即为一次函数的零点。

6. 平行和垂直：若两条一次函数的斜率相等，则它们是平行的；若两条一次函数的乘
积为-1，则它们是相互垂直的。

这些是一次函数的一些基本知识点，通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用一
次函数。

完整)北师大版八年级数学上册一次函数基础知识回顾】一次函数的定义：一般地，如果y=kx+b，那么y就是x 的一次函数。

特殊地，当b=0时，y就是x的正比例函数；当k=0时，y就是常数函数。

一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标。

名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图像去解决。

2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题。

】一次函数的同象及性质：一次函数y=kx+b的图像经过点（0,b）和（-b/k,0）；正比例函数y=kx的图像经过原点；当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。

名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数。

】用系数法求一次函数解析式：关键是确定一次函数y=kx+b中的k和b的值。

步骤：1、设一次函数表达式；2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式；3、解关于系数的方程或方程组；4、将所求的系数代入等设函数表达式中。

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组：一般地，将x=或y=解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y=kx+b中；对于一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0，即一次函数同象位于x轴上方或下方，利用函数性质解决问题；对于二元一次方程组，求解两条直线的交点坐标即为方程组的解。

名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题、方程涉及问题等。

】重点考点例析】考点一：一次函数的同象和性质例1（2012•黄石）已知反比例函数y=x/b，若一次函数y=kx+2与其同象，则k的取值范围是多少？解析：反比例函数y=x/b的图像经过点（b,1）和（1,b），因此一次函数y=kx+2的图像也经过这两点。

将这两点代入一次函数的解析式，得到k的取值范围为k≠-2b。

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.《标准2022》对一次函数的学习要求是:结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数;体会一次函数与二元一次方程的关系,进一步发展建模意识;能用一次函数解决简单实际问题,发展应用意识.函数的教学,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律;注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用.运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学生学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.2.本单元教学内容分析北师大版教材八年级上册第四章“一次函数”,本章包括四个小节:4.1函数;4.2一次函数与正比例函数;4.3一次函数的图象;4.4一次函数的应用.函数学习在中学数学中占据重要地位,既是教学的重点,也是教学的难点.本章是学生第一次接触函数,是后续学习反比例函数、二次函数的基础.函数的概念和函数的图象贯穿整个函数的教学,是学习函数的重点,同时函数概念中体现出的变化与对应的思想、数形结合思想是决定函数学习是否顺利的关键.一次函数是学生接触的第一类函数,在教学中, 一般利用函数图象归纳函数性质,利用函数性质和图象来解决问题,这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法.函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识,真正体会到函数是反映现实世界的有效数学模型.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数,它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式,因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象,让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律,探讨函数中的数与形的对应关系,逐步掌握解决一次函数问题的技能.由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用,因此,在具体的教学过程中,可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解,促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成,加强对知识之间内在联系的认识,体会函数观点的统领作用,也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.三、单元学情分析本单元内容是北师大版教材数学八年级上册第四章一次函数,本单元是在学习了实数、平面直角坐标系的基础上学习的,学生对数形结合思想有了一定的认识,它为本章的学习作了铺垫,一次函数的学习又为后续函数的学习作了铺垫,因此本章内容起着承上启下的作用.本单元让学生进一步认识用图象法表示函数关系,并开始学习一类最基本的函数——一次函数.学习一次函数,意味着从常量数学进入变量数学的学习.学生的思维要随之改变,这是对学生思维能力的考验,也是对数学认识的一次飞跃.学生在学习一次函数的过程中,对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识,画出相应的函数图象解决,看不出学生对一次函数的理解程度.但随着时间的推移,随着问题情境复杂化,他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够,停留在感性认识多些,理性认识少些,对一次函数表达式的直接应用多些,对表达式与图象间的内在联系运用薄弱些,需要多练、多探、多问、多总结经验.学生在学习过程中遇到困难主要有:复杂问题情景化转移到一次函数图象;结合题意理解一次函数所表达的信息;结合题意将图象信息转换为数量关系.因此,本单元教学应注意数形结合,需要多练、多问、多总结.四、单元学习目标1.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识.2.经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.3.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义.4.能画一次函数的图象,经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识,体会数形结合的思想.六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。