北师大版一次函数知识点

北师大版八年级上册数学第四章复习要点：一次函数知识点对冤家们的学习十分重要，大家一定要仔细掌握，查字典数学网为大家整理了北师大版八年级上册数学第四章温习要点：一次函数，让我们一同窗习，一同提高吧!一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b那么此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k 为恣意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：经过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的恣意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b0时，直线必经过一、二象限;当b=0时，直线经过原点当b0时，直线必经过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线经过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k0时，直线只经过一、三象限;当k0时，直线只经过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)由于在一次函数上的恣意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，失掉k，b的值。

1881-4-1（一次函数知识梳理）一．函数的定义1.变量；常量。

2.函数的定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数。

3.函数的表示方法及优缺点；描点法画函数图象的步骤；函数值。

3.自变量的取值范围：：关系式为整式时，自变量取全体实数；关系式含分式时，分母不为0；关系式含二次根式时，被开方数大于等于0；关系式含指数为0的式子时，底数不等于0.5.函数关系式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上的点的坐标满足函数解析式。

6.验证一个点是否在函数图象上的方法是：代入法二．一次函数的定义图象及性质：1.一般地，若两个变量x，y的关系可以表示为y=kx+b(k≠0，k,b是常数)的形式，那么y叫做x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)2. k值决定了直线的 b值决定了直线与的交点位置。

3.k>0时，y随x的增大而；k<0时，y随x的增大而。

4.两点确定一条直线，画一次函数图象常取点（0，b)(kb-,0)两点。

画正比例函数图象取（0，0）（1，k）5.在同一平面内，不重合的两条直线)0()0(222111≠+=≠+=kbxkykbxky与的位置关系：当k1=k2,b1≠b2时，两直线平行。

当k1≠k2,b1=b2时，两直线交于y轴上同一点。

6.特殊的直线方程：x轴是直线 ; y轴是直线；与x轴平行的直线是；与y轴平行的直线是；一三象限夹角的平分线是直线；二四象限夹角的平分线是直线7.直线y=kx+b的图象可以看作是y=kx的图象平移得到（b>0向上平移；b<0向下平移）三．求一次函数的关系式1.求一次函数关系式的方法：（1）找规律法（2）找相等关系列方程法（3）待定系数法2.用待定系数法求一次函数的关系式方法：（1）依据两个独立的条件确定k,b的值(2)设一次函数关系式为y=kx+b(3)把条件代入关系式构造方程（组）(4)解方程（组），求k,b(5)确定函数关系式四．一次函数与二元一次方程组的关系1.二元一次方程与一次函数的关系：2.一次函数图象交点坐标就是二元一次方程组的五．建立一次函数模型解决实际问题①借助函数图象理解题意：通过看轴，点，线，把函数图象描绘的变化过程和文字对照起来；②建立一次函数模型解决问题：根据关键点确定一次函数表达式，把所求数据转化为图象信息，然后借助一次函数表达式进行求解；③结合实际意义进行验证.六．函数图象共存问题：选定一个函数图象，根据图象性质判断k,b符号，验证另一个函数图象存在的合理性。

专题4.2 一次函数的图象与性质（一）【十大题型】【北师大版】【题型1 一次函数的概念辨析】............................................................................................................................1【题型2 待定系数法求一次函数解析式】............................................................................................................2【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】............................................................................................................2【题型4 一次函数解析式与三角形面积问题】....................................................................................................3【题型5 根据实际问题列一次函数解析式】........................................................................................................3【题型6 判断一次函数的图象】............................................................................................................................6【题型7 判断一次函数的增减性或经过的象限】................................................................................................7【题型8 根据一次函数的性质求参数的范围】....................................................................................................8【题型9 根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】....................................................................................8【题型10 根据一次函数的增减性比较函数值大小】.. (8)【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

专题4.24一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数及相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.（4）自变量的取值范围：整式函数的自变量取值范围是全体实数；分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数5y x =-中自变量的取值范围是35x x ≥-≠且.（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.【知识点2】一次函数的概念一次函数：如果(0)y kx b k b k =+≠、是常数，，那么y 叫做x 的一次函数．正比例函数：当0b =时，一次函数y kx b =+变成称(0)y kx k k =≠为常数，，y 叫做x 的正比例函数．【知识点3】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)bk-的直线.正比例函数的图象：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条恒经过原点(0,0)和(1,)k 直线.【知识点4】一次函数的性质（1）正比例函数的图象与性质y =kx图像经过象限升降趋势增减性k ＞0一、三源：学*科*网X从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＜0二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小（2）一次函数的图象与性质y =kx +b图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升[来源：学科网ZXXK]y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点5】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点6】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点7】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点8】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2)1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3)121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【知识点9】一次函数与方程（组）（1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应.（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解就是两个一次函数11y k x b =+和22y k x b =+图象的交点坐标.（3）一元一次方程0kx b +=的根就是一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图象与x 轴交点的横坐标.【知识点10】一次函数与不等式（1）一次函数y kx b =+的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +>的解集（2）一次函数y kx b =+的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +<的解集【考点一】函数的认识➼➻函数概念★自变量的取值范围★函数值【例1】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x 小时后剩余油量y 升．（1）写出一次加满油后剩余油量y 与时间x 的函数关系式．（2）求出自变量的取值范围．【答案】(1)540y x =-+；(2)08x ≤≤；【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可；（2）根据一次加满油40升可得540x ≤，然后可求出自变量的取值范围．（1）解：由题意得：405540y x x =-=-+；（2）解：∵一次加满油40升，∴540x ≤，解得：8x ≤，∴自变量的取值范围为08x ≤≤．【点拨】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式．【举一反三】【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+【答案】B【分析】根据函数的定义，一个x 只能对应一个y ，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可．解：A 选项是列表法表示的函数，一个x 只对应了一个y ，所以y 是x 的函数，故本选项不符合题意；B 选项从图象上看，一个x 对应了两个y ，不符合函数定义，故本选项符合题意；C 选项从图象上看，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意；D 选项是关系式法表示的函数，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意．故选：B ．【点拨】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．【变式2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）正方形边长为9，若边长增加x ，则面积增加y ．y 关于x 的函数解析式为．【答案】218y x x=+【分析】根据正方形的面积公式即可得．解：由题意得：()2229918y x x x =+-=+，故答案为：218y x x =+．【点拨】本题考查了函数解析式，利用正方形的面积公式正确列出式子是解题关键．【考点二】函数的认识➼➻从函数图象中读取信息【例2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到碧沙岗公园，他出发后0.8小时到郑州购书中心，逗留一段时间后继续坐公交车到碧沙岗公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往碧沙岗公园，如图是他们离家路程(km)s 与小明离家时间(h)t 的关系图，请根据图回答下列问题．（1）小明家到碧沙岗公园的路程为______km ，小明出发______小时后爸爸驾车出发；（2）图中A 点表示的实际意义是______；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为______km/h ，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h ；（4）爸爸驾车经过______h 追上小明．【答案】(1)30，2.5；(2)2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；(3)12；30；(4)23【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；（2）根据点A 的坐标即可得到点A 的实际意义；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）设爸爸驾车经t 小时追上小明，根据爸爸的路程=小明的路程列出方程，解方程即可．（1）由图可得，小明家到碧沙岗公园的路程是30km ；小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，故答案为：30，2.5；（2）由图可得，A 点表示2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园，故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为()301212km/h 4 2.5-=-，小明爸爸驾车的平均速度为()3030km/h 3.5 2.5=-，故答案为：12；30；（4）设爸爸驾车经x 小时追上小明，则121230x x +=，解得23x =，∴爸爸驾车经23小时追上小明，故答案为：23．【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图1，在ABC 中，90B Ð=°，动点P 从点A 出发，沿折线A B C --方向匀速运动，速度为1cm /s ，连接PC ，图2表示APC △的面积(y 单位：cm²)与运动时间(x 单位：)s 之间的关系图象，则图2中a 表示的数为．【答案】24【分析】先由函数的图象得6cm AB =，8cm BC =，当点P 到达点B 时面积为最大，最大面积为a 的值，从而可得出答案．解：由函数的图象可知：点P 从A B -的路程6cm ，从B C -的路程为8cm ，当点P 到达点B 时，面积为最大值，最大值为ABC 的面积．∴6cm AB =，8cm BC =，90B ∠=︒ ，()211682422ABC S AB BC cm ∴=⋅=⨯⨯= ，24a ∴=．故答案为：24．【点拨】此题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是理解题意，读懂函数的图象，准确的从函数的图象中提取解决问题的性质【变式2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】先根据点H 的运动，得出当点H 在不同边上时HAF △的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．解：当点H 在AB 上时，如图所示，(cm)AH xt =，()214cm 2HAF S AF AH xt =⨯⨯= ，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H 在BC 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP AB =，∴12HAF S AF AB =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在CD 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，C ，D ，P 三点共线，12HAF S AF HP =⨯⨯ ，点H 从点C 点D 运动，HP 逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H 在DE 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP EF =，12HAF S AF EF =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在EF 时，如图所示，12HAF S AF HF =⨯⨯ ，点H 从点E 向点F 运动，HF 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得05t ≤≤时，点H 在AB 上，∴2x =，2510(cm)AB ⨯==，∴动点H 的速度是2cm /s ，故①正确，58t ≤≤时，点H 在BC 上，此时三角形面积不变，∴动点H 由点B 运动到点C 共用时()853s -=，∴236(cm)BC ⨯==，故②错误，12t b ≤≤，点H 在DE 上，862(cm)DE AF BC =-=-=，∴动点H 由点D 运动到点E 共用时()221s ÷=，∴12113b =+=，故③错误．当HAF △的面积是230cm 时，点H 在AB 上或CD 上，点H 在AB 上时，()24830cm AAF S xt t === ，解得 3.75(s)t =，点H 在CD 上时，()211830cm 22HAF S AF HP HP =⨯⨯=⨯⨯= ，解得7.5(cm)HP =，∴107.5 2.5(cm)CH AB HP =-=-=，∴从点C 运动到点H 共用时2.52 1.25(s)=÷，由点A 到点C 共用时8s ，∴此时共用时8 1.259.25(s)+=，故④错误．故选：A ．【点拨】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．【考点三】一次函数定义➼➻正比例函数、一次函数的定义【例3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数()211y m x m =-+-．（1）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？（2）当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【答案】(1)1m ≠；(2)1m =-【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．（1）解：由题意得：10m -≠，解得：1m ≠；（2）解：由题意得：210m -=且10m -≠，解得：1m =-．【点拨】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如(y kx k =是常数，且0)k ≠的函数叫做正比例函数；形如(y kx b k b =+、是常数，且0)k ≠的函数叫做一次例函数．【举一反三】【变式1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点(),P a b 在直线21y x =+上，则代数式142a b -+的值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．0【答案】A【分析】把点(),P a b 代入21y x =+，得出21a b -=-，将其代入142a b -+进行计算即可．解：把点(),P a b 代入21y x =+得21b a =+，整理得：21a b -=-，∴()()1421221213a b a b -+=--=-⨯-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．【变式2】（2023春·河北承德·八年级统考期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据：摄氏温度值/x ℃010********华氏温度值/y F32506886104122（1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？（填“是”或“否”）（2）请你根据数据推算0F 时的摄氏温度为C【答案】是1609-【分析】（1）根据表格中的数据，判断y 与x 的函数关系是一次函数即可；（2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可．（1）由表格可知，x 每增加10，y 就增加18，则两种温标计量值的对应关系是一次函数，故答案为：是（2）设华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为y kx b =+，由表中的数据，得321050b k b =⎧⎨+=⎩，解得 1.832k b =⎧⎨=⎩，1.832y x ∴=+，∴华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为 1.832y x =+，当0y =时，0 1.832x =+，解得1609x =-，∴当华氏温度为0F 时，摄氏温度是1609-C ，故答案为：1609-【点拨】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键．【考点四】一次函数➼➻一次函数的图像与位置【例4】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．【举一反三】【变式1】（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y kx =-与y x k =+的图象大致应为（）A.B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图象分别确定k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．解：根据图象知：A 、0k <，则0k ->，正比例函数的图象不对，不符合题意；B 、0k >，则0k -<．图象正确，符合题意；C 、当0k >，y x k =+过一、二、三象限，不符合题意；D 、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B ．【点拨】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：一次函数()35y m x m =-+-．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m 的值；（2）当一次函数的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）当一次函数的图象不经过第一象限时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5m =；(2)5m >；(3)35m <≤【分析】（1）把()0,0代入()35y m x m =-+-可得50m -=，再解方程并检验即可；（2）由一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨->⎩求解即可；（3）由一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨-≤⎩求解即可．（1）解：∵一次函数()35y m x m =-+-的图象过原点，∴50m -=，解得：5m =，经检验符合题意；（2）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，∴3050m m -<⎧⎨->⎩，解得：5m >；（3）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，∴3050m m -<⎧⎨-≤⎩，解得：35m <≤．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象所经过的象限是解本题的关键．【考点五】一次函数图象➼➻一次函数的增减性【例5】（2021春·广东江门·八年级校考期中）已知正比例函数y kx =的图象经过点()4,8-．（1）求这个函数解析式；（2）判断点()2,5A -是否在这个函数图象上；（3）图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，比较1y ，2y 的大小．【答案】(1)2y x =-；（2）点()2,5A -不在这个函数图象上；(3)12y y >【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将点A 横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 是否在这个函数图象上；（3）根据正比例函数的增减性，即可比较1y ，2y 的大小．（1）解：将点()4,8-代入y kx =，得48k =-，解得2k =-，∴这个函数解析式为2y x =-；（2）解：当2x =-时，()()2245y =-⨯-=≠，∴点()2,5A -不在这个函数图象上；（3）解：∵20k =-<，∴y 随着x 增大而减小，∵图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，∴12y y >．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）已知点()14,y -，()22,y ，()32,y -都在直线2y x b =-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】B 【分析】根据比例系数，20k =>，根据一次函数的性质y 随x 的增大而增大即可判断．解：根据2y x b =-，20k ∴=>，y 随x 的增大而增大，由于1(4,)y -，2(2,)y ，3(2,)y -都在直线2y x b =-上，422-<-< ，231y y y ∴>>，故选：B ．【点拨】本题考查一次函数的增减性与k 的正负有关，进而判断即可．【考点六】一次函数➼➻待定系数法求一次函数的解析式【例6】（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)．（1）求出y 与x 的函数解析式；（2）设点(2,)a 在这个函数的图象上，求a 的值．【答案】(1)3y x =-+；(2)1a =【分析】（1）设一次函数解析式为(0)y kxb k =+≠，根据一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)得230k b k b +=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）将点(2,)a 代入函数解析式中即可得．（1）解：设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，∵一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)∴230k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数解析式为：3y x =-+；（2）解：∵点(2,)a 在函数3y x =-+的图象上，∴231a =-+=．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．【举一反三】【变式1】（2023春·新疆阿克苏·八年级校考阶段练习）设一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），图象过()()2,7,0,3A B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判断点()1,2P -是否在该一次函数图象上．【答案】(1)23y x =+；(2)不在【分析】（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+，利用待定系数法求解即可；（2）把=1x -代入解析式，求得1y =，即可判断．（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+得：273k b b +=⎧⎨=⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为23y x =+；（2）当=1x -时，231y =-+=，∴点()1,2P -不在该一次函数图象上．【点拨】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）已知y 是x 的一次函数，且当0x =时，3y =；当2x =时，1y =-．（1）求一次函数的解析式，（2）若3y <-，求自变量x 的取值范围．【答案】(1)23y x =-+；(2)3x >【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）根据3y <-即可列出不等式即可求解．（1）解：设()0y kx b k =+≠，根据题意得：312b k b =⎧⎨-=+⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是：23y x =-+；（2）解：3y <- ，233x ∴-+<-，解得：3x >，∴自变量x 的取值范围：3x >．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式和解一元一次不等式，正确解方程组求得k 和b 的值是解题的关键．【考点七】一次函数➼➻一次函数的平移【例7】（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）已知一次函数的图象过点()3,5与()4,9--．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若将这个一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x 轴的交点坐标．【答案】(1)一次函数解析式为21y x =-；(2)平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-【分析】（1）设出一次函数的解析式是y kx b =+，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k 、b 的值即可得解；（2）根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令0y =，即可求得x 的值，从而得到图象与x 轴的交点坐标．（1）解：设一次函数的解析式是y kx b =+，将点()3,5与()4,9--的坐标代入得：3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为21y x =-；（2）将21y x =-沿y 轴向上平移3个单位，所得直线的解析式为22y x =+，令0y =得；220x +=，所以=1x -．∴平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-．【点拨】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求出一次函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线()40y kx k =+≠向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k 的值为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．1【答案】C【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，计算求解即可．解：由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，解得2k =，故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点()0,2P ，则这个一次函数的解析式为．【答案】22y x =+【分析】根据互相平行的两直线解析式的k 值相等，得到一次函数的解析式为2y x b =+，再把点()0,2P 代入解析式求解即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行，∴2k =，∴一次函数为2y x b =+，∵一次函数过点()0,2P ，∴20b =+，∴2b =，∴一次函数的解析式为：22y x =+，故答案为：22y x =+．【点拨】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟知：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．【考点八】一次函数➼➻一次函数图象与直线交点坐标【例8】（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线26y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线112y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E．（1）求出A ，E 两点的坐标；（2）求四边形AODE 的面积．【答案】(1）点A 坐标为()3,0-，点E 坐标为()2,2-；(2)4【分析】（1）对于26y x =+，当0y =时求出x ，即可得到点A 的坐标，联立两个函数的解析式，求出方程组的解即可得出点E 的坐标；（2）先求出点D 、C 的坐标，再利用面积的和差解答即可．（1）对于26y x =+，当0y =时，260x +=，解得3x =-，∴点A 坐标为()3,0-，联立26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点E 坐标为()2,2-；（2）对于112y x =-+，当0y =时，1102x -+=，解得2x =，∴点C 坐标为()2,0，∴235AC =+=，当0x =时，1y =，∴点D 坐标为()0,1，∴1OD =，∴115221422AEC ODC AODE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 四边形．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023春·江西新余·八年级统考期末）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =；④当3x <时，12y y <中．则正确的序号有（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当3x <时，一次函数1y kx b =+在直线2y x a =+的上方，则可对④进行判断．解：∵一次函数1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴00k b <>，，所以①正确；∵直线2y x a =+的图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴a<0，所以②错误；∵一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标为3，∴3x =时，kx b x a +=+，整理得kx x a b -=-，则关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =，所以③正确；当3x <时，1y kx b =+图像在2y x a =+图像的上方，∴12y y >，所以④错误．故选：B ．【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．【考点九】一次函数➼➻一次函数图象与二元一次不等式组【例9】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象．（1）方程0kx b +=的解为______，不等式4kx b +<的解集为______；（2）若正比例函数y mx =（m 为常数，且0m ≠）与一次函数y kx b =+相交于点P （如图2），则不等式组00mx kx b >⎧⎨+>⎩的解集为______；（3）比较mx 与+kx b 的大小（根据图象直接写出结果）．【答案】(1)2x =，0x >；(2)02x <<；(3)当1x <时，mx kx b <+；当1x =时，mx kx b =+；当1x >时，mx kx b >+【分析】（1）根据点A 的坐标即可方程0kx b +=的解，再根据点B 的坐标即可得不等式4kx b +<的解集；（2）根据函数图象分别求出不等式0mx >和不等式0kx b +>的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；（3）根据点P 的横坐标，分1x <、1x =、1x >三种情况，结合函数图象即可．（1）解：由函数图象可知，方程0kx b +=的解为2x =，不等式4kx b +<的解集为0x >，故答案为：2x =，0x >；（2）解：由函数图象可知，不等式0mx >的解集为0x >，不等式0kx b +>的解集为2x <，则这个不等式组的解集为02x <<，故答案为：02x <<；（3）解：由函数图像可知，当1x <时，mx kx b <+，当1x =时，mx kx b =+，当1x >时，mx kx b >+．【点拨】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b=+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【变式2】（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，直线11l y kx =+：与x 轴交于点D ，直线2l y x b =-+：与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，直线1l 与2l 交于点()2,C m ．（1）求的值；（2）求ADC 的面积；【答案】(1)12k =；(2)6【分析】（1）将点()1,5B -，代入直线2l ：y x b =-+得出4b =，进而得出直线2l ：4y x =-+，然后得出()2,2C ，代入1y kx =+，即可求解；（2）先求得A ，D 的坐标，进而根据三角形面积公式，即可求解．（1）解： 直线2l ：y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，51b ∴=+，4b ∴=，∴直线2l ：4y x =-+，直线2l ：4y x =-+经过点()2,C m ，242m ∴=-+=，()2,2C ∴，把()2,2C 代入1y kx =+，得12k =．∴12k =，4b =，2m =；（2）对于直线1l ：y =121x +，令0y =，得到2x =-，()2,0D ∴-，2OD ∴=，。

专题04一次函数（考点清单）思维导图考点一函数【考试题型1】函数的概念【典例1】下列各曲线中，能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据函数的概念即可解答．【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数．则只有D 选项符合题意故选：D ．【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一本的值与其对应，那么就说y 是x 的函数．【专训1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）自变量x 与因变量y 的关系如图，当x 每增加1时，y 增加．【答案】3【分析】已知函数关系式，将(1)x 的值代入，并计算出对应的y 值，进行比较即可求解．【详解】解：已知310y x ，当x 每增加1时，即设1x x ，∴对应的3(1)10313y x x ，∴313(310)3y y x x ，∴当x 每增加1时，y 增加3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查函数的概念，自变量与函数值的计算方法，掌握函数的概念，自变量与函数值的计算方法是解题的关键．【专训1-2】（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）周末，乐乐坐公交车到兴庆公园，他出发后0.8时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园，如图是他们离家路程 km s 与乐乐离家时间 h t 的关系图．(1)图中自变量是________，因变量是________；（填字母）(2)乐乐在新华书店逗留了________h ；乐乐出发________h 后爸爸驾车出发；(3)分别求出乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；(4)求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程s 与坐车时间t 之间的关系式．【答案】(1)t ，s(2)1.7，2.5(3)乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度为 12km/h ；爸爸驾车的平均速度为30km/h (4)1500.8s t t 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；（2）根据图象中数据，即可求解．；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）根据图象得出乐乐的速度为 15km/h ，即可得他离家路程s 与乐乐离家时间t 之间的关系式．【详解】（1）解：由图可得：自变量是时间（t ），因变量是路程（s ），故答案为：t ，s ；（2）解：由图可得，乐乐在新华书店逗留了2.50.8 1.7h ，乐乐出发2.5h 后爸爸驾车出发；故答案为：1.7，2.5．（3）乐乐从新华书店到泉城公园的平均速度为：301212km/h 4 2.5 ，乐乐爸爸驾车的平均速度为： 3030km/h 3.5 2.5；（4）设乐乐从家到新华书店的速度为 1215km/h 0.8∴乐乐从家到新华书店时，他离家路程s 与坐车时间t 之间的关系式： 1500.8s t t ．故答案为： 1500.8s t t ．【点睛】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．【考试题型2】函数的解析式【典例2】如图，这是圆柱形罐头图片，若罐头的底面半径为x 分米，高为1分米，体积为y 升，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．2y x B ．3y x C ．2y x D ．22y x 【答案】A 【分析】利用圆柱的体积公式列出关系式即可．【详解】解：由题意可得：221y x x ，故选A ．【点睛】本题考查了列函数关系式，解题的关键是熟练运用圆柱的体积公式．【专训2-1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为x 米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米2．（1）写出买地砖需要的钱数y （元）与x （米）的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）当3x 时，地砖的费用为元．【答案】2312060y x x 8820【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数 小路的面积 每平方米地砖的价格，进行计算即可解答；（2）把3x 代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答．【详解】（1）由题意得：两条小路的面积为：223220(52)x x x x x 米2，2260(52)312060y x x x x ，故答案为：2312060y x x ；（2）当3x 时，2312060312036098820x x （元)，答：当3x 时，地砖的费用为8820元．【点睛】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关键．【专训2-2】（2023春·陕西咸阳·七年级校考期中）周末，乐乐坐公交车到兴庆公园，他出发后0.8时到新华书店，逗留一段时间后继续坐公交车到公园．乐乐离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往兴庆公园，如图是他们离家路程 km s 与乐乐离家时间 h t 的关系图．(1)图中自变量是________，因变量是________；（填字母）(2)乐乐在新华书店逗留了________h ；乐乐出发________h 后爸爸驾车出发；(3)分别求出乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度以及爸爸驾车的平均速度；(4)求出乐乐从家到新华书店时，他离家路程s 与坐车时间t 之间的关系式．【答案】(1)t ，s(2)1.7，2.5(3)乐乐从新华书店到兴庆公园的平均速度为 12km/h ；爸爸驾车的平均速度为30km/h (4)1500.8s t t 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；（2）根据图象中数据，即可求解．；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）根据图象得出乐乐的速度为 15km/h ，即可得他离家路程s 与乐乐离家时间t 之间的关系式．【详解】（1）解：由图可得：自变量是时间（t ），因变量是路程（s ），故答案为：t ，s ；（2）解：由图可得，乐乐在新华书店逗留了2.50.8 1.7h ，乐乐出发2.5h 后爸爸驾车出发；故答案为：1.7，2.5．（3）乐乐从新华书店到泉城公园的平均速度为：301212km/h 4 2.5 ，乐乐爸爸驾车的平均速度为： 3030km/h 3.5 2.5；（4）设乐乐从家到新华书店的速度为1215km/h 0.8 ∴乐乐从家到新华书店时，他离家路程s 与坐车时间t 之间的关系式： 1500.8s t t ．故答案为： 1500.8s t t ．【点睛】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．【考试题型3】求自变量的值【典例3】某种正方形合金板材的成本y （元）与它的面积成正比，设边长为x 厘米．当3x 时，18y ，那么当6x 时，这种正方形合金板材的成本是（）A ．36元B ．72元C ．108元D ．144元【答案】B【分析】设2y kx ，将已知数据代入，求出k 值，得到关系式，再将6x 代入计算即可．【详解】解：设2y kx ，当3x 时，18y ，则2183k ，解得：2k ，∴22y x ，当6x 时，22672y ，即这种正方形合金板材的成本是72元，故选B ．【点睛】本题考查了函数的应用，解题的关键是正确求出成本关于边长的函数关系式．【专训3-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知2(3)f x x x ，那么(1)f 的值为．【答案】4【分析】理解函数定义，代入求解．【详解】解：2(1)1314f ．故答案为：4【点睛】本题考查求函数值，理解函数的相关定义是解题的关键．【专训3-2】（2023春·山东泰安·六年级统考期末）如图，长方形ABCD 中，8BC ，5CD ，点E 为边AD 上一动点．连接CE ，随着点E 的运动，四边形ABCE 的面积也发生变化．(1)写出四边形ABCE 的面积y 与AE 的长 08x x 之间的关系式．(2)当x 从6变化到3时，y 的值发生了怎样的变化．(3)当四边形ABCE 的面积为752时，求DE 的长．【答案】(1)520(08)2y x x (2)当x 从6变化到3时，y 的值从35变化到552(3)1【分析】（1）根据梯形的面积公式代入数值即可找到y 与x 之间的关系式；（2）分别将6x 和3x 代入函数关系式求值即可；（3）将35y 代入函数关系式求值即可．【详解】（1）解：∵梯形的面积 2 上底+下底高，∴ 155820(08)22y x x x （2）当6x 时，5620352y；当3x 时，55532022y ； 当x 从6变化到3时，y 的值从35变化到552；（3）由题可知752y ，即5752022x ，解得：7x ，即7AE ，871DE BC AE ．【点睛】本题考查了梯形的面积，函数关系式中的求值等知识点，数形结合是解题的关键．【考试题型4】函数图像认识【典例4】一列火车从甲站出发开往乙站，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，临近乙站时开始减速直至停下，下面能大致刻画火车的速度与时间之间关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意可以分析出速度随着时间的变化情况，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，火车刚开始做匀加速运动到后来刚开始匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加而增大，火车匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加不发生变化，火车匀速运动到到达下一个车站停下这一过程中，速度随着时间的增加而减小，直到为零，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【专训4-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第幅描述了小明的行为（填序号）．【答案】②【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可．【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意；②由图可知，速度先快后慢，符合题意；③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意；④由图可知，速度先慢后快，不符合题意；故答案为：②．【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．【专训4-2】（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考开学考试）某市自来水公司为鼓励单位节约用水，额定某单位每月计划内用水3000吨．计划内用水每吨收费1.5元，超额部分按每吨2.4元收费．(1)写出这个单位每月消费y (元)与用水量x (吨)之间的函数关系式；(2)若该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费各为多少？【答案】(1) 1.5(03000)2.42700(3000)x x y x x (2)该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费分别为4980元和4200元【分析】（1）根据题意，分03000x 时，3000x 时，分别列出函数关系式，即可求解；（2）将3200,2800x 分别代入（1）的关系式，即可求解．【详解】（1）当03000x 时， 1.5y x ；当3000x 时， 3000 1.53000 2.4 2.42700y x x ，∴y 与x 之间的函数关系式为 1.5(03000)2.42700(3000)x x y x x；（2）∵32003000 ，∴ 2.4320027004980y （元），∵28003000∴ 1.528004200y （元），答：该单位1、2月份分别用水3200吨和2800吨，水费分别为4980元和4200元．【点睛】本题考查了列函数关系式，求函数值，根据题意分别列出函数关系式解题的关键．【考试题型5】函数的三种表示方法【典例5】下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r 和w 分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w 与r 之间的关系的是（）红色瓷砖数量（r ）34567白色瓷砖数量（w ）68101214A ．3w r B ．2w r C ．2r w D ．7w r 【答案】B 【分析】根据图表，观察发现w 的值是r 的值的2倍可得w 与r 之间的表达式．【详解】根据表格可知，w 与r 之间的关系式是2w r ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛．【专训5-1】（2022秋·广东河源·八年级校考期中）设地面气温为20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃．如果高度用h （km ）表示，气温用t （℃）表示，那么t 随h 的变化而变化的关系式为．【答案】t ＝﹣6h +20【分析】根据题意即可列出函数．【详解】解：由地面气温为20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃，得t ＝﹣6h +20，故答案为：t ＝﹣6h +20．【点睛】此题主要考查列函数关系式，解题的关键是根据题意找到数量关系列出函数关系式．【专训5-2】（2023春·西藏那曲·八年级统考期末）下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中x 表示时间，y 表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题：(1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分；(2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分；(3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？【答案】(1)2.5，15；(2)1，20；(3)370km/分．【分析】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间；（2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间；（3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．【详解】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟；（2）由纵坐标看出体育场离文具店 2.5 1.51 （千米），由横坐标看出扎西在文具店停留了654520 （分）；故答案为：1；20；（3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟，扎西从文具店回家的平均速度是31.53570（千米/分），答：扎西从文具店回家的平均速度是370千米/分钟．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．【考试题型6】动点问题的函数图像【典例6】如图，点M 和点N 同时从正方形ABCD 的顶点A 出发，点M 沿着AB BC 运动，点N 沿着AD DC 运动，速度都为2cm/s ，终点都是点C ．若4cm AB ，则AMN 的面积 2cm S 与运动时间 s t 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】当02t 时，212222ANM S t t t ；当24t 时，ANM ABCD AND ABM CNM S S S S S ，结合图形，即可求解．【详解】解：当02t 时，如图，∴2AM t ，2AN t ，∴212222ANM S t t t，此时抛物线开口向上．当24t 时，如图，∴2cm BM t ，2cm AN DN t ，∵4cm AB ，四边形ABCD 是正方形，∴4cm AD ，∴(24)cm DN t ，(24)cm BM t ，∴4(82)cm CN DN t ，4(82)cm CM BM t ∴ANM ABCD AND ABM CNMS S S S S 2211442424822822t t t t ，此时抛物线的开口向下．综上，选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．【专训6-1】（2023春·山东淄博·六年级统考期末）如图，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿B C D A 匀速运动，设点P 运动的路程为x ，三角形ABP 的面积为y ，图象如图所示，则梯形ABCD 的面积是．【答案】26【分析】根据图象得出BC 的长，以及此时三角形ABP 面积，利用三角形面积公式求出AB 的长即可；由函数图象得出DC 的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD 面积即可．【详解】解：根据图象得：4BC ，当点P 运动到点C 时，ABP 面积为16，∴1162AB BC ，即14162AB ，∴8AB ，由图象得：945DC ，∴ 115842622S CD AB BC 梯形A BCD ．故答案为：26．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键．【专训6-2】（2023·上海·八年级假期作业）在弹性限度范围内，弹簧挂上适当的重物后会按一定的规律伸长，已知一弹簧的长度 cm y 与所挂物体的质量 kg x 之间的关系如下表：所挂物体的质量/kg x 0123456弹簧的长度/cmy 1414.815.616.417.21818.8（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？（2）在弹性限度范围内写出y 与x 之间的关系式；（3）当所挂物体的质量为8.5kg 时（在弹性限度范围内），求弹簧的长度．（4）在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为22cm ，求物体质量x 的取值范围？【答案】（1）所挂物体质量及弹簧长度间的关系；所挂物体质量为自变量；（2）y =14+0.8x ；（3）20.8cm ；（4）0≤x ≤10．【分析】（1）由题意易得；（2）由表中数据知，所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，由此可得y 与x 的关系式；（3）当x =8.5时，代入（2）中所得的关系式中，即可求得结果；（4）当y =22时，代入（2）中所得的关系式中，可求得所挂物体的最大质量，从而求得物体质量的取值范围．【详解】（1）由题意，弹簧的长度随着物体质量的变化而变化，所以上表反映了所挂物体质量及弹簧长度间的关系，其中所挂物体质量为自变量；（2）由表知：所挂物体质量每增加1千克，弹簧长度伸长0.8厘米，则当物体质量为x 千克时，y =14+0.8x 即在弹性限度范围内写出y 与x 之间的关系式为：y =14+0.8x ；（3）当x =8.5时，y =14+0.8×8.5=20.8即此时弹簧长度为20.8厘米；（4）当y =22时，22=14+0.8x 解得：x =10即在弹性限度范围内，弹簧伸长后的最大长度为22cm 时，所挂物体的最大质量为10千克所以x 的取值范围为：0≤x ≤10．【点睛】本题考查了函数的表示方法，求函数值，已知函数值求自变量的值，解答本题的关键是读懂表格，根据表格信息得到所需的条件．考点二一次函数与正比例函数【考试题型1】正比例函数的定义【典例1】下列函数中是正比例函数的是（）A ．8y xB ．8y xC ．256y x D ．112y x【答案】A【分析】根据正比例函数的定义，y kx （0k ），对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】解：A.8y x ，是正比例函数，故该选项符合题意；B.8y x，自变量x 在分母上，不是正比例函数，故该选项不符合题意；C.256y x ，自变量x 的指数是2，不是1，不是正比例函数，故该项不符合题意，D.112y x，是一次函数，不是正比例函数，故该项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的关系式表示为：(y kx k 为常数且0k ，)．正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y kx b 中，若0b ，即所谓“y 轴上的截距”为零，则为正比例函数．【专训1-1】（2023秋·全国·八年级专题练习）若2(1)1y a x a 是关于x 的正比例函数，则2023a 的值为．【答案】1【分析】利用正比例函数的定义分析得出a ，再代入计算即可求解．【详解】解：2(1)1y a x a ∵是关于x 的正比例函数，210a 且10a ，解得：1a ，20232023(1)1a ．故答案为：1 ．【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．【专训1-2】（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）如图1，四边形ABCD 是一个长方形，一动点P 在长方形ABCD 边上运动，设点P 运动的路程为cm x ，APD △的面积为2cm S ，S 与x 的关系图象如图2所示．动点P 从点A 出发，沿路线A B C D 运动到点D 停止，已知点P 在AB 边上运动时的速度为1cm /s ，在BC 边上运动时的速度为2cm /s ，在CD 边上运动时的速度为3cm /s ．(1)根据图2可知，CD __________cm ；(2)求出点P 由点A 运动到点D 的总时间；(3)当S 的值为21时，求点P 的运动时间．【答案】(1)10(2)49s 3(3)7s 或14s【分析】（1）根据图1图2可直接得出结果；（2）由题意可知10cm AB CD ， 16106cm BC ，再结合题干中所给的运动速度即可得出结果；（3）分点P 在AB 上运动，与点P 在CD 上运动时两种情况下S 的值为21求解即可．【详解】（1）解：由题意可知， 261610cm CD ，故答案为：10；（2）点P 由点A 运动到点D 的总时间 4910116102103s 3（3）①设点P 在AB 上的运动时间为s t ，则161212t ，解得7t ；②设点P 在CD 上运动时间为s m ， 16103212m ，解得1m ，点P 的运动时间为 103114s ，综上所述，当S 的值为21时，点P 的运动时间为7s 或14s ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．【考试题型2】一次函数的定义【典例2】下列函数中，是一次函数的是（）A ．231y x B ．112y xC ．2y xD ．12y x【答案】B【分析】根据一次函数的定义：形如y kx b （k 、b 为常数且0k ）的函数，由此问题可求解．【详解】解：A 、231y x 不是一次函数，故不符合题意；B 、112y x 是一次函数，故符合题意；C 、2y x不是一次函数，故不符合题意；D 、12y x不是一次函数，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．【专训2-1】（2023春·云南大理·八年级统考期末）若 2269m y m x是一次函数，则m 的值是．【分析】根据一次函数的定义得出21m 且260m ，再求出m 即可．【详解】解：∵函数 2269m y m x 是关于x 的一次函数，∴21m 且260m ，解得：3m ，故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出21m 且260m 是解此题的关键．【专训2-2】（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）已知1y 与3x 成正比例，当1x 时，7y ．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当2x 时，求y 的值．【答案】(1)411y x (2)19【分析】（1）设1(3)y k x （k 为常数，0k ），把1x ，7y 代入求出k 即可；（2）把2x 代入411y x ，即可求出答案．【详解】（1）解：1y ∵与3x 成正比例，设1(3)y k x （k 为常数，0k ），把1x ，7y 代入得：71(13)k ，解得：4k ，即411y x ，y 与x 之间的函数关系式是411y x ；（2）当2x 时，421119y ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．【考试题型3】根据一次函数求参【典例3】函数 3215n y m xm 是关于x 的一次函数的条件为（）A ．5m 且2n B ．2n C ．12m且2n D ．12m【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵ 3215n y m x m 是关于x 的一次函数，∴31210n m，解得：212n m，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如y kx b （k ，b 为常数，0k ）的函数，叫作一次函数．【专训3-1】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）若一次函数224y m x m 经过坐标原点，则m．【答案】2【分析】根据一次函数图象过原点，把 0,0代入解析式，求出m 的值，还需要考虑一次项系数不能为零．【详解】解：根据一次函数图象过原点，把 0,0代入解析式，得204m ，整理得24m ，解得2m ，∵20m ，∴2m ，∴2m ．故答案为：2．【点睛】本题考查一次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足一次项系数不能为零的隐藏条件．【专训3-2】（2022秋·八年级课时练习）学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：(1)写出总人数y （人）与方桌数x （张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y 是不是x 的一次函数；(2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？【答案】(1)22y x (2)20张【分析】（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可；（2）将y =42代入（1）中的函数关系式即可求出．【详解】（1）解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，∴如果是x 张方桌，则所坐人数是 42122x x ．∴y 与x 之间的函数解析式为22y x ，（2）解：把42y 代入22y x ，得2242x ，解得20x =．答：需要20张这们样的方桌．【点睛】本题考查了根据图形求一次函数的解析式，及一次函数的判断、求自变量的取值，根据图形列出函数表达式是解题的关键．【考试题型4】求一次函数自变量的值【典例4】在关系式123y x 中，当因变量=2y 时，自变量x 的值为()A ．83B ．－4C ．－12D ．12【答案】D【分析】=2y 代入解析式，得一元一次方程，求解即可．【详解】解：=2y 时，1223x ，解得12x ；故选：D ．【点睛】本题考查函数解析式与方程的联系，一元一次方程求解，理解函数解析式与方程的联系是解题的关键．【专训4-1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x 过点(,)P a b ，则32023a b 的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x 即可得到34a b ，代入32023a b 即可求解．【详解】解：∵直线34y x 过点(,)P a b ，34b a ，34a b ，32023420232019a b ，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b 是解题的关键．【专训4-2】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数 2324m y m x m ，(1)当m 是何值时函数是一次函数．(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x 时的函数值．(3)点 ,2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】(1)2m (2)42y x ，当1x 时，2y (3)1n 【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x 代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y ，求出此时x 的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵函数 2324my m x m 是一次函数，∴22031m m ，∴2m ，∴当2m 时，函数 2324my m x m 是一次函数；（2）解：由（1）得 232442m y m x m x ，∴当1x 时，4122y ；（3）解：在42y x 中，当422y x 时，1x ，∴ 1,2A ，∴1n ．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b （其中k 、b 都是常数，且0k ）的函数叫做一次函数．【考试题型5】用一次函数解析式求值【典例5】对于一次函数y kx b （k ，b 为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）x1 0123y2 5 8 12 14A ．14B ．12C ．8D ．5 【答案】B 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入1x ，2x 及3x 求出与之对应的y 值，再对照表格中的y 值即可得出结论．【详解】解：将 1,2 ， 0,5 代入y kx b ，得：25k b b，解得：35k b ，∴一次函数的解析式为35y x ．当1x 时，3158y ；当2x 时，32511y ，1112 ；当3x 时，33514y ．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y kx b 是解题的关键．【专训5-1】（2022秋·八年级课时练习）已知：不论m 为何值，点P （m ，4m -5）都在直线l 上，若Q （a ，b ）是直线l 上的点，则4a -b 值是．【答案】5【分析】根据题意可得直线l 的解析式为45y x ，再由Q （a ，b ）是直线l 上的点，可得45b a ，即可求解．【详解】解：根据题意得：直线l 的解析式为45y x ，∵Q （a ，b ）是直线l 上的点，∴45b a ，∴45a b ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意得到直线l 的解析式为45y x 是解题的关键．【专训5-2】（2023秋·陕西西安·八年级西北大学附中校考开学考试）如图，是一个“因变量随着自变量变化而变化”的示意图，下面表格中输入x…﹣202…输出y …2m 18…(1)直接写出：k，b ，m ；(2)当输入x 的值为1﹣时，求输出y 的值；(3)当输出y 的值为12时，求输入x 的值．【答案】(1)9，6，6(2)4(3)43【分析】（1）根据21x ，把2x ，2y 代入2y x b 可得b 的值；根据21x ，把2x ，18y 代入y kx 可得k 的值；根据01x ，把0x ，y m 代入26y x 可得m 的值；（2）根据11x ，代入26y x 可得y 的值；（3）分1x 或1x 两种情况，把12y 分别代入26y x 和9y x ，求得x 的值，再根据x 的取值范围判断可得结果．【详解】（1）解：把2x ，2y 代入3y x b 得24b ，解得6b ，把2x ，18y 代入y kx 得182k ，解得9k ，把0x ，y m 代入24y x 得06m ，解得6m ．。