二、特殊图形

第2章特殊三角形单元复习1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质.2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定.3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决.考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是()A. B. C. D.例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种.考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A)A.72°或45°B.45°或36C.36°或90°D.72°或90°例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求证：∠ACE是等腰三角形.（2）若AC＝13cm，CE＝24cm，求∠ACE的面积.1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一).2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).3.在①等腰、②底边上的高、③底边上的中线、④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.（绍兴市柯桥区）在∠ABC中，与∠A相邻的外角是140°，要使∠ABC是等腰三角形，则∠B的度数是.4.（嘉兴市）如图所示，∠ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝.(第4题）5.（杭州市江干区）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题.考点三：直角三角形的性质与判定例5 （杭州市余杭区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是(C)A.64B.42°C.32°D.26°例6 （天台县）如图所示，在Rt∠ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∠BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1.（1）求∠B的度数.（2）求CN的长.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中，两个锐角互余；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.6.（杭州市拱墅区）在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝70°，则∠A的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°7.（绍兴市越城区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于()A.30°B.40°C.50°D.60°8.（嘉善县）如图所示，在∠ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.考点四：线段的中垂线与角平分线例7 （德清县）如图所示，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∠OB，EC∠OB于点C，EG∠OA于点G，若EC=√3，则OF的长度是()A.2√3B.√3C.3D.2例8 （杭州市西湖区）在∠ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为.（用含α的代数式表示）1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不必证明全等.2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.9.（宁波市江北区）如图所示，在∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝2，则AC＝.(第9题）(第10题）10.（杭州市临安区）如图所示，AB∠CD，∠ABC和∠DCB的平分线BP，CP交于点P，过点P作PA∠AB于点A，交CD于点D.若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝.考点五：勾股定理例9 （嘉兴市）如图所示的图案由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是.例10 （慈溪市）如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，若CD＝5，则AE＝.1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2.2.勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.11.（湖州市南浔区）如图1所示，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为()图1 图2A.5B.5.5C.5.8D.612.（临海市）如图所示，在∠ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2√3.(第12题）（1）求证：∠ABC是直角三角形.（2）D是AC上的中点，求BD的长.考点六：等边三角形与直角三角形例11 （杭州市临安区）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为D，E.（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD＝AE.（2）如图2所示，若AB＝1，BC＝2，求DE的长.（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数.图1 图2 图31.等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线都是对称轴.2.等腰直角三角形是另一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即两个锐角相等且都是45°；斜边上的中线、斜边所对角的角平分线、斜边上的高三线合一.13.（余姚市）如图所示，∠BAC＝90°，B是射线AM上的一个动点，C是射线AN上一个动点，且线段BC 的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连结AD.若2AD＝BC，则∠ABD的度数是.(第13题）14.（杭州市余杭区）如图所示，∠ABC和∠DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.(第14题）（1）求证：BD＝AE.（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积.本章主要易错点1.注意轴对称与轴对称图形的区别，轴对称是指两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形本身的特征.2.“等边对等角”“等角对等边”指的是同一个三角形中边角之间的转化关系，不能与全等混淆.3.等腰三角形“三线合一”的“三线”是指底边的中线、高线和顶角平分线.4.勾股定理描述直角三角形边之间的关系，主要应用于线段长度的计算，注意其前提条件是在直角三角形中，因此构造直角三角形是应用勾股定理最重要的一个步骤.5.等腰三角形中按边分类、直角三角形中按直角分类是特殊三角形问题中常见的分类讨论，要注意合理分类. 练习1.（杭州市江干区）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°2.（湖州市吴兴区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A. 125B. 245C. 135D. 75(第2题）(第3题）(第4题）(第5题）(第6题）3.（杭州市江干区）如图所示，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，DE 是斜边AB 的中垂线，交AC 于点E ，∠EBC 的周长为14，则AB ＝ .4.（嘉兴市）如图所示，已知正方形ABCD 的边长是2cm ，E 是CD 边的中点，点F 在BC 边上移动，当AE 恰好平分∠FAD 时，CF ＝ cm.5.（杭州市萧山区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，S ∠ABC ＝8√3，M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，AC 上任意一点. （1）AB 的长为 .（2）PM+PN 的最小值为 .6.（嵊州市）如图所示，∠ABC 是边长为12的等边三角形，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BE ＝BD ＝10，P 是线段DE 上的一个动点，分别作点P 关于AB ，AC ，BC 的对称点P 1，P 2，P 3，若连结P 1，P 2，P 3所得的三角形是等腰三角形，则DP ＝ .。

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几何图形计算公式大全在几何学中，几何图形的计算公式是非常重要的，它们可以帮助我们计算图形的各种属性，比如面积、周长、体积等。

本文将为大家整理几何图形的计算公式大全，希望能对大家的学习和工作有所帮助。

一、基本图形的计算公式。

1. 正方形，正方形的面积计算公式为，A = a²，其中a为正方形的边长；周长计算公式为，P = 4a。

2. 长方形，长方形的面积计算公式为，A = l w，其中l为长，w为宽；周长计算公式为，P = 2(l + w)。

3. 圆形，圆的面积计算公式为，A = πr²，其中π为圆周率，r为圆的半径；周长计算公式为，C = 2πr。

4. 三角形，三角形的面积计算公式为，A = 1/2 b h，其中b为底边长，h为高；周长计算公式为，P = a + b + c。

5. 正方体，正方体的体积计算公式为，V = a³，其中a为边长；表面积计算公式为，S = 6a²。

二、特殊图形的计算公式。

1. 梯形，梯形的面积计算公式为，A = 1/2 (a + b) h，其中a和b为上下底长，h为高；周长计算公式为，P = a + b + c + d。

2. 圆柱，圆柱的体积计算公式为，V = πr²h，其中r为底面半径，h为高；表面积计算公式为，S = 2πr² + 2πrh。

3. 锥形，锥形的体积计算公式为，V = 1/3 πr²h，其中r为底面半径，h为高；表面积计算公式为，S = πr² + πrl，其中l为斜高。

4. 球体，球体的体积计算公式为，V = 4/3 πr³，其中r为半径；表面积计算公式为，S = 4πr²。

三、复合图形的计算公式。

1. 复合图形的面积计算公式，首先将复合图形分解为基本图形，然后分别计算各个基本图形的面积，最后将各个基本图形的面积相加即可得到复合图形的总面积。

2. 复合图形的周长计算公式，同样的方法，将复合图形分解为基本图形，然后分别计算各个基本图形的周长，最后将各个基本图形的周长相加即可得到复合图形的总周长。

平行四边形的定义、性质与判定作者：田载今来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第03期人教版初中数学教科书的第十八章《平行四边形》的主要内容有：（一）平行四边形的定义、性质和判定；（二）特殊的平行四边形（矩形、菱形和正方形）的定义、性质和判定，通过学习这些内容，同学们将对几何图形中的一类重要图形——平行四边形有更深入的认识.一、一般平行四边形的定义、性质和判定1.定义同学们在小学数学中已经接触过平行四边形.在现实世界中，形状为平行四边形的物体比比皆是.图1是一个花坛的平面图，它由三种形状不同的平行四边形组成.每种平行四边形各有4个，安排在不同的位置上，一种几何图形的内涵式定义，是对这种图形最基本的特征的揭示.尽管有形形色色的平行四边形，但它们都有共同的最基本的特征，即“两组对边分别平行”.于是，平行四边形就被定义为：两组对边分别平行的四边形.2.性质研究图形的性质，就是在确定考查的对象是某种图形后，再考虑还有哪些结论适合于它.虽然一种图形的定义给出了这种图形的最基本的特征，但是定义本身不一定能够直接反映出这种图形的所有性质.通常，我们可以利用定义进一步推导出图形所具有的最基本特征之外的其他特性，根据平行四边形是“两组对边分别平行的四边形”，利用三角形全等就可以推导出平行四边形的“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等一系列性质.在这些性质的推导过程（如图2）中，三角形这一最简单的多边形发挥了重要的作用.实际上，图形的所有性质都是由图形的定义确定的.虽然定义本身并未直接表述出所有的性质，但是在定义中已经隐含了它们.以定义为出发点，可以逐步推导出所有的性质.教科书中通常在给出一种图形的定义后，会继续讨论由它能进一步推出哪些结论，即得出经常会用到的这种图形的某些主要性质.当然，这种图形很可能还有一些教科书未曾提及的其他性质.例如，平行四边形除了具有教科书中所说的“对边平行且相等”“对角相等”“对角线互相平分”等主要性质之外，还有“对角线的平方和等于四条边的平方和”这个性质.它可以证明如下，如图3，作平行四边形ABCD的高线DE.CF.利用全等三角形可以证明AE=BF.3.判定图形的判定，是讨论图形时须研究的另一类问题.这是指，当一个对象满足哪些条件时，就可以确定它属于某种图形的范畴.例如，当一个图形满足哪些条件时，就可以确定它是平行四边形.除了用是否符合定义来判断一个对象是否属于某种图形的范畴之外，还可以通过检验对象是否满足定义以外的一些其他条件，来完成这样的判断.这样的条件叫做判定条件.所谓判定条件，就是可以由其推导出“定义巾的条件”的那些条件，例如，我们看一个四边形是否为平行叫边形，可以看它是否满足“一组对边平行且相等”或者“两组对边分别相等”或者“两组对角分别相等”或者“对角线互相平分”，因为由这些条件叶1的任何一个条件，都可以推导出四边形的“两组对边分别平行”，所以满足上述任何一个条件的四边形都是平行四边形.在得出这些判定条件的推导过程中，同样利用了全等三角形，例如，由四边形的“对角线互相平分”，通过全等三角形，可以推导出“对边互相平行”（图4）.4.“性质”和“判定”的关系图形的性质和判定，是两类不同的问题，讨论一种图形的性质，是在确定对象已经是某种图形的前提下进行的；讨论一种图形的判定，是为了确定对象是某种图形.有时，在分析某个问题的过程中，这两类问题都会出现.请看下面的问题.已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD互相平分，试问：四边形ABCD的四条边与两条对角线有什么关系？由对角线AC和BD互相平分，可以知道四边形ABCD是平行四边形.由此又可以知道AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²，即四边形ABCD的四条边的平方和等于对角线的平方和.在这个问题的分析过程中，既有“判定”又有“性质”.第一步是判定四边形ABCD是平行四边形，第二步则是应用了前面说过的平行四边形的性质，一种图形具有某条性质，是否就可以反过来把这条性质当作这种图形的一个判定条件呢？不是，并不是一种图形的每个性质都可以拿来作为这种图形的判定条件的.例如，平行四边形也具有“内角和为360°”的性质，但这是任一四边形都具有的性质，所以它并不能作为平行四边形的判定条件.有些性质是平行四边形所独有的，其他图形不具备，例如“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”等，这样的性质才可以反过来作为平行四边形的判定条件，二、特殊平行四边形的定义、性质和判定矩形、菱形和正方形是三种特殊的平行四边形.1.定义特殊图形的定义方式，通常是以一般图形为基础，再加上特殊图形的最基本的特征.这些特征是区别特殊图形与其他图形的标志.特殊平行四边形的定义结构：同学们会发现，矩形和菱形都是以平行四边形为基础再加上特殊限定条件而定义的，所以它们是特殊的平行四边形.而正方形显然是在四边形的基础上定义的，为什么也说它是特殊的平行四边形呢？正方形即正四边形，而正n边形统一定义为“n条边都相等，n个角都相等的n 边形”，所以正方形采川了如上的定义.但由正四边形的“四条边都相等”或“四个角都相等”，都可判定正四边形是平行四边形，所以正方形是特殊的平行四边形，而且它兼具菱形和矩形的基本特征.它是特征更多的平行四边形.四边形、平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系如图5所示.图6也能表示平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的包含和从属关系.2.性质特殊平行四边形除了具有一般平行四边形的性质之外，还有它自己的特性，从特殊平行四边形的定义出发，利用它的最基本的特征，还可以进一步得出一些其他特性.这些推导要用到一般平行四边形的性质以及全等三角形的性质等.3.判定特殊的平行四边形除了可以根据定义判定之外，还有一些其他的判定条件，推导这些判定条件要用到一般平行四边形的性质以及全等三角形的性质等，边、角和对角线是四边形中的基本元素，也是判定条件中的考查对象，只有当它们满足判定条件中的全部要求时，才能作出判定.只满足判定条件中的部分要求时，则不能下结论.例如，对角线要满足“相等”“互相垂直”“互相平分”三个条件时，才能判定四边形是正方形.如果只知道一个四边形的“对角线相等且互相垂直”，则不能轻易断定该四边形是正方形，图7的筝形就是反例，它的两条对角线相等且互相垂直，但不满足“互相平分”，显然它不是正方形，也不是平行四边形.。