2019北京市西城区高三二模数学(文)

2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．14．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜65．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有部优秀影片．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n﹣3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n﹣4n，求数列{b n}的前n项和T n．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，∴={x|x≤0}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|x≤0}，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以及奇函数定义，减函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．反比例函数在R上没有单调性，∴该选项错误；B.，图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=﹣x3的定义域为R，且﹣（﹣x）3=﹣（﹣x3）；∴该函数为奇函数；x增大时，x3增大，﹣x3减小，即y减小，∴该函数在R上单调递减；∴该选项正确；D．对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选C．3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，，解，即A（，），代入目标函数z=x+3y，得z=+3×=．故z=x+3y的最大值为．故选：B．4．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i＜5；故选：C．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“m＞n＞0”，知“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”；由“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，知“n＞m＞0”．所以“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“m＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”，“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”⇒“n＞m＞0”，∴“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．故选D．7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】圆的切线方程．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为（3，1）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，则在复平面内，z对应点的坐标可求．【解答】解：z=（2﹣i）（1+i）=3+i，则在复平面内，z对应点的坐标为：（3，1）．故答案为：（3，1）．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的运算性质将•（+）=7展开得出=3，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：∵•（+）==7，即4+=7，∴=3，∴cos＜＞==．故答案为：．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故答案为：3．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】由分段函数可知f（﹣）=，则f[f（﹣）]=f（）=，画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由分段函数可知f（﹣）=，∴f[f（﹣）]=f（）=；由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．故答案为：；（，+∞）．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有5部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．【解答】解：记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据x 的范围确定2x +的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，∵f （x ）=（1+tanx ）cos 2x=cos 2x +sinxcosx ，=cos2x +sin2x +=sin （2x +）+，∴f （x ）的最小正周期为T=π．（Ⅱ）∵x ∈（0，），∴＜2x +＜，∴sin （2x +）∈（﹣，1]，∴f （x ）∈（0，]，即当x ∈（0，）时，求函数f （x ）的值域为（0，]．16．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n ﹣3S n =2，其中n ∈N *． （Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n ﹣4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n }成等比数列； （Ⅱ）求出数列{a n }的通项公式，利用累加法即可求出{b n }的通项公式． 【解答】（Ⅰ）证明：因为4a n ﹣3S n =2，① 所以当n=1时，4a 1﹣3S 1=2，解得a 1=2； 当n ≥2时，4a n ﹣1﹣3S n ﹣1=2，②…3 分由①﹣②，得4a n ﹣4a n ﹣1﹣3（S n ﹣S n ﹣1）=0， 所以a n =4a n ﹣1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n ﹣1．所以b n =a n ﹣4n=4n ﹣1﹣4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n ﹣1）﹣4（1+2+3+…+n ）=﹣4×=﹣2n 2﹣2n ﹣．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由E，F分别为BC，DA的中点，可证EF⊥FD，EF⊥FA，从而EF⊥平面DFA，即可得证EF⊥DG．（Ⅱ）由AB∥EF∥CD，易证四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO，又由CF∥平面BDG，利用线面平行的性质可证CF∥OG，可证OG为中位线，即G为线段AF的中点．（Ⅲ）由已知可得△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又EF⊥DG，可得DG⊥平面ABEF，设BE的中点为H，连接GH，CH，可得CG2=GH2+CH2，设DF=x，由题意得CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG长度的最小值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EF⊥FD，EF⊥FA，又因为FD∩FA=F，所以EF⊥平面DFA．…又因为DG⊂平面DFA，所以EF⊥DG．…（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以在立体图中，AB∥EF∥CD．即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO．…又因为CF∥平面BDG，CF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BDG=OG，所以CF∥OG，所以在△ACF中，OG为中位线，即G为线段AF的中点．…（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，∠DFA=60°．所以△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又因为EF⊥DG，EF∩FA=F，所以DG⊥平面ABEF．设BE的中点为H，连接GH，CH，易得四边形DGHC为平行四边形，所以CH⊥平面ABEF，所以CG2=GH2+CH2．…设DF=x，由题意得CH=DG=x，GH=CD=4﹣2x，所以CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，…所以当x=时，CG2min=．所以线段CG长度的最小值为．…18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）不存在最小值，通过讨论a的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定a的范围即可．【解答】（Ⅰ）解：函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R且x≠﹣a}，由题意，f′（a）有意义，所以a≠0．求导，得f′（x）=﹣．…所以f′（a）==1，解得：a=±．…（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），等价于“f（x）不存在最小值”．…①当a=0时，由f（x）=，得f（x）无最小值，符合题意．…②当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a 或x=3a．…x f x f x所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，3a），（﹣a，+∞），单调递增区间为（3a，﹣a）．因为当x＞a时，f（x）=＞0，当x＜a时，f（x）＜0，所以f（x）min=f（3a）．所以当x1=3a时，不存在x2使得f（x2）＜f（x1）．综上所述，a的取值范围为a∈{0}．…20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=（x1+x2），代入即可证明；（Ⅲ）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ ⊥BQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可．【解答】（Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=﹣1．…（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．由方程组得x2﹣4kx﹣4m=0，由题意，得△=16k2+16m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，…由抛物线方程x2=4y，得y=x2，所以y′=x，所以抛物线在点A处的切线方程为y﹣=x1（x﹣x1），化简，得y=x 1x ﹣同理，抛物线在点B 处的切线方程为y=x 2x ﹣ …联立方程，得x 1x ﹣=x 2x ﹣即（x 1﹣x 2）x=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），因为x 1≠x 1，所以x=（x 1+x 2），代入，得y=x 1x 2=﹣m ，所以点Q （（x 1+x 2），﹣m ），即Q （2k ，﹣m ） 点Q 在直线y=﹣m 上．…（Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形， 由四边形PEQF 为矩形，得EQ ⊥FQ ，AQ ⊥BQ∴k AQ •k BQ =﹣1， x 1x 2=﹣1，∴x 1x 2=（﹣4m ）=﹣1，∴m=1，P （0，1）下面验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可．令y=0，得E （x 1，0）．同理得F （x 2，0）．所以直线EP 的斜率为k EP ==，直线FQ 的斜率k FQ ==，…所以k EP =k FQ ，即EP ∥FQ ．同理PF ∥EQ ．所以四边形PEQF 为平行四边形． 综上所述，存在点P （0，1），使得四边形PEQF 为矩形．…2019年7月29日。

北京各区2019-2021年高三年级数学一模二模试题汇编两角和与差的三角函数一．选择题（共11小题） 1．（2019•西城区模拟）已知12cos 13α=，(,0)2πα∈−，则cos()(4πα−= )A B C D 2．（2019•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C −．若6BOC π∠=，则cos()βα−的值是( )A B C D3．（2019•丰台区二模）已知3(,)22ππα∈，且tan αsin (α= )A ．B ．C D4．（2019•延庆区一模）函数()sin 22f x x x =在区间[,]22ππ−上的零点之和是( )A ．3π−B ．6π−C ．6πD ．3π5．（2019•西城区模拟）sincos1212ππ+的值为( )A B C D ．126．（2019•北京模拟）已知tan()16πα+=，则tan()(6πα−= )A ．2B ．2C ．2−D ．2−+7．（2020•海淀区校级模拟）若()sin cos f x x x =−在[a −，]a 上是增函数，则a 的最大值是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．（2020•北京模拟）函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．（2021•丰台区模拟）sin 69cos9sin 21sin 9(︒︒−︒︒= )A ．B ．12−C D ．1210．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若cos α=cos()(αβ−= ) A ．35−B ．35C ．1D ．3411．（2021•北京模拟）cos24cos36sin 24cos54︒︒−︒︒的值等于( )A ．0B ．12C D ．12−二．填空题（共8小题）12．（2019•海淀区校级模拟）若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan()4πθ−=13．（2019•北京模拟）已知3cos 5α=，(0,)2πα∈，则cos()3πα+=14．（2021•北京模拟）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．15．（2020•北京模拟）已知函数()sin f x a x x =−的一条对称轴为12,()()06x f x f x π=−+=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 ．16．（2020•北京模拟）已知(2πα∈，)π，4sin 5α=，则tan()4πα+= ． 17．（2021•丰台区二模）函数()sin cos f x x x =+的值域为 ．18．（2021•顺义区二模）已知α是任意角，且满足cos()sin 6k παα+⋅=，则常数k 的一个取值为 ．19．（2021•海淀区校级三模）已知()sin())f x x x θθ=−++是偶函数，且[0θ∈，]π，则θ= ． 三．解答题（共1小题）20．（2021•丰台区一模）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>．（Ⅰ）当1ω=时，求()6f π的值；（Ⅱ）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π时，______．从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答．①求()f x 在区间[0,]2π上的最小值；②求()f x 的单调递增区间； ③若()0f x ，求x 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【分析】由已知结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的余弦公式可求． 【解答】解：12cos 13α=，(,0)2πα∈−， 5sin 13α∴=−，则7cos()sin )413πααα−+=故选：D ．【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式在求解三角函数值中的简单应用，属于基础试题． 2．【分析】由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，然后结合两角差的余弦公式即可求解【解答】解：由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，55314cos()cos cos sin sin 66525ππβααα∴−=+=+⨯=故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题 3．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知3(,)22ππα∈，且tan α则：sin3α==−． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型．4．【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数零点的定义、正弦函数的零点，求出在区间[,]22ππ−上的零点，可得结论．【解答】解：令函数()sin 222sin(2)03f x x x x π=−=−=，可得23x k ππ−=，求得26k x ππ=+，k Z ∈．根据x ∈区间[,]22ππ−，可得3x π=−，6π， 故函数在区间[,]22ππ− 上的零点之和为366πππ−+=−， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的零点，属于基础题． 5．【分析】可利用辅助角公式将sincos1212ππ+sin()1243πππ+=，从而可得答案． 【解答】解：sin cos2())121221221212432πππππππ++=+==， sincos1212ππ∴+． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，关键是辅助角公式的熟练应用及逆用两角和的正弦，属于中档题． 6．【分析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan α的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：已知tan tantan 6tan()1631tan tan 163πααπαπαα++===−−，tan 2α∴==则tan tantan()2633παπαα−−==， 故选：D ．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．7．【分析】由辅助角公式可得())4f x x π−，再根据正弦函数的单调性，即可得解．【解答】解：()sin cos )4f x x x x π=−=−，令[242x k πππ−∈−+,2]2k ππ+,k Z ∈，则[24x k ππ∈−+,32]4k ππ+,k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为[24k ππ−+,32]4k ππ+,k Z ∈， 又()f x 在[a −，]a 上是增函数,∴取0k =，()f x 的单调递增区间为[4π−,3]4π,此时对应的a 的最大值为4π．故选：B ．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．【分析】函数y 变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：函数sin 2cos22y x x x =++， 2ω=，T π∴=．故选：B ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒−︒︒=︒︒−︒︒=︒ 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】由任意角的三角函数知cos cos αβ=，sin sin αβ=−，再根据两角差的余弦公式，即可得解． 【解答】解：由题意得，cos cos αβ=，sin sin αβ=−， 2223cos()cos cos sin sin cos sin 2cos 15αβαβαβααα∴−=+=−=−=． 故选：B ．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，计算求得结果． 【解答】解：cos24cos36sin24cos54cos24cos36sin24sin36︒︒−︒︒=︒︒−︒︒ 1cos(2436)cos602=︒+︒=︒=，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题． 二．填空题（共8小题）12．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=，则tan 11tan()41tan 2πθθθ−−==+，故答案为：12． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．13．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式求得cos()3πα+的值．【解答】解：3cos 5α=，(0,)2πα∈，4sin 5α∴=，则1334343cos()cos cos sin sin 333252510πππααα−+=−=−=，故答案为：310−． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．14．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与cos θ的值，即可求出sin cos θθ+的值．【解答】解：tan 11tan()41tan 2πθθθ++==−，1tan 3θ∴=−，而222221cos 1cos sin cos tan θθθθθ==++，θ为第二象限角，cos θ∴==，sin θ则sin cos θθ+==．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．【分析】利用辅助角公式化简，对称为6x π=−，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】解：函数()(),f x asinx x tan θθ=−+=其中， 函数()f x 的一条对称轴为6x π=−，可得1()62f a π−=−−=2a =． ∴3πθ=−；对称中心横坐标由()(),33x k k z x k k z ππππ−=∈=+∈可得；又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，∴12||2||3x x k π+=+，当0k =时，可得122||3x x π+=． 故答案为：23π． 【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用，属于中档题． 16．【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：4(,),sin 25παπα∈=，则：3cos 5α=−，所以：4tan 3α=−，则：41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα−+++===−−+， 故答案为：17−．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，然后求解即可．【解答】解：函数()sin cos )[4f x x x x π=+=+∈．故答案为：[．【点评】本题考查了辅助角公式和三角函数的值域的求法，是基础题．18．【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为cos()sin 6k παα+⋅=，令62k ππ⋅=−，则3k =−．故答案为：3−（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．19．【分析】正弦函数的图象关于y 轴对称，从而当0x =时，函数取得最值，代入函数后，结合正弦函数对称轴处取得函数最值可求．【解答】解()sin())f x x x θθ=−+是偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，根据正弦函数的对称性可知，当0x =时，()f x 取得最值，故sin 2θθ−=±，所以sin 2θθ=±，即12(sin )22θθ=±，所以sin()13πθ−=±，因为[0θ∈，]π， 则56πθ=， 故答案为：56π． 【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，解题的关键是正弦函数在对称轴处取得最值条件的应用． 三．解答题（共1小题）20．【分析】()I 把1ω=代入可求()f x ，即可求解()6f π，()II 由已知先求出()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，然后结合正弦函数的性质可求； ②令222232k x k πππππ−++，解不等式可求函数的单调递增区间；③若()0f x ，结合正弦函数的图象及性质可求．【解答】解：()1I ω=时，()sin f x x x =+，故1()262f π=+=，()()2sin()3II f x x πω=+，由函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π得T π=，2ω=，故()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，所以sin(2)13x π+，所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值②求()f x 的单调递增区间， 令222232k x k πππππ−++，得51212k x k ππππ−+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间5[12k ππ−，]12k ππ+，k Z ∈， ③若()0f x ，则2223k x k ππππ++，k Z ∈，解得63k x k ππππ−+，k Z ∈， 故x 的取值范围[6k ππ−，]3k ππ+，k Z ∈．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，最值求解，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）A. |舐；曲| B•卜:讥汗C•隐:胡 D.卜*|【答案】B2•下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A.卜=/斗心.B.』=討C. ；：■2|：〔D.卜7注【答案】C3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）正（主靓图侧（左）视團俯视厨A. |制B. [.. ：]C.卜占：D.,【答案】Crx - y -F 3 > 04•设x, y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）I斗卜2丫王0A. B. |-.：；C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7设，是不共线的两个平面向量，已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )小] 1A. 2B. - 2C. -D. --2 2【答案】D8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )A. ;B.C.D. 0【答案】D二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷_____________ .【答案】-1-i10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为___________ .【答案】(x-2) 2+y 2=211. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是________________ .【答案】f (x) =x212. 在厶 ABC 中，a =3 , b 瑯，B =2A ，则 cos A =【答案】实数b 的取值范围是=sin (2x+ )13•设函数 e , x<0 -x 2 + x+-, x>0则 f [f ( 0)]=；若方程f (x ) = b 有且仅有3个不同的实数根，则【答(1). (2).14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总 时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ • 【答案】D三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数(n)若直线x =n 为函数f (x +a )图象的一条对称轴，求实数a 的值.案】1 x (I)百：(n) a==2cosx兀v'3 孑 21 .匣、百 sinx+ —cosx)-—2 2 2=sin xcosx+ cos X -要求听报告者••• T= n,(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),Pl•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=±1，1 1,k € z3 2_ 1…a= , k€ zb i ?UGr I —16.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛log2a n｝的前n项和为S n,求S n的最小值.【答案】(I) a n=2 n-4(n) -6解：(I)各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比设为q , q > 0 ,，且a4+a 5=6a 3,可得a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,解得q=2 , a1= —,Snt1则a n=a1q n-1= ?2n-1=2 n-4;8(n)设b n =log 2a n=log 22n-4=n-4 ,由1< n W4 时，b n W 0, n》5 时，b n > 0,可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6 .17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]等级次品二等品存口寺口仃二等品二纶口一寺口仃次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表, 其中a>0).[15 , 20) 2[20 , 25) 18[25 , 30) 48[30 , 35) 14[35 , 40) 16[40 , 45]2合计100(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于［40, 45］的产品的概率；(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.解：(I)由频率分布直方图得：(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,解得a=0.008 ,•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14 •(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于［40 , 45］的产品”为事件M,记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为A i, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分别为B1, B2,从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 （A i ，A 2）,（ A i ，B i ）,（ A i ，B 2），（ A 2，B i ）,（ A ，B 2），（ B i ，B 2），而事件M 包含的结果有4种，分别为：（A i ，B i ），（ A i ，B 2），（ A 2，B i ），（ A 2，B 2）, •••这两件次品中恰有一件指标值属于[40 , 45]的产品的概率 P — .6 3（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较， 由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， •认为乙企业产品的食品生产质量更高.【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查数形结合思想，是基础题.i8•如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，侧面B i BCG 是正方形，M, N 分别是A i B i, AC 的中点，AB 丄平面BCM.（I ）求证：平面 B i BCC 丄平面A i ABB i ;（H ）求证：A i N//平面 BCM;【答案】（I ）详见解析（H ）详见解析（川）6种，分别为:求棱锥C i -BB i M 的体积.BCM，BC?平面「. AB••• AB n BB i=B，• BC丄平面A i ABB i，••• BC?平面B i BCC i，...平面B i BCC i 丄平面A i ABB i;(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,••• M , N 分别是A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且NQ= " AB, 2T AB // A1B1，且AB=A i B i,「. NQ / A i M，且NQ=A i M ,•四边形A i MQN是平行四边形，• A i N / MQ,■/ MQ?平面BCM，A1N?•- A i N //平面BCM.(川)连结A i B,根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A i B i C i的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,••• M为A i B i的中点，•棱锥C i-BB i M的体积乞占严=.仝心说=i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B的苕2 2一点，直线AM与y轴交于点P.(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(H)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:解：(I)由题意可得c2=a2-2,..e忑-e==,• a=2 , c=点，•••椭圆的方程为三+ =i ,设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m<J ,又T A (-2 , 0),又M为椭圆C上异于A , B的一点，<2…k AM €( — , 0), (0 ,(n)由题意F (|.J』，0),设Q ( 0 , y i) , M (X0 , y o),其中x o 工土2 ,y jQ直线AM的方程为y(x+2 ), AQ// BM.【答案】(I) (: , 0) ( 0,(n)详见解析•直线AM的斜率k AM= =0 + 2Xo + 22y I令x=0，得点P 的坐标为(0, ),h+q由/ PFQ=90。