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第五章 电磁波的辐射-2

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第五章地面和大气中的辐射过程2

第五章地面和大气中的辐射过程2

大气上界和海平面的太阳辐射谱
在地球―大气系统对太阳辐射的吸收中, 大气的吸收只占 20%，地球表面吸收了 约50%，这一点在地球―大气系统的能 量平衡及气候的形成和变化中有极重要 的作用。


1. 地面反照率 地球表面能获得多少太阳辐射能，在很大程度上依 赖于地表反射率。
各种地面的平均反照率
2. 云的反照率
第五章地面和大气中的辐射过程51辐射的基本概念52辐射的物理规律53地球大气与辐射的相互作用54太阳辐射在地球大气中的传输55地球大气系统的长波辐射56地面大气及地气系统的辐射平衡地球作为飘浮在宇宙空间的一个物体它只有通过辐射过程才能与其周围环境交换能量并最终达到某种平衡
大气中有各种气体成分以及水滴、尘埃等 气溶胶颗粒，辐射在大气中传输时，要受 到大气的影响，其强度、传输方向以及偏 振状态都会发生变化。 这种作用主要有吸收、散射和折射。由于 折射过程一般与能量收支问题关系较少， 这里主要讲述吸收和散射的作用。
地球–大气系统的反照率称为行星反照率，它表示射入地 球的太阳辐射被大气、云及地面反射回宇宙空间的总百 分数。
行星反照率分为各地区行星反照率和全球行星反照率。 因为各地云量和冰雪分布情况不同，
各地区行星反照率的差别较大，赤道地区的行星反照率 约为0.2甚至更小，而极地为0.6甚至达到0.95。 至于全年平均的全球行星反照率，数值可取0.30。这是 由地球表面的平均反照率（约为0.15）、云的高反照率 和大气的后向散射作用的综合结果。
所谓吸收，就是指投射到介质上面的辐射能中的一 部分被转变为物质本身的内能或其它形式的能量。 辐射在通过吸收介质向前传输时，能量就会不断被 削弱，介质则由于吸收了辐射能而加热，温度升高。 大气中各种气体成分具有选择吸收的特性，这是由 组成大气的分子和原子结构及其所处运动状态决定 的。

电磁场理论-06 电磁波的反射和折射

电磁场理论-06 电磁波的反射和折射

Et
Ht
Hi
Hi
5、场的表示形式及相互关系 • 垂直极化情况：
Er
Ei
x
Et
E i r E ime
jk i r
ˆ y
jk r r ˆ E r r E rme y z Et r E tme jk t r y ˆ
reflected wave
Er
refracted wave (transmitted wave)
incident wave
ˆ n Ei
Et
1、1 2、 2
interface
三、坐标系设置及一些参量
• 入射波、反射波、折射波传播矢量：k 、k 、k i r t • 入射面： x ˆ 所确定的平面 k ki , n
2、其余步骤与垂直极化情况相同
三、全透射：
当r// 0或r = 0时，发生全透射
1 cos i 2 cos t 对于平行极化入射，r// 1 cos i 2 cos t
1
u1 cos i
r 0
2
u2
cos t
2
u2
1 sin 2 t
sin i
媒质的折射率：n1
r 1 r 1
n2 r 2r 2
4、若入射波垂直极化，反射波、折射波也是垂直极化； 若入射波平行极化，反射波、折射波也是平行极化；
• 垂直极化情况：
电场均垂直于入射面
• 平行极化情况：
电场均平行于入射面
Er
Ei
Hr
Et
Ht
Er
Ei
Hr

第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流

第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流
(2) (D 2 A A ) c 1 2 2 A 0 2 tA 2 ( 0 J ( A 0 A t 0) c 1 t 2 ( t0) 2 A t0 J ) 0tA
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t

电动力学第五章答案

电动力学第五章答案
3 证明 E和B 可通过 Z 用下列公式表出 E = ∇ × (∇ × Z ) − c 1 证明
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来

5-高等电磁场理论-电磁辐射

5-高等电磁场理论-电磁辐射

o x
y
5.3 口径衍射场
问题：电磁波在传播过程中通过孔、缝隙等障碍物时产生的辐
射场
E (r ) [(n E ) G0 j (n H )G0 (n E )G0 ]dS S H (r ) [ j n EG0 n H G0 (n H )G0 ]dS
2
m E (r ) j [ J ( J eR )eR J eR ]G0dV
V

由
eR er
1/ R 1/ r
R r er r（Fraunhofer区）
1 jkR 1 jkr jker r G0 e e e 4πR 4πr j jkr m jker r E (r ) e [ J (r ) er J (r )er J (r ) er ]e dV V 4 r m jke r jke r N J (r )e r dV L J (r )e r dV 令 V
E(r ) EA (r ) El (r ) [(n E ) G0 j (n H )G0 (n E )G0 ]dS A 1 A{ j (n E)G0 [(n H ) ]G0}dS j 1 2 A{k (n H ) [(n H ) ] j (n E) }G0dS j 1 jkr jke r 2 远区辐射场 (n H ) ]G0 k [(n H ) er ]er e e r 4πr 1 jkr jker r (n E ) G0 jk (n E ) er e e 4πr jk jkr jker r E (r ) e er [n E Zer (n H )]e dS A 4πr jk jkr e [ N er Zer (er L )] 4πr

辐射第5章

辐射第5章
• The energy output comes from accretion of material onto the black hole.
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
11
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
2020/4/29
Components:
Accretion disk:
UV/optical spectrum of NGC 5548: a typical Seyfert 1 Galaxy.（Peterson，1997）
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
8
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
Seyfert 1: Optical Spectrum, continue
其中 hi / mec2
对
1
，
T (1
2
26 2 5
)
；
对 1， 3T 1(log 2 1/ 2) 。
8
当入射光子频率极高(硬光子)，受到电子散射的概率非 常小。定性说明:入射电磁波频率太高，电子的惯性使 它来不及响应，电子受迫振荡弱，所以散射小。
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
此外，对足够强的入射辐射场,电子相对论性振荡,偶
极近似失效。 线偏振光入射,散射出射光也是线
偏振的:
Erad
e c
n [ k 3r
{( n
)
}]ret
E
2020/4/29
第五章 逆Compton散射
5
§5.1 经典汤姆逊散射，散射截面
非偏振光入射 ：入射光的场强方向，在垂直于入射方 向的平面上随机取向。可看成两个相互独立的线偏振 波的迭加。所以散射波也可看成两线偏振波的叠加。

电磁波的辐射

电磁波的辐射

f 1 2 2 2 2 称为 c t 0 达朗贝尔方程 2 1 A 2 A 2 2 0 j f c t
r ' (x , t ) 1 c d ' ( x, t ) 4 0 x x '
解称为
推迟势
（2）两种常用规范
0, 优点：电场的两个部分 0 具有鲜明的物理意义 A B, A 0 1 洛仑兹规范 A 0 2 c t
优点：简化矢势和标势满足的的微分方程， 使矢势和标势满足的的微分方程对称
1
4 0 r x 位于坐标原点的点电荷激发的势 ( x, t ) r x Q (0, t ) c ( x , t ) (r , t ) Ｏ Q (0, t r ) 4 0 r
位于任意位置的点电荷激发的势 r Q( x ' , t ) c ( x, t ) Ｏ 4 0 r
也可以理解为:无旋场可以表示为另一标量场的梯度 为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D E B t B 0 D H j t
D 0E , B 0 H .
对于电场:
S
A
:矢(量)势
静电场: E 0
一般情况有:
E
: 标势(电势)
B E 0 t
不能象静电场那样直接引入标量势函数
B 一般情况有 E 0 t
代入
B A
A A )0 E 改写成: ( E :是无旋场，可引入标势 t t A A 令： E 即： E t t

电动力学判断题

电动力学判断题

判断题第一章 电磁现象的普遍规律1. 无论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是无源的。

(√)2. 无论是静电场还是感应电场，都是无旋的。

(×)3. 在任何情况下电场总是有源无旋场。

(×)4. 在无电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。

(√)5. 任何包围电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。

(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，而远处的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。

(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。

(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。

(×)9. 非稳恒电流的电流线起自于正电荷减少的地方。

(√)10. 极化强度矢量p 的矢量线起自于正的极化电荷，终止于负的极化电荷。

(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中无自由电荷分布。

(√)12. 在两介质的界面处，电场强度的切向分量总是连续的。

(√)13. 在两均匀介质分界面上电场强度的法向分量总是连续的。

(×)14. 在两介质的界面处，磁感应强度的法向分量总是连续的。

(√)15. 无论任何情况下，在两导电介质的界面处，电流线的法向分量总是连续的。

(×)16. 两不同介质表面的面极化电荷密度同时使电场强度和电位移矢量沿界面的法向分量不连续。

(×)17. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。

(√)18. 两不同介质界面的面电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。

(×)19. 关系式P E D +=0ε适用于各种介质。

(√)20. 静电场的能量密度为ρϕ21。

(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成立的。

（ × ）23. 跨过介质分界面两侧，电场强度E 的切向分量一定连续。

职业卫生学第五章电磁辐射-2非电离辐射

职业卫生学第五章电磁辐射-2非电离辐射

2 距离
与辐射源的距离、辐射源 位置和辐射方向相关。
3 时间
工作期间接触辐射的时间 和频率决定了对非电离辐 射的暴露程度。
非电离辐射的危害及其防护措施
危害
长期接触非电离辐射可能会导致眼睛疾病、皮肤损 伤、生殖系统问题等。
防护措施
使用防辐射工作服、个人防护装备和合适的屏蔽措 施来减少暴露。
非电离辐射的监测方法
非电离辐射的来源和分类
来源
分类
非电离辐射的常见来源包括微波 炉、无线通讯设备、太阳辐射等。
非电离辐射可按波长划分为射频 辐射、红外辐射、可见光辐射和 紫外线辐射。
潜在危险
近距离接触来源于手机信号塔及 移动通讯设备等，可能对人体造 成一定潜在危险。
非电离辐射的工作条件
1 强度
非电离辐射的工作条件包 括辐射强度、频率和持续 时间。
科学研究
非电离辐射被广泛应用于物理学、化学和生物 学等领域的研究。
工业应用
非电离辐射在加热、干燥、杀菌等工业处理中 得到广泛应用。
总结和要点
• 电磁辐射-2非电离辐射是能量较低的电磁波辐射。 • 非电离辐射的来源包括微波炉、无线通讯设备、太阳辐射等。 • 非电离辐射的工作条件包括辐射强度、频率和持续时间。 • 长期接触非电离辐射可能导致眼睛疾病、皮肤损伤、生殖系统问题等。 • 个人监测、环境监测和生物学监测是评估非电离辐射影响的方法。 • 非电离辐射在医疗、通信、科学研究和工业等领域有广泛应用。
1
环境监测
2
采用辐射仪器对工作环境中的辐射水平
进行定期检测。
3
个人监测
通过佩戴个人辐射监测仪器，实时监测 个体接受的辐射量。
生物
电磁辐射-2非电离辐射的应用和发展趋势

电动力学第五章—

电动力学第五章—
第五章 电磁波的辐射
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t

电动力学第五章 电磁辐射

电动力学第五章 电磁辐射

•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

5.1 电磁场的矢势和标势(2)

A A A B
t t A A t

E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0

k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2

k A) iA
2
c
2
t
2
0 J

2
1
2
c
2
t
2

0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：

2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2

电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案

电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案

别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分
量，即
，；
，，；
，，；
由（1）得：
（5）
由（2）得：
（6）
由（3）得：
（7）
由电荷守恒定律得：
又因为 ，所以 ，即
（8）
（7）式简化为
（9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
（10）
由引入标势，，代入得，
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电
解：规范变换式： ，
有
即与描述同一电磁场。 1 采用库仑规范：，
即在规范变换中当满足是，就是库仑规范。 2 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
3、 在什么条件下可选取，这样一种规范条件？此时，与势的关系是 什么形式？ 解：若采用库仑规范，且的自由空间,势的方程变为：
① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势， 把代入①式，解得：
只保留R的最低次项，因为作用R分母上后所得项更小，可忽略。 即仅需作用于上。例如，令，
11、 一些荷质比相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。 为什么？ 解：设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，则电 偶极矩①
在的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为 即,得：， 代入①式得： 由于系统不受外力，则质心加速度，所以没有电偶极辐射。 12、 电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律， 说出
解：（1）证明：因为 所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： （1） 在洛伦兹规范下，，考虑到真空中，故，，所以（1）
式化为 （2）
而 于是 （3） 因为 ，所以 所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满 足谐振子方程 。 （2）当选取规范，时 因为，是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有 （3）已知，所以 5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。 （2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。 （3）证明和可通过Z用下列公式表出： ，。 （1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有

电动力学判断题

电动力学判断题

电动⼒学判断题判断题第⼀章电磁现象的普遍规律1. ⽆论是稳恒磁场还是变化的磁场，磁感应强度总是⽆源的。

(√)2. ⽆论是静电场还是感应电场，都是⽆旋的。

(×)3. 在任何情况下电场总是有源⽆旋场。

(×)4. 在⽆电荷分布的区域内电场强度的散度总为零。

(√)5. 任何包围电荷的曲⾯都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。

(√)6. 电荷只直接激发其临近的场，⽽远处的场则是通过场本⾝的内部作⽤传递出去的。

(√)7. 稳恒传导电流的电流线总是闭合的。

(√)8. 在任何情况下传导电流总是闭合的。

(×)9. ⾮稳恒电流的电流线起⾃于正电荷减少的地⽅。

(√)10. 极化强度⽮量p 的⽮量线起⾃于正的极化电荷，终⽌于负的极化电荷。

(×)11. 均匀介质内部各点极化电荷为零，则该区域中⽆⾃由电荷分布。

(√)12. 在两介质的界⾯处，电场强度的切向分量总是连续的。

(√)13. 在两均匀介质分界⾯上电场强度的法向分量总是连续的。

(×)14. 在两介质的界⾯处，磁感应强度的法向分量总是连续的。

(√)15. ⽆论任何情况下，在两导电介质的界⾯处，电流线的法向分量总是连续的。

(×)16. 两不同介质表⾯的⾯极化电荷密度同时使电场强度和电位移⽮量沿界⾯的法向分量不连续。

(×)17. 电介质中，电位移⽮量D 的散度仅由⾃由电荷密度决定，⽽电场的散度则由⾃由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。

(√)18. 两不同介质界⾯的⾯电流密度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。

(×)19. 关系式P E D +=0ε适⽤于各种介质。

(√)20. 静电场的能量密度为ρ?21。

(×) 21. 稳恒电流场中，电流线是闭合的。

（ √ ）22. 电介质中E D ε=的关系是普遍成⽴的。

（ × ）23. 跨过介质分界⾯两侧，电场强度E 的切向分量⼀定连续。

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(x , t )
0
A
1 c2
t
0
一、推测求解
说明： 从第31张幻灯片到第37张幻灯片是（2.12）
和（2.13）式满足洛仑兹规范的第二种证明方法。
一、推测求解
在电荷守恒定律中
J（x,t） (x,t) 0
t
J（x,t）|t 不变
t
(x,t ) |x 不变
0
A
1 c2
t
0 4
J r
dV
1 c2
1
4 0
1 dV
r t
0 4
[
1 r
J
1J r
1 r
]dV
t
一、推测求解
J J (x ,t r ) c
r x x J 既是x ´ ，y ´ ，z ´ 的函数，又是x，y，z的隐函数。令
t r c
(x,y, z, x,y, z,t)
一、推测求解
J J x J y J z x y z
2
2Q
2
1 c 2r
2Q
2
]
0
2、在r＝0的区域 在r＝0的区域中，r＝0的点为(2.9)式的奇点。
一、推测求解
(2
1 c2
2 t 2
)
Q (t
4
r c
0r
)
1
0
Q(t) (x)
（2.11）
如果两边的积分相等，说明上式确实相等，从 而说明（2.9）式在r＝0处也是（2.2）式的解。
一、推测求解
二、讨论
d1(x,t )
1
4 0
(x1,
t
r1 c
)dV1
r1
d 2 (x ,t )
1
4 0
(x
2
,
t
r2 c
)
dV2
r2
对场点P（x），t时刻的势有贡献的是
t r1 c
的ρ1
值与
t r2 c
时刻的ρ2值。 dV2中 的电荷激发场的时
刻比中 dV1 的早，这样才能同时到达P点。
二、讨论
3、当电荷是连续分布时，在空间某点x处t 时刻标
0 4
J
(x , t r
r c
)
dV
(2.12) (2.13)
二、讨论
1、空间某点x处的标势是空间所有电荷在该点 产生标势的叠加。
2、当只有一个点电荷时，在x点处，t 时刻的 势 (x,t) 并不是由同一时刻t 的电荷激发的，而是t －r/c时刻的电荷激发的。
二、讨论
在电荷分布的区域内中取 两个小体积 dV1和 dV2 ，它 们的坐标分别为 x1和 x2 ， 它们到场点x的距离分别为 r1和r2，则它们在场点x处 产生的势分别为
c 2 t 2 40r
1
4 0
(2
1 c2
2 t 2
)Q r
1
4 0
[
2
(Q r
)
1 c2
2 t 2
(Q )] r
2 (Q ) r
1 r2
r
[r
2
r
(Q )] r
2 r 2
(Q ) r
2 r
r
(Q ) r
tr
c
一、推测求解
Q
Q
,
Q
2Q
2
,
Q t
Q t
Q
2Q 2Q
t 2 2 ,
一、推测求解
u(r ,t)
r
只要求出相因子u，即可得到 。
r
r
(u ) r
1 r2
[r
u r
u]
r 2 r u u
r r
（2.5）
一、推测求解
1 r2
r
[r
2
]
r
1 r2
r
[r
u r
u]
1 r2
( u r
r
2u r 2
u ) r
1 r
2u r 2
2
t 2
1 r
2u t 2
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
一、推测求解 二、讨论
达朗贝尔方程为
2A
1 c2
2A t 2
0J
2
1 c2
2
t 2
0
式中ρ＝ρ(x,t)是空间的电荷密度，J是电流密度。
而且A和 还应该满足洛仑兹规范条件
A
1 c2
t
0
一、推测求解
设想在坐标原点处有一个假想的变化的点电荷 Q(t)，其电荷密度
一、推测求解
1 r
2Q r 2
2 r2
Q r
2Q r3
2[1 rr
Q r
Q r2]
1 r
2Q r 2
Q Q 1 Q r r c
2Q r 2
1
c
(Q ) r
1 c2
2Q
2
都代入(2.4)式的左边
一、推测求解
1
4 0
[2
(Q r
)
1 c 2r
2Q t 2
]
11
4
0
[ rc
(x,t r )
(x,t)
c dV
4 0r
（2.12）
一、推测求解
当电荷分布不随时间变化时，它所激发的电势 也
不随时间变化，即为静电势
(x
)
(x ) 4 0r
dV
正好为第二章的（1.7）式。
标势 与电荷相联系，矢势A 与电流相联系
一、推测求解
A(x,t)
0 4
J
(x,t r
r) c
dV
1
0c 2
2Q t 2
r dr
0
该积分～~η2，当η→0时，该项积分为零。
一、推测求解
积分中的第一项
1 2 Q 4r 2 dr
40 0 r 当η→0时，
Q(t r ) Q(t) c
一、推测求解
积分转化为
Q(t) 2 1 dV
4 0
r
Q(t)
4 0
4(r ) dV
Q(t) (4 ) Q(t)
(2
1 c2
2 t 2
)
Q (t
4
r c
0r
)
1
0
Q(t) (x)
1
4 0
(2
1 c2
2 t 2
Q(t )
r
r) c
dV
1
4 0
[2
0
Q r
1 c2
2 t 2
Q ]4r 2
r
dr
一、推测求解
积分的第二项
1
40c 2
0
2Q t 2
4r
dr
当η→0时，
2Q t 2
为有限，可提到积分号前边。
2u r 2
1 c2
2u t 2
0
（2.6）
一、推测求解
这是一维空间的齐次波动方程。它的通解为
u(r ,t) f (t r ) g(t r )
c
c
其中f和g是两个任意的函数。
（2.7）
f (t r ) g(t r )
(r ,t)
c
c
r
r
（2.8）
一、推测求解
(2.8)式中的第一项，是沿r方向传播的球面波，即 向外发射的波；第二项是沿-r方向传播的球面波， 即向内收敛的波。
一、推测求解
f (t r )
(r ,t)
c
r
（**）
由于Q(t)处于坐标原点,考虑在静电情形下,
1 Q 40 r
一、推测求解
推广到变化的情况,我们推测(**)式的解有下列形式
Q (t r )
c
4 0r
（2.9）
一、推测求解
(2 1
2 ) (2 1
2
Q (t )
r c
)
c 2 t 2
例1、坐标原点的电荷在t 时刻 有一个扰动。
例2、太阳到我们地球的平均距 离是1.49×1011 m.光的传播速 度为 c＝3.0×108m/s从太阳 发出的光到达地球所用的时间为
1.49 1011 3.0 108
498
秒≈8.3分
二、讨论
场点的状态比源的状态推迟了。这种现象叫做 推迟现象，这样的势叫做推迟势。
4 S r
r
0
4
1 J r
(x , t )
|t 不变
dV
一、推测求解
t
1
4 0
1 r
t
(x,t) dV
1
4 0
1 r
t
(x,t) dV
A 1 0
c 2 t 4
1[ J r
(x , t )
|t 不变
t
(x , t )] dV
由电荷守恒定律
J（x,t）|t不变
t
J
(t r ) 1 r 1 r
cc
cr
J J r
(1)
cr
一、推测求解
J J x J y J z x y z
J x x
c
J x
J y
x y
c
J y
J z
y z
c
J z
z
( J x x
J y y
J z z
)
c
(
J x
J y x
J z y
势 ，不是所有电荷在同一时刻的电荷密度激发的，
而是在不同的时刻的电荷激发的。
1
4 0
(x , t
r