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平面向量数量积

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学案：共线向量的坐标运算
一.学习目标1．共线向量的条件2．利用向量共线证三点共线或两线平行3.定比分点坐标
二．问题导学：预习完成下列问题
（一 ）复习
（二） 两个向量共线的条件：
1、（数乘）
2、（坐标）
简记：
（三）练习：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的有（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4
三.师生互动
例1：已知 a=（4，2）， b=（6，y ），且 a//b ，求 y 的值。

.,2
1)1,5(),2,3(.1点的坐标求且若P MN MP N M =---. 2),4,3(),2,1(),1,0(.2=-BC AB C B A 则若?
),3,5(),3,1(),4,3(),1,5(.3是梯形如何求证四边形已知四点ABCD D C B A -
.0),,(),,(2211≠==b y x b y x a 其中设
例2、已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），判断A 、B 、C 三点的位置关系
例3
例4
四、练习比批
2. 若A(x, －1)，B(1, 3)，C(2, 5)
三点共线，则x=( )
五、小结：1．共线向量的条件：
2、.定比分点坐标公式：
.
,)2,(),1(
x x b x a 求共线且方向相同与若向量-=-=?
?),7,2(),
5,1(),3,1(),1,1( 吗平行于直线直线
平行吗与向量已知CD AB CD AB D C B A --例5.
设点P 是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P 是线段P1P2的中点时，求点 P 的坐标； (2)当点P 是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标. )(,//),1,4(),3,2(.1=+--==y b a y b a 则且若)(),,()4()3(,2.3的值可能分别为、共线，则与同且为单位向量轴正方向相
轴、的方向分别与其中若y x DC AB y x j i j
y i x DC j i AB -+-=+=.,//),,6(),2,4(.4===y b a y b a 则且已知.,22),1,(),2,1(.5的值为则平行与若已知x b a b a x b a -+==6. 已知平行四边形ABCD 四个顶点的坐 标为A(5, 7)，B(3, x)，C(2, 3)，D(4, x)， 则x= .。

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平面向量的数量积

平面向量的数量积


泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
平面向量的数量积

平面向量的数量积


∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量的数量积与向量积知识点总结

平面向量的数量积与向量积知识点总结

平面向量的数量积与向量积知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们可以用来表示物体在平面上的位移、速度、加速度等。

平面向量有许多重要的运算，其中包括数量积和向量积。

本文将对平面向量的数量积与向量积进行知识点总结和讨论。

一、数量积数量积又称为点积，是两个向量的运算，它的结果是一个标量（即一个实数）。

数量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b之间的夹角。

1. 特点：数量积是两个向量的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

根据这个特点，我们可以得出一些重要结论：（1）若夹角θ为90°，则cosθ=0，数量积为0，即两个向量垂直。

（2）若夹角θ为180°，则cosθ=-1，数量积为-|a||b|，即两个向量反向。

（3）若夹角θ为0°，则cosθ=1，数量积为|a||b|，即两个向量同向。

2. 计算数量积的方法：（1）坐标法：设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。

（2）几何法：设向量a的起点为O，终点为A，向量b的起点为O，终点为B，则a·b = AB·OBcosθ，其中AB和OB分别表示向量a和向量b的长度。

3. 应用：数量积在物理学中有广泛应用，例如计算力的做功、计算向量的投影等。

二、向量积向量积又称为叉积，是两个向量的运算，它的结果是一个向量。

向量积的定义如下：对于两个向量a和b，它们的向量积定义为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。

1. 特点：向量积的结果是一个垂直于原向量所在平面的向量，并且其模的大小等于a和b所张的平行四边形的面积。

平面向量的数量积和叉积的物理意义

平面向量的数量积和叉积的物理意义

平面向量的数量积和叉积的物理意义平面向量的数量积和叉积是向量运算中的两个重要概念，它们在物理学中具有深远的物理意义。

数量积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的余弦，而叉积是两个向量的数量乘积再乘以夹角的正弦。

下面将分别介绍平面向量的数量积和叉积，并探讨它们在物理学中的实际应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积、点积或标量积。

设有两个平面向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为：A·B = |A|·|B|·cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积给出了两个向量的相似程度，可以用于判断两个向量之间的夹角、平行关系以及向量投影等。

在物理学中，数量积的物理意义包括以下几个方面：1. 投影：数量积可以用于计算一个向量在另一个向量方向上的投影。

设有向量A和B，它们之间的夹角为θ，则向量A在向量B方向上的投影为|A|·cosθ。

2. 夹角：通过数量积的计算公式，可以得到两个向量之间的夹角θ。

这在物理学中常用于计算物体受力的方向或计算光线的折射角度等。

3. 正交性：若两个向量的数量积为零，即A·B=0，则可以判断它们是垂直或正交的关系。

这在力学和电磁学中经常用到，例如判断力矩是否为零或判断电场和磁场之间的关系等。

二、平面向量的叉积平面向量的叉积也称为外积、矢量积或向量积。

设有两个平面向量A和B，它们的叉积表示为A×B，计算公式为：A×B = |A|·|B|·sinθ·n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位法向量。

叉积给出了两个向量之间的垂直性以及它们所形成面积的大小。

在物理学中，叉积的物理意义包括以下几个方面：1. 垂直性：若两个向量的叉积为零，即A×B=0，则可以判断它们是平行或共线的关系。