2020届重庆市南开中学高三高考模拟数学(文)试题(解析版)

2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4,5【答案】C【解析】化简集合A ，进而求补集即可. 【详解】∵{}1,2A =，又{1,2,3,4,5}U =， ∴U A =ð{}3,4,5，故选：C 【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到2i 22i 1i 22a a a +-+=+-，再由题意，即可得出结果. 【详解】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数， 所以202a-=，因此2a =. 故选C 【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型. 3．已知两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，则a =（ ） A ．±1B ．1C ．12D ．12±【答案】D【解析】根据题意知，斜率都存在，因此利用斜率之积等于1-即可求得a 的值. 【详解】由题意知两条斜率分别为12,4k a k a =-=， 又两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，∴()1241k k a a ⋅=-⋅=-，214a ∴=， 即12a =±.故选：D . 【点睛】本题考查两直线垂直的性质，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于1-，是基础题.4．已知3()sin 1,0f x a x bx a =++>，且()3f m =，则实数()f m -=（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．2【答案】A【解析】利用()()2f x f x +-=即可得到结果. 【详解】∵3()sin 1,f x a x bx =++ ∴()()2f x f x +-=，∴()()2f m f m +-=，又()3f m =， ∴()1f m -=-， 故选：A 【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.5．“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】直线20mx y m --+=可化为：()21y m x -=-， 直线()21y m x -=-过定点()1,2，如图所示：∴“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的充要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.6．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点，则异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．35C ．12D ．45【答案】D【解析】首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点， 取AD 的中点为N ，连接1D N 、FN ， 易知：1D N ∥1C E ，∴1FD N ∠为异面直线1C E 与1D F 所成角， 设2BC =，则115,D N D F =2FN =，∴cos ∠FD 1N 45255==⋅⋅．∴异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为45， 故选D【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ） A ．150 B ．167C ．184D ．201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a 1斤锦，利用等差数列前n 项和公式得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996，从而得到a 1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数． 【详解】解：设第一个孩子分配到a 1斤锦， 则由题意得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996， 解得a 1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a 8＝65+7×17＝184． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设实数a ，b 满足01a b <<<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab a b >+ B ．1ab a b +<+C ．b a ab >D ．b a a b >【答案】C【解析】利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.【详解】根据题意可设11,,42a b == 对于A ，1,8ab =3,4a b +=不成立；对于B ，91,8ab +=3,4a b +=不成立；对于D ，12,b a -=142a b -=，不成立；而对于C ，1,b a a ab >>成立， 故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．若直线1y kx =+与1y x x=+相切，则实数k =（ ） A ．2 B ．34 C ．12D ．32【答案】B【解析】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭求出1y x x=+在此点处的切线方程002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，对比1y kx =+，即可得到结果.【详解】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 21y 1x '=-， ∴1y x x=+在此点处的切线方程为： ()00200111y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，即002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-∴2001121k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0342k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故选：B 【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．10．已知点(,)x y 是区域4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩内任意一点，且z ax y =+仅在()3,1处取得最大值，则a 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值． 【详解】解：画出4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩可行域如图所示，其中A （1，0），B （3，1），C （1，3），若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，1）取得最大值， 由图知，直线z ＝ax +y 的斜率小于直线x+y ＝4的斜率， 即﹣a ＜﹣1， 解得a ∈（1，+∞）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．11．抛物线24y x =与过点()0P t ，的直线交于A ，B ，若存在横坐标为2的点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．3C．D【答案】D【解析】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=，22121242,x x m t x x t +=+=，又有2AQ QB =u u u r u u u r可得1226x x +=，从而可得：()2493636881804t t m t m -++-+=，方程有解可得结果.【详解】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=， 设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），∴22121242,x x m t x x t +=+=由2AQ QB =u u u r u u u r可得：1226x x +=，联立方程：212124226x x m t x x ⎧+=+⎨+=⎩ ，可得2122846642x m t x m t⎧=+-⎨=--⎩， 又212x x t =，∴()2493636881804t t m t m -++-+=，此时0,∆≥ 即()22936368184804t t t -+∆=--⨯⨯≥，∴28360t -+≥，即t ≤， ∴t故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12．由{}n a 排成的数表如下：数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第n 行的末项恰为前n 行的首项的和（例如312a a a =+）.若有4080a =，则{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n n - B ．2n n + C ．2n D ．122n +-【答案】B【解析】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ，()1121221i i i a a d ----=-，从而得到()()1112121i i a d ---=-，即1a d =，由4080a =，得1a ，即可得到{}n a 的前n 项和.【详解】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ， 第i 行：，()1121221i i i a a d ----=- 即()2112221i i a a a d --++⋯+=-，()()1112121i i a d --∴-=-， 1a d ∴=，又4080a =，3240864a a d ∴=-=，又53212a a =⋅， 12a ∴=， ∴ 数表{}n a ：2 4，68，10，12，14L2n a n ∴=，所以数列{}n a 的前n 项和为：()2222n n n n +=+， 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是等差数列和等比数列的综合的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，是中档题.二、填空题13．数列满足{}n a 满足11(1)n n a a n n +=++，11a =，则10a =________.【答案】1910【解析】利用累加法及裂项相消法，即可得到结果. 【详解】 ∵1111,(1)1n n n a a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭∴10911,910a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭9811,,89a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭K 2111,2a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴101111111910892a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11921010=-= 故答案为：1910【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则xy 的最小值为________. 【答案】8【解析】利用2xy x y =+≥xy 的取值范围. 【详解】∵正实数x ，y 满足2x y xy +=，∴2xy x y =+≥2x y =时，等号成立，∴8xy ≥，∴xy 的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.15．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值，则(2)(4)f f θθ-=________.【解析】由题意可得2,32k k Z ππωπθ+=+∈，代入(2)(4)f f θθ-即可得到结果．【详解】∵函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值， ∴2,32k k Z ππωπθ+=+∈即2,6k k Z πωπθ=+∈，∴(2)(4)sin 2sin 433f f ππθθωθωθ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 4sin 803k k ππππ⎛⎫+-+=⎪== ⎝⎭，【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c⋅r r r的最大值为________. 【答案】1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， 可得224mx ny m n -=⎧⎨+=⎩，而a c c ⋅r rr =，利用均值不等式即可得到结果．【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， ∴2204mx ny m n -=⎧⎨+=⎩ ，∴a c c===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2,1)m a =u r，(cos cos ,sin cos )n b A a B C B =--r ，且m n u r r∥.（1）求A ；（2）若4b =，2a =，求ABC V 的面积 【答案】（1）6A π=或56π（2）【解析】（1）由题意可得cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-，结合正弦定理可得1sin 2A =，从而得到结果； （2）由于a b <，所以6A π=，结合余弦定理可得c（1）因为m n u r r∥，则cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-sin cos 2sin sin sin cos B A A C A B =-sin()2sin sin A B A C +=从而1sin 2A =，566A ππ=或（2）由于a b <，所以6A π=，又余弦定理：2244cos 242c A c +-==⋅⋅，解得c所以面积为14sin 26π⋅⋅=【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ，2a ，5a 成等比数列，且416S =.（1）求n a ； （2）若数列{}n b 满足3122482n n b b b b n +++⋯+=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式； （2）利用3122482n n b b b b n +++⋯+=可得2nn b =，结合错位相减法可得结果． 【详解】（1）()()22152111,4a a a a a d a d ⋅=⋅+=+解得12d a =，而411434162S a d a ⨯=+=， 所以11a =，2d =，21n a n =- （2）由于3122482n n b b b b n ++++=L ，则311211(2)2482n n b b b b n n --++++=-L …. 相减得1(2)2nn b n =…，又有12b =，从而2n n b =.则123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，相减得：()12311122222(21)26(23)2nn n n T n n ++-=⋅+⋅+++--⋅=---⋅L得1(23)26n nT n +=-⋅+本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n 项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．19．某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图． 分组频数 频率 [)45,47 8[)47,49[]49,51(]5153，16 0.16(]5355，4 0.04 合计 1001（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．【答案】（1）0.24,0.04a b ==；（2）当1815m ≥时，选方案一；当1814m ≤时，选方案二．【解析】（1）根据题中数据，得到0.080.042b ==，根据频率之和为1，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果. 【详解】（1）根据题中数据可得：0.080.042b ==， 又频率之和为1， 则10.120.080.040.020.242a =----=； （2）该工厂若选方案一：可收入()()12150510012201502540m m -⨯-⨯-⨯=-元； 若选方案二：一件产品的平均收入为200.121500.42000.485148.6-⨯+⨯+⨯-=元， 故总收入148.6m 元；21502540148.618147m m m ->⇒>，故当1815m ≥时，选方案一； 当1814m ≤时，选方案二． 【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20．已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数22113()ln 222f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的极值点；（2）若()f x 极大值大于1，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）)a ∈⋃+∞ 【解析】（1）求出导函数1()()ln 2f x x a x ⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数()f x 的极值点； （2）由（1），0a ≤和a =a >0a <<分别利用()f x 极大值大于1，建立不等关系即可. 【详解】131()()ln ()ln 222f x x a x x a x a x a x ⎛⎫=-+--+=-- ⎝'⎪⎭（1）0a ≤时，()f x 在单减，)+∞单增，极小值点为x =0a <<()f x 在(0,)a 单增，(a 单减，)+∞单增，极小值点为x =极大值点为x a =；a =()f x 在(0,)+∞单增，无极值点；a >()f x 在单增，)a 单减，(,)a +∞单增，极小值点为x a =，极大值点为x =（2）由（1），0a ≤和a =当a >14e f =>，解得4a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<21()(2ln )12f a a a =->，得222ln a a->，令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--22124()22tg t t t t'-=-+=，()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.而a t e <,而()g t 在(1,)e 单增，所以()0g t >解为(1,)e ，则a ∈.综上)a ∈⋃+∞. 【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，过圆C 的圆心C 作倾斜角,2πααπ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l .（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）直线l 分别与x ，y 轴交于A ，B ，求||||CA CB ⋅最大值和ABO V 面积的最小值.【答案】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1，2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）（2）||||CA CB ⋅无最大值，面积最小为4 【解析】（1）由题意圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，表示||||CA CB ⋅与ABO V 面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果. 【详解】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1直线l 的参数方程为()2cos 1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数 （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，124sin 2CA CB t t α⋅==，当|sin 2|α最小时取最大，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，|sin 2|(0,1]α∈.所以，无最大值.0x =时，11sin y t α=+，=0y 时22cos x t α=+，则ABO V 面积为12cos sin 122sin cos αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11224tan 2tan αα⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(44)42+=…， tan 2α=-时取等号.【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．()|||12|f x x a x a =-++-. （1）若(2)2f …，求a 的取值范围；（2）设（1）中a 的最小值为M ，若|2|m n M +…,||m n M -…，求证：|21|3m n ++…. 【答案】（1）713a 剟（2）证明见解析 【解析】（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．【详解】（1）(2)|2||32|2f a a =-+-… 32a …时，33a …，1a …，∴312a 剟 322a <<时，3a ≤，∴322a << 2a ≥时，，33a …，73a …，∴723a 剟 综上713a 剟 （2）|2|1m n +…，||1m n -…，则|2||2||2|||2m n m n m n m n m n +=++-++-剟，所以：|21||2|13m n m n ++++剟 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．。

绝密★启用前重庆市南开中学2020届高三毕业班上学期第五次教学质量检测数学(文)试题(解析版)2020年1月一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B 的元素个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 4 【答案】C【解析】【分析】 先由2y x y x ⎧=⎨=⎩求解，确定2y x 与y x =交点个数，即可得出结果.【详解】由2y x y x ⎧=⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩， 即2y x 与y x =有两个交点，所以A B 的元素个数为2个.故选：C.【点睛】本题主要考查交集中元素的个数,熟记交集的概念即可,属于基础题型.2.已知复数z 满足()22z i i -=-,则在复平面内,复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算,得到33z i =-,进而可确定其对应点的位置.【详解】因为()2224434z i i i i i -=-=-+=-,所以33z i =-,所以其对应的点为(3,3)-,位于第四象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数对应点的位置,以及复数的乘法运算,熟记复数乘法运算法则,以及复数的几何意义即可,属于基础题型.3.已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】C【解析】【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=< 又 0.21b π=>,根据0.2x y =图像,由0.2c π=∴ 01c << 综上所述,a c b <<.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4.已知向量()1,1a =,向量()2,1b =,若()(2//2)a b a b λ+-,则实数λ=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 4- 【答案】D【解析】。

重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）一、选择题 1.若复数z 满足112z ii i+=+-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A.32i - B.3i +C.23i +D.2i -【答案】A 【分析】(1)(12)z i i i =+--，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，(1)(12)332z i i i i i i =+--=--=-. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.设全集U=R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. ()0,∞+B.()0,2C.[)2,+∞D. ()[),02,-∞+∞U【答案】C 【分析】由已知得到集合A 、B ，阴影部分表示的集合为U A B I ð，再按交集、补集运算即可. 【详解】由21x>，得0x >，所以{|0}A x x =>，由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<，阴影部分表示的集合为U A B =I ð{|0}x x >I {|2}x x ≥={|2}x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题. 3.已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则2cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,...33的33个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第4列数字开始从左向右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A. 21 B. 32C. 09D. 17【答案】C 【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09. 故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题. 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.10-B.6 C. 8 D. 14【答案】B 【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案. 【详解】当20,1Si ==时，2,20218i S ==-=，25<，4,18414i S ==-=，45<；8,1486i S ==-=，此时85>，退出循环，输出的S 的为6. 故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线,m n 与平面,αβ满足m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是（ ） A. 若α∥β，则m ∥β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若α∥β，则m ∥n D. 若αβ⊥，则m n ⊥【答案】A 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，若α∥β，则α与β无公共点，又m α⊂，所以m 与β无公共点，由线面平 行的定义可得m ∥β，故A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，则m 与β可能平行、相交、在β内，故B 错误；对于选项C ，若α∥β，则m 与n 可能平行，可能异面，故C 错误；对于选项D ，若αβ⊥，则m 与n 可能平行，可能异面，也可能相交，故D 错误. 故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】D 【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有1—6，简单推理，即可得到答案.【详解】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d+=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题. 8.已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与函数()cos(2)()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，则φ为（ ）A.6π B.6π-C.3π D.3π-【答案】D【详解】解：若()f x 与()g x 的对称中心相同，则函数的周期相同即222ππω=，则2ω=， 即()2sin(2)6f x x π=+由26x k ππ+=，即212k x ππ=-，即()f x 的对称中心为(212k ππ-，0)即()g x 的对称中心为(212k ππ-，0)， 则()cos(2())cos()cos()021221266k k g k ππππππϕπϕϕ-=⨯-+=-+=±-=， 即62k ππϕπ-=+，则23k πϕπ=+，k Z ∈ 当1k=-，233ππϕπ=-+=-， 故选：D ．9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()21f x f x f ++=，且()01f =，则()2020f 的值为（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】A 【分析】令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，进一步得到(1)(1)0f f =-=，所以()()20f x f x ++=，迭代一次可得()f x 是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在()()()21f x f x f ++=中，令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，所以(1)0f -=，又()f x 为偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，从而()()20f x f x ++=，所以()()42()f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()2020(4505)(0)1f f f =⨯==.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点为1F ，右顶点为D ，过点D 作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，1ABF V 为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）AB.C.2 D. 3【答案】C 【分析】由已知求出AD ，1F D ，再由1tan 30ADF D=o 即可建立,,a b c 的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设A 在第一象限，令x a =，则y b =±， 所以(,)A a b ，AD b =，又1F D c a =+，1ABF V 为等边三角形，所以1tan 30AD F D ==ob c a =+，所以2220c ac a --=，220e e --=， 解得2e =或1e =-（舍）. 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知ABC V 三内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，cos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ） A.6 B.9C.D. 3+【答案】B 【分析】 由已知，易得23A π=，再利用ABC ABD ACD S S S =+V V V 得到bc b c =+，即111b c+=，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由cos sin 0A a C +=及正弦定理，得cos sin sin 0C A A C +=， 因(0,)C π∈，sin 0C ≠sin 0A A+=，即tan A =(0,)A π∈， 所以23A π=.如图，ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒， 所以bc b c =+，即111b c+=.∴()114455249b c b c b c c b ⎛⎫+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2c b =，bc b c =+，即33,2c b ==时，等号成立 所以4b c +的最小值为9. 故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数()()()2100x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若不等式()()3222203a f x ax a f x a ⎛⎫⎡⎤-+-≥> ⎪⎣⎦⎝⎭对任意11x -≤≤都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3⎤⎥⎣⎦【答案】A 【分析】 注意到()()222aax f xef ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 利用()f x 的单调性可得322303x axa -+-≤对任意11x -≤≤都成立，令()32233g x x ax a =-+-，只需()max 0g x ≤即可.【详解】由已知，()f x 在R 上单调递减，因为0a >，所以()()222aax f x e f ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 所以322223xax a ax -+-≤，即322303x ax a -+-≤对任意11x -≤≤都成立， 令()()()32'223,36323g x x ax a g x x ax x x a =-+-=-=-①当21a <时，()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,2a 上单调递减，在()2,1a 上单调递增，则()()()max001201063g g x a g ⎧≤⎪≤⇔⇒≤≤⎨≤⎪⎩，所以1162a ≤<；②当21a ≥时，()gx 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，()()max 20003g x g a ≤⇔≤⇒≤，所以1223a ≤≤综上，1263a ≤≤. 故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题. 二、填空题 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，则公差d =______.【答案】2 【分析】直接利用等差数列前n 项和公式即可.【详解】由已知，51545510252S a d d ⨯=+=+=，解得2d =. 故答案为：2【点睛】本题考查等差数列前n 项和的基本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14.以抛物线24y x =的焦点为圆心，被直线2x y +=截得弦长为的圆方程为______.【答案】()2211x y -+=【分析】由已知，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，算出圆心C 到直线2x y +=的距离d ，=计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心C 为(1,0)，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，圆心C 到直线2x y +=的距离==d所以==21r =， 故所求圆的方程为()2211x y -+=.故答案为：()2211x y -+=【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系xOy 中，向量,i j r r 是以O 为起点，与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，且向量a r满足a i a j -+-=r r r r ，则a i +r r的取值范围是______.【答案】2⎤⎦【分析】设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r ，(,)OA a x y ==u u u r r ，则a i +r r 表示点A 与点'I 的距离的取值范围，由a i a j -+-=r r r r可得A 在线段IJ 上，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r，(,)OA a x y ==u u u r r ，则''||||a i OA OI I A +=-=u u u r u u u r r r u u u r ，因为a i a j -+-=r r r r ，所以=A 与点,I J ，又IJ =，所以A 在线段IJ 上，如图所示，注意到'I J IJ ⊥，所以'''||||JI AI II ≤≤，所以'AI ⎤∈⎦.故答案为：2⎤⎦【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为______.【答案】 (1). 36 (2). )122123+【分析】图中共有8个正三角形，6个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可. 【详解】图中共有8个正三角形，6个正八边形，则共有3886362⨯+⨯=条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为12,S S ，因为135DAB ∠=o ，所以45ADC ∠=o ，22AE =，221DC DE AB =+=，故 21212221)122S ++=+⨯=+ 又13S =，∴表面积S 12862312212S S =⋅+⋅==)122123+.故答案为： (1). 36 (2). )122123+【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题. 三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14BB =，E 是棱1CC 上的点，且114CECC =.（1）求长方体被平面BED 分得的两部分体积之比（大比小）； （2）求证：1A C ⊥平面BED . 【答案】（1）23；（2）证明见解析 【分析】（1）只需计算出长方体的体积以及E BCD V -即可； （2）连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，要证明1A C ⊥平面BED ，只需证明1BD A C ⊥，1A C OE ⊥即可.【详解】（1）长方体1111ABCD A B C D -的体积为22416V =创=11122213323E BCD BCD V S EC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，长方体被平面BED 分得的两部分体积之比为21632323-=.（2）证明：由1A A ⊥平面ABCD 得1A A BD ⊥，又易知BD AC ⊥，1AC AA A =∩，故BD ⊥平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥ 另一方面，连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，在矩形11A ACC 中，114A A CC ==，1122AC AC ==，1EC =，故有12EC AC OC AA ==， ∴1EOC ACA V :V ，∴190EOC ACA ∠+∠=︒，∴1A C OE ⊥，且OE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ，OE BD O =I ，故1A C ⊥平面BED .【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题. 18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[)350,400，[)400,450的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以10元/千克收购；乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）【答案】（1）110；（2）方案乙 【分析】（1）由分层抽样知，质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中各抽取3个和2个，采用列举法求概率； （2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案. 【详解】（1）由题意知脐橙在[)350,400，[)400,450的比例为3:2，故应分别在质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的为,,A B C ，质量在[)400,450的为,D E ，则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ；其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种，故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110. （2）方案乙更好，理由如下： 由频率分布直方图知[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[]450,500的频率分别为0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若用甲方案，总收益为[]2250.052750.163250.243750.34250.24750.051000010001035450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷⨯=元； 若用乙方案，脐橙低于350克的有()0.050.160.24100004500++⨯=个，不低于350克的有5500个.则总收益为450025500536500⨯+⨯=元 所以，乙方案收益更高，选择方案乙.【点睛】本题考查概率与统计的综合应用，涉及到分层抽样、频率分布直方图、古典概型的概率等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，1232a a a +=，*n N ∈.且()*2log n n b a n N =∈.（1）求,n n a b ； （2）设12231111...n n n T b b b b b b +=+++，若()()211n n nn b T n a λ-<+对*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()*2n n a n N =∈，()*nb n n N =∈；（2）34λ>【分析】（1）由1232a a a +=可得公比q ，由314S =可得1a ，再利用等比数列通项公式即可得到,n n a b ； （2）由裂项相消法可得1111n nT n n =-=++，不等式()()211n n nn b T n a λ-<+等价于()()21211212n n n n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N都成立，令()212nn f n -=，只需求出max ()f n 即可. 【详解】（1）数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a +=，得：()2112a q a q +=∴220q q --=，因为{}n a 是正项数列，所以1q ≠-，2q =.又314S =，()311141a q q-=-，∴12a =，从而()*2n na n =∈N ，()*2log n nb a n n ==∈N .（2）()1111111n n b b n n n n +==-++∴122311111 (111)n n n n T b b b b b b n n +=+++=-=++ 故不等式()()211n n n n b T n a λ-<+等价于()()21211212n nn n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N 都成立， 令()212n n f n -=，∴()()12142f n n f n n ++=-，令21142n n +>-，得32n <；令21142n n +<-，得32n >，所以当1n =时，()()121142f n n f n n ++=>-；当2n ≥时，()()121142f n n f n n ++=<-故()()max 324f n f ==，∴34λ>.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法求数列的和以及数列不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A 为椭圆C 上任意一点，且已知()1,0P .（1）若椭圆C 的短轴长为4，求AP 的最大值；（2）若直线AP 交椭圆C 的另一个点为B ，直线:4l x =交x 轴于点D ，点A 关于直线l 对称点为'A ，且'A ，,D B 三点共线，求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）5；（2）2214x y +=【分析】（1）由c a =24b =，222a b c =+解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可； （2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用',,A D B 三点共线，即A D BD k k '=计算即可得到椭圆方程.【详解】（1）由题意2c a =，∴22314b a -=，224a b =且24b =，∴216a =，24b =所以22:1164x y C +=，设()11,A x y ，则()()22222211111131142544x AP x y x x x =-+=-+-=-+∵144x -≤≤，故当14x =-时，max 5AP =.（2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，与椭圆2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=联立得：()22242140my my b +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则>0∆，12224m y y m -+=+，2122144b y y m -=+ 又由题知()4,0D ，()'118,A x y -，∴'114A D y k x =-，224BD y k x =-故由',,A D B 三点共线得A D BD k k '=，即121244y y x x =--，()()122144y x y x -=- ∴()()1221330y my y my -+-=，∴()121223my y y y =+代入韦达定理得：()222214644b m m m m --=++，∴2413b -=，21b =，24a = 故椭圆方程为22:14x C y +=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到三点共线，在处理直线与椭圆的位置关系时，一般要用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题. 21.已知函数()()()12x x f x ae x e a x -=-+-+.（1）若曲线()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，求-a b 的值；（2）当0x <时，函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()4ln 21a <-+【分析】（1）利用导数的几何意义求出()f x 在点()()0,0f 处切线方程，对比系数即可；（2）()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21x x x x e a e e -=-，即y a =与()21xx x x e y e e -=-有两个交点，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）因为()()'2x x f x ae xe a -=+-+，∴()'02f =-，且()01f a =-故()f x 在点()()0,0f 处切线方程为(1)2y a x --=-，即21y x a =-+-，又由题知()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，故1a b -=，∴1a b -=.（2）()()'2x x fx ae xe a -=+-+，()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21xx x x e a e e -=-，则y a =与()21x x x x e y e e -=-有两个交点，记()()21xx x x e h x e e -=-， 则有：()()()()'21211xxxx e e x h x e e --+=-记()()'1,1xxs x e x s x e =-+=-，所以()sx 在(),0-∞上单调递减，所以()()02s x s >=. 所以()h x 在(),ln 2-∞-上单调递增，在()ln 2,0-上单调递减， 所以()()()max ln 241ln 2hx h =-=-+又因为x →-∞，()hx →-∞；0x →，()h x →-∞，由图像可知()41ln 2a <-+.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值．【答案】（1）1:2sin C ρθ=e ；2:4sin C ρθ=-e ；（2）32【分析】(1)直接由条件求出1C e 与2C e 的极坐标方程即可; (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值. 【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-.(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin233ABC S ππθθ∆=--ggg (sin coscos sin )33ππθθθ=--23sin cos θθθ=+)6πθ=+. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知实数0x >，0y >，且满足1x y +=. （1）求关于x 的不等式352124x y x +-++≤的解集； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析【分析】（1）由已知，可得01x <<，不等式352124x y x +-++≤等价于151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，只需解1124x x -≤-即可； （2）()()222222111111x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫--=-⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()11221x y xy xy xy xy +++===+，又()2144x y xy +≤=，代入即可得到证明.【详解】（1）1x y +=，∴10y x =->，且01x <<，故不等式352124x y x +-++≤等价于 151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，∴308x <≤，∴不等式的解集为30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）因为1x y +=，故()()()()22222222222211221111x y x y x y y x xy y xy x x y x y x y xy ⎡⎤⎡⎤++++⎛⎫++⎛⎫--=-⋅-=⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112219x y xy xyxyxy +++===+≥（∵()2144x y xy +≤=）. 即可证得不等式成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式的证明，考查学生的基本计算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.。

2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第1题5分已知集合A={x||x|⩽1,x∈Z}，B={1,2,3}，则A∩B为（）．A. {−1}B. {1}C. {−1,0,1}D. ∅2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第2题5分设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为（）．A. 12+12iB. 12−12iC. 1−12iD. 1+12i3、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第3题5分下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）．A. y=x3+1B. y=sin⁡xC. y=x−x3D. y=2x4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第4题5分向量a →=(3,m )，b →=(1,2)，若(a →+b →)⊥b →，则m =（ ）．A. −4B. −32C. 0D. 65、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第5题5分已知x ，y ∈R ，命题“若x 2+y 2=0 ，则x =0 或y =0 ”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ）．A. 0B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（石家庄二中教育集团）第3题5分2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5G ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）．A. 相关活动是5G 信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区四川大学附属中学（成都市第十二中学）高二上学期月考第7题5分椭圆x 27+y 2b 2=1，过原点O 斜率为√3的直线与椭圆交于C ，D ，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为（ ）．A.x 27+y 24=1 B. x 27+y 23=1 C. x 27+y 26=1 D. x 27+2y 27=18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第8题5分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）．A. 43B. 83C. 4D. 89、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第9题5分定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +1)=f (1−x )，且x ∈[0,1]时，f (x )=2x −1，则f (log 28)=（ ）．A. −1B. 1C. 7D. −1210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第10题5分 点P 在函数y =ln⁡x 的图象上，若满足到直线y =x +a 的距离为√2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）．A. 1B. −3C. 2D. −2√211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第11题5分重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）．A. y=0.45cos⁡23xB. y=4.5cos⁡23xC. y=0.9cos⁡32xD. y=9cos⁡32x12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第12题5分若P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左右焦点，|PF2|=2b，点Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为（）．A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第13题5分若变量x，y满足约束条件{x+y−1⩽03x−y+1⩾0x−y−1⩽0，则z=2x+3y的最大值为．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第14题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=1，c=√7，则BC边上的高为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第15题5分《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由右图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为立方米．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第16题5分已知f(x)=4sin⁡x+3cos⁡x，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tan⁡α=，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第17题12分正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 求数列{a n+n}的前n项和T n．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第18题12分在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．(1) 计算a，b，c．(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．①写出各组中抽取人数．②访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第19题12分正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1) 求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1．(2) 若AD与平面ABB1A1所成角为π4，求四棱锥A−BCDB1的体积．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知圆C:x2+(y−3)2=8和动圆P:(x−a)2+y2=8交于A，B两点．(1) 若直线AB过原点，求a．(2) 若直线AB交x轴于Q，当△PQC面积最小时，求|AB|．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第21题12分已知f(x)=−12x2+x−cos⁡x−k．(1) 若f(x)的一条切线为y=x，求此时的k．(2) 求使得f(x)>0有解的最大整数k．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第22题10分在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=tcos⁡αy=2√33+tsin⁡α(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l与曲线C交于两不同的点M，N．(1) 写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程，并求α的范围．(2) 求MN中点P轨迹的参数方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第23题10分已知对于任意x⩾−1，不等式(1+x)3⩾1+3x成立．(1) 求证：对于任意x⩾−1，(1+x)4⩾1+4x．(2) 若a >0，b >0，求证：(a +b )4⩾a 4+4a 3b ．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 3;14 、【答案】 √32;15 、【答案】 15π;16 、【答案】 34;[245，5);17 、【答案】 (1) a n =2n−1． ;(2) T n =2n −1+n(n+1)2．;18 、【答案】 (1) {a =9c =6b =6．;① 3，2，2．② 121．;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √6．;20 、【答案】 (1) ±3．;(2) √14．;21 、【答案】 (1) −1．;(2) 0．;22 、【答案】 (1) 直线l 的普通方程为：sin⁡α⋅x =cos⁡α(y −2√33)， 曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ⩾0)， 求α的范围：α∈[0,π6]∪[5π6,π)． ; (2) {x =−2√33sin⁡αcos⁡αy =2√33−2√33sin 2α（α为参数，α∈[0,π6]∪[5π6,π))． ;23 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) 证明见解析．。