北京市2012-2013高三上学期期中数学理科试卷及答案

9．如图 为圆O的切线， 为切点， ，
圆O的面积为 ，则 ．
10.曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
11． 的二项展开式中， 的系数是（用数字作答）
12．已知命题 “ ”；命题 “ ”，若 且 为假， 或 为真，则实数 的取值范围是__________________.
5．在三棱锥 中， ，
平面 , .若其主视图，俯视图
如图所示，则其左视图的面积为( )
A. B. C. D.
6．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
A.36种B.42种C.48种D.54种
A. B. C. D.
3．已知两直线m、n，两平面α、β，且 ．下面有四个命题：
1）若 ；2） ；
3） ；4） ．
其中正确命题的个数是：（）
A．0B．1C．2D．3
4.如图，圆 ： 内的正弦曲线 与 轴围成的
区域记为 （图中阴影部分），随机往圆 内投一个点 ，则点
落在区域 内的概率是（）
A. B. C. D.
椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于两点 ， 为坐标原点，若 为直角三角形，求 的值.
19.（本小题满分14分）
设函数 在 处取得极值．
（Ⅰ）求 与 满足的关系式；
（Ⅱ）若 ，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若 ，函数 ，若存在 ， ，使得
成立，求 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线P：x2=2py(p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点 到焦点F的距离为 ．

与曲线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G．求证：A， G，N 三点共线．
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20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝 对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集 合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A） 为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE； （2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小； （3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）
A．5
B．7
C．9
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D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（ ）
A．CE•CB=AD•DB

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A(U ðB )等于（ ）A ．∅B ．{}5C ．{}3D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= . 12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ， 22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （Ⅲ）对于数列231,2,3,,n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin3C===．………………………2分所以，11sin23223ABCS ab C==⨯⨯⨯=………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin3a CAc⨯===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++. ……………………………12分依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（2n ≥）.显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分（2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2min -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+ 所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等；取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等； … …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a <，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a >；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1ki c k ≤≤，1,2,,i k =．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。

（A）充分而不必要条 （B）必要而不充分条
件
件
·3·
（C）充分必要条件
HLLYBQ 整理 供“高中试卷网（）”
（D）既不充分也不必 要条件
6．已知 a,b 是正数，且满足 2 a 2b 4．那么 a2 b2 的取 值范围是（ ）
（
( 4 ,16)
A
） （B） (4 ,16) 5
cos 3
4．执行如图所示的程序框图．若输出 S 15 ， 则框 图中
① 处可以填入（ ）
（A） k 2 （B） k 3 （C） k 4 （D） k 5
5 ． 已 知 函 数 f (x) x bcos x ， 其 中 b 为 常 数 ． 那 么
“b 0”是“ f (x) 为奇函数”的（ ）
55
（C） (1,16)
（D） (16 , 4) 5
7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ）
（A） 2 5 （B） 2 6 （C） 2 7 （D） 4 2
8．将正整数1,2,3,4,5,6,7 随机分成两组，使得每组至 少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是
·4·
（）
分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 A {x R | 0 x 1}， B {x R | (2x 1)(x 1) 0}，则
AB （ ）
（A） (0, 1) 2
（B） (1,1)
（C） (, 1) (1 , ) 2
（D） (, 1) (0, )
2．在复平面内，复数 5i 的对应点位于（ ） 2i
北 京 市 西 城 区 2012-2013 学 年 度第一学期期末试卷高三数学 (理科)