哈尔滨市高三上学期期中数学试卷C卷(模拟)

黑龙江省2021版高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·临川模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·保定期末) 已知复数1+2i，a+bi（a、b∈R，i是虚数单位）满足（1+2i）（a+bi）=5+5i，则|a+bi|=（）A . 3B .C .D .3. （2分）(2018·衡阳模拟) 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（）A . 11B . 12C . 13D . 144. （2分） (2018高二上·兰州月考) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·集宁期末) 已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为（）X4a9P0.50.1bA . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位长度C . 向左平行移动个单位长度D . 向右平行移动个单位长度7. （2分）(2019·武汉模拟) 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 .若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·眉山期中) 已知函数，对∀a∈R，∃b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·河南期中) 太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是A . ，B . ，C . ，D . ，10. （2分） (2019高三上·吉林月考) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）已知，则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . c＞b＞a12. （2分） (2018高一上·中原期中) 若函数是函数（且）的反函数，且，则（）A . 3B .C . -3D .二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为________．14. （1分） (2016高二下·卢龙期末) （x+ y）6的二项展开式中，x2y4项的系数是________．15. （1分） (2016高二下·吉林开学考) 设{an}是公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根，则a2007+a2008=________．16. （1分） (2017高一下·泰州期中) 各项均为正数的等比数列{an}中，a2﹣a1=1．当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）(2019·鞍山模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A、B两点，若 16，求角的取值范围．18. （10分） (2019高一下·益阳月考) 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若锐角的三个角满足，求的取值范围．19. （15分） (2016高三上·沈阳期中) 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30损款不超过500元6合计P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820. （5分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：所用的时间（天数）10111213通过公路l的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．21. （10分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 在数列{an}中，已知a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N• ．（1）设bn=an﹣n，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn ．22. （5分）(2017·河南模拟) 设函数f（x）=x﹣alnx+ ．（Ⅰ）若a＞1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞3，函数g（x）=a2x2+3，若存在x1 ，x2∈[ ，2]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a 的取值范围．。

哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。

黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．3.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，且，则.故选：C．4.若，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，则，故选：A．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件的故选C.7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】根据题意，在中，，则，且为锐角；又由，可得，又由，则，则，故选：A．9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】对于选项A，若，所以，故A错误，对于选项B，若，所以，则，故B正确，对于选项C，若，则在上的投影为，故C错误，对于选项D，若，不能推出，故D错误，综上可知：选项B正确，故选：B．10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；故选：A．11.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选：B．12.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，①得，，②①-②得：，即．成立，∴；则．所以，设，则．∴在上单调递减，则，即．令，则．∴，故．设，则．在上单调递增，∴，即．令，则．∴．故．∴．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与的夹角为______．【答案】【解析】设与的夹角为，，则由，平方可得，解得，∴，故答案为．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．【答案】【解析】由函数部分图象知，，，，，由时，，解得，所以．故答案为：．15.数列满足，，，则数列的前项和______．【答案】【解析】，即为，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得，即，数列的前n项和．故答案为：．16.下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【答案】②③④【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，，可得时，的最大值为，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，可得，即，解得．则；（Ⅱ），可得前n项和.．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．解：（Ⅰ）由，得，即，∴，故．（Ⅱ）由，得，即，①又，∴，②由①②可得，所以．19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明等比数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意，可知：，．①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：，．．．， ③④③-④，可得：，20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；是（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点，求四边形面积的最大值．解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，椭圆C和抛物线有相同的焦点．，解得，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵是椭圆的右顶点和上顶点，∴，直线和椭圆C交于点，联立，得，到直线的距离，到直线的距离，，∴，当时，取等号．∴四边形面积的最大值为2．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围解：（Ⅰ）因为，所以，，，的变化关系如下表：极大值所以函数的极大值为，极小值为.（Ⅱ）（i）令，令，则对恒成立，在上是增函数，则，恒成立，在上为增函数，；（ii）令要使恒成立，只需当时，，，令，由（i）得，①当时，恒成立，在上增函数，，满足题意；②当时，上有实根，在上是增函数，则当时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，即．22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．解：（Ⅰ）由曲线得，得，得；由曲线（为参数）消去参数可得，得，即；（Ⅱ）联立解得，联立，解得，，，，设，由于函数f(t)是减函数，时，取得最小值，时，取得最大值，所以的取值范围是．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，且，求证：．解：（Ⅰ）时，或或，解得，故不等式的解集为；（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.∵，∴，当且仅当时取等．故．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A ．[3,1)-B ．[1,1)-C ．(1,3)D ．[1，4]2．已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．bB ．34bC ．14bD ．12b- 3．已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1tan sin αα-=（）A ．125-B ．65C ．125D ．5125．已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A ．221167y x +=B ．221259y x +=C ．2212516y x +=D ．221169x y +=6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A ．5:6B ．3:4C ．1:2D ．5:77．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A ．25台B ．24台C ．23台D ．22台8．已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(,1)∞--B ．(,1]-∞-C ．(0,8]D ．[0,8]二、多选题9．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1210．已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C ．t 的最小值为37π24D ．t 的最大值为49π2411．在ABC V 中，5,6,AB AC BC P ===为ABC V 内的一点，AP xAB yAC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC V 的重心，则12x y +=B ．若P 为ABC V 的外心，则18PB BC ⋅=-C ．若P 为ABC V 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC V 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z 满足|4i |2z -=，则|1i |z +-的最大值是.13．边长为1的正三角形ABC 的内心为O ，过O 的直线与边AB ，AC 交于P 、Q ，则2211||||OP OQ +的最大值为.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =-∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意R x ∈都有1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(2)3f =，则()21013f a 的值为.四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a C C b c =+.(1)求A ；(2)求b ca+的取值范围.16．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一：编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y 与变量x 之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；(2)求y 关于x 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六不在校自主学习253055合计60160220（参考数据：551122820,435,i ii i i i x y y x ====∑∑的方差为200,i y 的方差为230.81074≈）附：()()()()()121ˆˆˆ,nniiiii nii x x y y x x y y r b a y bx x x ==----===--∑∑∑，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1122331,4,7a b a b a b ==+=+=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ；(3)在（2）的条件下，设数列11n n n S a a +⎧⎫-⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈时，141n T n λ>++恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面1111,3,A B C AA AB AC ==，2,BC D =为BC 的中点，点F 在棱1BB 上，且2,BF E =为线段A 上的动点.(1)证明：1C F EF ⊥；(2)若直线1C D 与EF 所成角的余弦值为156，求二面角1E FC D --的正弦值.19．设()y f x =是定义在区间D 上的连续函数，若存在区间0[,],(,)a b D x a b ⊆∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“含峰函数”，0x 为“峰点”，[,]a b 称为()y f x =的一个“含峰区间”.(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：（i ）1y x x=+；（ii ）sin y x x =-.(2)已知*2,()ln(1)2t f x t x x x ∈=--+N 是“含峰函数”，且[]2,3是它的一个“含峰区间”，求t 的最大值；(3)设()()432,,324m n g x x mx nx m n x ∈=--++-R 是“含峰函数”，[],a b 是它的一个“含峰区间”，并记b a -的最大值为(),M m n .若()()12g g ≥，且()10g ≥，求的(),M m n 最小值.。

哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2 B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2iB. 2i- C. 2- D. 23. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 294. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（ ）A 27B. 0C. 716-D. 916-8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设的.某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35B. 42C. 49D. 56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根在C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14. 已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．的的哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（ ）A. ()0,2B. ()1,2- C. (],4∞- D. (]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2. 若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 2i B. 2i- C. 2- D. 2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3. 在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（ ）A. 20 B. 24C. 27D. 29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4. “26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5. 下列命题中，真命题的是（ ）A. 函数sin ||y x =的周期是2π B. 2,2x x R x ∀∈>C. 函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D. 0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于5sin |||2|sin()333ππππ-=-+==，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6. 设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3C. 9D. 【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k abαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7. 已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC⋅的最小值为（ ）A. 27 B. 0C. 716-D. 916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈- ，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t = 时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8. 在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ）A. 35 B. 42C. 49D. 56【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得50分，部分选对的得2分．9. 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（ ）A. 数列1{}2n a +为等比数列 B. 11322n n a =⨯-C. 数列{}n a 是递减数列 D. {}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+，11322a +=，为∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10. 下列说法中正确的是（ ）A. 在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B. 非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C. 已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 在ABC 中，若2350OA OB OC ++= ，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅> 即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅< ,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11. 已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A. 若()0f =，则π3ϕ=B. 若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C. 若()f x [],a b 上单调，则π2b a ω-≤D. 若2ϕπ=时，且()f x在π3⎡-⎢⎣上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=cos ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C错误；在对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ ，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12. 已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为()0,6πB. 方程()f x m =可能有三个实数根C. 若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D. 过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，在故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2) 已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3) 已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14. 已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅=________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A =3A π∠= ，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16. ()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，为则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n n n n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2) ()·=f x a b =x ·cos x ＋sin 2xsin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量1,1)2PB =- 和平面PAD 的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得11(0,0,0),,0),,0),(0,0,1)22D A B P -，则11,1),,0),(0,0,1)22PB DA DP =-=-=，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =，则1020n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,n PB n PB n PB θ⋅==== ，所以直线PB 与平面PAD19. 已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）1133n n n T -+=-【解析】的【分析】（1）利用累加法求出na n，进而得n a ；（2）求得1213n n n b --=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，所以11221111221n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21n a n =-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为012135333n T =++++ 所以12311352133333n nn T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n nnn n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n nn n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B = （2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】2ABC BC S ⋅=可得：1cos 2sin sin 2B ac B ac B =⋅=，故有sin tan cos BB B ==又∵()0,πB ∈，∴2π3B =；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+，由正余弦定理得222c ac b a +=-，∴2221cos 22a cb B ac +-==-，又()0,πB ∈，∴2π3B =；选③，∵()2cos cos c a B b C +=-，由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos C A B B C +=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B C B A =--=-+=-，∵()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又()0,πB ∈，∴2π3B =．【小问2详解】由余弦定理得2222cos 12c a b ac B ac +=+=-∵0ac >，∴2212a c +<．又有222222122c a c a ac c a +=++≤++，当且仅当2a c ==时取等号，可得228c a +≥．即22a c +的取值范围是[)8,12．21. 已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .【答案】（1）25n a n =或2n a n =（N n +∈） （2）当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+【解析】【分析】（1）设出公差d ，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b 的通项公式，再对n 进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2na n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S nn +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111nn n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n nT n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22. 已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x<-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x>->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m=-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-，令*1,n x n n+=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212lnln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

黑龙江省 2021 版高三上学期期中数学试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知集合,A.,则（）B.C.D. 2. （2 分） (2020 高一上·天津期中) 已知函数 y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则 y=f（2x-1）的定义域是（ ）A . [0， ] B . [-1，4] C . [-5，5] D . [-3，7]3. （2 分） 已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）A.B. C.D.4. （2 分） (2019 高二上·贺州月考) 已知公比的等比数列成立的是（ ）第1页共8页的前 n 项和为 ，则下列结论一定A.若 B.若 C.若 D.若，则 ，则 ，则 ，则5. （2 分） 若函数在内无极值，则实数 的取值范围是（ ）A. B.C.D.6. （2 分） (2018·鄂伦春模拟) 若函数 A.在上有最小值，则 的取值范围为（ ）B.C.D.7. （2 分） 若无穷等差数列 的前 n 项和为 ，且，,则A.在 B. C.在 D.在中 最大中， 或 最大 时，第2页共8页8. （2 分） (2019 高三上·榕城月考) 函数的大致图象是A.B.C.D. 9. （2 分） (2019 高一上·安达期中) 下列说法：①若集合，为奇函数，则必有 其中说法正确的序号是（；③方程 ）A . ②③，则；②定义在 上的函数有两个实根；④存在，，使得第3页共8页，若 .B . ②④ C . ①②③ D.② 10. （2 分） (2016 高一下·辽源期中) 在等差数列{an}中，a3 ， a15 是方程 x2﹣6x+8=0 的两个根，则 a7+a8+a9+a10+a11 为（ ） A . 12 B . 13 C . 14 D . 1511. （2 分） (2020 高一上·温江月考) 设 A.，定义符号函数B.C.D.则（ ）12. （2 分） 若函数 A . ±1在定义域上为奇函数，则实数 k 的值为（ ）B . ﹣1C.1D . 0 或±1二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)第4页共8页13. （1 分） 若集合 A={x|（k﹣1）x2+x﹣k=0}有且仅有两个子集，则实数 k 的值是________．14. （1 分） (2018 高二上·寿光月考) 过点 直线方程为________．且与曲线在点处的切线垂直的15. （1 分） 已知数列{an}的通项公式是 an=，若前 n 项和为 12，则项数 n 为________．16. （2 分） (2017 高二下·湖州期中) 已知函数 f（x）= （a）=2，则 a=________．三、 解答题 (共 14 题；共 67 分)，则 f（f（﹣2））=________，若 f17. （10 分） (2019 高一上·邗江期中) 已知全集，集合，．（1） 求；（2） 求．18. （10 分） (2020 高三上·滕州月考) 已知函数足，，，.，，，数列 ， 满（1） 求证：数列是等比数列；（2） 设，求数列 的前 n 项和 .19. （10 分） (2020 高一上·北海期末) “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度 （单位：尾/立方米）的函数.当时， 的值为 2 千克/年；当时， 是 的一次函数；当时，因缺氧等原因， 的值为 0 千克/年.（1） 当时，求 关于 的函数表达式.（2） 当养殖密度 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.20. （10 分） (2019 高二下·长春期中) 设函数．第5页共8页（1） 若函数在处的切线与垂直，求 的值；（2） 证明：当时，.21. （2 分） 极坐标方程分别是 ρ=cosθ 和 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距是（ ）A.2B. C.1D.22. （2 分） (2019 高二下·泉州期末) 已知点 是曲线 ：上一点，点，则 的取值范围是（ ）A.B. C. D.（ 为参数，）23. （1 分） (2019·北京模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是，（t 为参数），以 O 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.24. （1 分） 将点的极坐标（2， ）化为直角坐标为________． 25. （10 分） (2017·宝清模拟) [选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的参数方程为第6页共8页为参数），曲线 C2 的极坐标方程为．（1） 求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（2） 设 P 为曲线 C1 上一点，Q 曲线 C2 上一点，求|PQ|的最小值．26. （2 分） (2017 高三下·静海开学考) 设集合 A={x||4x﹣1|≥9，x∈R}，B={x| （）A . （﹣3，﹣2]≥0，x∈R}，则 A∩B=B . （﹣3，﹣2]∪C . （﹣∞，﹣3]∪D . （﹣∞，﹣3）∪ 27. （2 分） (2016·德州模拟) 不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4 的解集为（ ） A . （﹣∞，4） B . （﹣∞，﹣4） C . （4，+∞） D . （﹣4，+∞） 28. （1 分） (2016 高一上·浦东期中) 若不等式|x﹣1|＜a 成立的充分条件是 0＜x＜4，则实数 a 的取值范 围是________． 29. （1 分） (2016 高一上·青浦期中) 已知 a＞0，若不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a 在实数集 R 上的解集不是空 集，则 a 的取值范围是________． 30. （5 分） (2017·成都模拟) 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式 f（x+ ）≥0 的解集；第7页共8页（Ⅱ）若 p，q，r 为正实数，且=4，求 3p+2q+r 的最小值．第8页共8页。

黑龙江省2021年高三上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高一上·广州期中) 已知集合，则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·吉林月考) 在复平面内，复数的共轭复数的模为（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数，则函数的零点个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分） (2020高二上·运城期中) 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥中最长的棱长为（）A . 4B .C .D .5. （2分） (2016高二下·北京期中) “a＞2”是“对数函数f（x）=logax为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2020高三上·长春期中) 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按顺时针方向旋转后经过点，则（）A .B .C .D .7. （2分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2 ，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A . 335B . 338C . 1678D . 20128. （2分） (2019高二下·南宁期中) 已知函数的两个极值点分别在和内，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）在中，（）A .B . 2C .D .10. （2分）设，，，则a,b,c的大小顺序为（）A . a<b<cB . c<b<aC . c<a<bD . b<a<c二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 函数的定义域是________.12. （1分）(2017·聊城模拟) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，点B（0，b），若线段AB的垂直平分线过右焦点F，则双曲线C的离心率为________．13. （1分） (2020·温岭模拟) 在二项式的展开式中，所有项系数和为________，展开式中含的项是________.14. （1分） (2019高二下·佛山月考) 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）．15. （1分） (2020高三上·贵州月考) 下列说法错误的是________（填序号）①已知且，的最小值为 .②命题“ ，有”的否定是“ 有”.③设，命题“若，”的否命题是真命题.④已知，，若命题为真命题，则x的取值范围是.⑤“方程有实根”是“ ”的必要不充分条件.16. （1分） (2020高二上·内蒙古期中) 已知向量，若，则k=________.17. （1分） (2017高二下·淮安期末) 已知函数f（x）=x2﹣mx对任意的x1 ，x2∈[0，2]，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围________．三、解答题 (共5题；共25分)18. （5分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且,．（1）求的值；（2）设∠AOP=，=+，四边形OAQP的面积为S，=(-1)2+S-1，求f（θ）的最值及此时θ的值．19. （5分） (2020高二上·重庆月考) 如图，已知点在正方体的对角线上，满足（1）求与所成角的余弦值；（2）求与平面所成角的正弦值.20. （5分） (2018高二下·普宁月考) 已知在数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和 .21. （5分） (2018高二上·南京月考) 在平面直角坐标系中，圆经过椭圆的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点， ,记直线的斜率分别为，当时，求的值.22. （5分） (2017高三上·太原月考) 已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).（1）判断函数f(x)的单调性与奇偶性；（2）是否存在实数t ，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共25分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

黑龙江省2021版高三上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二下·广州期末) 已知集合，则中元素的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分） (2018高一上·广东期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·门头沟模拟) 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。

分值权重表如下：总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。

报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。

若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。

在某次招标中，若基准价为1000（万元）。

甲、乙两公司综合得分如下表：公司技术商务报价甲80分90分分乙70分100分分甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是（）A . 73，75.4B . 73,80C . 74.6,76D . 74.6 ,75.44. （2分）若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（）A . a+ ＞b+B . a+ ＞b+C . ＞D . ＞5. （2分）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）（b一c）=0，则|c|的最大值是（）A . 1B .C . 2D .6. （2分）在等差数列{an}中，a3+3a8+a13=120，则a8=（）A . 24B . 22C . 20D . 257. （2分）已知等比数列的前三项分别是a﹣1，a+1，a+4，则数列{an}的通项公式为（）A . an=4×（）nB . an=4×（）n﹣1C . an=4×（）nD . an=4×（）n﹣18. （2分） (2020高二下·大庆月考) 如何由正弦曲线经伸缩变换得到的图象（）A . 将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的B . 将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍C . 将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D . 将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的9. （2分） (2019高一上·嘉兴期中) 下列函数中，其图象既是中心对称图形又在区间上单调递增的是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·德阳模拟) 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .二、多选题 (共3题；共9分)11. （3分）(2020·泰安模拟) 已知向量，则（）A .B .C .D .12. （3分） (2020高三上·黄冈月考) 下列有关命题的说法正确的是（）A . ，使得成立B . 命题，都有，则，使得C . 函数与函数是同一个函数D . 若、、均为正实数，且，，则13. （3分） (2019高三上·荆门月考) 已知函数 .下列命题为真命题的是（）A . 函数是周期函数B . 函数既有最大值又有最小值C . 函数的定义域是，且其图象有对称轴D . 对于任意，单调递减三、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）已知cos31°=a，则sin239°的值为________．15. （1分） (2019高三上·天津月考) 对任给实数 ,不等式恒成立,则实数的最大值为________.16. （1分） (2019高一上·西城期中) 设，则的最小值为________.17. （1分） (2018高三上·三明期末) 已知，，是锐角的内角，，所对的边，，且满足，则的取值范围是________．四、解答题 (共6题；共60分)18. （10分） (2016高三上·成都期中) 已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn= ，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数n的值．19. （10分） (2019高一上·郑州月考) 已知二次函数满足（1）求的解析式；（2）求在区间（）上的最小值.20. （10分）(2020·贵州模拟) 已知函数，（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，对于任意，都有 .21. （10分） (2020高一下·宝应期中) 如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点，求的面积．22. （10分） (2018高一上·舒兰月考) 已知函数，且．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．23. （10分） (2016高一上·上杭期中) 已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共3题；共9分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：。

黑龙江省2021年高三上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019高一上·长春月考) 已知集合则A .B .C .D .2. （1分） (2016高二上·定州开学考) 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A . 4B . 2C .D .3. （1分） (2020高二下·天津期中) 在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法错误的是（）A .B . 数列是等比数列C .D . 数列是公差为2的等差数列4. （1分）如果实数x、y满足那么z=2x+y的范围为（）A .B .C .D .5. （1分） (2018高一上·烟台期中) 函数的大致图象为A .B .C .D .6. （1分）已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α//β是“l//β”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分）已知，则（）A .B .C .D .8. （1分）下列结论正确的是（）A . 当x>0且时,B . 当x>0时,C . 当时,的最小值为2D . 当时,无最大值9. （1分） (2019高三上·湖南月考) 如图，已知双曲线：的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （1分） (2020高一下·七台河期末) 直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高一下·上海期末) 在等差数列中，已知，，则 ________.12. （1分） (2019高三上·如皋月考) 设函数，把的图象向左平移个单位后，恰为函数的图象，则的值为________．13. （1分） (2018高二上·苏州月考) 过点，且与直线垂直的直线方程为________．14. （1分） (2020高一上·沧县月考) 已知，，，则的最大值是________.15. （1分） (2019高一上·如皋月考) 已知，，且，则向量与的夹角为________.16. （1分） (2020高二下·柳州模拟) 若等差数列和等比数列满足，，则 ________．17. （1分） (2018高一上·包头期中) 若函数的图象与x轴有四个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共10分)18. （2分） (2020高一下·宁波期中) 已知函数（1）求函数在区间上的值域（2）设，求的值.19. （2分） (2016高二上·济南期中) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（Ⅰ）求证：数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项和前n项和Sn ．20. （2分）(2017·南阳模拟) 如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．（1）证明：BD⊥AF；（2）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．21. （2分）已知点F为抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:（x-2）2+（y-3）2=16的直径为MN.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l1 ， l2 ，证明直线l1 ，l2的交点在定直线上，并求出该直线.22. （2分）(2017·番禺模拟) 已知函数f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共10分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （2分） (2019高二下·临海期中) 设集合，，若，则 ________；________.2. （1分）命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1________．3. （2分） (2019高一上·金华期末) 函数的定义域为________；函数的值域为________．4. （1分） (2019高二下·广东期中) 曲线在点处的切线方程为________.5. （1分） (2017高二下·溧水期末) 若tan（α﹣）= ．则tanα=________．6. （1分）等比数列中，，前项和为，满足，则 ________．7. （1分） (2016高一上·余杭期末) 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）= ，当x∈（0，1]时，f（x）=2x ，则f（log29）等于________．8. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，a=2，b=6，B=60°，则c=________．9. （1分）函数在上有零点，则实数的取值范围是________．10. （1分） (2017高一上·石家庄期末) 的值等于________．11. （1分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为________ ．12. （1分） (2018高三上·盐城期中) 已知数列满足，其中，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是________．13. （1分） (2016高二上·宁县期中) 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为________ km．14. （1分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．二、解答题（一） (共6题；共50分)15. （5分）(2017·安庆模拟) 已知函数，实数a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．16. （5分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{ }的前n项和．（Ⅲ）求{anbn}的前n项和．17. （10分）(2019高一下·柳江期末) 在锐角三角形中，内角的对边分别为且．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ 的面积．18. （5分）(2018·济南模拟) 已知函数．(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．19. （15分）(2012·广东) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ，且a1 ， a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20. （10分）设f（x）= （a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数g（x）=（x+1）f（x）﹣b（x﹣1）在[1，e]上有且只有一个零点，求实数b取值范围．三、解答题（二） (共6题；共55分)21. （10分） (2015高三上·临川期末) 如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE 是☉O的切线；（2）若 = ，求的值．22. （10分） (2016高三上·苏州期中) 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．（1）求矩阵M；（2）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．23. （10分）在极坐标系中，已知曲线C：ρ2+2ρsinθ﹣3=0（ρ∈R），直线l是过直角坐标系下定点（2，1）且与直线θ= 平行的直线，A、B分别为曲线C和直线l上的动点．（1）将曲线C和直线l分别化为直角坐标系下的方程；（2）求|AB|的最小值．24. （10分） (2017高二下·武汉期中) 综合题。