纳什均衡解及其QPSO算法求解_于敏(1)

纳什均衡解生活在均衡世界中的人们，习惯了日出而作，日落而息，平凡而安逸地过着简单又平静的生活。

他们很满足于这样的生活，尽管在“自由与责任”、“金钱与道德”之间的取舍上会有些矛盾，但是他们都明白，这样的生活，才是他们想要的生活，只要守住自己的道德底线，在法律允许的范围内进行商业经营，便可以享受到完美的“自由与责任”、“金钱与道德”的统一。

这便是均衡世界里的人们所追求的“纳什均衡”。

但是，生活并不如我们所想象的那般“完美”，甚至还存在着许多令人无法理解的问题：地球环境遭到破坏，气候变暖等等，也正因为这样，一个新型的学科——“非均衡”随之诞生。

所谓“非均衡”，就是从不均衡走向均衡的过程，其特点就是存在两种或多种因素相互抵消和制约，从而使某一局部得到极大发展，某一局部又趋于均衡的动态过程。

这时，不均衡就转化成了均衡，“均衡”就变成了“非均衡”。

非均衡是事物发展的必然趋势，也是事物发展过程中的本质联系，更是事物具体联系中的复杂表现形式。

因此，我们应该将非均衡的观点引入社会生活的各个领域，用非均衡的观点去分析事物的发展趋势，运用非均衡的原则来指导我们的生活实践。

在实际生活中，我们会碰到许多看似不均衡的例子，比如：我国的教育资源十分缺乏，而发达国家的教育资源却十分丰富。

为什么会造成这样的情况呢？一方面是因为“先天不足”，我国地域辽阔，人口众多，没有均衡地配置教育资源；另一方面则是因为“后天失调”，随着社会发展，城市和乡村的差距愈来愈大，许多乡村里的孩子很难接触到城市的优秀教育资源。

为了解决这些问题，在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》中，提出了加快教育信息化的建设，为此各级政府采取了许多措施：免费为农村的孩子购买教育资源光盘，建立网络基础教育资源库等等，都能从根本上缓解教育资源分布不均衡的问题。

“均衡”和“非均衡”只是一种对事物的认识角度不同而已。

从辩证法的视角来说，二者是共存的，它们既相互区别，又密切关联，即相辅相成，彼此渗透。

最优反应函数法求解纳什均衡1. 引言大家好！今天我们来聊聊一个看似复杂，但其实很有趣的经济学概念——纳什均衡。

为了让这道难题变得简单易懂，我们会用最优反应函数法来解答。

放心，这不是一堆难懂的公式，而是一些日常生活中的智慧运用。

大家都准备好了吗？那就一起来探究这个有趣的话题吧！2. 什么是纳什均衡？2.1 纳什均衡的定义纳什均衡，这个名字听上去是不是有点高大上？其实，它就是一种状态，描述的是在某种竞争环境下，每个人都做出了最好的决策。

当每个人都按照自己的最优策略行动时，没有人会因为改变自己的策略而获得更好的结果。

换句话说，你在这个均衡点上，不管别人怎么做，你都不会想改变自己的选择了。

2.2 生活中的例子说得这么抽象，大家可能有点摸不着头脑。

那我们举个生活中的例子吧。

假设你和朋友一起去餐馆，大家都在纠结点什么菜。

最后，你们决定点一个大家都觉得可以接受的菜。

结果发现，这个决定让每个人都感到满意。

这个时候，大家都不会再去改变自己点的菜了。

这个状态就是纳什均衡。

3. 最优反应函数法介绍3.1 最优反应函数是什么？现在我们来谈谈最优反应函数。

它就是描述在给定其他人行为的情况下，自己选择最优策略的函数。

听上去有点抽象对吧？其实很简单。

想象你在和朋友玩游戏，你会根据你朋友的策略来决定你的最佳选择。

最优反应函数就是帮你找到这个最佳选择的工具。

3.2 如何用最优反应函数法求解纳什均衡？让我们来一步步走过这个过程。

假设你和你的朋友玩一个简单的游戏，比如石头剪刀布。

每个人的选择都可以用最优反应函数来表示。

首先，你需要了解对方的策略是什么。

然后，你根据对方的策略，找到自己最佳的反应。

比如说，你知道朋友总是喜欢出石头，那么你选择剪刀的概率就会很低，而会倾向于出布。

这就是你对对方策略的最优反应。

接着，你把这个过程倒过来，对方也会对你的策略做出类似的反应。

通过这种方式，你们可以找到一个点，双方的策略都是最优的，这就是所谓的纳什均衡。

纳什均衡求解方法
纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈中各方都选择最优策略的状态。

纳什均衡求解方法有多种，其中比较常用的是极小化极大值算法和反应函数算法。

极小化极大值算法即为每个玩家都试图最小化对手的最大收益。

具体来说，假设有两个玩家A和B，在一个博弈中，他们分别有两种策略可供选择。

在极小化极大值算法中，A会选出一种策略，使得B在所有可能的策略中获得最小的收益。

同样，B也会选出一种策略，使得A在所有可能的策略中获得最小的收益。

这样，两个玩家的最优策略就被求解出来了。

反应函数算法则是根据玩家的反应函数来寻找纳什均衡。

反应函数是指玩家对于对手的策略做出的反应，即当对手采取某种策略时，玩家应该采取什么策略来最大化自己的收益。

通过对玩家的反应函数进行求解，可以得到所有玩家的最优策略，从而求解出纳什均衡。

总的来说，纳什均衡的求解方法多种多样，不同的方法适用于不同的博弈形式和参与者数量。

在实际应用中，需要根据具体情况选择最为合适的求解方法。

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纳什均衡计算随着时代的发展，“纳什均衡”已经成为计算机理论和现实中很常用的概念。

本文将具体介绍一下“纳什均衡”。

自二战后，经济学家们开始对信息经济学感兴趣，到了六十年代初，经济学家们进入了一个黄金时代。

纳什提出并验证了均衡点概念（ equilibrium point，亦称均衡状态），之后经济学家们通过严格的数学推导和计算，认识到了均衡点的重要性。

在八十年代后期，他们发现了新古典均衡模型，纳什也因此获得了诺贝尔经济学奖。

均衡点成了许多学者研究的重点。

由于我国对经济学界相关资料较少，无法对这些领域做深入研究，但通过近几年对经济学的了解，我总结出了一些“纳什均衡”。

下面是我的整理。

1。

一般均衡（ Nash equilibrium）是指市场上的所有厂商都达到均衡状态。

任何一个厂商都可以调整自己的产量，不同厂商所调整的产量的差额就是市场价格。

一个事实是，这种最终均衡只能是一种理论假设，而不可能真正实现。

因为单个厂商根本没有办法调整其产量；同样地，任何一个厂商所做的改变，都会影响市场上所有其它厂商的产量，因而，要想让一个厂商达到一般均衡，那么所有厂商必须同时达到一般均衡。

在现实生活中，达到一般均衡的可能性是非常小的。

例如，在国际贸易领域中，大家都知道，两个国家在交换货物前要进行谈判，双方的谈判基础是彼此都有意愿出口，也都有意愿进口。

在这种情况下，双方都希望尽可能出高价，以便使自己的利益最大化。

一旦达成协议，双方就会迅速开始履行合同，并努力降低生产成本，使产品价格尽可能接近世界价格，避免发生贸易争端。

这时候，双方所达成的协议实际上是没有任何其它更好的选择的。

这种局面称为“一厢情愿”。

2。

局部均衡（ Local equilibrium），或称部分均衡（ Partial equilibrium），是指市场上的某些厂商达到均衡状态。

一个事实是，当某些厂商拥有较强的技术优势时，其它厂商为了避免与该厂商直接竞争，往往会与之形成专业化分工协作关系。

纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，表示在博弈中，参与者的策略组合使得没有任何一方有动力改变自己的策略。

求解纳什均衡通常可以通过以下方法：1. 划线法：这是一种求解纯策略纳什均衡的方法。

首先，我们需要一个支付矩阵，其中每个元素表示参与者某一策略组合下的收益。

然后，对于每个参与者，我们需要在支付矩阵中找到与其他参与者的策略组合相对应的最大收益，并在该收益下划线。

最后，找出所有划线后的策略组合，这些组合就是纳什均衡。

2. 变分法：这是一种求解混合策略纳什均衡的方法。

我们需要将纳什均衡问题转化为一个求解变分不等式问题。

在满足 nested monotone 的条件下，给出求纳什均衡的思想，并对纳什均衡解的特征作画线算法。

3. 混合策略纳什均衡：在混合策略纳什均衡中，参与者选择策略的概率必须使得对方选择两种纯策略的期望收益相等。

通过这种方法，可以求出双方的混合策略与期望收益。

下面举一个例子来说明如何求解纳什均衡：假设有两个参与者甲和乙，他们可以选择合作或背叛，合作时双方都得到5的收益，背叛时对方得到-10的收益。

根据划线法，我们可以先看甲如何选择策略。

当乙选择合作时，甲应该选择背叛，因为这样甲的收益最大。

当乙选择背叛时，甲也应该选择背叛，因为无论甲选择什么策略，乙都已经选择了背叛，甲的收益都是-10。

所以，甲的策略是背叛。

接下来看乙如何选择策略。

当甲选择合作时，乙应该选择背叛，因为这样乙的收益最大。

当甲选择背叛时，乙也应该选择背叛，因为无论乙选择什么策略，甲都已经选择了背叛，乙的收益都是-10。

所以，乙的策略是背叛。

因此，这个博弈的纳什均衡是甲和乙都选择背叛。

纳什均衡求解方法
纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，主要用于描述多个参与者选择一个策略后，达到一种相互协调的状态。

通常来说，纳什均衡被认为是一种不可协调的状态，因为所有参与者都没有动机改变自己的策略。

求解纳什均衡可以利用以下方法：
1. 策略消元法：这是一种非常基本的求解方法，适用于简单的博弈模型。

该方法的核心思想是根据参与者的策略做出相应的推理，将局面简化为更容易分析的形式。

最终得到的一个或多个均衡状态就是纳什均衡。

2. 迭代删除劣势策略法：该方法适用于有限的博弈模型，可以通过迭代删除每个参与者的劣势策略逐步缩小均衡的可能性。

最终会得出一个或多个纳什均衡状态。

3. 前瞻解法：该方法主要适用于完全信息博弈，通过加权平均和后验概率的计算方法，可求解出参与者的最佳策略组合。

最终的最优解就是纳什均衡。

需要注意的是，纳什均衡的求解并不总是存在，并且可能存在多个均衡状态。

而一旦找到了均衡状态，参与者就不会再改变策略，因为任何人的单方面行动都可能导致良性均衡的破裂。

博弈论启发式算法和纳什均衡-概述说明以及解释1.引言1.1 概述博弈论是一门研究决策和策略的数学理论，它以个体或组织在面对冲突和竞争时的互动行为为研究对象。

在现实生活中，博弈论可以应用于各种领域，如经济学、政治学、社会科学等。

启发式算法是一种基于经验和规则的问题解决方法，它通过不断试错和搜索最优解的过程，逐步逼近问题的解。

启发式算法可应用于各种优化问题、组合问题以及决策问题等。

本文旨在探讨博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。

博弈论的基本概念将会被介绍，包括博弈的类型、参与者的策略选择、收益与支付等因素。

启发式算法的原理和应用将会被解释，以展示它们在解决博弈论问题中的潜力。

本文的结论将会重点探讨纳什均衡的概念和特点。

纳什均衡是指在博弈中，每个参与者根据其他参与者的策略选择下的最佳响应策略。

此外，还将探讨博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的联系，以揭示它们在实际问题中的应用潜力和相互作用关系。

通过本文的阅读，读者将对博弈论、启发式算法和纳什均衡有更深入的理解，并能够将它们应用于实际问题的解决中。

本文的目的是为读者提供一种全面的视角，以便能够更好地理解和应用这些概念和方法。

1.2 文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将对博弈论、启发式算法和纳什均衡进行简要概述，并介绍文章的目的。

正文部分将着重阐述博弈论的基本概念以及启发式算法的原理和应用。

最后，在结论部分将探讨纳什均衡的概念和特点，并深入讨论博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。

本文旨在通过对博弈论、启发式算法和纳什均衡的研究，探索博弈论在实际问题中的应用，并探讨启发式算法与纳什均衡的关联性，从而提供对博弈论和启发式算法的理解和应用以及对纳什均衡的深入认识。

1.3 目的本部分将重点介绍本文的目的。

通过阅读本文，读者将能够深入了解博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。

我们将首先简要介绍博弈论的基本概念，包括博弈的定义和元素，以及博弈论在经济学、政治学和计算机科学等领域的应用。

纳什均衡纯策略求解算法
纳什均衡是博弈论中非常重要的一个概念，在许多领域都有广泛的应用。

纳什均衡指的是博弈中每个参与者的策略都是最优的，即在其他参与者的策略下，自己的策略是最好的选择。

在博弈中，有时会出现多个纳什均衡，这时需要找到其中一个最好的纳什均衡，这个最好的纳什均衡被称为最优纳什均衡。

纳什均衡纯策略求解算法是一种求解博弈中纳什均衡的方法。

该算法主要分为以下几个步骤：
1.列出参与者的策略空间：首先需要列出每个参与者的所有可能策略，这些策略构成了参与者的策略空间。

2.列出每个参与者的收益函数：接下来需要列出每个参与者在每种策略下的收益函数，收益函数可以根据实际问题进行定义。

3.构建博弈矩阵：将每个参与者的策略空间组合起来，得到一个博弈矩阵，矩阵中每个元素表示每个参与者在对应策略组合下的收益。

4.寻找纳什均衡：通过对博弈矩阵进行分析，可以找到博弈中的纳什均衡。

其中，纳什均衡是指没有参与者可以通过单方面改变自己的策略来获得更好的收益的策略组合。

5.确定最优纳什均衡：在找到多个纳什均衡的情况下，需要通过一定的方法来确定最优纳什均衡。

纳什均衡纯策略求解算法是一种比较常用的博弈求解方法，在实际问题中也有广泛的应用。

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纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium）[编辑]什么是纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中,如果给定其他的策略不变，该节点不会单方面改变自己的策略，否则不会使节点访问代价变小。

[编辑]存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈[1]如果重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢?首先看下面囚徒的困境的博弈的例子：我们现在考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可以理解成给囚徒两次坦白机会，最后的得益是两个阶段博弈中各自得益之和．在两次博弈过程中，双方知道第一次博弈的结果再进行二次博弈．用逆推归纳法来分析，先分析第二阶段，也就是第二次重复时两博弈方的选择．很明显，这个第二阶段仍然是两囚徒之间的一个囚徒的困境博弈，此时前一阶段的结果已成为既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，因此实现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则．因此我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的纳什均衡(坦白，坦白)，双方得益(-5，-5)．现在再回到第一阶段，即第一次博弈．理性的博弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道第二阶段的结果必然是(坦白，坦白)，因此不管第一阶段的博弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最终得益，都将是第一阶段的基础上各加-5．因此从第一阶段的选择来看，这个重复博弈与图l中得益矩阵表示的一次性博弈实际上是完全等价的．于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡，这就是这种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路径．如果重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的定价同有高(H)、中(M)、低(L)三种可能．设高价时市场总利润为10个单位，中价时市场总利润为6个单位，低价时市场总利润为2个单位．再假设两厂商同时决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相等时双方平分利润．这时候两厂商对价格的选择就构成了一个静态博弈问题．我们看一个三价博弈的重复博弈的例子：显然，这个得益矩阵有两个纯策略纳什均衡(M，M)和(L，L)，我们也可以看出实际上两博弈方最大的得益是策略组合(H，H)，但是它并不是纳什均衡．现在考虑重复两次该博弈，我们采用一种触发策略(Trigger Strategy)：博弈双方首先试图合作，一旦发觉对方不合作也用不合作相报复的策略．使得在第一阶段采用(H，H)成为子博弈完美纳什均衡，其双方的策略是这样的：博弈方1：第一次选H；如果第一次结果为(H，H)，则第二次选M，如果第一次结果为任何其他策略组合，则第二次选择L．博弈方2：同博弈方1．在上述双方策略组合下，两次重复博弈的路径一定为第一阶段(H，H)，第二阶段(M，M)，这是一个子博弈完美纳什均衡路径．因为第二阶段是一个原博弈的纳什均衡，因此不可能有哪一方愿意单独偏离；其次，第一阶段的(H，H)虽然不是原来的博弈纳什均衡，但是如果一方单独偏离，采用M能增加1单位得益，这样的后果却是第二阶段至少要损失2单位的得益，因为双方采用的是触发策略，即有报复机制的策略，因此合理的选择是坚持H．这就说明了上述策略组合是这个两次重复博弈的子博弈完美纳什均衡．从上述的例子我们可以看出，有多个纯策略纳什均衡的博弈重复两次的子博弈完美纳什均衡路径是，第一阶段采用(H，H)，第二阶段采用原博弈的纳什均衡(M，M)．如果这个重复博弈重复三次，或者更多次，结论也是相似的，仍然用触发策略，它的子博弈完美纳什均衡路径为除了最后一次以外，每次都采用(H，H)，最后一次采用原博弈的纳什均衡(M，M)．[编辑]存在纯策略纳什均衡的无限次重复博弈[1]与有限次重复博弈一样，无限次重复博弈也是基本博弈的简单重复，但是无限次重复博弈没有最后一次重复，因此无限次重复博弈与有限次有一些不同．任何博弈中博弈方策略选择的依据都是得益的大小，这在重复博弈中仍然是成立的．但是重复博弈又与一次性博弈有所不同，因为在重复博弈中，每一阶段都是一个博弈，并且各博弈方都有得益，因此对于重复博弈，我们要计算的就是博弈结束时的一个总的得益．由于前一次博弈和后一次博弈之间会有损失，因此我们采用一种方法，就是将后一阶段的得益折算成当前阶段得益的(现在值)的贴现系数δ．有了贴现系数δ，那么在无限次重复博弈中，某博弈方各阶段得益为π1,π2,...,则该博弈方总得益的现在值为：对于存在惟一纯策略纳什均衡博弈的无限次重复博弈，我们从下面的例子来看：其中博弈方1和博弈方2分别表示两个厂商，H 和L分别表示高价和低价．显然，该博弈的一次性博弈有惟一的纯策略纳什均衡(L，L)，但是这个纳什均衡并不是最佳策略组合，因为策略组合(H，H)的得益(4，4)比(1，1)要高的多．但是由于(H，H)不是该博弈的纳什均衡，所以在一次性博弈中不会被采用．根据上面的分析，此博弈在有限次重复博弈并不能实现潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采用效率较高的(H，H)．为了实现效率较高的合作利益(H，H)，假设两博弈方都采用触发策略，也即报复性策略：第一阶段采用H，在第t阶段，如果前t-l阶段的结果都是(H，H)，则继续采用L．假设博弈方1已经采用了这种策略，现在我们来确定博弈方2在第一阶段的最优选择．如果博弈方2采用L，那么在第一阶段能得到5，但这样会引起博弈方1一直采用L的报复，自己也只能一直采用L，得益将永远为1，总得益的现在值为如果博弈方2采用H，则在第一阶段他将得4，下一阶段又面临同样的选择．若记V为博弈方2在该重复博弈中每阶段都采用最佳选择的总得益现在值，那么从第二阶段开始的无限次重复博弈因为与从第一阶段开始的只差一阶段，因而在无限次重复时可看作相同的，其总得益的现在值折算成第一阶段的得益为，因此当第一阶段的最佳选择是H时，整个无限次重复博弈总得益的现在值为或者因此，当解得时，博弈方2会采用H策略，否则会采用L策略．也就是说当时，博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反应是第一阶段采用H.这时我们就说双方采用上述触发策略是一个纳什均衡．于是我们得出，在有限次重复博弈中，惟一纯策略纳什均衡不能实现最大得益(H，H)，而在无限次重复博弈中，通过触发策略却可以实现(H，H)。

纳什均衡算法
纳什均衡算法是一种博弈论中常用的算法，用于求解多人博弈中的最优策略。

该算法是由约翰·纳什在20世纪50年代提出的，因此被命名为纳什均衡。

纳什均衡指的是博弈中各个参与者选择策略的一种状态，其中每个参与者都无法通过单方面改变自己的策略来获得更好的结果。

换句话说，纳什均衡是一种策略组合，对于每个参与者的策略选择都是最优的，而且在这种情况下，没有人有动机单方面改变自己的策略。

纳什均衡算法本质上是一种迭代算法，它通过不断调整每个参与者的策略，直到达到一个纳什均衡状态。

算法的关键是如何评估每个参与者的策略的好坏，通常使用期望效用来衡量。

在纳什均衡状态下，每个参与者的期望效用都达到了最大值，因此没有人会想改变自己的策略。

纳什均衡算法在实际应用中有广泛的应用，例如经济学、政治学、社会科学等领域。

它可以用于分析双人零和博弈、拍卖、决策制定等问题，并提供一种有效的求解最优策略的方法。

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