专题6 四边形与三角形的综合

专题复习(六) 几何综合题1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图1、四边形ABCD 中、点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2、点P 是四边形ABCD 内一点、且满足PA ＝PB 、PC ＝PD 、∠APB ＝∠CPD.点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状、并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件、使∠APB＝∠CPD＝90°、其他条件不变、直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)图1 图2解：(1)证明：连接BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点、 ∴EH ＝12BD 、EH ∥BD.∵F 、G 分别是BC 、CD 的中点、 ∴FG ＝12BD 、FG ∥BD.∴EH ＝FG 、EH ∥FG.∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)中点四边形EFGH 是菱形． 证明：连接AC 、BD.∵∠APB ＝∠CPD、∴∠APB ＋∠AP D ＝∠CPD＋∠APD、即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB 、PC ＝PD 、∴△APC ≌△BPD(SAS )．∴AC＝BD.∵点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点、 ∴EF ＝12AC 、FG ＝12BD.∴EF＝FG.又∵四边形EFGH 是平行四边形、∴中点四边形EFGH 是菱形．图3(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时、如图3、AC 与BD 交于点O 、BD 与EF 、AP 分别交于点M 、Q 、中点四边形EFGH 是正方形．理由如下：由(2)知：△APC≌△BPD、∴∠PAC ＝∠PBD. 又∵∠AQO＝∠BQP、∴∠AOQ ＝∠APB ＝90°. 又∵EF∥AC、∴∠OMF ＝∠AOQ＝90°. 又∵EH∥BD、∴∠HEF ＝∠OMF＝90°. 又∵四边形EFGH 是菱形、∴中点四边形EFGH 是正方形．2．(2016·菏泽)如图、△ACB 和△DCE 均为等腰三角形、点A 、D 、E 在同一直线上、连接BE. (1)如图1、若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数；(2)如图2、若∠ACB＝∠DCE＝120°、CM 为△DCE 中DE 边上的高、BN 为△ABE 中AE 边上的高、试证明：AE ＝23CM ＋233BN.图1 图2解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED、∴AC ＝BC 、CD ＝CE. ∵∠CAB ＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED、 ∴∠ACB ＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD＝BE. ②由①得△ACD≌△BCE、∴∠ADC ＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：在等腰△DCE 中、∵CD ＝CE 、∠DCE ＝120°、CM ⊥DE 、 ∴∠DCM ＝12∠DCE＝60°、DM ＝EM.在Rt △CDM 中、DM ＝CM·tan ∠DCM ＝CM·tan 60°＝3CM 、∴DE ＝23CM. 由(1)、得∠ADC ＝∠BEC＝150°、AD ＝BE 、 ∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN ＝60°. 在Rt △BEN 中、BE ＝BN sin 60°＝233BN.∴AD ＝BE ＝233BN.又∵AE＝DE ＋AD 、∴AE ＝23CM ＋233BN.3．(2016·东营)如图1、△ABC 是等腰直角三角形、∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、四边形ADEF 是正方形、点B 、C 分别在边AD 、AF 上、此时BD ＝CF 、BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时、如图2、BD ＝CF 成立吗？若成立、请证明；若不成立、请说明理由．(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时、如图3、延长DB 交CF 于点H 、交AF 于点N. ①求证：BD⊥CF；②当AB ＝2、AD ＝32时、求线段DH 的长．图1 图2 图3解：(1)BD ＝CF 成立．证明：∵AB＝AC 、∠BAD ＝∠CAF＝θ、AD ＝AF 、 ∴△ABD ≌△ACF(SAS )．∴BD ＝CF.(2)①证明：由(1)得、△ABD ≌△ACF 、 ∴∠HFN ＝∠ADN. 又∵∠HNF＝∠AND、 ∴∠NHF ＝∠NAD＝90°. ∴HD ⊥HF 、即BD⊥CF.②连接DF 、延长AB 交DF 于点M.在△MAD 中、∵∠MAD ＝∠MDA＝45°、 ∴∠BMD ＝90°.∵AD ＝32、四边形ADEF 是正方形、 ∴MA ＝MD ＝322＝3、FD ＝6.∴MB ＝3－2＝1、DB ＝12＋32＝10. 在Rt △BMD 和Rt △FHD 中、 ∵∠MDB ＝∠HDF、 ∴△BMD ∽△FHD. ∴MD HD ＝BD FD 、即3HD ＝106.∴DH＝9105.4．(2016·宁夏)在矩形ABCD 中、AB ＝3、AD ＝4、动点Q 从点A 出发、以每秒1个单位的速度、沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发、仍以每秒1个单位的速度、沿BC 向点C 移动、连接QP 、QD 、PD.若两个点同时运动的时间为x 秒(0＜x≤3)、解答下列问题：(1)设△QPD 的面积为S 、用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时、S 有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x 的值、使得QP⊥DP？试说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形、∴BC ＝AD ＝4、CD ＝AB ＝3. 当运动x 秒时、则AQ ＝x 、BP ＝x 、∴BQ ＝AB －AQ ＝3－x 、CP ＝BC －BP ＝4－x. ∴S △ADQ ＝12AD ·AQ＝12×4x＝2x 、S △BPQ ＝12BQ·BP＝12(3－x)x ＝32x －12x 2、S △PCD ＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－32x.又S 矩形ABCD ＝AB·BC＝3×4＝12、∴S ＝S 矩形ABCD －S △ADQ －S △BPQ －S △PCD ＝12－2x －(32x －12x 2)－(6－32x)＝12x 2－2x ＋6＝12(x －2)2＋4、即S ＝12(x －2)2＋4.∴S 为开口向上的二次函数、且对称轴为直线x ＝2.∴当0＜x≤2时、S 随x 的增大而减小； 当2＜x≤3时、S 随x 的增大而增大、 又当x ＝0时、S ＝6、当S ＝3时、S ＝92.但x 的范围内取不到x ＝0、∴S 不存在最大值． 当x ＝2时、S 有最小值、最小值为4.(2)存在、理由：由(1)可知BQ ＝3－x 、BP ＝x 、CP ＝4－x. 当QP⊥DP 时、则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC、 ∴∠BPQ ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C、 ∴△BPQ ∽△CDP. ∴BQ PC ＝BP CD 、即3－x 4－x ＝x 3、解得x ＝7＋132(舍去)或x ＝7－132. ∴当x ＝7－132时、QP ⊥DP.5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形、其底边是BC 、点D 在线段AB 上、E 是直线BC 上一点、且∠DEC ＝∠DCE、若∠A＝60°(如图1)、求证：EB ＝AD ；(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”、其他条件不变(如图2)、(1)的结论是否成立、并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”、其他条件不变、则EBAD 的值是多少？(直接写出结论、不要求写解答过程)图1 图2解：(1)证明：过D 点作BC 的平行线交AC 于点F. ∵△ABC 是等腰三角形、∠A ＝60°、 ∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF ∥BC 、∴∠ADF ＝∠ABC＝60°. ∴△ADF 是等边三角形． ∴AD ＝DF 、∠AFD ＝60°.∴∠DFC ＝180°－60°＝120°.∵∠DBE ＝180°－60°＝120°、∴∠DFC ＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE、∠DCE ＝∠DEC、 ∴∠FDC ＝∠DEC、ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD.(2)EB ＝AD 成立．理由如下：过D 点作BC 的平行线交AC 的延长线于点F. 同(1)可证△ADF 是等边三角形、 ∴AD ＝DF 、∠AFD ＝60°.∵∠DBE ＝∠ABC＝60°、∴∠DBE ＝∠AFD. ∵∠FDC ＝∠D CE 、∠DCE ＝∠DEC、 ∴∠FDC ＝∠DEC、ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (3)EBAD＝ 2.理由如下： 如图3、过D 点作BC 的平行线交AC 于点G.图3∵△ABC 是等腰三角形、∠A ＝90°、 ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°、∴∠DBE ＝180°－45°＝135°. ∵DG ∥BC 、∴∠GDC ＝∠DCE、∠DGC ＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE ＝∠DGC. ∵∠DCE ＝∠DEC、∴ED ＝CD 、∠DEC ＝∠GDC.∴△DBE ≌△CGD(AAS )．∴BE＝GD. ∵∠ADG ＝∠ABC＝45°、∠A ＝90°、 ∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴DG ＝2AD.∴BE＝2AD.∴EBAD ＝ 2.6．(2016·烟台)【探究证明】(1)在矩形ABCD 中、EF ⊥GH 、EF 分别交AB 、CD 于点E 、F 、GH 分别交AD 、BC 于点G 、H.求证：EF GH ＝ADAB ；【结论应用】(2)如图2、在满足(1)的条件下、又AM⊥BN、点M 、N 分别在边BC 、CD 上．若EF GH ＝1115、则BNAM 的值为________；【联系拓展】(3)如图3、四边形ABCD 中、∠ABC ＝90°、AB ＝AD ＝10、BC ＝CD ＝5、AM ⊥DN 、点M 、N 分别在边BC 、AB 上、求DNAM 的值．图1 图2 图3解：(1)证明：过点A 作AP∥EF、交CD 于点P 、过点B 作BQ∥GH、交AD 于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形、∴AB ∥DC 、AD ∥BC.∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形．∴AP＝EF 、GH ＝BQ. 又∵GH⊥EF、∴AP ⊥BQ.∴∠QAP ＋∠AQB＝90°.∵四边形ABCD 是矩形、∴∠DAB ＝∠D＝90°. ∴∠DAP ＋∠DPA＝90°.∴∠AQB ＝∠DPA. ∴△PDA ∽△QAB.∴AP BQ ＝AD AB .∴EF GH ＝ADAB .(2)∵EF⊥GH、AM ⊥BN 、∴由(1)中的结论可得EF GH ＝AD AB 、BN AM ＝ADAB、∴BN AM ＝EF GH ＝1115.故答案为1115. (3)连接AC 、过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点E 、作AF⊥AB 交直线DE 于点F. ∵∠BAF ＝∠B＝∠E＝90°、 ∴四边形ABEF 是矩形．易证△ADC≌△ABC、∴∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠FDA ＋∠EDC＝90°.又∵∠EDC＋∠ECD＝90°、∴∠FDA ＝∠ECD. 又∵∠E＝∠F、 ∴△ADF ∽△DCE. ∴DE AF ＝DC AD ＝510＝12. 设DE ＝x 、则AF ＝2x 、DF ＝10－x.在Rt △ADF 中、AF 2＋DF 2＝AD 2、即(2x)2＋(10－x)2＝100、解得x 1＝4、x 2＝0(舍去)． ∴AF ＝2x ＝8.∴DN AM ＝AF AB ＝810＝45.7．(2016·武汉)在△ABC 中、P 为边AB 上一点．(1)如图1、若∠ACP＝∠B、求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点、AC ＝2.①如图2、若∠PBM＝∠ACP、AB ＝3、求BP 的长；②如图3、若∠ABC＝45°、∠A ＝∠BMP＝60°、直接写出BP 的长．图1 图2 图3解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B、∠CAP ＝∠BAC、 ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝AP AC、即AC 2＝AP·AB. (2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q 、则∠PBM＝∠Q. ∵∠PBM ＝∠ACP、∴∠ACP ＝∠Q. 又∠PAC＝∠CAQ、∴△APC ∽△ACQ. ∴AC AQ ＝AP AC、即AC 2＝AP·AQ. 又∵M 为PC 的中点、BM ∥CQ 、∴设BP ＝x 、则BQ ＝x.∴AP＝3－x 、AQ ＝3＋x. ∴22＝(3－x)(3＋x)、解得x 1＝5、x 2＝－5(不合题意、舍去)． ∴BP ＝ 5. ②BP ＝7－1.作CQ⊥AB 于点Q 、作CP 0＝CP 交AB 于点P 0. ∵AC ＝2、∴AQ ＝1、CQ ＝BQ ＝ 3.设AP 0＝x 、则P 0Q ＝PQ ＝1－x 、BP ＝3－1＋x 、 ∵∠BPM ＝∠CP 0A 、∠BMP ＝∠CAP 0、 ∴△AP 0C ∽△MPB 、∴AP 0MP ＝P 0CBP.解得x ＝7－3或x ＝－7－3(舍去)．∴BP ＝3－1＋7－3＝7－1.8．(2016·岳阳)数学活动——旋转变换(1)如图1、在△ABC 中、∠ABC ＝130°、将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A′B′C、连接B B′.求∠A′B′B 的大小； (2)如图2、在△ABC 中、∠ABC ＝150°、AB ＝3、BC ＝5、将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C 、连接BB′.以A′为圆心、A ′B ′长为半径作圆．①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系、并证明你的结论； ②连接A′B、求线段A′B 的长度；(3)如图3、在△ABC 中、∠ABC ＝α(90°＜α＜180°)、AB ＝m 、BC ＝n 、将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C、连接A′B 和BB′.以A′为圆心、A ′B ′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时、直线BB′与⊙A′相切、请说明理由．并求此条件下线段A′B 的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示)图1 图2 图3解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°、CB ＝CB′、∠BCB ′＝50°、 ∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝65°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°. (2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°、CB ＝CB′、∠BCB ′＝60°、 ∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝60°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°、即B′B⊥A′B′. 又A′B′为半径、∴直线BB′与⊙A′相切．②由旋转得：A′B′＝AB ＝3、B ′C ＝BC ＝5、∠BCB ′＝60°、 ∴△BCB ′为等边三角形．∴BB′＝BC ＝5.在Rt △A ′B ′B 中、A ′B ＝（A′B′）2＋（BB′）2＝32＋52＝34. (3)满足的条件：α＋β＝180°.理由：在△BB′C 中、∠BB ′C ＝180°－2β2＝90°－β、∴∠A ′B ′B ＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.∵α＋β＝180°、∴∠A ′B ′B ＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°、即B′B⊥A′B′. ∴直线BB′与⊙A′相切． 过点C 作CD⊥BB′于点D. ∴∠B ′CD ＝12∠BCB′＝β.在Rt △B ′CD 中、B ′D ＝B′C·s in β＝BC·sin β＝n sin β、∴BB ′＝2B′D＝2n sin β. 由α＋β＝180°得到△A′B′B 为直角三角形、9．(2016·宜昌)在△ABC 中、AB ＝6、AC ＝8、BC ＝10.D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与B 、C 不重合)．以D 为顶点作△DEF、使△DEF∽△ABC(相似比k>1)、EF ∥BC. (1)求∠D 的度数；(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①连接GH 、AD 、当GH⊥AD 时、请判断四边形AGDH 的形状、并证明；②当四边形AGDH 的面积最大时、过A 作AP⊥EF 于P 、且AP ＝AD 、求k 的值．解：(1)∵AB 2＋AC 2＝62＋82＝102＝BC 2、 ∴∠BAC ＝90°.又∵△DEF∽△ABC、∴∠D ＝∠BAC ＝90°. (2)①四边形AGDH 是正方形．证明：延长ED 、FD 分别交BC 于点M 、N. ∵△DEF ∽△ABC 、∴∠E ＝∠B. 又∵EF∥BC、∴∠E ＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA. 同理FD∥AC.∴四边形AGDH 是平行四边形．又∵∠FDE＝90°、∴四边形AGDH 是矩形． 又∵AD⊥GH、∴四边形AGDH 是正方形．②当D 点在△ABC 内部时、四边形AGDH 的面积不可能最大．其理由是：如图1、点D 在内部时、延长GD 到D′、过D′作MD′⊥AC 于点M 、则四边形GD′MA 的面积大于矩形AGDH 的面积、∴当点D 在△ABC 内部时、四边形AGDH 的面积不可能最大． 按上述理由、只有当D 点在BC 边上时、面积才有可能最大．图1 图2如图2、D 在BC 上时、易证明DG∥AC、 ∴△GDB ∽△ACB. ∴BG BA ＝GD AC 、即BA －AG BA ＝AH AC . ∴6－AG 6＝AH 8、即AH ＝8－43AG. ∴S 矩形AGDH ＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG 2＋8AG ＝－43(AG －3)2＋12.当AG ＝3时、S 矩形AGDH 最大、此时DG ＝AH ＝4.即当AG ＝3、AH ＝4、S 矩形AG DH 最大．在Rt △BGD 中、BD ＝BG 2＋DG 2＝5、则DC ＝BC －BD ＝5. 即D 为B C 上的中点时、S 矩形AGDH 最大．∴在Rt △ABC 中、AD ＝BC2＝5、∴PA ＝AD ＝5.延长PA 交BC 于点Q 、∵EF ∥BC 、QP ⊥EF 、 ∴QP ⊥BC.∴QP 是EF 、BC 之间的距离． ∴D 到EF 的距离为PQ 的长． 在Rt △ABC 中、12AB·AC＝12BC·AQ、∴AQ ＝4.8.又∵△DEF∽△ABC、∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝5＋4.84.8＝4924.10．(2016·河南)(1)发现如图1、点A 为线段BC 外一动点、且BC ＝a 、AB ＝b.填空：当点A 位于CB 延长线上时、线段AC 的长取得最大值、且最大值为a ＋b ．(用含a 、b 的式子表示)图1(2)应用点A 为线段BC 外一动点、且BC ＝3、AB ＝1.如图2所示、分别以AB 、AC 为边、作等边三角形ABD 和等边三角形ACE 、连接CD 、BE.①请找出图中与BE 相等的线段、并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图3、在平面直角坐标系中、点A 的坐标为(2、0)、点B 的坐标为(5、0)、点P 为线段AB 外一动点、且PA ＝2、PM ＝PB 、∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．图2 图3 备用图解：(2)①DC＝BE.理由如下： ∵△ABD 和△ACE 为等边三角形、∴AD ＝AB 、AC ＝AE 、∠BAD ＝∠CA E ＝60°.∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC、即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB.∴DC ＝BE. ②BE 长的最大值是4.(3)AM 的最大值为3＋22、点P 的坐标为(2－2、2)．提示：如图3、构造△BNP≌△MAP、则NB ＝AM 、易得△APN 是等腰直角三角形、AP ＝2、∴AN ＝2 2.由(1)知、当点N 在BA 的延长线上时、NB 有最大值(如备用图)．∴AM＝NB ＝AB ＋AN ＝3＋2 2. 过点P 作PE⊥x 轴于点E 、PE ＝AE ＝ 2. 又∵A(2、0)、∴P(2－2、2)．。

2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形一．选择题（共15小题）1．（2021•宜宾）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若AB =√13，EF ＝1，则GM 的长为（ ）A ．2√25B ．2√23C ．3√24D ．4√253．（2021•乐山）如图，已知直线l 1、l 2、l 3两两相交，且l 1⊥l 3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4．（2021•自贡）如图，A （8，0），C （﹣2，0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）5．（2021•广元）下列命题中，真命题是（）A．2x﹣1=1 2xB．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当﹣1＜x＜5时，y＜06．（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1 7．（2021•南充）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 8．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3√6，则AD的长为（）A．√6B．2√3C．√3+1D．2√3−1 9．（2021•眉山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①∠BDE ＝∠EFC ；②ED ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④点E 运动的路程是2√3，其中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④10．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ）A ．32B ．√3C ．2D ．52 11．（2021•资阳）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分12．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）A ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD13．（2021•泸州）下列命题是真命题的是（ ）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形14．（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（）A．72°B．36°C．74°D．88°15．（2021•泸州）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）A．61°B．109°C．119°D．122°二．填空题（共9小题）16．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．17．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．18．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．19．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是．20．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD 上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF 交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD=√2BF；④S△AEF 为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有（填入正确的序号即可）．21．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是．22．（2021•南充）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．23．（2021•凉山州）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于．24．（2021•泸州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是．三．解答题（共12小题）25．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．26．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．27．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2√10，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+√3，求sin∠BCD的值．28．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC ＝∠OCB．29．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB 于E，若DE＝BE．（1）求证：DA＝DC；（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．30．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD ＝CE．31．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC＝CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．32．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．33．（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE=1 3．（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．34．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√5，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．35．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF 与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．36．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB=√13，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB=BFCF=23=NMCN=a2−a，解得：a=4 5．∴GM=√GN2+NM2=√(45)2+(45)2=4√25．故选：D．3．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．4．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．5．【解答】解：A、∵2x﹣1=2 x，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴选项B不符合题意；C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，理由如下：在矩形ABCD中，连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=12BD，同理，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形，∴选项C 不符合题意；D 、∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣5的开口向上，与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（5，0）， ∴当﹣1＜x ＜5时，y ＜0，∴选项D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D ．7．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，又∵∠DOC ＝∠BOA ，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确，故选：A ．8．【解答】解：如图，连结BD ，作DH ⊥AB ,垂足为H ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3√6，∴DE=√6,设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH=12∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH=√3x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（√3x）²+(2﹣x)²＝(√6)²,解得：x=1+√32(负值舍去），∴AD＝2x＝1+√3，故选：C．9．【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC +∠AFD +∠DFE ＝180°，∴∠EFC +∠AFD ＝180°﹣∠DFE ＝120°，∴∠ADF ＝∠EFC ，∴∠BDE ＝∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，在△DAF 和△DOE 中，{AD =OD ∠ADF =∠ODE DF =DE，∴△DAF ≌△DOE (SAS )，∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE ＝∠DOE ，在△ODE 和△OCE 中，{OD =OC ∠DOE =∠COE OE =OE，∴△ODE ≌△OCE (SAS )，∴ED ＝EC ，∠OCE ＝∠ODE ，故结论②正确；③∵∠ODE ＝∠ADF ，∴∠ADF ＝∠OCE ，即∠ADF ＝∠ECF ，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2√3，∴点E运动的路程是2√3，故结论④正确；故选：D．10．【解答】解：设AC交BD于O，如图：∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD=12AD＝1，OA=√AD2−OA2=√3，∴AC＝2OA＝2√3，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE=12AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF=12CP，∴PE﹣PF=12AP−12CP=12（AP﹣CP）=12AC，∴PE﹣PF=√3，故选：B．11．【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故错误，是假命题．（∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，∴S△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．）故选：B．12．【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；故选：C．13．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；故选：B．14．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴每个内角为180°﹣360°÷5＝108°，∵AB＝BC，∴∠BCA ＝∠BAC ＝36°，∴∠ACD ＝∠BCD ﹣∠BCA ＝108°﹣36°＝72°，故选：A ．15．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝58°，∴∠BAD ＝122°，∠B ＝∠D ＝58°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝61°，∴∠AEC ＝∠B +∠BAE ＝119°，故选：C ．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE 和△ACF 中，{AB =AC ∠BAC =∠ACB AE =CF，∴△ABE ≌△ACF （SAS ），∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB +∠ABP ＝∠CAP +∠BAP ＝60°，∴∠APB ＝120°，如图，过点A ，点P ，点B 作⊙O ，连接CO ，PO ，∴点P 在AB̂上运动， ∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP＝∠OP A，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OP A﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO=ACCO=√32，CO＝2AO，∴CO＝4√3，∴AO＝2√3，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4√3−2√3=2√3，故答案为2√3．17．【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC=12AB＝2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，则PC＝BC cos30°＝2×√32=√3；当点P（P′）在AB的延长线上时，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，则△P′BC为的等腰三角形则BP′＝BC＝2，（2）当∠ABC＝30°时，同理可得，PC＝2；故答案为2或√3．18．【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．19．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周长是12．故答案为：12．20．【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AT＝TF，∴BT＝AT＝TF＝PT，∴A，B，F，P四点共圆，∴∠P AF＝∠PBF＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴P A＝PF，故①正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABM＝180°，∴C，B，M共线，∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝∠F AB+∠BAM＝∠F AB+∠DAE＝45°，∴∠F AE＝∠F AM，在△F AM和△F AE中，{FA =FA ∠FAM =∠FAE AM =AE，∴△F AM ≌△F AE （SAS ），∴FM ＝EF ，∵FM ＝BF +BM ＝BF +DE ，∴EF ＝DE +BF ，故②正确，连接PC ，过点P 作PG ⊥CF 于G ，过点P 作PW ⊥CD 于W ，则四边形PGCW 是矩形， 在△PBA 和PCB 中，{PB =PB ∠PBA =∠PBC BA =BC，∴△PBA ≌△PBC （SAS ），∴P A ＝PC ，∵PF ＝P A ，∴PF ＝PC ，∵PG ⊥CF ，∴FG ＝GC ，∵PB =√2BG ，PD =√2PW =√2CG =√2FG ，∴PB ﹣PD =√2（BG ﹣FG ）=√2BF ，故③正确，∵△AEF ≌△AMF ，∴S △AEF ＝S △AMF =12FM •AB ，∵FM 的长度是变化的，∴△AEF 的面积不是定值，故④错误，∵A ，B ，F ，P 四点共圆，∴∠APG ＝∠AFB ，∵△AFE ≌△AFM ，∴∠AFE ＝∠AFB ，∴∠APG ＝∠AFE ，∵∠P AG ＝∠EAF ，∴△P AG ∽△F AE ，∴S △APGS △AFE =（PA AF ）2＝（√2PA ）2=12， ∴S 四边形PEFG ＝S △APG ，故⑤正确，故答案为：①②③⑤．21．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ， ∴PE =12PB ， ∴MP +12PB ＝PM +PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32，∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32， 故答案为7√32． 22．【解答】解：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∵F 为BE 的中点，AF ＝3，∴BE ＝2AF ＝6．∵G ，H 分别为BC ，EC 的中点，∴GH =12BE ＝3，故答案为3．23．【解答】解：由题意得，菱形的面积=12×AC •BD =12×10×24＝120，则AO ＝5，BO ＝12，则AB =√AO 2+BO 2=13，设菱形的高为h ，则菱形的面积＝BC •h ＝13h ＝120，解得h =12013，故答案为12013．24．【解答】解：作FM ⊥AB 于点M ，作GN ⊥AB 于点N ，如右图所示，∵正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，且CF ＝3DF ， ∴BE ＝2，MF ＝4，BM ＝CF ＝3，∵GN ⊥AB ，FM ⊥AB ，∴GN ∥FM ，∴△BNG ∽△BMF ，∴BN NG =BM MF =34， 设BN ＝3x ，则NG ＝4x ，AN ＝4﹣3x ，∵GN ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴△ANG ∽△ABE ，∴AN AB =NG BE ， 即4−3x 4=4x 2， 解得x =411，∴GN ＝4x =1611，∴△AGF 的面积是：AB⋅MF 2−AB⋅GN 2=4×42−4×16112=5611， 故答案为：5611．三．解答题（共12小题）25．【解答】证明：∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠AOC ﹣∠AOD ＝∠BOD ﹣∠AOD ，即∠COD ＝∠AOB ，在△AOB 和△COD 中，{OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD，∴△AOB ≌△COD （SAS ）．26．【解答】证明：∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE +∠F AC ＝90°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE +∠EBA ＝90°，∴∠EBA ＝∠F AC ,在△ACF 和△BAE 中，{∠AFC =∠BEA ∠FAC =∠EBA AC =BA ,∴△ACF ≌△BAE (AAS ),∴AF ＝BE ．27．【解答】解：（1）∵∠EAC +∠CAD ＝∠EAD ＝90°，∠BAD +∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，BD ＝CE ，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝45°+45°＝90°，∴BD ＝CE 且BD ⊥CE ；（2）延长BD 和CE 交于点H ，由（1）知BD ⊥CE ，即∠H ＝90°，CE ＝BD ＝2，而∠ADH ＝90°，∠DAE ＝90°，故四边形ADHE 为矩形，而AD ＝AE ，故四边形ADHE 为正方形，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√AB 2−CE 2=√(2√10)2−22=6＝DH ＝EH ＝AD ， 则BH ＝BD +DH ＝2+6＝8，CH ＝HE ﹣CE ＝6﹣2＝4，在Rt △BCH 中，tan ∠CBH =CH BH =48=12，在Rt △BDF 中，DF ＝BD tan ∠CBH ＝2×12=1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作图知，△ADE为等腰直角三角形，设CE＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC=√2AB=√2⋅√6=2√3，则CH=12BC，BH＝BC cos30°＝3，则DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+√3，则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（√3+x）2＝2×（4+√3），解得x＝2−√3（舍去）或1，即BD＝x＝1，过点D作DN⊥BC于点N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2√3，BD＝1，则ND=12BD=12，BN＝BD cos30°=√32，则CN＝CB﹣BN＝2√3−√32=3√32，∴CD=√CN2+DN2=√7，则sin∠BCD=DNCD=12√7=√714．28．【解答】证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．29．【解答】（1）证明：作DG ⊥BD ，交BC 的延长线于点G ，如右图所示， ∵DE ⊥AB ，∠B ＝90°，DG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠B ＝∠BGD ＝90°，∴四边形DEBG 是矩形，又∵DE ＝BE ，∴四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝BE ，∠EDG ＝90°，∴DG ＝DE ，∠EDC +∠CDG ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴∠EDC +∠ADE ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，{∠ADE =∠CDG DE =DG ∠AED =∠CGD，∴△ADE ≌△CDG （ASA ），∴DA ＝DC ；（2）∵∠ADE ＝30°，AD ＝6，∠DEA ＝90°，∴AE ＝3，DE =√AD 2−AE 2=√62−32=3√3，由（1）知，△ADE ≌△CDG ，四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝DE ＝3√3，AE ＝CG ＝3，BE ＝DG ＝BG ＝3√3，∴BC ＝BG ﹣CG ＝3√3−3，AE ＝AE +BE ＝3+3√3，∵FG ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴FE ∥CB ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AE AB =EF BC ， 即3+3√3=3√3−3，解得EF ＝6﹣3√3，∴DF ＝DE ﹣EF ＝3√3−（6﹣3√3）＝3√3−6+3√3=6√3−6， 即DF 的长是6√3−6．30．【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AD ＝BC ，∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 与△FCE 中，{∠D =∠FCE ED =EC ∠AED =∠FEC，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴BC ＝CF ．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝DC ，∴△ABG ∽△CEG ，∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =(AB EC )2，∵DE ＝CE ，∴AB ＝2CE ，∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =4，∵△GEC 的面积为2，∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8，∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12，∴平行四边形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC +∠CBE ＝180°，∠ADC +∠CDF ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△CDF 和△CBE 中，{CD =CB ∠CDF =∠CBE DF =BE，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴CE ＝CF ．33．【解答】解:(1)过点E 作EM ⊥AC 于点M ,∴∠AME ＝∠EMC ＝90°,∵四边形ABCD 是边长为1的正方形,DE =13,∴∠CAD ＝45°,AE ＝AD ﹣DE ＝1−13=23,∴EM ＝AM ＝AE •sin ∠CAD =23×√22=√23,AC =√2, ∴CM ＝AC ﹣AM =√2−√23=2√23,∴tan ∠ACE =EM CM =√232√23=12；(2)∵GH ⊥AD ,AB ⊥AD ,∴GH ∥AB ,∴△DHG ∽△DAF ,∴HG AF=DH DA , ∴y x =1−y 1,∴y ＝x ﹣xy ,∴y =x x+1(0＜x ≤1)；(3)当∠ADF ＝∠ACE 时,EG ⊥AC ,理由如下:∵tan ∠ADF ＝tan ∠ACE =12,∴AF AD =x 1=12, ∴x =12,y =13,∴HA ＝GH =13,∴EH ＝AD ﹣DE ﹣AH =13,∴EG =√GH 2+EH 2=√(13)2+(13)2=√23,∴EG ＝EM ,又∵EM ⊥AC ,∴点G 与点M 重合,∴EG ⊥AC ．34．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG 是正方形， ∴∠DCE ＝90°，CD ＝CE ；∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠BCE ＝90°﹣∠BCD ，在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．（2）如图1，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，则∠AHM ＝∠DHM ＝90°． ∵∠DCG ＝90°，CD ＝CG ，∴∠CDG ＝∠CGD ＝45°，∴∠ADC ＝90°，∴∠MDH ＝90°﹣45°＝45°，∴MH ＝DH •tan45°＝DH ；∵CD ＝DG •sin45°＝2×√22=√2，AC ＝2√5，∴AD =√(2√5)2−(√2)2=3√2，∴MH AH =CD AD =tan ∠CAD =√23√2=13， ∴AH ＝3MH ＝3DH ，∴3DH +DH ＝3√2；∴MH ＝DH =3√24，∵MH AM =CDAC =sin ∠CAD =√22√5=√10， ∴AM =√10MH =√10×3√24=3√52． （3）如图3，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在点A 和点E 之间． ∵CD ＝CE ＝CF ，∠DCE ＝∠ECF ＝90°，∴∠CDE ＝∠CED ＝∠CEF ＝∠CFE ＝45°；由△ACD ≌△BCE ，得∠BEC ＝∠ADC ＝135°，∴∠BEC +∠CEF ＝180°，∴点B 、E 、F 在同一条直线上，∴∠AEB ＝90°，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且DE ＝2，AD ＝BE ，∴（AD +2）2+AD 2＝（2√5）2+（2√5）2， 解得AD =√19−1或AD =−√19−1（不符合题意，舍去）；如图4，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在AE 的延长线上． ∵∠BCF ＝∠ACE ＝90°﹣∠ACF ，BC ＝AC ，CF ＝CE ，∴△BCF ≌△ACE （SAS ），∴∠BFC ＝∠AEC ，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵AE2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2√5）2+（2√5）2，解得AD=√19+1或AD=√19−1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为√19−1或√19+1．35．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，BE ∥DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AOE 和△COF 中，{∠E =∠F∠AOE =∠COF OA =OC，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下： 如图：连结BF ，DE ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．36．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF．。

高三数学总复习专题6 解三角形方法点拨1．对于解三角形中的简单的求边长、求角的题型，要求对正余弦定理熟悉以及对边角的互换灵活使用．2．解三角形的大题不仅需要对边与角的互换可以灵活使用，还要求对三角函数的恒等变换公式熟悉，涉及求面积、周长等的范围或最值问题时，一般考虑余弦定理结合基本不等式或利用正弦定理转化成三角函数求值域的问题． 3．若涉及三角形的中线问题则考虑使用向量进行处理．4．对于涉及角平分线的解三角形题型，一般可以考虑角平分线定理或列两个小三角形的面积等于大三角形的面积的方程进行处理．经典题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a =45B =︒，75C =°，则b =（ ）A ．2BC ．D ．2．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（ ）A B C D 3．（安徽省池州市2021届高三一模）如图所示，在四边形ABCD 中，AC =AD =CD =7，∠ABC =120°，sin ∠BAC 且BD 为∠ABC 的平分线，则BD =（ ）A ．6B ．9C ．D ．84．（青海省海东市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3a =cos sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．（多选）（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，设BC 边上的中点为M ，ABC 的面积为S ，其中a =2224b c +=，下列选项正确的是（ ）A ．若3A π=，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π二、填空题．7．（宁夏中卫市2021届高三一模）如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______．8．（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________．三、解答题．9．（四川省内江市高中2022届一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC 的面积为ABC 的周长．10．（江西省赣州市2021届高三3月一模）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且sin 3c B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）设5BC =，7AB =，若延长CB 到D ，使cos 7ADC ∠=，求CD 的长． 11．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点M 在边AC 上，3CM MA =，tan ABM ∠=tan BMC ∠= （1）求角A 的大小；（2）若BM =，求ABC 的面积．12．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，()sin sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =．（1）求角A 的大小； （2）求线段AD 的长．13．（福建省福州市2021届高三3月份一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-． （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC 的角平分线，求证：111CA CB CD+=． 14．（河南省鹤壁市2021届高三一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+．（1）求A ；（2）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．15．（贵州省盘州市2021届高三一模）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B A =．（1）求B ； （2）已知23ACB π∠=，2AB =，延长BC 至D ，使得2CD BC =，求AD ．16．（河南省郑州市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45b c B ==∠=．（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ∠=，求sin DAC ∠的值．17．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若40sin B c b -=．（1）求sin C 的值；（2）是否存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =若存在，求出A ，B 的值；若不存在，请说明理由．18．（广西柳州市2021届高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos b c b a c abc C --+=．（1）求角A 的大小；（2）若3ABC π∠=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 的面积是24+，求BDC ∠的大小．19．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-． （1）求B 的值；（2）在①4ABC S =△，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC 的周长．20．（湖南师范大学附属中学2021届高三一模）已知ABC 的内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，在以下三个条件中任选一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B Cb a B +=．并解答以下问题： （1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值．21．（沭阳如东中学2021届高三一模）已知ABC 中，D 是AC 边的中点，且①3BA =；②BC =BD =60A ∠=︒．（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一．你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程．22．（江西省九江市2021届高三一模）ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知()cos 3sin cos b c A b A a C +=-． （1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．23．（福建省龙岩市2021届高三一模）在①sin 3cos c B b C =，②232cos sin 22cos 2C C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，③sin ABC S CA CB C =⋅⋅△．三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足，2c =． （1）求角C ；（2）求ABC 周长的取值范围．24．（贵州省贵阳市2021届高三一模）如图所示，在平面四边形ABCD （A ，C 在线段BD 异侧）中，6BAD π∠=，2BCD π∠=，3AB =4AD =．（1）求BD 的长；（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）①求四边形ABCD 的面积的取值范围； ②求四边形ABCD 的周长的取值范围；③求四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围．25．（江苏省南通市学科基地2021届高三一模）在①2sin sin 2sin cos A B C B -=，②()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，③()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________． （1）求角C ；（2）若2c =，求2a b -的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案一、选择题． 1-5CCDBA 6．【答案】ABC【解析】对于A ，由余弦定理可得222122cos 24a b c bc A bc ==+-=-，得12bc =，故1sin 2S bc A ==，A 对；对于B ，由基本不等式可得22242b c bc =+≥，即12bc ≤，当且仅当b c ==由余弦定理可得22224126cos 22b c a A bc bc bc+--===，则11sin 22S bc A ====，B 对； 对于C ，AMB AMC π∠+∠=，则()cos cos cos AMB AMC AMC π∠=-∠=-∠，由余弦定理可得2224cos a AM c AMB AM a +-∠=⋅，2224cos a AM b AMC AM a+-∠=⋅， 所以，22222244a a AM c AM b AM a AM a+-+-=-⋅⋅，整理可得2222924b c a AM +=-=， 则3AM =，C 对；对于D ，由余弦定理可得2222212121cos 222b c a A bc bc b c +-==≥=+，当且仅当b c ==因为()0,A π∈且函数cos y x =在()0,π上单调递减，故03A π<≤，D 错，故选ABC ． 二、填空题． 7． 【解析】在ABC 内，由正弦定理可得2sin sin BC AC R A B ==，即20sin 60sin 45BC AC==︒︒，解得BC=AC=故sin sin()sin(6045)sin60cos45cos60sin45C A B=+=︒+︒=︒︒+︒︒=，所以11sin3)22ABCS AC BC C=⋅⋅⋅=⨯=，又210100Sππ=⋅=圆，故豆子落在三角形ABC内的概率为)253100ABCSSπ==圆，故答案为34π+．8．【答案】12【解析】()sin sin2cos cos tan tan2cos coscos cosB CB C B C B CB C⎛⎫+=+⎪⎝⎭()2sin cos2sin cos2sin2sinB C C B B C A=+=+=，cos tan cos tan sin sinB BC C B C+=+，所以sin sin2sinB C A+=，由正弦定理得2b c a+=，由余弦定理得()22222222313112cos2284442b cb c b cb c a bcAbc bc bc bc+⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭===-≥-=，当且仅当b c a==时取等号，此时3Aπ=，故答案为12．三、解答题．9．【答案】（1）3Aπ=；（2）10+【解析】（1）∵2cos cos cosa Ab Cc B=+，∴由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cosA ABC C B=+，∴2sin cos sinA A A=，∵0A π<<，∴1cos 2A =，故3A π=．（2）由（1）知，3A π=，∵1sin 2ABCSbc A ==24bc =， ∵由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2228b c bc +-=， 故()2100b c +=，∴10b c +=，故10a b c ++=+ ∴ABC的周长为10+10．【答案】（1）60C =︒；（2）10CD =． 【解析】（1）由正弦定理及条件得，1sin (sin )2C B B A =，即1sin (sin ))cos sin 2C B B B C B C B C +=+=+，整理得tan C =又C 为三角形内角，所以60C =︒．（2）在ABC 中，由余弦定理得225549AC AC +-=，解得8AC =，cos 7ADC ∠=，则sin 7ADC ∠==， ACD △中，1sin sin()sin cos cos sin 72CAD C D C D C D ∠=+=+=+= 由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠147=， 所以10CD =． 11．【答案】（1）2π3A =；（2） 【解析】（1）∵tan BMC∠=，∴tan BMA∠=∵()() tan tanπtanA ABM BMA ABM BMA=-∠-∠=-∠+∠，∴tan tantan1tan tanABM BMAAABM BMA+∠+∠=-==-∠⋅∠∵0πA<<，∴2π3A=．（2）∵tan BMA∠=tan ABM∠=∴sin7BMA∠=，sin14ABM∠=．在ABM中，由正弦定理，得sin sinAB BMBMA A=∠，∴sinsinBM BMAABA⋅∠===∴ABM的面积11sin2214ABMS BM AB ABM=⋅⋅⋅∠==△．∵点M在边AC上，3CM MA=，∴ABC的面积4ABC ABMS S==△△12．【答案】（1）3Aπ=；（2）AD=．【解析】（1）在ABC中，()()sin sin sinC A B A Bπ=-+=+⎡⎤⎣⎦，因()sin sin sinA B C B-=-，则有sin cos cos sin sin cos cos sin sinA B A B A B A B B-=+-，即2cos sin sin 0A B B -=， 又sin 0B ≠，即有1cos 2A =， 而()0,A π∈，所以3A π=．（2）在ABC 中，由(1)知3A π=，因为AD 为角A 的角平分线，则有30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABCABD ACD SSS=+得：11135sin 605sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =所以线段AD 的长为8． 13．【答案】（1）23C π=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-，所以2sin cos sin 0B C B +=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-， 又(0,)C π∈，所以23C π=． （2）因为CD 是ABC 的角平分线，且23C π=，所以3ACD BCD π∠=∠=． 在ABC 中，ABC ACD BCD S S S =+△△△， 则由面积公式得1211sinsin sin 232323CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅， 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅，得111CA CB CD+=．14．【答案】（1）3π；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=．（2）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-， 又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a = 15．【答案】（1）6π；（2）2．【解析】（1）由cos sin a B A =及正弦定理，得sin cos sin A B B A =， 由0A π<<，得sin 0A >，所以cos B B =，即tan B =， 由0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin AB ACACB B=∠，则2sinsin 62sin sin 3AB B AC ACB ππ∠=== 又2366BAC ACB B πππππ∠=-∠-∠=--=，6B π∠=，所以ABC为等腰三角形，从而3BC AC ==，23CD BC ==． 在ACD △中，233ACD ACB ππ∠π∠π=-=-=，由余弦定理，得2AD ===． 16．【答案】（1）3BC =；（2）25． 【解析】在ABC中，因为b =c =45B ∠=︒， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得25222a a =+-⨯， 所以2230a a --=，解得3a =或1a =-（舍）， 所以3BC =．（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 45sin C =︒，所以sin 5C =， 在ADC 中，因为()5co 4c s os 180cos A D DB ADB A C -∠=-=∠=-∠， 所以ADC ∠为钝角．而180ADC C CAD ∠+∠+∠=，所以C ∠为锐角，故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠===， ())sin sin 180sin(DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠34sin cos cos sin 55ADC C ADC C =∠∠+∠∠=-=17．【答案】（1）4；（2）存在，4A π=，3B π=． 【解析】（1）因为40sin B c b -=，由正弦定理，得40sin sin sin C B B -=， 又因为02B π<<，所以sin 0B ≠，故sin C =（2）假设存在角A ，B （A B <），满足tan tan A B =由sin C =02C π<<，可得tan 2C =， 因为A B C π+=-，所以()tan 2A B +=- 由()tan 2tan tan ta tan 1n A BB A BA ++==--tan ta 1n A B +=由tan tan tan tan 1A B A B ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩A B <，解得tan 1A =，tan B = 从而4A π=，3B π=，故存在4A π=，3B π=满足题意．18．【答案】（1）3A π=；（2）56π．【解析】（1）()()22222cos b c b a c abc C --+=，∴()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，A B C π++=，∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=，sin 0B ≠，∴1cos 2A =， 由()0,A π∈，则3A π=．（2）如图，在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-，3A B π==，∴3C π=，ABC ∆为等边三角形，∴21sin 23ABC S BC D π=⨯⨯=△， 1=sin sin2BDCSBD DC D D ⨯⨯⨯=，∴2sin 2sin 3ABDC S D D D π⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭四边形， ∴sin()13D π-=， (0,)D π∈，即56D π=．19．【答案】（1）3π；（2）若选择①，ABC 的周长为9．若选择②，ABC 的周长为62+．若选择③，ABC 的周长为3．【解析】（1）因为)()sin sin 1cos c os c A C c A C -=-，利用正弦定理边化角可得)()n sin sin si sin 1cos cos B C A C C A C -=-， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，n sin si 1cos cos B C A A C -=-，即cos cos sin sin 1A C C A B -+=，所以cos()1A C B +=， 又A B C π++=，则A C B π+=-， 所以cos()cos()cos A C B B π+=-=-，cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，因为(0,)B π∈，则5(,)666B πππ-∈-，所以66B ππ-=或566B ππ-=（舍），解得3B π=． （2）若选择①，则1sin 2ABCSac B ==，所以9ac =， 又22222()21cos 222a c b a c ac b B ac ac +-+--===，且3b =，所以2()1891182a c +--=，解得6a c +=，所以ABC 的周长639=+=．若选择②：因为sin sin a b A B=，所以3sin sin b Aa B ===又22221cos 22a cb B ac +-===， 因为0c >，解得2c +=， 所以ABC的周长6322=+=． 若选择③：22222491cos 2222a cbc c B ac c c +-+-===⨯⨯， 因为0c >，解得c =2a c == 所以ABC的周长33=．20．【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈，max 4S =． 【解析】（1）若选①，由已知化简得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选②，由二倍角公式2cos12sin 24A A =-=，故21cos 2cos 122A A =-=， 因为0180A ︒︒<<，所以60A =︒．若选③，由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0180A ︒︒<<，sin 0B ≠，所以sin sin 2B CA +=，由180A B C ++=，可得sin cos 22B C A +=，故cos 2sin cos 222A A A=，因为0902A ︒<<︒，cos 02A ≠，故1sin ,22A =26A π=，因此60A =︒．（2）由已知60A =︒，当ABC 有且只有一解时，sin a b A =或a b ≥，sin 3m π=0m >，故2m =或0m <≤({}2m ∴∈，①当2m =时，ABC 为直角三角形，B 为直角，2,2sin 60b a ==︒=1c =，所以111222S ac ==⋅=；②当0m <≤3,3a A π==，由余弦定理可得2222cos 2a b c bc A bc bc bc =+-≥-=，3bc ∴≤，当且仅当b c =时等号成立，∴三角形面积为11sin 322S bc A =≤⨯=，即ABC 面积的最大值max S =，综上，ABC 面积的最大值max 4S =．21．【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5． 【解析】删①．（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得m =． 删②，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅， 即2796cos60AD AD =+-⋅︒，解得1AD =或2AD =， 则2AC =或4，有2解，不满足题意． 删③，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意． 删④．（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅，同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=，解得1x =，2AC ∴=． （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=，得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯︒+⨯︒=⨯⨯︒，解得5m =． 22．【答案】（1）3π；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由正弦定理得(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=， 因为sin 0B >，所以cos 1A A +=， 所以1sin()62A π-=，因为(66A ππ-∈-，5)6π，所以66A ππ-=，所以3A π=． （2）1sin sin sin()122sin sin sin 2C Cb B A Cc C C C +====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<， 所以62C ππ<<，所以tan C >，所以112222tan C <+<，即b c 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭． 23．【答案】（1）条件性选择见解析，3C π=；（2）(4,6]．【解析】（1）选①，sin cos c B C =，由正弦定理得sin sin cos C B B C =，因为sin 0B >，所以sin C C =，即tan C = 由C 为三角形内角得，3C π=．选②，232cos sin(2)2cos 2C C C π--=， 22cos cos 22cos C C C +=，整理得1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=．选③，sin cos sin ABC S CA CB C ba C C =⋅⋅=△，由三角形面积公式得1cos sin sin 2ab C C ab C =，故1cos 2C =， 由C 为三角形内角得，3C π=．（2）因为2c =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，故24()3a b ab =+-， 所以22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⨯，当且仅当a b =时取等号，解得4a b +≤，因为2a b c +>=，故24a b <+≤， ABC 周长a b c ++的取值范围(4,6]．24．【答案】（1）2；（2）答案见解析．【解析】（1）在ABD 中，6BAD π∠=，AB =4AD =，2222cos 4BD AD AB AD AB BAD ∴=+-⋅⋅∠=，2BD ∴=．（2）由（1）知222AB BD AD +=，2ABD π∴∠=， 令CBD θ∠=，由2BCD π∠=，0,2πθ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 则2cos BC θ=，2sin CD θ=．若选①：112sin 2cos 2sin 222ABCD ABD BCD S S S θθθ∆∆=+=⨯⋅+⨯=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴由0sin 21θ<≤，可知四边形ABCD 的面积的取值范围是(+． 若选②：2sin 2cos 444ABCD C AB BC CD DA πθθθ⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 124πθ⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，64ABCD C ∴+<≤，∴四边形ABCD 的周长的取值范围是(64⎤⎦+． 若选③：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2124cos 22cos cos 2πθθθ⎛⎫=+-⨯⋅+ ⎪⎝⎭2cos 4cos 1222cos 214θθθθθ=⋅++=++2214θθ⎫=++⎪⎪⎭，令sinϕ=cos ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2214AC θϕ=++， 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ϕθϕπϕ∴<+<+，()sin 2113θϕ∴-<+≤，21214AC ∴<≤，1AC ∴<≤，∴四边形ABCD 的对角线AC 的长的取值范围是(1⎤⎦． 25．【答案】条件选择见解析；（1）3C π=；（2）()2,4-．【解析】（1）选择条件①： 解法一：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以()2sin sin 2sin cos B C B C B +-=，即2sin cos sin B C B =． 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =．又()0,C π∈，所以3C π=．解法二：因为2sin sin 2sin cos A B C B -=，所以222222a c b a b c ac+--=⋅， 即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===． 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件②： 因为()()()sin sin sin a c A C B a b +-=-，所以()()()a c a c b a b +-=-，即222c a b ab =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．选择条件③： 因为()1sin sin sin 2ABC S c a A b B c C =+-△，所以()i 1sin s n s s 12i in 2n C A B C ab c a b c =+-，从而222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 又()0,C π∈，所以3C π=．（2）因为2c =，所以2sin 3sin 3c C π==，从而2sin sin 33333a b A B A A π⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为203A π<<，所以662A πππ-<-<， 从而1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以2a b -的取值范围为()2,4-．。

2020年中考数学专题训练六与四边形相关问题[考点导航][猜押题专练]1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为菱形，则t的值是（）A．1.5B C．D．32．如图，在四边形ABCD中，如果AD//BC，AE//CF，BE=DF，那么下列等式中错误的是（）A．∠DAE=∠BCF B．AB=CD C．∠BAE=∠DCF D．∠ABE=∠EBC3．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转30°，再沿直线前进8米又左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（）米．A．48米B．160米C．80米D．96米4．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则M的坐标为（）A ．（1B ．（﹣1C ．（1D ．（﹣1 5．已知，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作DE ∥BC ，DH ∥AC 分别交AC 、BC 于点E 、H ，点F 是延长线BC 上一点，连接FD 交AC 与点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AD AE DB DH = B ．CF DH DE CG =C ．FD EC FG CG = D ．CH AE BC AC= 6．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO+∠CFO=106°，则∠C 的度数（ ）A ．40°B ．37°C ．36°D ．32°7．如图，在矩形ABCD 中，BC ，ADC ∠的平分线交边BC 于点E ，AH DE ⊥于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：()()12AEB AEH DH ∠=∠=，，()()1342OH AE BC BF =-=，，其中正确命题的序号( )A ．()()()123B ．()()()234C ．()()24D ．()()138．如图，已知AB =12，点C 、D 在线段AB 上且AC =3，DB =2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ．当点P 从点C 运动到点D 时，中点G 移动路径的长是_____．9．在平行四边形ABCD中，内角BADBE ，V的平分线AE交该平行四边形的一边BC于点E，若3平行四边形ABCD的周长是16，则EC的长为____________10．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1,3），B（1,1），C（3,1），对角线交于点M．规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，那么经过两次变换后，点M的坐标变为____________，连续经过2015次变换后，点M的坐标变为___________．11．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC．BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG．BG．BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020－S2019的值为____．12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③AE2＝AD•AF；④AF＝AB+CF．其中正确结论为是______．（填写所有正确结论的序号）13．如图，矩形ABCD中，AD=3，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____．14．在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC、BD，∠ADB＝90°．（1）如图1，若AD＝BD＝BC，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E：①∠DAC＝°；②求证：EC＝EA+ED；（2）如图2，若AC＝BD，求∠DAC的度数．15．在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．（1）如图①，则△AA′C的形状是；（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．16．在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．(1)独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；(2)合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF 与GH相等吗？并说明理由．(3)拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC 边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是；线段DM的长是．17．综合与实践：问题发现：学完四边形的有关知识后，创新小组的同学进一步研究特殊的四边形，发现了一个结论．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，根据勾股定理和正方形的性质，很容易能够证明222222 AC BD AB BC CD AD +=+++．问题探究：（1）如图2，已知四边形ABCD 是矩形，若 4,3AB BC ==，则 2 2 AC BD +的值是 ；2 222 AB BC CD AD +++的值是 ；（2）如图3，已知四边形ABCD 是菱形，证明：222222AC BD AB BC CD AD +=+++；拓广探索：（3）智慧小组看了创新小组交流后，提出了一个猜想，如图4，在ABCD Y 中，222222AC BD AB BC CD AD +=+++，你认为这个猜想正确吗？请说明理由；（4）请用文字语言叙述()3中得出的结论．18．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为(8，8)，将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．(1)求证：△CBG ≌△CDG ；(2)求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由；(3)连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由.19．如图所示，将矩形纸片OABC 放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0(I).如图，经过点O 、B 折叠纸片，得折痕OB ，点A 的对应点为1A ,求1A OC ∠的度数；(Ⅱ)如图，点M 、N 分别为边OA 、BC 上的动点，经过点M 、N 折叠纸片，得折痕MN ，点B 的对应点为1B①当点B 的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形1MBNB 的形状，并求出它的周长；②若点N 与点C 重合，当点1B 落在坐标轴上时，直接写出点M 的坐标.20．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BC 上一点，连接DE ，点F 在边CD 上，且AF ⊥CD 交DE 于点G ，连接CG ．已知∠DEC ＝45°，GC ⊥BC ．（1）若∠DCG ＝30°，CD ＝4，求AC 的长．（2）求证：AD ＝CG DG ．21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 别在BC ，AD 上，且BE DF =．（1）如图①，求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）如图②，若90BAC ∠=︒，且3AB =．4AC =，求平行四边形ABCD 的周长．22．在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AC 边的中点，过点A 作AF ∥BC ，交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）如图1，求证：四边形ADCF 是矩形；（2）如图2，当AB ＝AC 时，取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF ）．23．如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E ，G 分别是AD ，BC 边的中点，连接BE ，CE ，点F ，H 分别是BE ，CE 的中点连接FG ，HG ．（1）求证：四边形EFGH 是菱形；（2）当AB AD＝ 时，四边形EFGH 是正方形．24．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；（2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．参考答案1．A2．D3．D．4．B5．B6．B7．D8．3.59．210．（0,2）；（－2013，－2）11．4039 212．②③④13．14．（1）①15°；②；（2）∠DAC＝30°．15．m．16．(1)BE＝AQ；(2)EF＝GH；；154 17．18．；(3)四边形AEBD 可为矩形，H 点的坐标为(83,0)19．(Ⅱ)30°；(Ⅱ)①四边形1B MBN 为菱形，周长为192；②，0)或0). 20．（1）AC ＝26；（2）21．22．（1）；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．23．24．（1）2452cm ；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x x y x x x ⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、95．。

专题六四边形与三角形的综合毕节中考备考攻略纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例1 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC,AB ＝AD,对角线AC,BD 交于点O,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若AB ＝5,BD ＝2,求OE 的长.【解析】(1)先判断出∠OAB＝∠DCA,进而判断出∠DAC＝∠DCA ,得出CD ＝AD ＝AB,即可得出结论； (2)先判断出OE ＝OA ＝OC,再求出OB ＝1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明：∵AB∥CD ,∴∠CAB ＝∠ACD. ∵AC 平分∠BAD ,∴∠CAB ＝∠CAD , ∴∠CAD ＝∠ACD ,∴AD ＝CD. 又∵AD＝AB,∴AB ＝CD.又∵AB∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴四边形ABCD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA ＝OC ＝12AC,OB ＝OD ＝12BD ＝1.在Rt △AOB 中,∠AOB ＝90°,∴OA ＝AB 2－OB 2＝2. ∵CE ⊥AB,∴∠AEC ＝90°. 在Rt △AEC 中,O 为AC 中点, ∴OE ＝12AC ＝OA ＝2.四边形与三角形全等例2 (2018·张家界中考)在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE ＝AD,DF ⊥AE,垂足为点F. (1)求证：DF ＝AB ；(2)若∠FDC＝30°,且AB ＝4,求AD.【解析】(1)利用“AAS ”证△ADF≌△EAB 即可得证；(2)由∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°,据此知AD ＝2DF,根据DF ＝AB 可得答案.【答案】(1)证明：在矩形ABCD 中,AD ∥BC, ∴∠AEB ＝∠DAF.又∵DF⊥AE ,∴∠DFA ＝90°,∴∠DFA ＝∠B. 又∵AD＝EA,∴△ADF ≌△EAB,∴DF ＝AB ；(2)解：∵∠ADF＋∠FDC ＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°,∴∠FDC ＝∠DAF＝30°,∴AD ＝2DF.∵DF ＝AB ＝4,∴AD ＝2AB ＝8.四边形与三角形相似例3 (2018·资阳中考)已知：如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC,且MD ＝CM,DE ⊥AB 于点E,连接AD,CD.(1)求证：△MED∽△BCA； (2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2＝175S 1时,求cos ∠ABC 的值.【解析】(1)易证∠DME＝∠CBA ,∠ACB ＝∠DE M ＝90°,从而可证明△MED∽△BCA；(2)由∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点,可知BM ＝CM ＝AM,又由MD∥BC 可证明∠AMD＝∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD；(3)易证DM ＝12AB,由(1)可知△MED∽△BCA ,所以S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,所以S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,从而可求出S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,由于S 1S △EBD ＝ME EB ,从而可知ME BE ＝52,设ME ＝5x,EB ＝2x,从而用x 表示出AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：∵MD∥BC ,∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠ACB ＝∠DEM＝90°,∴△MED ∽△BCA ； (2)证明：∵∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴BM＝CM ＝AM,∴∠MCB ＝∠MBC. ∵∠DMB ＝∠MBC , ∴∠MCB ＝∠DMB＝∠MBC. ∵MD ∥BC,∴∠CMD ＝180°－∠MCB. 又∵∠AMD＝180°－∠DMB , ∴∠AMD ＝∠CMD. 在△AMD 与△CMD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD ≌△CMD(SAS )；(3)解：∵DM＝CM,∴AM ＝CM ＝DM ＝BM, ∴DM ＝12AB.由(1)可知△MED∽△BCA ,∴S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,∴S △ACB ＝4S 1. ∵CM 是△ACB 的中线,∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,∴S 1S △EBD ＝ME EB ,∴S 125S 1＝ME EB ,∴ME EB ＝52. 设ME ＝5x,EB ＝2x,则BM ＝7x, ∴AB ＝2BM ＝14x. ∵MD AB ＝ME BC ＝12,∴BC ＝10x, ∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,O,D 分别是边AC,AB 的中点,过点C 作CE ∥AB 交DO 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若四边形AECD 的面积为24,tan ∠BAC ＝34,求BC 的长.(1)证明：∵点O 是AC 的中点,∴OA ＝OC.∵CE ∥AB,∴∠DAO ＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE ,∴△AOD ≌△COE(ASA ),∴AD ＝CE, ∴四边形AECD 是平行四边形. 又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴CD ＝AD ＝12AB,∴四边形AECD 是菱形；(2)由(1)知,四边形AECD 是菱形,∴AC ⊥ED.在Rt △AOD 中,tan ∠DAO ＝OD OA ＝tan ∠BAC ＝34,可设OD ＝3x,OA ＝4x, 则ED ＝2OD ＝6x,AC ＝2OA ＝8x.由题意可得12·6x·8x＝24,∴x ＝1,∴OD ＝3.∵O,D 分别是AC,AB 的中点, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴BC ＝2OD ＝6.2.(2018·盐城中考)在正方形ABCD 中,对角线BD 所在的直线上有两点E,F 满足BE ＝DF,连接AE,AF,CE,CF,如图.(1)求证：△AB E≌△ADF；(2)试判断四边形AECF 的形状,并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴AB ＝AD, ∴∠ABD ＝∠ADB ,∴∠ABE ＝∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS )； (2)解：四边形AECF 是菱形. 理由：连接AC,交BD 于点O. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴OA ＝OC,OB ＝OD,AC ⊥EF, ∴OB ＋BE ＝OD ＋DF,即OE ＝OF. ∵OA ＝OC,OE ＝OF,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵AC⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.3.(2018·湖州中考) 已知在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ≥AC,D,E 分别为AC,BC 边上的点(不包括端点),且DC BE ＝ACBC＝m,连接AE,过点D 作DM ⊥AE,垂足为点M,延长DM 交AB 于点F. (1)如图1,过点E 作EH⊥AB 于点H,连接DH.①求证：四边形DHEC 是平行四边形； ②若m ＝22,求证：AE ＝DF ； (2)如图2,若m ＝35,求DFAE的值.(1)证明：①∵EH⊥AB ,∠BAC ＝90°, ∴EH ∥CA,∴△BHE ∽△BAC,∴BE BC ＝HEAC .∵DC BE ＝AC BC ,∴BE BC ＝DC AC ,∴HE AC ＝DC AC, ∴HE ＝DC.∵EH ∥DC,∴四边形DHEC 是平行四边形； ②∵AC BC ＝22,∠BAC ＝90°,∴AC ＝AB.∵DC BE ＝22,HE ＝DC,∴HE BE ＝22. 又∵∠BHE＝90°,∴BH ＝HE. ∵HE ＝DC,∴BH ＝CD,∴AH ＝AD. ∵DM ⊥AE,EH ⊥AB, ∴∠EHA ＝∠AMF＝90°,∴∠HAE ＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°, ∴∠HEA ＝∠AFD.∵∠EHA ＝∠FAD＝90°,∴△HEA ≌△AFD,∴AE ＝DF ； (2)解：过点E 作EG⊥AB 于点G.∵CA ⊥AB,∴EG ∥CA,∴△EGB ∽△CAB, ∴EG CA ＝BE BC ,∴EG BE ＝CA BC ＝35. ∵CD BE ＝35,∴EG ＝CD. 设EG ＝CD ＝3x,AC ＝3y,则BE ＝5x,BC ＝5y, ∴BG ＝4x,AB ＝4y. ∵∠EGA ＝∠AMF＝90°, ∴∠GEA ＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM ,∴∠AFM＝∠AEG.∵∠FAD＝∠EGA＝90°,∴△FAD∽△EGA,∴DFAE＝ADAG＝3y－3x4y－4x＝34.毕节中考专题过关 1.(2018·乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD 中,∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,AD ∥BC,AE ∥DC,EF ⊥CD 于点F.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若AB ＝6,BC ＝10,求EF 的长.(1)证明：∵AD∥BC ,AE ∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形.∵∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,∴AE ＝CE ＝12BC,∴四边形AECD 是菱形；(2)解：过A 作AH⊥BC 于点H.∵∠BAC ＝90°,AB ＝6,BC ＝10,∴AC ＝102－62＝8.∵S △ABC ＝12BC·AH＝12AB·AC ,∴AH ＝6×810＝245.∵点E 是BC 的中点,BC ＝10,四边形AECD 是菱形,∴CD ＝CE ＝5.∵S ▱AECD ＝CE·A H ＝CD·EF ,∴EF ＝AH ＝245.2.(2018·青岛中考)已知：如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E,点G 为AD 的中点,连接CG,CG 的延长线交BA 的延长线于点F,连接FD.(1)求证：AB ＝AF ；(2)若AG ＝AB,∠BCD ＝120°,判断四边形ACDF 的形状,并证明你的结论.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB ＝CD,∴∠AFG ＝∠DCG.又∵GA＝GD,∠AGF ＝∠CGD ,∴△AGF ≌△DGC,∴AF ＝CD.∴AB ＝AF ；(2)解：四边形ACDF 是矩形.证明：∵AF＝CD,AF ∥CD,∴四边形ACDF 是平行四边形.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD ＝∠BCD＝120°.∴∠FAG ＝60°.∵AB ＝AG ＝AF,∴△AFG 是等边三角形,∴AG ＝GF.∵四边形ACDF 是平行四边形,∴FG ＝CG,AG ＝DG.∴AD＝CF.∴四边形ACDF 是矩形.3.已知：如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ＝CD,E 是对角线BD 上一点,且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形ABCD 是正方形.证明：(1)在△ADE 与△CDE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE,∴∠ADE ＝∠CDE.∵AD ∥BC,∴∠ADE ＝∠CBD ,∴∠CDE ＝∠CBD ,∴BC ＝CD.∵AD ＝CD,∴BC ＝AD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵AD ＝CD,∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE＝BC,∴∠BCE ＝∠BEC.∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3,∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE ＝∠CBE＝45°,∴∠ABC ＝90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于点E,AB ＝AC ＝BD,点M 为BC 的中点,N 为线段AM 上的点,且MB ＝MN.(1)求证：BN 平分∠ABE；(2)若BD ＝1,连接DN,当四边形DNBC 为平行四边形时,求线段BC 的长；(3)如图②,若点F 为AB 的中点,连接FN,FM,求证：△MFN∽△BDC.(1)证明：∵AB＝AC,∴∠ABC ＝∠ACB.∵M 为BC 的中点,∴AM ⊥BC.在Rt △ABM 中,∠MAB ＋∠ABC＝90°.在Rt △CBE 中,∠EBC ＋∠ACB＝90°,∴∠MAB ＝∠EBC.又∵MB ＝MN,∴△MBN 为等腰直角三角形,∴∠MNB ＝∠MBN＝45°,∴∠EBC ＋∠NBE＝45°,∠MAB ＋∠ABN＝∠MNB＝45°,∴∠NBE ＝∠ABN ,即BN 平分∠ABE；(2)解：设BM ＝CM ＝MN ＝a.当四边形DNBC 是平行四边形时,DN ＝BC ＝2a.在△ABN 和△DBN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠NBD ＝∠NBA，BN ＝BN ，∴△ABN ≌△DBN(SAS ),∴AN ＝DN ＝2a.在Rt △ABM 中,由AM 2＋BM 2＝AB 2,得(2a ＋a)2＋a 2＝1,解得a ＝±1010(负值舍去),∴BC ＝2a ＝105；(3)证明：在Rt △MAB 中,F 是AB 的中点,∴MF ＝AF ＝BF,∴∠MAB ＝∠FMN.又∵∠MAB＝∠CBD ,∴∠FMN ＝∠DBC. ∵MFAB ＝MNBC ＝12,∴MF BD ＝MN BC ＝12,∴△MFN ∽△BDC.5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG ＝6,EG ＝25,求BE 的长.(1)证明：∵GE∥DF ,∴∠EGF ＝∠DFG.由翻折的性质可知DG ＝EG,DF ＝EF,∠DGF ＝∠EGF ,∴∠DGF ＝∠DFG ,∴DG ＝DF,∴DG ＝EG ＝DF ＝EF,∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：连接DE,交AF 于点O.∵四边形EFDG 是菱形,∴GF ⊥DE,OG ＝OF ＝12GF.∵∠DOF ＝∠ADF＝90°,∠OFD ＝∠DFA , ∴△DOF ∽△ADF,∴DF AF ＝OF DF ,即DF 2＝OF·AF.∵OF ＝12GF,DF ＝EG,∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：过点G 作GH⊥DC ,垂足为点H. ∵EG 2＝12GF·AF ,AG ＝6,EG ＝25,即GF 2＋6GF －40＝0,解得GF ＝4,GF ＝－10(舍去).∵DF ＝EG ＝25,AF ＝AG ＋GF ＝10, ∴AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.∵GH ⊥DC,AD ⊥DC,∴GH ∥AD, ∴△FGH ∽△FAD,∴GH AD ＝GF AF ,即GH 45＝410,∴GH ＝855.∴BE ＝AD －GH ＝45－855＝1255.。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2020年中考数学压轴题突破专题6⼏何综合探究变化型问题2020年中考数学⼤题狂练之压轴⼤题突破培优练专题06 ⼏何综合探究变化型问题【真题再现】1．（2019年宿迁中考第28题）如图①，在钝⾓△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针⽅向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的⼤⼩是否发⽣变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个⾓的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针⽅向旋转180°，求点G的运动路程．2．（2019年连云港中考第27题）问题情境：如图1，在正⽅形ABCD中，E为边BC上⼀点（不与点B、C重合），垂直于AE的⼀条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂⾜P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂⾜P在正⽅形ABCD的对⾓线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正⽅形ABCD 的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最⼩值．问题拓展：如图4，在边长为4的正⽅形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正⽅形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂⾜分别为G、H．若AG，请直接写出FH的长．3．（2019年⽆锡中考副卷第28题）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正⽅形BDEF的边长为2，将正⽅形BDEF绕点B旋转⼀周，连接AE、BE、CD．（1）请找出图中与△ABE相似的三⾓形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在⼀直线上时CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．4．（2019年盐城中考第25题）如图①是⼀张矩形纸⽚，按以下步骤进⾏操作：（Ⅰ）将矩形纸⽚沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（Ⅱ）在第⼀次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；（Ⅲ）展开纸⽚，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．5．（2019?扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的⼀个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的⼀条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的⾯积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出⾯积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′⾯积的最⼤值．6．（2019年南京中考第26题）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．⼩明的作法1．如图②，在边AC上取⼀点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆⼼，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明⼩明所作的四边形DEFG是菱形．（2）⼩明进⼀步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化⽽变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【专项突破】【题组⼀】1．（2020?海门市校级模拟）已知正⽅形ABCD，P为射线AB上的⼀点，以BP为边作正⽅形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将正⽅形ABCD固定，正⽅形BPEF绕点B旋转⼀周，设AB ＝4，BP＝a，若在旋转过程中△ACE⾯积的最⼩值为4，请直接写出a的值．2．（2019秋?青龙县期末）在等边三⾓形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，⼩明和⼩慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，⼩明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，⼩慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中⼀个结论加以证明．成果运⽤（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是．3．（2019秋?张家港市期末）在长⽅形纸⽚ABCD中，点E是边CD上的⼀点，将△AED 沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F 处．（1）如图1，若点F落在对⾓线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．4．（2020?兴化市模拟）如图，现有⼀张矩形纸⽚ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸⽚沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若△PQM的⾯积为S，求S的取值范围．【题组⼆】5．（2019秋?娄星区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为射线CB上⼀个动点（不与B、C 重合），以AD为⼀边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．（1）如图①，若∠BAC＝60°，则按边分类：△CEF是三⾓形；（2）若∠BAC＜60°．①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三⾓形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．6．（2019秋?东海县期末）已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P 作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．①依题意补全图2；②请直接写出线段AC′的长度．7．（2019秋?江都区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上动点．（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；（2）如图2，当AD＝AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三⾓形时，直接写出AD 的长度．8．（2019秋?泰兴市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E是射线CB上的动点，连接DE，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）若点E在线段CB上．①求证：AF＝CE．②连接EF，试⽤等式表⽰AF、EB、EF这三条线段的数量关系，并说明理由．（2）当EB＝3时，求EF的长．【题组三】9．（2019秋?镇江期末）△ABC和△ADE都是等腰直⾓三⾓形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，点D、E分别在AB、AC 上，则BD、CE满⾜怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连结BD、CE，则BD、CE满⾜怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（3）如图3，点D、E都在△ABC外部，连结BD、CE、CD、EB，BD与CE相交于H 点．已知AB＝4，AD＝2，设CD2＝x，EB2＝y，求y与x之间的函数关系式．10．（2019秋?射阳县期末）在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝°，若△AMN的周长为9，则BC ＝．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．11．（2019秋?溧⽔区期末）通过对下⾯数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC 于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．⼜∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进⽽得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“⼀线三等⾓”模型；【模型应⽤】（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；②如图3，在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A的坐标为（2，4），点B为平⾯内任⼀点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直⾓三⾓形，请直接写出点B的坐标．12．（2019?邗江区校级⼀模）阅读下⾯材料：⼩聪遇到这样⼀个有关⾓平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.4，AC＝3.6，求BC得长．⼩聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请完成：（1）求证：△BDE是等腰三⾓形（2）求BC的长为多少？（3）参考⼩聪思考问题的⽅法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD，BC，求AD 的长．【题组四】13．（2019?⿎楼区⼆模）提出问题：⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长分别为2cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边最⼩值是多少？探究思考：⼏位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三⾓形．（1）同学们对图1，图2中的等边三⾓形展开了讨论：①图⼀中AD的长度图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）②等边三⾓形ADE经过图形变化．AD可以更⼩．请描述图形变化的过程．（2）有同学画出了图3，但⽼师指出这种情况不存在，请说明理由．（3）在图4中画出边长最⼩的等边三⾓形，并写出它的边长．经验运⽤：（4）⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长为1cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边长最⼩是多少？画出⽰意图并写出这个最⼩值．14．（2019?南京⼆模）【概念提出】如图①，若正△DEF的三个顶点分别在正△ABC的边AB、BC、AC上，则我们称△DEF 是正△ABC的内接正三⾓形．（1）求证：△ADF≌△BED；【问题解决】利⽤直尺和圆规作正三⾓形的内接正三⾓形（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图②，正△ABC的边长为a，作正△ABC的内接正△DEF，使△DEF的边长最短，并说明理由；（3）如图③，作正△ABC的内接正△DEF，使FD⊥AB．15．（2020?河南⼀模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】⼩聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利⽤轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利⽤α＝90°，β＝30°以及等边三⾓形等相关知识便可解决这个问题．请结合⼩聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三⾓形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应⽤】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．16．（2019?亭湖区⼆模）【阅读材料】⼩明遇到这样⼀个问题：如图1，点P在等边三⾓形ABC内，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4，求PB的长．⼩明发现，以AP为边作等边三⾓形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三⾓形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的⼤⼩，进⽽可求得PB的长．（1）请回答：在图1中，∠PDB＝°，PB＝．【问题解决】（2）参考⼩明思考问题的⽅法，解决下⾯问题：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且P A＝1，PB，PC＝2，求AB的长．【灵活运⽤】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα，点P在△ABC 外，且PB＝3，PC＝1，直接写出P A长的最⼤值．【题组五】17．（2019秋?海安市期末）（1）如图①，⼩明同学作出△ABC两条⾓平分线AD，BE得到交点I，就指出若连接CI，则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，AC＝12，AB＝13，△ABC的⾓平分线CD上有⼀点I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数）⼩季、⼩何同学经过探究，有以下发现：⼩季发现：d的最⼤值为．⼩何发现：当d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC．请分别判断⼩季、⼩何的发现是否正确？并说明理由．18．（2019秋?常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC 内⼀点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E 为BD延长线上的⼀点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．19．（2019秋?常熟市期中）如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB＝AC．（1）求点B的坐标；（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）；①若△OME的⾯积为2，求t的值；②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直⾓三⾓形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．20．（2019秋?崇川区期末）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CD；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．【题组六】21．（2018秋?崇川区校级期末）如图，锐⾓△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的⼀点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）过点E作EF∥DC交AB于点F，连接CF（如图1），①请直接写出∠EAB与∠DAC的数量关系；②试判断四边形CDEF的形状，并证明；（2）若∠BAC＝60°，过点C作CF∥DE交AB于点F，连接EF（如图2），那么（1）②中的结论是否仍然成⽴？若成⽴，请给出证明；若不成⽴，请说明理由．22．（2019秋?淮阴区期末）A，B，C，D是长⽅形纸⽚的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长⽅形纸⽚ABCD按图①所⽰的⽅式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为；（2）将长⽅形纸⽚ABCD按图②所⽰的⽅式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长⽅形纸⽚ABCD按图③所⽰的⽅式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH ＝m°，求∠B'FC'的度数为．23．（2019秋?丹阳市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A 的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．24．（2020春?⿎楼区校级⽉考）如图，正⽅形ABCD 的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三⾓形的m值．参考答案【真题再现】1．（2019年宿迁中考第28题）如图①，在钝⾓△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针⽅向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的⼤⼩是否发⽣变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个⾓的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针⽅向旋转180°，求点G的运动路程．【分析】（1）如图①利⽤三⾓形的中位线定理，推出DE∥AC，可得，在图②中，利⽤两边成⽐例夹⾓相等证明三⾓形细相似即可．（2）利⽤相似三⾓形的性质证明即可．（3）点G的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆⼼⾓，半径，利⽤弧长公式计算即可．【解析】（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的⼤⼩不发⽣变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆⼼，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆⼼，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三⾓形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．点评：本题属于相似形综合题，考查了相似三⾓形的判定和性质，弧长公式，等边三⾓形的判定和性质，圆周⾓定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三⾓形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．2．（2019年连云港中考第27题）问题情境：如图1，在正⽅形ABCD中，E为边BC上⼀点（不与点B、C重合），垂直于AE的⼀条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂⾜P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂⾜P在正⽅形ABCD的对⾓线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正⽅形ABCD 的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最⼩值．问题拓展：如图4，在边长为4的正⽅形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正⽅形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂⾜分别为G、H．若AG，请直接写出FH的长．【分析】问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN 为平⾏四边形，得出NF＝MB，证明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出△DHQ 是等腰直⾓三⾓形，HD＝HQ，AH＝QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直⾓三⾓形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出结论；（2）连接AC交BD于点O，则△APN的直⾓顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直⾓三⾓形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG ⊥CD 于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正⽅形的性质得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH ＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂⾜为K，即可得出结果；问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG＝AG，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE3，得出CE＝BC﹣BE＝1，证明△ABE∽△QCE，得出QE AE，AQ＝AE+QE，证明△AGM∽△ABE，得。

中考专题训练——四边形的综合1．四边形ABCD为平行四边形，点P为平面内一点（1）若AP＝BC，连AP、DP；①如图1，点P在边BC上，求证：PD平分∠APC；②如图2，过P作PD的垂线交DC的延长线于点F，FP交AB于点E，求证：DF＝2AE．（2）如图3，∠ABC＝60°，点P在对角线DB上，点M在边AD上，MP＝CD且∠AMP ＝∠ABD，AB＝5，BP＝3，直接写出平行四边形ABCD的面积．2．在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．（1）如图1，E在边AB上时，＝，∠GBM＝；（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请加以证明．（3）若BE＝2，则CO长为．3．平面直角坐标系中，菱形ABCD．（1）若点A坐标是（0，2），点B坐标（﹣2，0），求∠ABC及菱形边长：（2）在（1）的条件下，连接OD，过C点向OD作垂线，垂足为E，求CE；（3）如图3所示，∠ABO＝60°，在y轴负半轴上取一点P，使得∠BPO＝15°，延长BD至Q，使得DQ＝CD，连接AQ，若AP＝BQ＝a，求线段AQ的长（用含a的式子表示）．4．矩形ACBD对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上的一个动点（不与B，D 重合），∠AOB＝α，过P点作PF∥AC，交AB于F，连接AP．将AP绕P点逆时针旋转α得到EP，连接BE．（1）若点P在BD上，∠AOB＝50°①求证：AF＝BE；②求∠ABE＝．（2）若点P在OD上，求∠ABE（用α表示）；（3）若BC＝8，将A绕点P顺时针方向旋转（180°﹣α）得到EP，连接DE，当DP＝3OP时，DE＝．5．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN．（1）如图1，求证：E，N、C三点在同一直线上；（2）如图1，若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．（3）如图2，已知点P、Q、T分别是CM、CN、MN上的动点，若AN＝3，BM＝1，试直接写出PT+QT的最小值．6．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动（点P不与△ABC的顶点重合）．点P 关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ．设▱PDEQ与△ABC．重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（s）（1）当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．（1）求证：△ADC≌△ABE；（2）求证：AC2＝DC2+BC2；（3）若AB＝2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ2＝BQ2+DQ2，求点Q运动路径的长度．10．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[，]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：或：：2）11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，m）两点，且线段AB＝2，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．13．如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点P是对角线BD上的一个动点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交射线BC于点Q，（1）当AP⊥BD时，求△ABQ的面积（用含a、b的代数式表示）；（2）若点M为AD边的中点，连接MP交射线BC于点N，证明：点N也为线段BQ的中点；（3）如图，当为何值时，△ADP与△BPQ的面积之和最小．14．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证F A平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连接DG，点N为DG的中点，连接EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．15．【操作】如图①，在矩形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与点A重合）．将△ADE 沿射线AB方向平移到△BCF的位置，E的对应点为点F，易知△ADE≌△BCF（不需要证明）【探究】过图①的点E作BG∥BC交FB延长线于点G，连接AG，其它条件不变，如图②．求证：△EGA≌△BCF【拓展】将图②中的△BCF沿BC翻折得到△BCF′，连接GF′，其它条件不变，如图③当GF′最短时，若AB＝4，BC＝2，直接写出FF′的长和此时四边形BFCF′的周长．16．如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝（s）．②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．17．如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC＝a，CD＝b（a＞b）．（1）当B、C、D共线时，BA、DE交于点M，①判断四边形ACEM的形状，并说明理由．②a、b为方程x2﹣（m﹣1）x+m2﹣2m﹣8＝0的两根，F为AE的中点，求CF的长．（2）将△CDE绕点C旋转（如图3所示），点E在△ABC内部，连接AE，∠BEC＝105°，若＝n，直接写出n的最小值．18．如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠DCB，且AD＝AB，CD＜CB （1）求证：∠B+∠D＝180°；（2）如图2，在AC上取一点E，使得BE∥CD，且BE＝CE，点F在线段BC上，连接AF，且AB＝AF，求证：AE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE与AF交于点G，BF：AB＝2：7，求tan∠BGF 的值．19．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AC平分∠BAD，∠ACD＝30°（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形；（2）如图2，点E在边BA的延长线上，在边BC上取一点F，连接EC、EF且EC＝EF，求证：BF＝AE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AF，取AF的中点G，连接BG并延长交线段EC 于M，交线段AD于R，过点A作AN∥EC交线段BR于N，若GN＝2，EM＝5，求CM 的长．20．阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接P A、PB、PC，若PC＝2，P A＝4，∠APC＝135°，求PB的长．小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△P AC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为．【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC＝1，P A＝2，PB＝，求∠APB的大小．【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB＝120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的长．21．问题发现：（1）如图①，四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，CB＝CD，对角线AC的长为6，则四边形ABCD的面积为．问题探究：（2）如图②，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD＝BE，连接AD、AE．求AD+AE的最小值；问题解决：（3）某校准备组织八年级同学开展一次去大明宫遗址公园的考古研学活动．小凯和小鹏在去之前先做了一个模拟“藏宝图”的游戏，为了使宝物隐藏得更神秘，小凯利用学过的数学知识，设计了如下方案，让小鹏破解．如图③，点B在点A的正东方向12m处，点P和Q都为平面内的动点，且满足P A＝8m，PB＝BQ，∠PBQ＝90°，当线段AQ长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你帮助小鹏破解，藏宝地在点A的什么方向？距离点A多远？22．已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（18，6），将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合．（1）求点E的坐标；（2）点P从O出发，沿折线O﹣A﹣E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P A＝PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使得以点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q的坐标．24．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．（1）如图①，证明：BE＝BF．（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA 之间的数量关系，并对结论给予证明．参考答案与试题解析1．四边形ABCD为平行四边形，点P为平面内一点（1）若AP＝BC，连AP、DP；①如图1，点P在边BC上，求证：PD平分∠APC；②如图2，过P作PD的垂线交DC的延长线于点F，FP交AB于点E，求证：DF＝2AE．（2）如图3，∠ABC＝60°，点P在对角线DB上，点M在边AD上，MP＝CD且∠AMP ＝∠ABD，AB＝5，BP＝3，直接写出平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）①如图1中，由AP＝AD，推出∠ADP＝∠APD，再证明∠ADP＝∠DPC 即可解决问题．②如图2中，取DF的中点M，连接MA、MP．想办法证明四边形AEFM是平行四边形即可解决问题．（2）在BD上取点K，使AB＝AK，作DF⊥BA交BA的延长线于F．证明△ADK≌△PDM （AAS），推出DP＝DA，设DP＝DA＝x，则AF＝AD＝x．DF＝AF＝x，在Rt△BDF中，根据BD2＝BF2+DF2，构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴PD平分∠APC．②如图2中，取DF的中点M，连接MA、MP．∵PD⊥PF，∴∠DPF＝90°，∴PM＝DM＝MF，∵AP＝AD，∴AM为线段PD的垂直平分线，∴AM∥EF，∵EF⊥PD，∵AE∥FM，∴四边形AEFM为平行四边形，∴AE＝MF，∴DF＝2AE．（3）在BD上取点K，使AB＝AK，作DF⊥BA交BA的延长线于F．∵AB＝AK，∵∠AMP＝∠ABD，∴∠AMP＝∠AKB，∴∠DMP＝∠DKA，∵∠ADK＝∠PDM，PM＝CD＝AB＝AK，∴△ADK≌△PDM（AAS），∴DP＝DA，设DP＝DA＝x，∵AD∥BC，∴∠F AD＝∠ABC＝60°，∴AF＝AD＝x．DF＝AF＝x，在Rt△BDF中，∵BD2＝BF2+DF2，∴（3+x）2＝（5+x）2+（x）2，解得x＝16，∴S平行四边形ABCD＝AB•DF＝5××16＝．2．在正方形ABCD中，AB＝6，E为直线AB上一点，EF⊥AB交对角线AC于F，点G为AF中点，连接CE，点M为CE中点，连接BM并延长交直线AC于点O．（1）如图1，E在边AB上时，＝，∠GBM＝45°；（2）将（1）中△AEF绕A逆时针旋转任意一锐角，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请加以证明．（3）若BE＝2，则CO长为或3．【分析】（1）连接EG、GM．想办法证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．（2）成立．延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．利用全等三角形的性质证明△GBM是等腰直角三角形即可解决问题．（3）分两种情形①点E在线段AB上．②点E在AB的延长线上，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）连接EG、GM．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠EF A＝45°，∵AG＝GF，∴EG⊥AF，∴∠EGC＝90°∵EM＝MC，∴GM＝BM＝CE，∴∠MCG＝∠MGC，∠MBC＝∠MCB，∴∠BMG＝∠BME+∠GME＝2∠BMC+2∠GCM＝2∠ACB＝90°．故△GMB为等腰直角三角形．∴＝．故答案为，45°．（2）成立．理由：延长GM到H，使得MH＝GM，连接BH，HC，延长HC交AF的延长线于I，设AI交CD于J．∵EM＝MC，GM＝MH，∠EMG＝∠HMC，∴△EMG≌△CMH（SAS），∴EG＝CH，∠EGM＝∠MHC，∴EC∥CH，∴∠AGE＝∠AIH＝90°，∵AG＝EG，∴AG＝CH，∵∠D＝∠I＝90°，∠AJD＝∠CJI，∴∠ICD＝∠IAD，∵∠BAG+∠IAD＝90°，∠BCH+∠ICF＝90°∴∠BCH＝∠BAG，∵BA＝BC∴△BAG≌△BCH（SAS），∴BG＝DH，∠ABG＝∠CBH，∴∠∠GBH＝∠ABC＝90°故△GBH是等腰直角三角形，∴＝，∠GBM＝45°．（3）当E在B上方时，如图3﹣1中，延长BO交CD于T．∴BE∥CT，∴∠MEB＝∠MCT，∵∠EMB＝∠CMT，EM＝CM，∴△EMB≌△CMT（ASA），∴BE＝CT＝2，∵CT∥AB，∴＝＝，∵AC＝6，∴OC＝×6∴CO＝当E在B下方时同法可得CO＝．综上所述，OC的长为或3．故答案为或3．3．平面直角坐标系中，菱形ABCD．（1）若点A坐标是（0，2），点B坐标（﹣2，0），求∠ABC及菱形边长：（2）在（1）的条件下，连接OD，过C点向OD作垂线，垂足为E，求CE；（3）如图3所示，∠ABO＝60°，在y轴负半轴上取一点P，使得∠BPO＝15°，延长BD至Q，使得DQ＝CD，连接AQ，若AP＝BQ＝a，求线段AQ的长（用含a的式子表示）．【分析】（1）在Rt△AOB中，解直角三角形求出AB，∠ABO即可．（2）根据S△ODC＝•OD•CE＝•OC•OA求解即可．（3）设菱形ABCD的边长为2x，过Q点作QM⊥AD交AD的延长线于M，过DN⊥x轴于N，根据AP＝BQ＝a，构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABC＝60°，∴∠OAB＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2OB＝4，∴菱形的边长为4．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD＝CD＝BC＝4，∴C（2，0），D（4，2），∴OD＝＝2，∵CE⊥OD，∴S△ODC＝•OD•CE＝•OC•OA，∴EC＝＝．（3）设菱形ABCD的边长为2x，过Q点作QM⊥AD交AD的延长线于M，过DN⊥x 轴于N，在△QDM中，∠QDM＝30°，DQ＝2x，∴QM＝DQ＝x，DM＝x，AM＝2x+x＝（2+）x，又QM⊥AM，利用勾股定理可求AQ＝（+）x，BD＝2x，∵AP＝BQ＝a，∴2x+2x＝a，得x＝，继而得AQ＝（+）x＝a．4．矩形ACBD对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上的一个动点（不与B，D 重合），∠AOB＝α，过P点作PF∥AC，交AB于F，连接AP．将AP绕P点逆时针旋转α得到EP，连接BE．（1）若点P在BD上，∠AOB＝50°①求证：AF＝BE；②求∠ABE＝50°．（2）若点P在OD上，求∠ABE（用α表示）；（3）若BC＝8，将A绕点P顺时针方向旋转（180°﹣α）得到EP，连接DE，当DP＝3OP时，DE＝2或4．【分析】（1）①证明△APF≌△EPB（SAS）可得结论．②利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可．（2）如图2中，证明△FP A≌△BPE（SAS），推出∠F AP＝∠PEB，由∠F AP+∠P AB＝180°，推出∠P AB+∠PEB＝180°，推出∠ABE+∠APE＝180°可得结论．（3）分两种情形：如图3中，当点P在OD上时，如图3所示，过点P作PF∥OA，交AD于点F，如图4所示，当点P在OB上时，过点P作PF∥OA，交DA的延长线于点F，分别求解即可解决问题．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵PF∥OA，∴＝，∠FPB＝∠AOB＝α，∴PF＝PB，∠EPB＝∠FPB﹣∠FPE＝α﹣∠FPE，∵AP＝EP，∠APE＝α，∴∠APF＝α﹣∠FPE，∴∠APF＝∠EPB，∴△APF≌△EPB（SAS），∴AF＝BE．②∵△APF≌△EPB，∴∠AFP＝∠EBP，∵∠AFP＝∠FPB+∠OBA，∠EBP＝∠ABE+∠OBA，∴∠ABE＝∠FPB，∴∠ABE＝α＝50°．故答案为50°．（2）如图2中，∵P A＝PE，∠APE＝α，同法可证PF＝PB，∠FPB＝α，∴∠FPB＝∠APE，∴∠FP A＝∠BPE，∴△FP A≌△BPE（SAS），∴∠F AP＝∠PEB，∵∠F AP+∠P AB＝180°，∴∠P AB+∠PEB＝180°，∴∠ABE+∠APE＝180°，∴∠ABE＝180°﹣α．（3）如图3中，当点P在OD上时，如图3所示，过点P作PF∥OA，交AD于点F，∵DP＝3OP，即OD＝4OP，∴＝＝＝，∴AF＝AD＝BC＝2．类比（1）①得：△APF≌△EPD，∴DE＝AF＝2．如图4所示，当点P在OB上时，过点P作PF∥OA，交DA的延长线于点F，∵DP＝3OP，即OD＝2OP，∴＝＝＝，∴AF＝AD＝BC＝4．类比（1）①得：△APF≌△EPD，∴DE＝AF＝4．综上所述，DE的长为2或4．故答案为2或4．5．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN．（1）如图1，求证：E，N、C三点在同一直线上；（2）如图1，若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．（3）如图2，已知点P、Q、T分别是CM、CN、MN上的动点，若AN＝3，BM＝1，试直接写出PT+QT的最小值2．【分析】（1）证明∠ENM+∠CNM＝∠DNM+∠ANM＝180°，可得结论．（2）如图1中，首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC＝3ND＝3HC，然后设DN＝x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案，（3）如图2中，由（1）得出△CMN是等腰三角形，而TQ+TA最小就是点T到等腰三角形的两腰的距离之和最小就是等腰三角形腰上的高．【解答】（1）证明：如图1中，由折叠的性质可得：∠ENM＝∠DNM，即∠ENM＝∠ENA+∠ANM，∠DNM＝∠DNC+∠CNM，∵∠ENA＝∠DNC，∴∠ANM＝∠CNM，∴∠ENM+∠CNM＝∠DNM+∠ANM＝180°，∴E，N、C三点在同一直线上．（2）解：如图1中，过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴＝＝＝3，∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC，设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC＝＝2x，∴HN＝2x，在Rt△MNH中，MN＝＝2x，∴＝＝2．（3）如图2中，∵CM＝CN∴△CMN是等腰三角形，要使PT+QT的最小值，也就是等腰三角形的底边上一点到两腰上距离之和最短，即：TQ⊥CN，TP⊥CM，而等腰三角形的底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高，过点N作NH⊥BC，∴PT+QT的最小值就是NH＝AB，由折叠得，AM＝CM＝AN＝3，∴BM＝AN＝1在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AB＝＝2．∴NH＝2，即：PT+QT的最小值为2．故答案为2．6．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH （SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【解答】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝＝，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝，∴AD＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动（点P不与△ABC的顶点重合）．点P 关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ．设▱PDEQ与△ABC．重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（s）（1）当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．【分析】（1）由题意，可先写出AP的长，再写出CP的长，由对称的性质即可写出PD 的长；（2）①如图2﹣1，当点E落在BC边上时，过点Q作QH⊥AD于H，证明CE＝HQ＝AP＝CD，即可列出关于t方程，求出t的值；②如图2﹣2，当点E落在AC边上时，过点Q作QG⊥BC于G，证明CE＝GQ＝BP＝CD，即可列出关于t的方程，求出t的值即可；（3）如图3﹣1，当0＜t≤时，求出梯形PQMC的面积即可；如图3﹣2，当≤t≤2时，求出梯形PQCN的面积即可．【解答】解：（1）由题意，得AP＝2t，CP＝2﹣2t，∴PD＝2CP＝4﹣4t；（2）①如图2﹣1，当点E落在BC边上时，过点Q作QH⊥AD于H，由题意知，△AQP和△CED为等腰直角三角形，∴CE＝HQ＝AP，CE＝CD，∵HQ＝AP＝t，CD＝PC＝2﹣2t，∴t＝2﹣2t，∴t＝；②如图2﹣2，当点E落在AC边上时，过点Q作QG⊥BC于G，由题意知，△BQP和△CED为等腰直角三角形，∴CE＝GQ＝BP，CE＝CD，∵GQ＝BP＝（4﹣2t）＝2﹣t，CD＝PC＝2t﹣2，∴2﹣t＝2t﹣2，∴t＝，综上所述，点E落在△ABC的直角边上时，t的值为或；（3）如图3﹣1，当0＜t≤时，S＝S梯形PQMC＝t（2﹣2t+2﹣t）＝﹣t2+2t；如图3﹣2，当≤t≤2时，S＝S梯形PQNC＝（2﹣t）（2t﹣2+t）＝﹣t2+4t﹣2，综上所述，S＝．8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°（1）如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；②若AB＝，BE＝，求AE的长；（2）如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF．若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积．【分析】（1）①证△ADC和△ABC是等边三角形，再证△BAP≌△CAE，推出∠ACE＝30°，由∠ACE+∠CAD＝90°即可证明结论；②如图1，设AC与BD交于点O，证∠BCE＝90°，由勾股定理求出CE，BP的长，由锐角三角函数等分别求出OA，OP的长，由勾股定理即可求出AP的长，即AE的长；（2）如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，证∠HAF＝∠BAD＝60°，再证△DEF为等边三角形，即可求出HF，AH的长，进一步求出△AEF的面积，证△ADF≌△AEF即可．【解答】（1）①证明：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，又∵△APE是等边三角形，∴AE＝AP，∠EAP＝60°，∴∠BAC+∠CAP＝∠P AE+∠CAP，即∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，∵∠CAD＝60°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∴CE⊥AD；②解：如图1，设AC与BD交于点O，由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，∴CE＝＝4，由①知，△BAP≌△CAE，∴BP＝CE＝4，在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt△AOP中，AP＝＝＝，∴AE＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，∵点D关于AP的对称点为E，∴AP垂直平分DE，∴AD＝AE，FD＝FE，∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DF A＝∠EF A＝∠DFE，又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴AB＝AE，∴AH垂直平分BE，∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠HAF＝60°，∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，∴∠DFE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE＝5，∴HF＝HE+EF＝+5＝，在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，∴AH＝HF＝，∴S△AEF＝EF•AH＝×5×＝，∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴△ADF的面积为．9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．（1）求证：△ADC≌△ABE；（2）求证：AC2＝DC2+BC2；（3）若AB＝2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ2＝BQ2+DQ2，求点Q运动路径的长度．【分析】（1）推出∠DAC＝∠BAE，则可直接由SAS证明△ADC≌△ABE；（2）证明△BCE是直角三角形，再证DC＝BE，AC＝CE即可推出结论；（3）如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，证△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理证∠FBQ＝90°，求出∠DQB＝150°，确定点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，求出的长即可．【解答】（1）证明：∵∠CAE＝∠DAB＝60°，∴∠CAE﹣∠CAB＝∠DAB﹣∠CAB，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）证明：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC＝360°﹣∠DAB﹣∠DCB＝270°，∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC＝∠ABE，CD＝BE，∴∠ABC+ABE＝∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠CBE＝360°﹣（∠ABC+ABE）＝90°，∴CE2＝BE2+BC2，又∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE＝AC＝AE，∴AC2＝DC2+BC2；（3）解：如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，则∠DAQ＝∠BAF，AQ＝QF，△AQF为等边三角形，又∵AD＝AB，∴△ADQ≌△ABF（SAS），∴AQ＝FQ，BF＝DQ，∵AQ2＝BQ2+DQ2，∴FQ2＝BQ2+BF2，∴∠FBQ＝90°，∴∠AFB+∠AQB＝360°﹣（∠QAF+∠FBQ）＝210°，∴∠AQD+∠AQB＝210°，∴∠DQB＝360°﹣（∠AQD+∠AQB）＝150°，∴点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，如图2，设圆心为O，则∠BOD＝2∠DCB＝60°，连接DB，则△ODB与△ADB为等边三角形，∴DO＝DB＝AB＝2，∴点Q运动的路径长为：＝π．10．【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC＝8，BC＝6，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC 的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，8]；【尝试】（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[45°，16]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；【应用】经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l 与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．（备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：或：：2）【分析】【尝试】（1）如图1所示，若点D恰为AO的中点，证明Rt△OCP≌Rt△ODP，进而得到OD＝OC＝AD＝8，a＝16，可得结论；则θ＝30°；（2）如图2所示，若点D恰为AB的中点，作辅助线，证明△BDM≌△ADN（ASA），得DM＝DN，根据线段垂直平分线的性质可得OM＝ON，根据等腰三角形的性质可得∠MOD＝∠NOD，所以∠MOD＝∠MOC＝θ，可得结论；【应用】①如图3，作辅助线，根据点B与点E关于直线l对称，知∠OF A＝∠OFB＝90°，证明四边形BCOH是平行四边形，得BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，可得OA的值，即a的值；②作辅助线，如图4，则有∠QAO＝∠F AO＝45°，QA＝F A，从而可得∠QAF＝90°．然后根据勾股定理可求出AB、AF、AQ、OF、OB、BF，由折叠可求出EF，从而可求出AE长，在Rt△QAE中，运用勾股定理可求出EQ2长，然后根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF＝PE+PQ最短，最小值为线段EQ长，问题得以解决．【解答】解：（1）点D与OA的中点重合，如图1，由折叠得：∠COP＝∠DOP＝45°，∠C＝∠ODP＝90°，∴CP＝PD，∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），∴OC＝OD＝8，∵D为OA的中点，∴OA＝a＝16，则这个操作过程为FZ[45°，16]；故答案为：45°，16；（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．∵∠AOC＝∠BCO＝90°，∴∠AOC+∠BCO＝180°，∴BC∥OA，∴∠B＝∠DAN．在△BDM和△ADN中，，∴△BDM≌△ADN（ASA），∴DM＝DN．∵∠ODM＝∠OCM＝90°，∴根据线段垂直平分线的性质可得OM＝ON，∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD＝∠NOD．由折叠可得∠MOD＝∠MOC＝θ，∴∠COA＝3θ＝90°，∴θ＝30°；【应用】①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．∵∠COA＝90°，∠COF＝45°，∴∠FOA＝45°．∵点B与点E关于直线l对称，∴∠OF A＝∠OFB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠HBA＝90°﹣45°＝45°＝∠HAB，∴BH＝AH．∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，∴BH＝CO＝8，OH＝CB＝6，∴OA＝OH+AH＝OH+BH＝6+8＝14．∴a的值为14．②过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，OB，如图4，则有∠QAO＝∠F AO＝45°，QA＝F A，∴∠QAF＝90°．在Rt△BHA中，AB＝＝8．在Rt△OF A中，∠AFO＝90°，∠AOF＝∠OAF＝45°∴AF＝OF＝＝7，∴AQ＝AF＝7．在Rt△OCB中，OB＝＝＝10．在Rt△OFB中，BF＝AB﹣AF＝8﹣7＝．由折叠可得EF＝BF＝，∴AE＝AF﹣EF＝7﹣＝6．在Rt△QAE中，EQ2＝AE2+AQ2＝（6）2+（7）2＝170．根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF＝PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．∴PE+PF的最小值的是．11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【分析】（1）结论：DE＝DG．如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF＝CM，GM＝GE，再证明△DCM≌△DAE（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．证明方法类似．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当E，F，C共线时．②如图3﹣2中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．【解答】解：（1）结论：DE＝DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt△ADC中，AC＝＝＝5，在Rt△AEC中，EC＝＝＝7，∴CF＝CE﹣EF＝6，∴CG＝CF＝3，∵∠DGC＝90°，∴DG＝＝＝4．∴DE＝DG＝4．②如图3﹣2中，当E，F，C共线时，同法可得DE＝3．综上所述，DE的长为4或3．12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（0，m）两点，且线段AB＝2，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在坐标平面内有一点P（a，3），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值．【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与AB的长，利用勾股定理求出OB的长即可；（2）存在，以AB为腰，有两种情况：分别以A、B为顶点作等腰三角形的顶角，根据AB＝2，结合图形可得Q的坐标；（3）作辅助线，构建高线PG，分两种情况：P在y轴的左侧和右侧，根据三角函数可得PH的长，从而得a的值．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵AB＝2，由勾股定理得：OB＝＝4，∴B（0，4）；（2）分两种情况：①以AB为腰，∠BAQ为顶角时，如图1，AB＝AQ＝2，∴Q1（﹣2﹣2，0），Q2（2﹣2，0），②以AB为腰，∠ABQ为顶角时，如图1，A与Q3关于y轴对称，∴Q3（2，0）；综上，点Q的坐标是（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（2，0），（3）分两种情况：①当P在y轴的右边时，如图2，作直线l：y＝3，直线l交AB于H，交y轴于E，∵P（a，3），∴点P在直线l上，过P作PG⊥AB于G，∵S△ABP＝S正方形ABCD，∴•AB•PG＝AB2，PG＝2AB＝4，∵l∥x轴，∴∠PHG＝∠OAB，∴sin∠PHG＝sin∠OAB，即，∴，PH＝10，∵EH∥OA，∴，即，∴EH＝，∴PE＝10﹣0.5＝9.5，∴P（9.5，3）即a＝9.5；②当点P在y轴的左侧时，如图3，同理可得PH＝10，∴P（﹣10.5，3），∴a＝﹣10.5，综上，a的值是9.5或﹣10.5．13．如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点P是对角线BD上的一个动点（点P不与B、D重合），连接AP并延长交射线BC于点Q，（1）当AP⊥BD时，求△ABQ的面积（用含a、b的代数式表示）；（2）若点M为AD边的中点，连接MP交射线BC于点N，证明：点N也为线段BQ的中点；（3）如图，当为何值时，△ADP与△BPQ的面积之和最小．【分析】（1）利用相似三角形的性质求出BQ即可解决问题．（2）证明△AMP∽△QNP，△DMP∽△BNP推出，可得，因为点M是AD的中点，所以AM＝DM．（3）如图②，过点P作EF⊥AD交AD、BC于E、F．构建一元二次方程，利用根的判别式解决最值问题即可．【解答】（1）解：如图①：。