选修1-1第三章导数及其应用A卷@停课不停学中学精品

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第三章 导数及其应用 单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定 2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( )A ．4B ．－4C ．1D ．－1 3．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,0)D ．(－1,0) 4．函数f (x )＝x －ln x 的递增区间为( ) A ．(－∞，1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 5.若函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－2xB ．f (x )＝x 2＋2xC ．f (x )＝13x 3＋x2 D ．f (x )＝x 3－x 2 6．(2015·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 7．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m <1 C ．m ≤0 D ．m ≤1 8．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20B ．9C ．－2D ．2 9．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π3]B ．[π3，π2)C ．(π2，2π3]D ．[π3，π) 10．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x11.(2015·安徽文)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b <0，c >0，d >0B ．a >0，b <0，c <0，d >0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <012．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．f (x )＝ax 3－2x 2－3，若f ′(1)＝5，则a 等于__________.14．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为__________________.15．函数y ＝f (x )＝ln x －x 在区间(0，e ]上的最大值为__________.16．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是__________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本题满分10分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30.求g (4)． 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 19．(本题满分12分)(2015·重庆文)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．20．(本题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a 、b 的值．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在点x ＝3处的切线与直线24x －y ＋1＝0平行，函数f (x )在x ＝1处取得极值，求函数f (x )的解析式，并确定函数的单调递减区间；(2)若a ＝1，且函数f (x )在[－1,1]上是减函数，求b 的取值范围．22．(本题满分12分)(2015·通化模拟)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )． (1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？第三章 导数及其应用 单元测试卷（A ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．[答案] A[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.2．[答案] B[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1，由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4.3．[答案] C[解析] 设P (x 0，y 0)，f ′(x )＝4x 3－1，由题意得f ′(x 0)＝3，∴4x 30－1＝3，∴x 0＝1.∴y 0＝x 40－x 0＝0，故选C ．4．[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ，令f ′(x )>0，即1－1x >0， ∴1x <1，∴x >1，故选C ． 5. [答案] C [解析] 由题可知f ′(x )为二次函数，故排除A ，B ，且f ′(x )的两根分别为－2,0，又f (x )＝13x 3＋x 2的导数为f ′(x )＝x 2＋2x 的两根为－2,0，故选C ． 6． [答案] D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 7． [答案] C [解析] f ′(x )＝3mx 2－1，由题意知3mx 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m ＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立； 当m ≠0时，由题意得m <0， 综上可知m ≤0. 8． [答案] C [解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C ． 9． [答案] B[解析] 由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2，选B ．10．[答案] B[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B ．11.[答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由y ＝f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增知a >0.x 1>0，x 2>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0x 1·x 2＝c3a >0，所以⎩⎨⎧ b <0c >0，又因为f (0)＝d >0，所以本题应选A ．12．[答案] B[解析] 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)． ∵f (－1)＝7，f (－2)＝0， f (2)＝－20. ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20， 故m ≤－20，综上可知应选B ． 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13． [答案] 3 [解析] ∵f ′(x )＝3ax 2－4x ， ∴f ′(1)＝3a －4＝5，∴a ＝3. 14． [答案] c <14 [解析] ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0. 解得c <14. 15． [答案] －1 [解析] f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，即x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：e1由于f max 16．[答案] a <－1[解析] ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0.由e x ＋a ＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点．∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1.∴a <－1.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] 由f (2x ＋1)＝4g (x )，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d ， ②由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c ，∴a ＝c ，③ 由f (5)＝30，得25＋5a ＋b ＝30.④由①③可得a ＝c ＝2，由④得b ＝－5，再由②得d ＝－12，∴g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472. 18． [解析] (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3， ∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)． ∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增． 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7. 19． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2x . ∵f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0. ∴3a ×169＋2×(－43)＝0 解得a ＝12，经检验a ＝12时，x ＝－43是f (x )的极大值点． (2)g (x )＝(12x 3＋x 2)·e x g ′(x )＝(32x 2＋2x )·e x ＋(12x 3＋x 2)e x . ＝e x (12x 3＋52x 2＋2x )＝e x ·x ·12(x ＋1)(x ＋4)．令g ′(x )>0，即x (x ＋1)(x ＋4)>0解之得x ∈(－4，－1)∪(0，＋∞)．令g ′(x )<0，解之得x ∈(－∞，－4)∪(－1,0)∴g (x )在(－4，－1)和(0，＋∞)递增，在(－∞，－4)和(－1,0)递减．20．[解析] (1)由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a 时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2，由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1，所以a ＝2，b ＝－1.[点评] 本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第(1)问也可用导数研究其单调性再求最小值．21．[解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )，∴f ′(x )＝3ax 2＋b .由题意得f ′(3)＝27a ＋b ＝24，且f ′(1)＝3a ＋b ＝0， 解得a ＝1，b ＝－3. 经检验成立． ∴f (x )＝x 3－3x . 令f ′(x )＝3x 2－3<0， 得－1<x <1， ∴函数f (x )的减区间为(－1,1)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋bx (x ∈R )， 又∵f (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋b ≤0在区间[－1,1]上恒成立， 即b ≤－3x 2在区间[－1,1]上恒成立， ∴b ≤(－3x 2)min ＝－3. 22． [解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N ＋，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N ＋，且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， ∵x >0，∴P ′(x )＝0时，x ＝12， ∴当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0， ∴x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N ＋. MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．。

第三章《导数及其应用》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x gx -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．329．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<<（C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<<（D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿． 13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程. 18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。

3.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f'(x 0)>0B.f'(x 0)<0C.f'(x )=0D.f'(x 0)不存在2.已知曲线y =12x2−2上一点P (1,-32),则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°y =1x2−2,∴y'=limΔx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx =limΔx →012(Δx )2+x ·ΔxΔx=lim Δx →0(x +12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴点P (1,-32)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 3.曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2x=1=lim Δx →0(1+Δx )3-2(1+Δx )+1-(13-2×1+1)Δx=1,因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 4.若曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B .12C.−12D.−1y'=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.又直线2x-y-6=0不过(1,1)点,∴a=1即为所求.5.函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3).由图可知f'(3)<f'(2).作出过A(2,f(2))与B(3,f(3))两点的直线,斜率k AB=f(3)-f(2)3-2=f(3)−f(2).设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2<k AB<k1.6.曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程为.Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴y'|x=2=limΔx→0(2+Δx)=2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.x-y-2=07.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f′(1)=.M处的切线方程y=12x+2,得f(1)=12×1+2=52,f′(1)=12,则f(1)+f'(1)=52+12=3.8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.y=x2-1,得y′|x=x0=2x0,由y=1-x3,得y′|x=x0=−3x02.由题意得2x0=-3x02,即3x02+2x0=0.解得x0=0或x0=−23.或−239.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为y′|x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=2x0.直线2x-6y+5=0的斜率为1,由题设知2x0·1=−1,解得x0=−3,此时y0=94,故点P的坐标为(-32,94).10.若函数f(x)=x−1,求它与x轴交点处的切线的方程.f(x)=x−1=0,得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f'(x)=limΔx→0(x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx=limΔx→0[1+1x(x+Δx)]=1+1x2,∴切线的斜率k=1+1=2.∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.能力提升1.设f(x)为可导函数且满足lim-2x→0f(1)-f(1-2x)2x=−1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2lim →0f(1)-f(1-2x)=lim-2x→0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x→0f[1+(-2x)]-f(1)-2x=f′(1)=−1.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)·Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1.因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设点P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1切点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1.∴y=x2+ax+1.∵y'=limΔx→0(x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1=limΔx→02x·Δx+(Δx)2+aΔx=limΔx→0(2x+Δx+a)=2x+a,∴y'|x=0=a=1.4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π4,π2 ],则点P的横坐标的取值范围为()A.(-∞,12]B.[−1,0]C.[0,1]D.[-12,+∞)5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.★6.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值.l与曲线C相切于点P(x0,y0),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由题意可知k=4,即3x02−4x0=4,解得x0=−23或x0=2.因此切点坐标为(-23,4927)或(2,3),当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5.故切点为(-23,4927),a=12127或切点为(2,3),a=-5.★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.ΔyΔx=(x+Δx)2+1-(x2+1)Δx=2x+Δx,得y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),y0=x02+1,所以a-(x02+1)=2x0(1−x0),即x02−2x0+a−1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).。

本章测评(时间90分钟 满分100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据导数的定义，f ′(x 1)等于( ) A.lim x →x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－xB ．lim Δx →0 f (x 1)－f (x 0)ΔxC.lim Δx →f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx D ．lim x 1→0f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx2函数y ＝x 3在(1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x C ．y ＝3x －2 D ．y ＝4x －33f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数4设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )＞x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )＞0B ．f (x )＜0C ．f (x )＞xD ．f (x )＜x5下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 …( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝x e x C ．y ＝x 3－x D ．y ＝－x ＋ln x6函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7函数f (x )＝12x 4－2x 3＋12图象上点(1，－1)处的切线方程为( )A ．4x ＋y －3＝0B ．4x －y ＋3＝0C ．4x ＋y ＋3＝0D ．x －4y －3＝08在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．09已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图，则下列四个图中，y ＝f (x )的图象大致为…( )10已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A ．f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B ．f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C ．f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D ．f ′(x )＜0，g ′(x )＜0二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11函数y ＝2－3x 21＋2x在x ＝1处的导数为________．12某物体的运动方程为s ＝13t 3－t 2＋14t ＋15(0＜t ≤7)，则它的瞬时速度的最大值和最小值分别为________．13曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形面积为________．14若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________.15设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，则常数a ＝________，b ＝________.三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)设函数f (x )＝13x 3－x 2－3x －3，点P 为曲线y ＝f (x )上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程．17(10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a ，b ，c 的值，并求出相应的极值．18(10分)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )．x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调．．．，求a 的取值范围． 19(11分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．参考答案1答案：C2解析：∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.因此，切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 答案：C3解析：令h (x )＝f (x )－g (x )，若h (x )为常数函数，则h ′(x )＝0，即f ′(x )＝g ′(x )． 答案：B4解析：特殊值法：由于2f (x )＋xf ′(x )＞x 2成立，取特殊值x ＝0，则有2f (x )＞0，即f (x )＞0.答案：A5解析：由y ＝x e x 得y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )＞0. 答案：B6解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，f ′(－3)＝0得a ＝5，验证知，a ＝5符合题意． 答案：D7解析：令y ＝f (x )，则y ′|x ＝1＝－4.∴切线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 答案：A8解析：y ′＝3x 2－8，令y ′＜1，则x 2＜3，－3＜x ＜ 3.又x ∈Z ，故x ＝－1、0、1，选A.答案：A9解析：由y ＝xf ′(x )图象可知，x ＞1，y ＞0，则f ′(x )＞0，则在(1，＋∞)内f (x )为增函数．答案：C10解析：由f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数． 又由x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0知， 当x ＞0时，f ′(x )和g (x )均单调递增． 从而当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减． ∴x ＜0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B11解析：y ′＝－6x 2－6x －4(1＋2x )2，∴y ′|x ＝1＝－169. 答案：－16912解析：∵v ＝s ′＝t 2－2t ＋14＝(t －1)2＋13，∴当t ＝1时，速度v 取得最小值13，当t ＝7时，速度v 取得最大值49.答案：49和1313解析：y ′＝e x ，y ′|x ＝2＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×|－e 2|×1＝e 22.答案：e 2214解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2， 则f ′(2)＝4－4f ′(1)＋2＝6－4f ′(1)， 而f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2＝3－2f ′(1)， ∴f ′(1)＝1.∴f ′(2)＝2. 答案：215解析：f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：由b －(1－32a ＋b )＝32a －1＞0知，b ＞1－32a ＋b ，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值b ，则b ＝1.∴－1－32a ＋b ＝－32a ∈(－32，－1)，b －12a 3＝1－12a 3∈(12，2327)．∴当x ＝－1时，f (x )取得最小值－32a ，则－32a ＝－62，即a ＝63.答案：63 1 16分析：f ′(x )的最小值即切线的斜率最小值，求出切点，由点斜式写出方程． 解：设切线的斜率为k ，则k ＝f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.当x ＝1时，k 有最小值－4.又f (1)＝－203，∴切线方程为：y ＋203＝－4(x －1)，即12x ＋3y ＋8＝0.17分析：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，及f (1)＝－1可求出a 、b 、c 的值．再应用导数求极值．解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，则－1,1是方程f ′(x )＝0的根，即有⎩⎨⎧－1＋1＝－2b3a －1＝c 3a⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－3a . 又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，由上述三个方程可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－32.此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .所以f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗由上表可以看出，当x ＝－1时，函数f (x )有极大值，且f (－1)＝－12＋32＝1；当x ＝1时，函数f (x )有极小值，且f (1)＝12－32＝－1.18分析：第(1)问考查函数f (x )在x ＝x 0处切线斜率为f ′(x 0)．第(2)问问法新颖，与常规题反其道而行．其实等价于f ′(x )在(－1,1)内有根而转化为二次函数根的分布问题．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3，则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜1，a ≠－a ＋23，或⎩⎨⎧－1＜－a ＋23＜1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜a ＜1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5＜a ＜1，a ≠－12. 所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．19分析：第(1)问先求导，再利用二次函数恒成立问题求解；第(2)问利用三次函数的导数、极值点求解．解：(1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)， 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)＞0或f (1)＜0时，方程f (x )＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.。

§3.4 生活中的优化问题举例填一填1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数是求函数最值问题的有力工具．2．解决优化问题的基本思路是：判一判1.就是最值点．(√)解析：符合最值取得的条件，故正确．2．面积为S 的所有矩形中，其周长最小时的边长是S .(√)解析：设矩形的长为x ，则宽为Sx ，周长y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋S x ，y ′＝2⎝⎛⎭⎫1－S x 2，令y ′＝0，得x ＝S .当0<x <S 时，y ′<0；当x >S 时，y ′>0.所以当x ＝S 时周长最小．故正确．3．圆柱形饮料罐的容积一定时，它的高与底面直径之比是1∶2时，所用材料最省．(×) 解析：设底面半径为r ，高为h ，则表面积S ＝2πrh ＋2πr 2，由V ＝πr 2h ，所以h ＝Vπr 2，则S ＝2V r ＋2πr 2.令S ′＝－2V r 2＋4πr ＝0，得r ＝3V 2π，所以h ＝V πr 2＝23V 2π＝2r ，此时，高与底面直径相等，表面积取得极小值，也是最小值，用料最省．故错误.想一想1.提示：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．有哪些常见的优化问题？提示：(1)实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．(2)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．思考感悟：练一练1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析：在某时刻的速度即位移相对于时间的瞬时变化率，故v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，解得t ＝1或2.故选D.答案：D2．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是( )A ．150B ．175C ．200D ．225解析：设x 表示订购的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×订购的件数x ，当x ≤150时，R ＝200x ，最大收益为200×150＝30 000元；当x >150时，R ＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2，R ′＝350－2x ，令R ′＝0，得x ＝175，当x ∈(150,175)时，R ′>0，当x ∈(175，＋∞)时，R ′<0，则当x ＝175时，R 有最大值，最大收益为350×175－1752＝30 625元，故选B.答案：B3．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设B (x ，y )，则S (x )＝2·x ·y ＝2x ·(1－x 2)＝2x －2x 3(0<x <1)，S ′(x )＝2－6x 2(0<x <1)，令S ′(x )＝0，解得x ＝33，x ∈⎝⎛⎭⎫0，33时，S ′(x )>0，S (x )递增， x ∈⎝⎛⎭⎫33，1时，S ′(x )<0，S (x )递减， ∴当x ＝33时，S (x )max ＝439. 答案：4394．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2.∴当0<x <15时，y ′<0， 当15<x <150时，y ′>0. 故当x ＝15时，y 取得最小值， 此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少． 答案：10 15 000知识点一面积、容积最大最小问题1.( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设其中一段长为x ，则另一段长为16－x ，则两个正方形面积之和为S (x )＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42,0<x <16，则S ′(x )＝2×x 4×14＋2×16－x 4×⎝⎛⎭⎫－14＝14(x －8)．令S ′(x )＝0，得x ＝8.当0<x <8时，S ′(x )<0；当8<x <16时，S ′(x )>0.∴x ＝8是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．∴当x ＝8时，S (x )取最小值，S (x )最小＝S (8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.答案：D2．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 答案：A3．三棱锥O -ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43 D.83解析：V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.答案：C4.( ) A ．5分米 B ．6分米 C ．7分米 D ．8分米解析：设底面边长为x 分米，则高为h ＝256x 2，其表面积S ＝x 2＋4·256x 2·x ＝x 2＋256×4x (x >0)，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8.当0<x <8时S ′<0，当x >8时S ′>0，故x ＝8时S最小．答案：D5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米解析：设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x 米，其他两边的边长均为y 米，则xy ＝512.则所用材料l ＝2y ＋x ＝2y ＋512y (y >0)，求导数，得l ′＝2－512y 2.令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y >0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．故选A. 答案：A6.1，这个数据说明在100天时( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加C ．公司盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损解析：因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．答案：C7．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解析：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，知每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，由C (0)＝8，解得k ＝40，故C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x ，则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值是f (5)＝30＋80015＋5＝70.故当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．基础达标一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2(60－x )2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．35解析：由题可得V ′(x )＝⎝⎛⎭⎫30x 2－x 32′＝60x －32x 2,0<x <60.令V ′(x )＝0，解得x ＝40或x ＝0(舍去)，经检验知当x ＝40时，箱子的容积有最大值．故选B.答案：B2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．故选C.答案：C3．路灯距地平面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以2 m/s 的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v 为( )A.720 m/sB.724 m/s C.722 m/s D.12m/s 解析：如图，设人从C 点运动到B 处路程为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，AB 长为y m ．由于DC ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即y y ＋x ＝1.68＝15，∴y ＝14x ＝12t ，∴v ＝y ′＝12 m/s.故选D.答案：D4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3解析：设水箱的高为x cm(0<x <60)，则水箱底面边长为(120－2x )cm ，水箱的容积V ＝(120－2x )2·x ＝(1202－480x ＋4x 2)·x ，∴V ′＝12x 2－960x ＋120×120，令V ′＝0，得x ＝20或x ＝60(舍去)．当0<x <20时，V ′>0；当20<x <60时，V ′<0.∴当x ＝20时，V 有最大值，且最大值为128 000 cm 3.故选B.答案：B5．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数为y 1＝17x 2(x >0)；生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数为y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：设利润为y 万元，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．故选A.答案：A6．现做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A.2033cm B ．100 cm C ．20 cm D.203cm 解析：设高为x cm ，则底面半径为400－x 2 cm ，所以圆锥形漏斗的体积V ＝13π·(400－x 2)·x ＝π(400x －x 3)3cm 3，V ′＝π(400－3x 2)3，令V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)，∵当0<x <2033时，V ′>0；当x >2033时，V ′<0，则当x ＝2033cm 时，体积最大．故选A.答案：A7．现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是( )A ．1 mB ．1.5 mC ．0.75 mD ．0.5 m解析：设长方体底面较短边的长为x m ，则较长边的长为2x m ，高为18－8x －4x 4＝92－3x m ，它的体积为V ＝2x ·x ·⎝⎛⎭⎫92－3x ＝9x 2－6x 3(其中0<x <32)．V ′＝18x －18x 2，令V ′＝0，得18x －18x 2＝0，解得x ＝0(舍去)，或x ＝1.当0<x <1时，函数V 单调递增，当1<x <32时，函数V 单调递减，所以当x ＝1时，函数V 有最大值．因此当长方体体积了大时，底面的较短边长是1 m ，故选A.答案：A二、填空题8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________ cm ，宽为________ cm ，高为________ cm 时，可使表面积最小．解析：设底面相邻两边长分别为x cm 、2x cm ，高为y cm.则V ＝2x 2y ＝72，y ＝722x 2＝36x 2，S ＝2(2x 2＋2xy ＋xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x (x >0)． S ′＝8x －216x 2，令S ′＝0，解得x ＝3，则长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时，表面积最小．答案：6 3 49．某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大，每件定价为________元．解析：依题意可得利润为L ＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋230，令L ′＝－2x ＋230＝0，解得x ＝2302＝115. 因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以每件定价为115元时利润最大． 答案：11510．已知某厂生产x (百件)某种商品的总成本为C (x )＝13x 3－6x 2＋29x ＋15(万元)，总收益为R (x )＝20x －x 2(万元)，则生产这种商品所获利润的最大值为________万元，此时生产这种商品________百件．解析：设利润为P (x )(万元)，则P (x )＝R (x )－C (x )＝20x －x 2－13x 3＋6x 2－29x －15＝－13x 3＋5x 2－9x －15，∴P ′(x )＝－x 2＋10x －9，由P ′(x )>0得1<x <9，∴1<x <9时，P (x )单调递增，x >9时，P (x )单调递减，∴x ＝9时，P (x )有最大值P (9)＝66.答案：66 911．已知一个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的半径为1，则当圆锥的体积最大时，圆锥的高为________．解析：圆锥高为h ，底面半径为r ，则12＝(h －1)2＋r 2，所以r 2＝2h －h 2，所以V ＝13πr 2h ＝13π(2h －h 2)h ＝23πh 2－13πh 3，所以V ′＝43πh －πh 2， 令V ′＝0⇒h ＝43或h ＝0(舍去)，所以当0<h <43时，V ′>0；当43<h <2时，V ′<0， 所以当h ＝43时，圆锥的体积最大． 答案：4312．据统计，某种汽车的最高车速为120千米时，在匀速行驶时，每小时的耗油量y (升)与行驶速度x (千米/时)之间有如下函数关系：y ＝1128 000x 3－380x ＋8.已知甲乙两地相距100千米．当汽车速度为________(千米时)匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少；最少为________升．解析：由题意可得从甲地到乙地需行驶100x 小时，设耗油量为h (x )升， 依题意可得h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154，0<x ≤120，则h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)， 令h ′(x )＝0，解得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得最小值h (80)＝11.25，所以当汽车以80千米时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升． 答案：80 11.25三、解答题13．已知某厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问： (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解析：(1)设平均每件的成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x 40(x >0)， ∴y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x 1＝1 000或x 2＝－1 000(舍去)，可知当x ＝1 000时，函数取得极小值且为最小值，所以要使平均成本最小，应生产1 000件产品．(2)设利润为L 元，则L ＝500x －25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240， 所以L ′＝⎝⎛⎭⎫300x －25 000－x 240′＝300－x 20， 令L ′＝0，解得x ＝6 000，可知当x ＝6 000时L 取得极大值且为最大值，因此要使利润最大，应生产6 000件产品．答案：(1)1 000件 (2)6 000件14．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解析：设速度为v 海里/小时时的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，又v ＝10时，p ＝6，则k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3. 设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元，因为每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需的时间为1v 小时，所以，航行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v ，所以q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20. 当0<v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，故当v ＝20时，q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．答案：速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小.能力提升15.某商品每件成本5增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x<9)的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析：(1)依题意，设m＝kx2，由已知有5＝k·12，从而k＝5，∴m＝5x2，∴y＝(14－x－5)(75＋5x2)＝－5x3＋45x2－75x＋675(0≤x<9)．(2)易得y′＝－15x2＋90x－75＝－15(x－1)(x－5)，由y′>0得1<x<5，由y′<0得0≤x<1或5<x<9，可知函数y在[0,1)上递减，在(1,5)递增，在(5,9)上递减，从而函数y取得最大值的可能位置为x＝0或x＝5，∵y x＝0＝675，y x＝5＝800，∴当x＝5时，y max＝800.答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．16．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r >0，又h >0，所以可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)(0<r <53)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。

导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.考点综述有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。

本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量 = ；比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,当△x→0时，△y△x有极限，就说y=f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作或，当x变化时，f (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '= lim △x →0f(x+△x)－f(x) △x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)= lim △x →0△y△x3、导数的几何意义：f ' (x 0)是曲线y=f(x)在点P （x 0，f (x 0)）处的切线的 即4、几种常见函数的导数C '= (x n ) '= (sinx) '= (cosx) '=(e x ) '= (a x ) '= (lnx) '= (log a x) '=5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x) ± g(x)] '= [f(x) g(x)] '= [f(x) g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x '=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b ）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0) (3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极大值；如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极小值。