2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 第11课时 导数在实际生活中的应用教案 苏教版选修2-2.doc

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导数在实际生活中的应用一、教学目标：1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答,培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．二、教学重点:运用导数求函数的最值在实际问题中的应用．教学难点：如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引导求可导函数)f的最大值和最小值的方法和步骤如何？（学生思考回答）(x2．本课内容引入与分析在日常生活、生产和科研中，常常会遇到一些实际问题,这些问题有的可以转化成求函数最大值和最小值的问题（从而引出例题)．例2 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例题分析：思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高260x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数： )600(260)(322<<-==x x x h x x r .具体解法见课本． 思路二：设箱底高为x cm ，则箱底边长为)260(x -cm,则得箱子容积V 是x 的函数)300( )260()(2<<⋅-=x x x x V思路三；对于一用初等方法解答22)60(2)60(21)60(21)(2x x x x x x x x V ⋅⋅-=⋅⋅-=-=．由40260=⇒=-x x x x x x x x x V 4)260)(260(41)260()(2⋅--=⋅-= 由104260=⇒=-x x x思路四：由一知当x 过小(接近于0）或过大（接近于60）时箱子容积很小，由二知当x 过小（接近于0）或过大(接近于30）时箱子容积很小．以上可导函数x x x V 2)260()(-=或2260)(x x x V ⋅-=在各自定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰,即是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．请注意这一点．思路五：从二求得的结果发现,箱子的高恰好是原正方形边长的61,这个结论是否具有一般性?建议课后完成下列变式题，得出相关的结论．变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子,箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：)20( )2()(2a x x a x x V <<-= 答案：6a x =．例3 (本章章头图中所提出的问题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？例题分析分析1：设金属饮料罐高为h ，底面半径为R ，则材料最省即是表面积最小，且表面积是R 和h 的二元函数，222R Rh S ππ+=必须消去一个自变量．由常数（定值)22R V h h R V ππ=⇒=代入前式则得S 是R 的一元函数，RV R R S 22)(2+=π（具体解法见课本）． 分析2：初等数学方法解答，222222)(V RV R V R R V R V R R S πππ=⋅⋅⇒++=（常数)，所以当3222ππV R R V R =⇒=，代入R h R V h 22=⇒=π 注意:从解答结果发现，罐高与底面直径相等时，所用材料最省．请量一量日常生活中使用的铁皮菜缸，看是否也有这个结论，想一想这是为什么?变式：当如图所示的圆柱形金属罐的表面积为定值S 时，应怎样制作,才能使其容积最大?提示：222R Rh S ππ+= ①RR S h ππ222-=⇒ 322221)2(2122)(R SR R R S R R R S R V πππππ-=-=⋅-= 22603210)(R S R S R V ππ=⇒=-⇒=' ② ②代入①R h R Rh R 222622=⇒+=⇒πππ3．课堂练习教科书第137页练习第1、2题．4．本课内容小结(1)生活、生产和科研中会遇到许多实际问题,要善于用数学的观点和方法去分析问题；（2）解题时，应该考虑一题多解、方法对比、注意联想，推测有些问题是否有一般性结论；（3）注意总结例题中涉及的知识点、重点和难点．五、布置作业。

1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

1.4 导数在实际生活中的应用[对应学生用书P22]面积、体积最大问题[例1] 用长为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[思路点拨] 不妨设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x4＝(4.5－3x )m ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.建立长方体的体积函数模型，再求最值．[精解详析] 设长方体的宽为x m ， 则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32.故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)，或x ＝1，因此x ＝1. 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3. [一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm ，容积为V (x ) cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)． 故V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320 ＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10，或x ＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，即V (x )为增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，即V (x )为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.成本最低(费用最省)问题[例2] 地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [思路点拨]分析题意→写出函数关系式→写出定义域→对函数关系式求导→讨论单调性→求最值 [精解详析] (1)污水处理池长为x m ，则宽为200xm.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x×248＋16 000＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16， (2)由(1)知y ′＝800－259 200x2＝0， 解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时， 总造价y 最低为45 000元．[一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料． 解析：设水箱底面边长为x 分米，则高为256x 2分米，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， 所以当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4分米． 答案：44．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎪⎫mx－1＋m x(2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．利润最大问题[例3] P (元/吨)之间的关系式为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)[思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解．[精解详析] 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且0＜x ＜200时，f ′(x )＞0；x ＞200时，f ′(x )＜0；故x ＝200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S (x )＝(x －30)(200－x ) ＝－x 2＋230x －6 000(30≤x ≤200)，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，当30≤x <115时，S ′(x )>0； 当115<x ≤200时，S ′(x )<0， 所以当x ＝115时利润最大． 答案：1156．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：kg)与销售价格x (单位：元/kg)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋0 －f (x )极大值42由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．解决实际生活问题的基本思路：实际问题 用函数表示的数学问题用导数解决数学问题 实际问题的答案2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)之间的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9(x ＝－9舍)，且经讨论知x ＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：92．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，则V ＝x (x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－2x －0.5，令V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－415舍去.答案：13.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值．答案：33d 4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S ＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r＋2πr 2，S ′＝－500r 2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， 所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439二、解答题6．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110.令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.11 (2)设当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是单调递减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是单调递增函数．∴当x ＝80时，h (x )取到极小值，h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，且h (120)＝856>h (80)． ∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.。

高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实际生活中的应用教案导数在实际生活中的应用【教学目标】1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉ 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤:（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值. 二、例题分析：例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？xxx x6060例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？1变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S时，使得湿周l?AB?BC?CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b. EDAh600BC b例4、已知电源的内阻为r，电动势为E，当外电阻R多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？2例5、强度分别为a，b的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连结两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8，b=1，d=3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例6、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)?C(x)称为利润函数，记为P(x)，（1）如果C(x)?10?6x3?0.003x2?5x?1000，那么生产多少单位产品时，边际C?(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果C(x)?50x?1000，产品的单价p(x)?100?0.01x，那么怎样定价可使利润最大？3感谢您的阅读，祝您生活愉快。

1.4 导数在实际生活中的应用的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1 做一做：有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m 2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？预习导引 最值 导数预习交流1：提示：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形面积S ＝x (8－x )(8＞x ＞0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4.此时S 最大＝42＝16(m 2)．预习交流2：提示：设半径为r ，则高h ＝27r 2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2，令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD =2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB =50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB =x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？⎝⎛注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．1．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．2．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为__________．3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________． 5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程222214x y r r+=(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2， 其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0， 且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8.这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3. 活动与探究2：解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x100＋x 2，令p ′(x )＝0， 解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，货物运费最省．迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N*),f ′(x )=48－210800x令f ′(x )=0,得x =15或x =－15(舍去)， 当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x =15时，f (x )取最小值f (15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x )； 本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x )，因此本年度的年利润为y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x ) ＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56.所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000万元． 因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用：解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 当堂检测1．2πr 2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则R =r cos θ，L =2r sinθ，所以侧面积S =2πr cos θ·2r sin θ=4πr 2sin θcos θ.令S′=4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)=0，解得ππ0,42θθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即当π4θ=，也就是R =2r 时，侧面积S 最大，且最大值为2πr 2. 2．40 解析：V (x )＝－12x 3＋30x 2，V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0；当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．3．44 解析：设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，且0≤x ≤8，则y ＝x 3＋(8－x )2＝x 3＋x 2－16x ＋64， y ′＝3x 2＋2x －16＝0，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－83舍去，且当0≤x ≤2时，y ′≤0；当2≤x ≤8时，y ′≥0，故当x ＝2时，y 取最小值44.4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则S ′(x )＝50－4x 225－x2，令S ′(x )＝0得x ＝522⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－522舍去，因此当x ＝522时面积取最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25.5．解：(1)设商品降价x 元时，多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则由题意，得f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件24＝k ·22，得k ＝6.∴f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)由(1)，知f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x故x 又f (0)＝9 072，f (2)＝8 664，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．。

课时素养评价九导数在实际生活中的应用(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),当银行获得最大收益时,则存款利率此时应为( )A.0.048B.0.024C.0.012D.0.006【解析】选B.由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048). 设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y′=0.048k-2kx,令y′=0,解得x=0.024.依题意知,y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) ( )A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元【解析】选D.设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以,L′(p)=-3p2-300p+11 700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.因为在p=30附近的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.3.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产的台数为( )A.36千台B.24千台C.12千台D.6千台【解析】选D.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).经过分析知当x=6时,y取最大值.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高应为( )A.cmB.100 cmC.20 cmD.cm【解析】选A.设高为x cm,则底面半径为cm,所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x=,V′=,令V′=0,得x=或x=(舍去),经判断可得x=时,V最大.5.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于( )A.RB.RC.RD.R【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(0<h<2R).所以圆柱的体积为V(h)=πr2h=πh=πR2h-πh3(0<h<2R).求导数,得V′(h)=πR2-πh2=π,所以0<h<时,V′(h)>0;<h<2R时,V′(h)<0,由此可得:V(h)在区间上是增函数;在区间上是减函数,所以当h=时,V(h)取得最大值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,则此书店分____________次进货、每次进____________册,可使所付的手续费与库存费之和最少.【解析】设每次进书x千册(0<x<150),手续费与库存费之和为y元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有y=×30+×40,y′=-+20=,所以当0<x<15时y′<0,当15<x<150时y′>0.故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为=10(次).即该书店分10次进货,每次进15 000册书,所付手续费与库存费之和最少.答案:10 15 0007.把一个周长为12 cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为_______________.【解析】设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=π·x=(x3-12x2+36x)(0<x<6),V′=(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=4∶2=2∶1.答案:2∶18.某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30,t∈Z)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出如前10天的平均售出为的月饼最少为____________个.【解析】记g(t)==t++10(0<t≤30,t∈Z),g′(t)=1-=,令g′(t)>0,得2<t≤30且t∈Z,令g′(t)<0,得0<t<2,且t∈Z,所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,30]上单调递增,又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.答案:17三、解答题(每小题10分,共20分)9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?【解析】(1)由PO1=2 m⇒OO1=8 m,则=×PO1=×62×2=24(m3),=S ABCD×OO1=62×8=288(m3),V=+=312 m3,故仓库的容积为312 m3.(2)设PO1=x m,仓库的容积为V(x),连结A1O1,则OO1=4x m,A1O1=m,A1B1=·m,=×PO1=××x=m3,=S ABCD×OO1=×4x=(288x-8x3)m3.V(x)=+=+(288x-8x3)=m3(0<x<6),所以V′(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0<x<6),当x∈(0,2)时.V′(x)>0,V(x)单调递增,当x∈(2,6)时.V′(x)<0,V(x)单调递减,因此,当x=2时,V(x)取到最大值,即PO1=2m时,仓库的容积最大.10.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6-,令f′(x)=0,即=6,解得x=5,x=-(舍去).当0<x<5时,f′(x)<0,当5<x<10时,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.(20分钟·40分)1.(5分)甲工厂八年来某种产品年产量y与时间x(单位:年)的函数关系如图所示:现有下列四种说法:①前四年该产品产量增长速度越来越快;②前四年该产品产量增长速度越来越慢;③第四年后该产品停止生产;④第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的为( )A.①③B.②④C.②③D.③④【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.2.(5分)(多选题)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q 的函数关系式为p=25-q,下列说法正确的是 ( )A.当q=21时利润最大B.当q=84时利润最大C.利润最大值为782D.利润最大值为186【解析】选BC.方法一:收入R=q·p=q=25q-q2,所以利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0<q<200).所以L′=-q+21.令L′=0,即-q+21=0,解得q=84.因为当0<q<84时,L′>0;当84<q<200时,L′<0.所以当q=84时,L取得最大值.L max=-×842+21×84-100=782,故产量为84时,利润L最大,最大利润为782.方法二:(同方法一)L=-q2+21q-100=-(q2-168q+842)+-100=-(q-84)2+782,所以当q=84时,L取得最大值782.即产量为84时,利润L最大,最大利润为782.3.(5分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,此时x=_______________.【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.答案:154.(5分)统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100 km,则当汽车以____________km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.【解析】当速度为x km/h时,汽车从甲地到乙地行驶了h,设耗油量为h(x)L,依题意得h(x)=·=x2+-(0<x≤120),h′(x)=-=(0<x≤120).令h′(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25 L.答案:80【补偿训练】一火车锅炉每小时消耗的煤费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h 时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?【解析】设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)=(kx3+200)·=a.由已知条件,得40=k·203,所以k=,所以f(x)=a.令f′(x)==0,得x=10,当0<x<10时,f′(x)<0;当10<x<100时,f′(x)>0.所以当x=10时,f(x)有最小值,即速度为10km/h时,火车从甲城开往乙城的总费用最少.5.(10分)在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍.矩形表演台BCDE中,CD=10米,三角形水域ABC的面积为400平方米.设∠BAC=θ.(1)求BC的长(用含θ的式子表示).(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.【思路导引】本题主要考查了余弦定理及导数的知识.(1)根据看台的面积比得出AB,AC的关系,根据△ABC的面积求出AB,AC,再利用余弦定理计算BC.(2)根据(1)得出造价关于θ的函数,利用导数判断函数的单调性,进而求出最低造价.【解析】(1)由于看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以AB=AC.在△ABC中,S△ABC=AB·AC·sin θ=400,所以AC2=.由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos θ=4AC2-2AC2cos θ=(4-2cos θ),即BC==40.所以BC=40,θ∈(0,π).(2)设表演台的总造价为W万元.因为CD=10 m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W=3BC=120,θ∈(0,π),设f(θ)=,θ∈(0,π),则f′(θ)=.令f′(θ)=0,解得θ=.当θ∈时,f′(θ)<0;当θ∈时,f′(θ)>0.故f(θ)在上单调递减,在上单调递增,所以当θ=时,f(θ)取得最小值,最小值为f=1.所以W min=120(万元).即表演台的最低造价为120万元.6.(10分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2020年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例.如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2020年生产化妆品的固定投资为3万元,每生产1万件化妆品需要再投资32万元,当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,当年的产销平衡.(1)将2020年的年利润y万元表示为促销费用t万元的函数;(2)该企业2020年的促销费用投入多少万元时,企业的年利润最大(注:利润=收入-生产成本-促销费用)?【解析】(1)由题意得3-x=(k≠0),将t=0,x=1代入得k=2,所以x=3-.又由题意知每件化妆品的售价为+·.所以年利润y=x-(3+32x)-t=16x-t+=16-t+ =50-=--+(t≥0).(2)y′=-+,令y′=0,解得t=7或t=-9(舍去).当0≤t<7时,y′>0;t>7时,y′<0.所以t=7时,y取得最大值,且y max=42.所以当促销费用定为7万元时,企业的年利润最大.【补偿训练】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1 000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:①f(x)=+2;②f(x)=4lg x-2.试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:当x∈[10,1 000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤恒成立.(2)①对于函数模型f(x)=+2:当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,则f(x)≥1显然恒成立,而若使函数f(x)=+2≤在[10,1 000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290, 所以f(x)≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.②对于函数模型f(x)=4lg x-2:当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,则f(x)min=f(10)=4lg 10-2=2>1.所以f(x)≥1恒成立.设g(x)=4lg x-2-,则g′(x)=-.当x≥10时,g′(x)=-≤=<0,所以g(x)在[10,1 000]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.所以4lg x-2-≤0,即4lg x-2≤,所以f(x)≤恒成立.故该函数模型符合公司要求.。

1.3导数的应用1．3.1利用导数判断函数的单调性1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与导数之间的关系阅读教材P24，完成下列问题．用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．【答案】f′(x)>0 f′(x)<0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)函数y＝f(图1-3-1①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是( )A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-2所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )图1-3-2【精彩点拨】研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．【自主解答】(1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A (2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．[再练一题]1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )A B C D【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．【答案】(1)D (2)A求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．【精彩点拨】求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．【自主解答】f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a或x<－a；令f′(x)＝1－ax2<0，解得－a<x<0或0<x<a；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为( ) 【导学号：05410017】A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)∵f ′(x )＝(e x －e x )′＝e x －e ， 由f ′(x )＝e x －e>0，可得x >1.即函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调增区间为 (1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x －1， 由f ′(x )＝1x －1>0，得0<x <1，所以函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，故选B. 【答案】 (1)D (2)B[探究共研型]探究1 【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x 3－ax －1的单减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围． 【提示】 由f ′(x )＝3x 2－a ， ①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a3＝1，即a＝3.已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．【精彩点拨】(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】y′＝3x2－a.(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)最小值．因为x>1，所以3x2>3.所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x2>a3.若a≤0，则x2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a＝3.1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y＝f(x)的图象如图1-3-3所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-3【解析】∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.【答案】 D2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)＜f (e)＜f (3) B ．f (e)＜f (2)＜f (3) C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)【解析】 因为在定义域(0，＋∞)上，f ′(x )＝12x＋1x ＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)．故选A.【答案】 A3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________. 【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)， 所以h ′(x )＝1x －ax －2. 因为h (x )在[1,4]上单调递减， 所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x2－2x 恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x 16x＝错误!. 因为x ∈[1,4]， 所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。