[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计

均匀分布的均值和方差引言均匀分布（Uniform Distribution）是概率论和统计学中常用的一种分布类型。

在均匀分布中，随机变量的取值在一个区间内均等概率地出现，并且在该区间之外的取值概率为零。

本文将深入探讨均匀分布的均值和方差，并详细解释这两个关键概念的意义和计算方法。

均匀分布的定义均匀分布是一种简单的概率分布，也被称为矩形分布。

在一个连续的区间内，均匀分布的概率密度函数是常数，表示在该区间内每个取值的概率是相等的。

均匀分布的概率密度函数可用以下公式表示：f(x)=1b−awℎere a≤x≤b其中，a和b为区间的最小值和最大值。

均匀分布的均值均匀分布的均值是指在一个区间内所有可能取值的平均值。

对于均匀分布来说，区间内每个取值的概率都是相等的，因此均值可以简单地计算为区间的中点。

具体计算方法如下：μ=a+b 2其中，μ表示均匀分布的均值，a和b分别为区间的最小值和最大值。

均匀分布的方差方差是描述随机变量取值分散程度的统计量。

对于均匀分布来说，由于每个取值的概率都是相等的，因此可以简单地计算方差为区间范围的平方除以12。

具体计算方法如下：σ2=(b−a)212其中，σ^2表示均匀分布的方差，a和b分别为区间的最小值和最大值。

均匀分布的性质均匀分布具有以下几个重要的性质：1. 对称性均匀分布在区间上是对称的，即概率密度函数在区间中点处取得最大值。

这意味着区间内的取值在概率上是等可能的。

2. 均匀性均匀分布的特点是区间内每个取值的概率都是相等的。

这表示在一个有限的区间内，各个取值的出现概率是相同的，没有任何一个取值具有更高或更低的概率。

3. 独立性均匀分布的取值是相互独立的，即一个取值的出现不受其他取值的影响。

这意味着每个取值都是独立地从区间中选择的，前后的取值之间没有联系和影响。

均匀分布的应用均匀分布在实际应用中具有广泛的应用，以下是几个例子：1. 随机数生成均匀分布可用于生成均匀分布的随机数。

1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。

01.连续均匀分布（等概分布，一致分布） 02.离散均匀分布(稀疏分布，同致分布） 03.U(a,b)或或Unif （a,b ） X Continuous uniform distribution 或CU(a,b)X Inverse discrete uniform 或IU(a,b)或或或F(X)=(b-a)X+a或F(X)=(b-a+1)X+aba-a 2+a a b 横轴为x 轴横轴为x 轴，横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a 横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a密度函数-a)0 -a)图像为矩形，面积为1n=b--a+1，x=k 图像为矩形，面积为1 n=b--a+1，x=k或或连续型 离散型（最值），，支撑集域 或任何内的值任何内的整数值任何内的值任何内的整数值()，或原点阶距r 阶：.b-a n -a b EX n n n))(1(11+=++，中心阶距r 阶：,，，，其中是样本均值见注释1均匀分布是用来模拟一个同样的随机变量a 和均匀分布是“等可能”取值的连续化模型。

均匀分布或称规则分布。

植物种群的个体是等（1）当a ≤x 1<x 2≤b 时，X 落在区间（）内的概率为a b x x x X x P --=<<1221)(。

（2）若,则X 落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：只与区间[c,d]的长度有关，而与他的位置无关。

（3）均匀分布随机变量概率落在任何间隔固定长度间隔的位置本身独立(但它是依赖于时间间隔大小)，只要间隔分布中包含支持。

如果X ~(a,b)和[X,X + d]是[a,b]的子区间与固定d > 0,(3) X ∼U[0,1]和Y=a+(b−a)X ， 则Y ∼U[min(a,b),max(a,b)].如在生日问题中论述的那样，输出中选择，在次碰撞。

平方根对应一半的数字位数。

例如，一个数，无论在何种进制当中。

注释1：连续均匀分布第二种表达形式：对于一个取值在区间[a ,b ]上的均匀分布函数，它的概率密度函数：也就是说，当x 不在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于0；而在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于这个函数。

N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。

并通过程序产生伪随机数进行模拟。

N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。

总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。

X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。

一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。

当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。

我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。

整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。

同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。

二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。

三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：一、 背景：若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為nx f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.21)(+=n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即21+n 證明：∑=⋅=nx nx X E 11)(n n n 12)1(⋅+= 21+=n 2. 121)(2-=n X Var證明：nx X E nx 1)(122⋅=∑=nn n n 16)12)(1(⋅++=61322++=n n[]22)()()(X E X E X Var -==22)21(6132+-++n n n 1212-=n3.Moment Generating Function xt nx x e nt m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=nx tx x f e 1)(xt n x e n∑==11)1()1(ttn t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：371)()(=x f a 36,...,2,1=x 3710)101()(=≤≤X P b3718)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 371)0()(==X P d 四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(Nn 個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為)(1)(N nx f = )(,...,2,1Nn x =（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：一、 背景：當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(βααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數X的分布函數為⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=ββααβααx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：三、性質：1.2)(βα+=X E證明：⎰=βαdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅=βααβ1βααβ212x -=)(x fαβ-1α β x )(x F1x α β2122αβαβ--=2βα+=2.12)()(2αβ-=X Var證明：dx x f x X E )()(22⎰=βα dx x αββα-⋅=⎰12 βααβ313x -=3133αβαβ--=322βαβα++=22)]([)()(X E X E X Var -=222)2(3βαβαβα+-++=4232222βαβαβαβα++-++=12)(2αβ-=3.Moment Generating Function )()(αβαβ--=t e e t M t t X證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=βα dx e tx αββα-⋅=⎰1βααβtx e t 11⋅-=)(αβαβ--=t e e t t4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：定理：令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴)1,0(~U Y10,)(<<=≤⇒y y y Y P1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

基本统计知识点总结统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科。

在现代社会，统计学在各个领域中都扮演着重要角色，无论是政府、企业还是学术机构，都需要统计学的帮助来进行决策和分析。

因此，掌握基本的统计知识对于理解和分析现实世界中的数据至关重要。

本文将对统计学中的一些基本知识点进行总结，以便读者对统计学有一个基本的了解。

一、统计学的基本概念统计学是一门利用数据来研究现象和问题的学科。

它涉及数据的收集、整理、分析和解释，旨在从数据中获得有关事物的信息。

统计学分为描述统计和推断统计两大类。

描述统计主要是对数据的整理和汇总，包括平均数、中位数、众数等指标；推断统计则是通过样本数据来推断总体数据的特征。

二、数据的类型在统计学中，数据可以分为定量数据和定性数据两种类型。

定量数据是指可以用数字表示的数据，如年龄、体重、收入等；定性数据是指无法用数字表示的数据，如性别、职业、宗教信仰等。

根据数据的不同特点，统计学会采用不同的方法来进行分析。

三、数据的收集数据的收集是统计学中的第一步，它确定了所研究的现象所依赖的材料。

数据的收集方法包括问卷调查、实地观察、实验研究等。

在收集数据时，需要注意样本的选择和数据的真实性，避免采样偏差和数据造假。

四、数据的整理数据的整理是将收集到的数据进行梳理和汇总的过程。

它包括数据的录入、清洗、转换和加工。

在数据整理的过程中，需要注意数据的准确性和完整性，避免因数据错误而导致分析结论的偏差。

五、描述统计描述统计是统计学中的基本方法，它主要用来描述数据的分布、集中趋势和离散程度。

描述统计包括如下几个指标：平均数、中位数、众数、标准差、方差等。

这些指标可以帮助人们更直观地了解数据的特征。

1. 平均数：是指一组数据的总和除以数据的个数，它代表了数据的集中趋势。

2. 中位数：是指一组数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，它也代表了数据的集中趋势。

3. 众数：是指一组数据中出现次数最多的数值，它也代表了数据的集中趋势。

1,N 离散均匀分布样本最小值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最小值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[53]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,1"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,NOut[54]=OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[55]= 1.概率密度（质量）函数:Out[56]= 1 kN n 1 1N k N n k 1&&k N 0 N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 N n k 1&&k N 0 1 1 1N n TrueOut[57]= 2.累积分布函数:Out[58]=1 1 Floor kN n1 k N 1k N0TrueOut[59]= 3.生存（可靠性）函数：Out[60]=1k 1 N Floor k N n1 k N 0TrueOut[61]= 4.逆生存函数：Out[62]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q1n 0 q1n 1N q1n 01True,0 q1n 1Out[63]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[64]=1 k N Nn1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 1 k N Nn11 k N Nn1k N Nnk 2&&k N 00TrueOut[65]= 6.矩母函数 MGF :Out[66]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[67]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[68]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[69]=8.累积量母函数 CGF :Out[70]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[71]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[72]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[73]=10.特征函数:Out[74]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[75]=11.均值:Out[76]=Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[77]=12.中位值:Out[78]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1Out[79]=13.四分位数列表:Out[80]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 34N 0 1 341n 111 341n 0NTrue,0341n1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 4 1 n N 0 1 4 1 n 111 4 1 n 0NTrue,0 4 1 n 1[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb3Out[81]=14.q 分位数:Out[82]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N 1 1 q 1n 0 1 1 q 1n 111 1 q 1n0NTrue,0 1 q 1n 1Out[83]=15.方差:Out[84]=Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[85]=16.标准差:Out[86]=StandardDeviation OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[87]=17.一、三四分位数间矩:Out[88]=ConditionalExpression1 Max 1,Ceiling N 341n N341n 1&&41n 11 Max 1,Ceiling N 4 1 nN341n1&&41n 1 Max 1,Ceiling N 341nN Max 1,Ceiling N4 1 nN341n1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[89]=18.偏度系数:Out[90]=Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[91]=19.峰度系数:Out[92]=Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[93]=20.四分偏度系数:4 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[94]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 341 Max 1,Ceiling N 34 1n N2Max 1,Ceiling N 2 1 n N1 Max 1,Ceiling N 34 1n N342 Max 1,Ceiling N 34 1n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n N342Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n N1 Max 1,Ceiling N 4 1 n N34Max 1,Ceiling N 34 1n N 2Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n NTrueOut[95]=21.r阶原点矩矩:Out[96]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[97]=22.r阶中心矩:Out[98]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[99]=23.r阶阶乘矩:Out[100]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[101]=24.r阶累积量:Out[102]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[103]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb5Out[104]=k 1NLog1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 1 1Nn True1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 11Nn True6 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb。

离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 N1,N2 区间内离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、生存函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

"四.样本极大值分布："dist DiscreteUniformDistribution N1,N2 ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist12[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist,k Log PDF dist1,k , k,N1,N2Clear dist1四.样本极大值分布：1.概率密度（质量）函数:1 k N11 N1 N2 n 11 N1 N2 1 k N11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 1 11 N1 N2 n k N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 01 11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 N1 N2 n True2.累积分布函数:1 N1 Floor k 1 N1 N2 n N1 k N21k N20True3.生存（可靠性）函数：1k N11 1 N2 Floor k1 N1 N2 n N1 k N20True4.逆生存函数：ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N21 1 q 1n 0N1True,0 1 q 1n 1 5.风险函数（故障率）:1 k N21 N1 N2 n0 k N1 1&&k N2 01k N1 1 0 k N2 11 k N21 N1 N2 n 1 1 k N21 N1 N2 n1 1 1 k N21 N1 N2 n k N1 1&&k N2 00True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t11.均值:1 N211 n 1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N212.中位值:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 113.四分位数列表:[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb3ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2 0 4 1 n 1N14 1 n 0N2True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpression 1 N1 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N2 0341n1N1 341n 0N2True,0341n114.q 分位数:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 q 1n 0 q 1n 1N1q 1n 0N2True,0 q 1n 115.方差: 1 N1 2 1 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 BernoulliB3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N23 n16.标准差:4 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb1 N1 21 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N217.一、三四分位数间矩:ConditionalExpression1 N1 N2 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 341n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2018.偏度系数: 1 N1 321 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N233 1 N1 22 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 31 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N12 2 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb51 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N23 219.峰度系数: 1 N1 431 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N244 1 N1 32 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N26 1 N1 2 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N26 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 61 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N221 N12 2 1 N1 2 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N24 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N2 41 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 3 3 1 N1 22 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N11 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb713 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N213 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n 4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2220.四分偏度系数:8 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nbConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2341 342 2N1 2N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2341 N1 N2 2Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N234Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2True21.r阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r22.r阶中心矩:CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 23.r阶阶乘矩:FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 24.r阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb9"25.信息熵："k N1N2Log1 k N11 N1 N2n11 N1 N21 k N11 N1 N2nk N1 0&&k N2 01 111 N1 N2nk N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 0 111 N1 N2n k N1 0&&k N2 0 1 N1 N2 nTrue11 N1 N2N1 k N20True10 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb。

第1讲2、信息论创始人是谁？香农。

3、信息和消息、信号有什么联系与区别？从信息理论角度上看，信号是消息的载体，信息含藏在消息之中，有信号有消息不一定有信息。

4、通信系统的主要性能指标是什么？ 有效性、可靠性和安全性。

5、举例说明信息论有哪些应用？为信息传送和处理系统提供数学模型和评估方法，在通信和信息处理领域是一门基础理论，在其它领域如语言学、生物学、医学、神经网络、经济学方面的应用也很成功。

具体应用实例有：语音、图像和数据信息的压缩，通信信道有效性和可靠性的提高，或信道传输功率指标要求的降低，通信或计算机系统可靠性和安全性的提高，信息处理领域的信号重建和模式识别等。

2.4 （求车牌自信息量）某车牌号的概率是(1/26)3×(1/10)3，24bit/牌，后一种概率为(1/36)6，31bit/牌， 第2讲设二元对称信道的传递矩阵(条件概率矩阵)为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32313132若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(Y), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)；先求P(Y)=∑X P(XY)和P(XY)=P(X)P(Y|X)，再得各种熵和互信息。

H(X)=H(3/4,1/4), H(Y)=H(7/12,5/12);H(XY)=H(1/2,1/4,1/12,1/6); H(X/Y)=H(XY)-H(Y)H(Y/X)=H(XY)-H(X)；或H(Y/X)=∑P(X=a)H(Y/a)=H(3/4,1/4) I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)； 2.2（求条件信息量）1.6米以上女孩是条件，某个1.6米以上的女大学生是概率事件，得条件概率为：P=0.25×0.75/0.5=0.375=3/8，信息量为I= -log0.375=1.42比特。

2.52.10(1)(2)（由联合概率分布求熵、联合熵和条件熵）（1）思路：先求出X 、Y 、Z 、XZ 、YZ 、XYZ 的概率或联合分布，再求其熵。

第3章数据分布特征的描述数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一，它用来描述随机变量的概率分布或样本数据的分布情况。

通过对数据分布特征的描述，我们可以更好地理解数据的性质，为后续的数据分析和决策提供支持。

一、数据分布特征的描述方法常用的数据分布特征描述方法有：位置参数、离散程度参数、偏态参数和峰态参数。

1.位置参数：用来描述数据集的中心位置，最常用的位置参数是平均值和中位数。

平均值是所有数据值的总和除以观测次数，它具有对异常值敏感的特点，所以在存在异常值的情况下，中位数更适合作为位置参数。

2.离散程度参数：用来描述数据集的离散程度或变异程度，最常用的离散程度参数是方差和标准差。

方差是数据偏离平均值的平均平方，标准差是方差的平方根。

方差和标准差越大，代表数据的离散程度越大。

3.偏态参数：用来描述数据分布的对称性或偏斜性。

正偏态表示数据分布向右偏斜，负偏态表示数据分布向左偏斜。

常用的偏态参数是偏态系数，其表示为偏态系数=3*（平均值-中位数）/标准差，偏态系数为0时表示对称分布，大于0表示正偏态，小于0表示负偏态。

4.峰态参数：用来描述数据分布的尖度或平顶性。

正常分布的峰态参数为3，表示正态分布的峰度，大于3表示尖峰分布，小于3表示平顶分布。

二、常见的数据分布特征1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，也是自然界中许多现象的分布形式。

正态分布的特点是对称的钟形曲线，均值和中位数相等，偏态系数为0，峰态系数为32. 偏态分布（Skewed Distribution）：偏态分布是指数据分布不对称的情况，其中正偏态分布是右偏的，负偏态分布是左偏的。

正偏态分布的偏态系数大于0，负偏态分布的偏态系数小于0。

3. 峰态分布（Kurtosis Distribution）：峰态分布是指数据分布的尖度或平顶性，峰态系数大于3表示尖峰分布，峰态系数小于3表示平顶分布。

离散最大值原理
离散最大值原理（Discrete Maximum Principle）指的是在一个离散的区域内，如果在该区域内某个函数的最大值出现，则该函数的最大值必然在边界上或者在离散点上出现。

这个原理常常用于解决离散问题，比如计算机科学、数值分析以及物理学中的离散化问题。

在这些领域，计算机程序通常只能处理离散数据，离散最大值原理可以帮助我们更好地理解离散问题，并且指导我们如何设计算法来处理这些问题。

一个简单的例子是在计算离散温度场时。

如果我们想知道一个矩形区域内的温度分布，我们可以在该区域内离散地取点，并且用这些点的温度值来计算该区域内的平均温度。

然而，在某些情况下，我们可能更关心的是该区域内的最大温度。

根据离散最大值原理，我们可以在该区域内找到温度最高的点，这个点的温度即为该区域的最大温度，这个点可能在简单矩形区域内，也可能在边界上。

离散最大值原理的证明并不难，常常可以用反证法或者归纳法。

这个原理在实践中有着广泛的应用，比如在数值分析中，离散最大值原理可以用来证明数值方法的稳定性和收敛性。

matlab中unidrnd函数的用法在MATLAB中，`unidrnd`函数用于生成服从离散均匀分布的随机整数样本。

函数语法如下：```matlabR = unidrnd(N)R = unidrnd(N, m)R = unidrnd(N, m, n)```其中，`N`是正整数，表示离散均匀分布的最大值。

`m`和`n`表示生成的随机整数样本的大小。

函数的返回值`R`是一个`m×n`的矩阵，其中的每个元素都是从离散均匀分布中生成的随机整数。

接下来，我们将详细解释`unidrnd`函数的用法，并给出一些示例说明。

**1.生成单个随机整数样本：**假设我们要从离散均匀分布[1,10]中生成一个随机整数样本，可以使用以下代码：```matlabR = unidrnd(10)```运行上述代码后，MATLAB将返回一个范围在[1,10]之间的随机整数。

**2.生成多个随机整数样本：**如果我们要生成多个随机整数样本，可以使用以下代码：```matlabR = unidrnd(10, 3, 2)```上述代码将返回一个3×2的矩阵，其中的每个元素都是从离散均匀分布中生成的随机整数。

这意味着我们将得到3行2列共6个随机整数样本。

**3.生成指定范围内的随机整数样本：**默认情况下，`unidrnd`函数生成的随机整数样本的范围是[1, N]。

如果我们想生成指定范围内的随机整数样本，可以使用以下代码：```matlabR = a + unidrnd(b-a+1)```其中，`a`和`b`是两个整数，表示指定范围的最小值和最大值。

`b-a+1`表示样本的范围大小。

举个例子，我们要生成一个[5,20]范围内的随机整数样本，可以使用以下代码：```matlabR = 5 + unidrnd(16)```**4.指定随机数种子：**如果我们希望生成可重复的随机整数样本，可以使用以下代码指定随机数种子：```matlabrng(seed)R = unidrnd(N)```其中，`seed`是一个整数，表示随机数种子。