[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计

1,N 离散均匀分布样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[105]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N Out[107]= 1.概率密度（质量）函数:Out[108]= 1NkN n k N n k 1&&k N 0 1 1 1N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 1N n k 1&&k N 0 N n TrueOut[109]= 2.累积分布函数:Out[110]= Floor k N n1 k N1k N0True Out[111]= 3.生存（可靠性）函数：Out[112]=1k 11 1 N Floor kN n1 k N 0TrueOut[113]= 4.逆生存函数：Out[114]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N1 1 q 1n 01True,0 1 q 1n 1Out[115]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[116]=1 k NN n1 k 2&&k N 0 1k 2 0 k N 11 k NN n 1 1 k N N n1 1 1 k NN n k 2&&k N 0 0TrueOut[117]= 6.矩母函数 MGF :Out[118]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[119]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[120]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[121]=8.累积量母函数 CGF :Out[122]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[123]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[124]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[125]=10.特征函数:Out[126]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[127]=11.均值:Out[128]=1 N N n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 nOut[129]=12.中位值:Out[130]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1Out[131]=13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb3Out[132]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 4 1 n N 0 4 1 n 114 1 n 0N True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 341nN 0341n11 341n 0NTrue,0341n1Out[133]=14.q 分位数:Out[134]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N q 1n 0 q 1n 11q 1n 0N True,0 q 1n 1Out[135]=15.方差:Out[136]=1 N 11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[137]=16.标准差:Out[138]=1 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[139]=17.一、三四分位数间矩:4 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[140]=ConditionalExpressionN Max 1,Ceiling 341nN341n1&&41n 1N Max 1,Ceiling 4 1 n N341n 1&&41n 1Max 1,Ceiling 341n N Max 1,Ceiling 4 1 n N 341n 1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[141]=18.偏度系数:Out[142]=21 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N33N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N 3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n3 2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb5Out[143]=19.峰度系数:Out[144]=31 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N46Nn1 N11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nBernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,N5 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n26 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n2 Out[145]=20.四分偏度系数:Out[146]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 34N Max 1,Ceiling 34 1n N 2Max 1,Ceiling 2 1 n NN Max 1,Ceiling 34 1n N341 342N Max 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n N34N 2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NN Max 1,Ceiling 4 1 n N 34Max 1,Ceiling 34 1n N2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NTrueOut[147]=21.r阶原点矩矩:Out[148]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[149]=22.r阶中心矩:Out[150]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[151]=23.r阶阶乘矩:Out[152]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[153]=24.r阶累积量:Out[154]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[155]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb7Out[156]=k 1NLog1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue8 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb。

01.连续均匀分布（等概分布，一致分布） 02.离散均匀分布(稀疏分布，同致分布） 03.U(a,b)或或Unif （a,b ） X Continuous uniform distribution 或CU(a,b)X Inverse discrete uniform 或IU(a,b)或或或F(X)=(b-a)X+a或F(X)=(b-a+1)X+aba-a 2+a a b 横轴为x 轴横轴为x 轴，横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a 横轴为x 轴向上平移ba-a 2+a密度函数-a)0 -a)图像为矩形，面积为1n=b--a+1，x=k 图像为矩形，面积为1 n=b--a+1，x=k或或连续型 离散型（最值），，支撑集域 或任何内的值任何内的整数值任何内的值任何内的整数值()，或原点阶距r 阶：.b-a n -a b EX n n n))(1(11+=++，中心阶距r 阶：,，，，其中是样本均值见注释1均匀分布是用来模拟一个同样的随机变量a 和均匀分布是“等可能”取值的连续化模型。

均匀分布或称规则分布。

植物种群的个体是等（1）当a ≤x 1<x 2≤b 时，X 落在区间（）内的概率为a b x x x X x P --=<<1221)(。

（2）若,则X 落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：只与区间[c,d]的长度有关，而与他的位置无关。

（3）均匀分布随机变量概率落在任何间隔固定长度间隔的位置本身独立(但它是依赖于时间间隔大小)，只要间隔分布中包含支持。

如果X ~(a,b)和[X,X + d]是[a,b]的子区间与固定d > 0,(3) X ∼U[0,1]和Y=a+(b−a)X ， 则Y ∼U[min(a,b),max(a,b)].如在生日问题中论述的那样，输出中选择，在次碰撞。

平方根对应一半的数字位数。

例如，一个数，无论在何种进制当中。

注释1：连续均匀分布第二种表达形式：对于一个取值在区间[a ,b ]上的均匀分布函数，它的概率密度函数：也就是说，当x 不在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于0；而在区间[a ,b ]上的时候，函数值等于这个函数。

第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。

在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。

常用的统计量有平均值、中位数和众数。

平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。

然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。

因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。

中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。

众数是数据中出现次数最多的观测值。

数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。

常用的统计量有方差、标准差和四分位差。

方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。

标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。

四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。

数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。

常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。

正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。

偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。

正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。

峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。

除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。

常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。

直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。

箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。

散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。

综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。

这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。

N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。

并通过程序产生伪随机数进行模拟。

N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。

总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。

X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。

一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。

当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。

我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。

整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。

同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。

二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。

三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。

正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。

它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。

在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。

1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。

常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。

其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。

在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。

除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。

中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。

在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。

在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。

在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。

2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。

常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。

标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。

方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。

另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。

在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。

在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。

在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。

个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。

集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：一、 背景：若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為nx f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.21)(+=n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即21+n 證明：∑=⋅=nx nx X E 11)(n n n 12)1(⋅+= 21+=n 2. 121)(2-=n X Var證明：nx X E nx 1)(122⋅=∑=nn n n 16)12)(1(⋅++=61322++=n n[]22)()()(X E X E X Var -==22)21(6132+-++n n n 1212-=n3.Moment Generating Function xt nx x e nt m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=nx tx x f e 1)(xt n x e n∑==11)1()1(ttn t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：371)()(=x f a 36,...,2,1=x 3710)101()(=≤≤X P b3718)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 371)0()(==X P d 四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(Nn 個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為)(1)(N nx f = )(,...,2,1Nn x =（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：一、 背景：當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(βααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數X的分布函數為⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=ββααβααx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：三、性質：1.2)(βα+=X E證明：⎰=βαdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅=βααβ1βααβ212x -=)(x fαβ-1α β x )(x F1x α β2122αβαβ--=2βα+=2.12)()(2αβ-=X Var證明：dx x f x X E )()(22⎰=βα dx x αββα-⋅=⎰12 βααβ313x -=3133αβαβ--=322βαβα++=22)]([)()(X E X E X Var -=222)2(3βαβαβα+-++=4232222βαβαβαβα++-++=12)(2αβ-=3.Moment Generating Function )()(αβαβ--=t e e t M t t X證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=βα dx e tx αββα-⋅=⎰1βααβtx e t 11⋅-=)(αβαβ--=t e e t t4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：定理：令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴)1,0(~U Y10,)(<<=≤⇒y y y Y P1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

管理统计学名词解释一、绪论1.统计学：研究如何收集、整理、分析和解释涉及社会、经济、管理问题的数据，并对研究对象进行统计推断的一门科学2.描述统计学：利用获得的数据，绘制统计图，并计算一些数字特征值3.推断统计学：利用获得的样本数据，进行区间估计、假设检验、回归分析、方差分析、时间序列分析4.管理统计学：研究如何收集、整理、分析和解释涉及社会、经济、管理问题的数据，并对研究对象进行统计推断的一门科学5.总体：构成研究对象全部元素的集合6.样本：通过多次抽样观察可以得到总体指标X的一组数值（x1,x2,…,x n），其中每个x i是一次抽样观察的结果。

（x1,x2,…,x n）称为容量为n的一个样本，也称样本观察值7.总体参数：总体分布的某些特征，如分布位置、分布离散程度等8.统计量：由样本数据加工出来的、反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量二、数据收集方法1.统计变量：调查现象的某种特征2.直接来源：第一手或直接的统计数据，包括专门调查和科学试验3.统计调查：方式可分为普查、抽样调查、统计报表、重点调查和典型调查；根据调查对象的不同，可分为全面调查和非全面调查4.间接来源：别人调查或科学试验的第二手或间接数据，包括公开出版或公开报道的数据5.数据误差：统计数据与客观现实之间的差距，包括抽样性误差和非抽样性误差6.统计推断：根据抽样分布律和概率理论，由样本结果（统计数）来推论总体特征（参数）。

7.普查：为某一特定目的而专门组织的一次全面调查三、描述数据的图标方法1.定类变量：定类变量的值就是定类数据2.定序变量：定序变量的值就是定序数据3.数字变量：数字变量的值即为定距数据或定比数据（统称为定量数据）4.定性数据：只能归入某一类而不能用数值进行测度的数据，包括定类数据和定性数据5.定量数据：用数值来表现观察值，包括定距数据和定比数据6.频数分布：由分组标志序列和各组相对应的分布次数两个要素构成7.茎叶图：用于直接描述未分组原始数据的探索性分析，是描述数据分布形状，如数据是否集中，是否有极端值等的图形方法，由茎、叶、每个茎对应叶的个数、茎的宽度这四元素组成8.交叉表：用来描述同时产生两个定性变量的数据的图形方法9.散点图：描述两个数字变量之间关系的图形方法10.直方图：用用矩形的高度和宽度来表示频数分布的图形四、描述统计中的测度1.均值：数据平均数，是度量集中趋势最主要的指标之一2.调和平均数：根据变量值倒数计算的均值，也叫倒数平均数（Hm）3.几何平均数：n个变量值连乘积的n次方根（G）4.中位数：一组数据按数值的大小从小到大排序后，处于中点位置上的变量值（M e）5.众数：一组数据中出现次数最多的变量值（M o）6.百分位数：用99个点将排列好的数据一百等分后，分别给出的从最小值到最大值区间内数据的信息分位点上的值7.四分位数：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值8.极差：也叫全距，一组数据的最大值与最小值之差（R）9.四分位差：也称为内距或四分位距，是第一四分位数与第三四分位数的差，代表数据分布中间50%的距离（IQ R）10.平均差：变量数列中各个变量值与算术平均数的绝对离差的平均数（M D）方差：变量数列中各变量值与其算数平均数差的平方的算术平均数（s²）11.标准差：方差的平方根，又称均方差或均方差根的算术平均数（s）12.标准分数：也称标准化值或z分数，是变量值与其平均数的离差出一标准差后的值，是对每个数据在该组数据中相对位置的测量（z）13.离散系数：也称为标准差系数，是把离散趋势绝对数与数列均值进行对比，将其抽象化，反映数列离散趋势的相对程度，是一组数据的标准差与其对应的平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标（C.V.）14.偏态：对分部偏斜方向和程度的测度，是次数分配的非对称程度15.峰度：是分布集中趋势高峰的形状，指次数分布曲线顶端的尖峭程度五、概率与概率分布1.随机事件：在同一组条件下，可能发生也可能不发生的事件2.必然事件：在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。

1,N 离散均匀分布样本最小值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最小值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[53]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,1"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,NOut[54]=OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[55]= 1.概率密度（质量）函数:Out[56]= 1 kN n 1 1N k N n k 1&&k N 0 N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 N n k 1&&k N 0 1 1 1N n TrueOut[57]= 2.累积分布函数:Out[58]=1 1 Floor kN n1 k N 1k N0TrueOut[59]= 3.生存（可靠性）函数：Out[60]=1k 1 N Floor k N n1 k N 0TrueOut[61]= 4.逆生存函数：Out[62]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q1n 0 q1n 1N q1n 01True,0 q1n 1Out[63]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[64]=1 k N Nn1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 1 k N Nn11 k N Nn1k N Nnk 2&&k N 00TrueOut[65]= 6.矩母函数 MGF :Out[66]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[67]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[68]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[69]=8.累积量母函数 CGF :Out[70]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[71]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[72]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[73]=10.特征函数:Out[74]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[75]=11.均值:Out[76]=Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[77]=12.中位值:Out[78]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1Out[79]=13.四分位数列表:Out[80]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 34N 0 1 341n 111 341n 0NTrue,0341n1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 4 1 n N 0 1 4 1 n 111 4 1 n 0NTrue,0 4 1 n 1[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb3Out[81]=14.q 分位数:Out[82]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N 1 1 q 1n 0 1 1 q 1n 111 1 q 1n0NTrue,0 1 q 1n 1Out[83]=15.方差:Out[84]=Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[85]=16.标准差:Out[86]=StandardDeviation OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[87]=17.一、三四分位数间矩:Out[88]=ConditionalExpression1 Max 1,Ceiling N 341n N341n 1&&41n 11 Max 1,Ceiling N 4 1 nN341n1&&41n 1 Max 1,Ceiling N 341nN Max 1,Ceiling N4 1 nN341n1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[89]=18.偏度系数:Out[90]=Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[91]=19.峰度系数:Out[92]=Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[93]=20.四分偏度系数:4 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[94]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 341 Max 1,Ceiling N 34 1n N2Max 1,Ceiling N 2 1 n N1 Max 1,Ceiling N 34 1n N342 Max 1,Ceiling N 34 1n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n N342Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n N1 Max 1,Ceiling N 4 1 n N34Max 1,Ceiling N 34 1n N 2Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n NTrueOut[95]=21.r阶原点矩矩:Out[96]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[97]=22.r阶中心矩:Out[98]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[99]=23.r阶阶乘矩:Out[100]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[101]=24.r阶累积量:Out[102]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[103]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb5Out[104]=k 1NLog1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 1 1Nn True1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 11Nn True6 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb。

离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 N1,N2 区间内离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、生存函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

"四.样本极大值分布："dist DiscreteUniformDistribution N1,N2 ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist12[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist,k Log PDF dist1,k , k,N1,N2Clear dist1四.样本极大值分布：1.概率密度（质量）函数:1 k N11 N1 N2 n 11 N1 N2 1 k N11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 1 11 N1 N2 n k N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 01 11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 N1 N2 n True2.累积分布函数:1 N1 Floor k 1 N1 N2 n N1 k N21k N20True3.生存（可靠性）函数：1k N11 1 N2 Floor k1 N1 N2 n N1 k N20True4.逆生存函数：ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N21 1 q 1n 0N1True,0 1 q 1n 1 5.风险函数（故障率）:1 k N21 N1 N2 n0 k N1 1&&k N2 01k N1 1 0 k N2 11 k N21 N1 N2 n 1 1 k N21 N1 N2 n1 1 1 k N21 N1 N2 n k N1 1&&k N2 00True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t11.均值:1 N211 n 1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N212.中位值:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 113.四分位数列表:[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb3ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2 0 4 1 n 1N14 1 n 0N2True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpression 1 N1 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N2 0341n1N1 341n 0N2True,0341n114.q 分位数:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 q 1n 0 q 1n 1N1q 1n 0N2True,0 q 1n 115.方差: 1 N1 2 1 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 BernoulliB3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N23 n16.标准差:4 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb1 N1 21 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N217.一、三四分位数间矩:ConditionalExpression1 N1 N2 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 341n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2018.偏度系数: 1 N1 321 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N233 1 N1 22 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 31 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N12 2 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb51 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N23 219.峰度系数: 1 N1 431 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N244 1 N1 32 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N26 1 N1 2 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N26 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 61 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N221 N12 2 1 N1 2 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N24 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N2 41 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 3 3 1 N1 22 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N11 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb713 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N213 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n 4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2220.四分偏度系数:8 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nbConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2341 342 2N1 2N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2341 N1 N2 2Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N234Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2True21.r阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r22.r阶中心矩:CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 23.r阶阶乘矩:FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 24.r阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb9"25.信息熵："k N1N2Log1 k N11 N1 N2n11 N1 N21 k N11 N1 N2nk N1 0&&k N2 01 111 N1 N2nk N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 0 111 N1 N2n k N1 0&&k N2 0 1 N1 N2 nTrue11 N1 N2N1 k N20True10 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb。

分布趋势的统计量是
统计学中，分布趋势是指数据的整体分布情况，用来衡量数据集中值的相对位置和数据的离散程度。

在描述分布趋势时，常用的统计量有均值、中位数、众数、四分位数和极差等。

1. 均值（mean）是最常用的描述分布趋势的统计量之一，它表示数据集中值的平均水平。

均值可以通过将所有观测值相加，然后除以观测值的个数来计算。

2. 中位数（median）是将数据集按照大小排序后，处于中间位置的数值。

中位数对于描述非对称分布的数据集更为准确，因为它不受异常值的影响。

3. 众数（mode）是数据集中出现次数最多的数值。

众数在描述离散型数据中的分布趋势时很有用，可以确定常见的取值。

4. 四分位数（quartiles）是将数据集按照大小排序后，将其分为四等分的三个数值。

第一个四分位数表示有25%的观测值小于它，第二个四分位数即中位数，第三个四分位数表示有75%的观测值小于它。

四分位数可以帮助我们进一步了解数据分布的形状。

5. 极差（range）是数据集中最大值与最小值的差异。

极差可以简单地描述数据的整体变异程度，但它对于异常值非常敏感。

这些统计量可以帮助我们全面了解数据的分布趋势。

均值和中位数可以告诉我们数据的中心位置，众数可以告诉我们常见的取值，四分位数可以描述数据分布的形状，而极差可以描述数据的变异程度。

根据具体情境和需求选择合适的统计量来描述分布趋势，有助于我们更好地理解和分析数据。

第3章数据分布特征的描述数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一，它用来描述随机变量的概率分布或样本数据的分布情况。

通过对数据分布特征的描述，我们可以更好地理解数据的性质，为后续的数据分析和决策提供支持。

一、数据分布特征的描述方法常用的数据分布特征描述方法有：位置参数、离散程度参数、偏态参数和峰态参数。

1.位置参数：用来描述数据集的中心位置，最常用的位置参数是平均值和中位数。

平均值是所有数据值的总和除以观测次数，它具有对异常值敏感的特点，所以在存在异常值的情况下，中位数更适合作为位置参数。

2.离散程度参数：用来描述数据集的离散程度或变异程度，最常用的离散程度参数是方差和标准差。

方差是数据偏离平均值的平均平方，标准差是方差的平方根。

方差和标准差越大，代表数据的离散程度越大。

3.偏态参数：用来描述数据分布的对称性或偏斜性。

正偏态表示数据分布向右偏斜，负偏态表示数据分布向左偏斜。

常用的偏态参数是偏态系数，其表示为偏态系数=3*（平均值-中位数）/标准差，偏态系数为0时表示对称分布，大于0表示正偏态，小于0表示负偏态。

4.峰态参数：用来描述数据分布的尖度或平顶性。

正常分布的峰态参数为3，表示正态分布的峰度，大于3表示尖峰分布，小于3表示平顶分布。

二、常见的数据分布特征1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，也是自然界中许多现象的分布形式。

正态分布的特点是对称的钟形曲线，均值和中位数相等，偏态系数为0，峰态系数为32. 偏态分布（Skewed Distribution）：偏态分布是指数据分布不对称的情况，其中正偏态分布是右偏的，负偏态分布是左偏的。

正偏态分布的偏态系数大于0，负偏态分布的偏态系数小于0。

3. 峰态分布（Kurtosis Distribution）：峰态分布是指数据分布的尖度或平顶性，峰态系数大于3表示尖峰分布，峰态系数小于3表示平顶分布。

【精品】定量资料的统计描述定量资料的统计描述是指通过定量数据分布的一系列统计量来描述一个样本或总体的特征。

常用的统计量包括中心位置、离散程度、分布形态和相关性等。

中心位置中心位置是指数据分布的平均水平。

常用的中心位置统计量包括平均数、中位数和众数。

平均数是所有数据值的总和除以数据个数。

它具有良好的代表性，但受极端值的影响较大，因此需要谨慎使用。

中位数是将数据按大小排序后位于中间的数值，当数据存在极端值时，中位数比平均数更能正确反映数据的中心位置。

众数是数据中出现次数最多的数值，适用于分布具有明显峰值的情况。

离散程度离散程度是指数据分布的距离平均值的大小。

常用的离散程度统计量包括标准差、方差、极差和四分位数差等。

标准差是数据离均值的平均距离，是最常用的衡量数据分散程度的统计量。

方差是标准差的平方，由于平方的量级较大，因此比标准差不易解释。

极差是数据最大值与最小值之差，不考虑数据内部的分布情况，因此不具有代表性。

四分位数差是在数据中将数值分为四个部分，即25%、50%、75%三个分位点，然后用75%分位点减去25%分位点，用于描述数据离散程度。

分布形态分布形态是指数据分布的偏态和峰态。

常用的分布形态统计量包括偏度和峰度。

偏度是反映数据分布偏斜程度的统计量，正偏分布表示分布的长尾在分布的右侧，负偏分布表示分布的长尾在分布的左侧。

当偏度为0时，表示分布是对称的。

峰度是反映数据分布峰态的统计量，正峰分布表示分布的峰在分布的中心较高，负峰分布表示分布的峰在分布的中心较低。

当峰度为0时，表示分布的峰态基本接近正态分布。

相关性相关性是指两个变量之间的关联程度。

常用的相关性统计量包括相关系数和协方差。

相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的统计量，取值范围为-1~1之间，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示不相关。

协方差是反映两个变量之间相关性的统计量，数值大小表示两个变量之间的相关程度，但由于单位的影响，不易比较。

统计学容许度指数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述统计学容许度指数是一种用于衡量数据的可靠性和误差程度的指标。

在统计学中，我们常常需要对收集到的数据进行分析和解释，而统计学容许度指数提供了一种衡量数据准确性的方法。

在数据收集和分析过程中，难免会面临各种误差和偏差。

这些误差和偏差可能来自于样本选择的随机性、测量工具的精确度、观察者的主观偏见等等。

因此，我们需要一种客观的指标来评估数据的可靠性，以便更好地理解和利用这些数据。

统计学容许度指数是一种通过对数据进行统计分析、计算和比较的方法来评估数据的准确性和稳定性的指标。

它可以帮助我们衡量数据的误差程度，并确定数据的可靠程度和可信度。

通过统计学容许度指数，我们可以了解数据的可靠性对于分析和决策的影响。

如果数据的容许度指数较高，表示数据的误差较小，我们可以更加自信地使用这些数据进行分析和推断。

相反，如果数据的容许度指数较低，表示数据的误差较大，我们需要对数据进行进一步的检验和修正，以确保分析结果的准确性和可靠性。

在本文中，我们将介绍统计学容许度指数的定义和计算方法，并探讨其应用的价值和未来的发展方向。

通过深入理解和应用统计学容许度指数，我们能够更好地利用统计学的方法和工具，提高数据分析的准确性和可靠性，为决策提供更有效的依据。

1.2 文章结构文章结构部分的内容大致如下：文章结构部分旨在介绍本文的整体组织架构，让读者对文章的内容有一个清晰的概念。

本文共包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分将提供对统计学容许度指数的背景和意义进行概述，介绍统计学容许度指数的定义、计算方法以及其在实际应用中的价值和意义。

引言部分还会明确本文的目的，即通过探讨统计学容许度指数的概念和应用，提供一种新的统计分析工具和决策参考。

正文部分将详细阐述统计学的基本概念，包括统计学的定义、原则和基本方法等内容，为读者建立起对统计学基础知识的理解。

接着，本文将专注于统计学容许度指数的定义和计算方法，并介绍其在实际问题中的具体应用。

简述众数,中位数和均值的特点和应用场合
众数、中位数和均值是统计学中常用的三种集中趋势指标。

1. 众数（mode）：众数是指数据集中出现次数最多的值。

众
数的特点是能够反映数据集的最典型的值，一般用于描述离散型数据，例如调查中某个选项的人数最多的选择。

众数适用于非对称分布的数据，但对于存在多个众数或者数据分布非常平均的情况，众数的解释力较差。

2. 中位数（median）：中位数是指将数据从小到大排列后，处于中间位置的数值。

中位数的特点是对异常值不敏感，能够准确地反映数据的中间位置，一般适用于连续型数据，例如收入、身高等。

中位数适用于偏态分布的数据，但对于数据集较小的情况，中位数可能不太稳定。

3. 均值（mean）：均值是指将数据求和后除以数据的个数得
到的平均值。

均值的特点是能够充分反映数据的整体水平，一般适用于连续型数据。

均值适用于近似对称分布的数据，但对于存在异常值的情况，均值可能会受到较大的影响。

应用场合：
- 众数常用于市场调研、投票结果统计、社会调查等领域，用
于描述离散型数据的最典型值。

- 中位数常用于描述连续型数据的中间位置，例如在统计家庭
收入、商品价格等指标时，可以用中位数更准确地反映整体水平。

- 均值常用于统计实验结果、计算学生平均成绩等，用于计算
数据集的平均水平。

需要注意的是，在实际应用中，选择应用哪种集中趋势指标还要考虑数据的分布情况、是否存在异常值等因素。

同时，不同的集中趋势指标也可以结合使用，以得到更全面的数据分析结果。