[1,N]离散均匀分布

1,N 离散均匀分布样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[105]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N Out[107]= 1.概率密度（质量）函数:Out[108]= 1NkN n k N n k 1&&k N 0 1 1 1N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 1N n k 1&&k N 0 N n TrueOut[109]= 2.累积分布函数:Out[110]= Floor k N n1 k N1k N0True Out[111]= 3.生存（可靠性）函数：Out[112]=1k 11 1 N Floor kN n1 k N 0TrueOut[113]= 4.逆生存函数：Out[114]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N1 1 q 1n 01True,0 1 q 1n 1Out[115]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[116]=1 k NN n1 k 2&&k N 0 1k 2 0 k N 11 k NN n 1 1 k N N n1 1 1 k NN n k 2&&k N 0 0TrueOut[117]= 6.矩母函数 MGF :Out[118]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[119]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[120]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[121]=8.累积量母函数 CGF :Out[122]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[123]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[124]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[125]=10.特征函数:Out[126]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,t Out[127]=11.均值:Out[128]=1 N N n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 nOut[129]=12.中位值:Out[130]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1Out[131]=13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb3Out[132]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 4 1 n N 0 4 1 n 114 1 n 0N True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 2 1 n N 0 2 1 n 112 1 n 0N True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 341nN 0341n11 341n 0NTrue,0341n1Out[133]=14.q 分位数:Out[134]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N q 1n 0 q 1n 11q 1n 0N True,0 q 1n 1Out[135]=15.方差:Out[136]=1 N 11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[137]=16.标准差:Out[138]=1 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nOut[139]=17.一、三四分位数间矩:4 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbOut[140]=ConditionalExpressionN Max 1,Ceiling 341nN341n1&&41n 1N Max 1,Ceiling 4 1 n N341n 1&&41n 1Max 1,Ceiling 341n N Max 1,Ceiling 4 1 n N 341n 1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[141]=18.偏度系数:Out[142]=21 N11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N33N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N 3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N 2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n3 2[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb5Out[143]=19.峰度系数:Out[144]=31 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N46Nn1 N11 nN nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N 2BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4N n 1 N 11 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 NBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N 1 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nN n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,N4 nBernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,N5 n1 N 11 nNnBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N2N nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,N1 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,N2 n26 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nbBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,N3 n2 Out[145]=20.四分偏度系数:Out[146]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 34N Max 1,Ceiling 34 1n N 2Max 1,Ceiling 2 1 n NN Max 1,Ceiling 34 1n N341 342N Max 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n N34N 2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NN Max 1,Ceiling 4 1 n N 34Max 1,Ceiling 34 1n N2Max 1,Ceiling 2 1 n N Max 1,Ceiling 4 1 n NMax 1,Ceiling 34 1n N Max 1,Ceiling 4 1 n NTrueOut[147]=21.r阶原点矩矩:Out[148]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[149]=22.r阶中心矩:Out[150]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[151]=23.r阶阶乘矩:Out[152]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[153]=24.r阶累积量:Out[154]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,n ,rOut[155]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb7Out[156]=k 1NLog1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue1Nk N n k Nnk 1&&k N 01 1 1Nn k N 0&&k 10k N 0 k 1 11Nn k 1&&k N 0 N nTrue8 [1,N]离散均匀分布样本最大值分布-描述统计.nb。

1,N 离散均匀分布样本中位数分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本中位数的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,2n 1 ,n 1 ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,N 1.概率密度（质量）函数:BetaRegularized 1N kN,1 n,1 n BetaRegularized kN,1 n,1 n k 1&&k N 01 BetaRegularized 1 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k N 0 0True2.累积分布函数:BetaRegularized Floor kN,1 n,1 n 1 k N1k N0True3.生存（可靠性）函数：1k 1BetaRegularized N Floor kN,1 n,1 n 1 k N0True4.逆生存函数：ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 InverseBetaRegularizedq,1 n,1 nInverseBetaRegularizedN InverseBetaRegularized 1True5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb1 BetaRegularized k N N,1 n,1 n1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 BetaRegularized k N N,1 n,1 nBetaRegularized 1 k NN,1 n,1 nBetaRegularized 1 k N N ,1 n,1 nk 2&&k N 0True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,t 11.均值:Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n 12.中位值:ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized NTrue13.四分位数列表:[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb3ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 12,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N TrueConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True14.q分位数:ConditionalExpression Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized q,1 n,1 nInverseBetaRegularized1InverseBetaRegularized N True15.方差:Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n16.标准差:StandardDeviationOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n17.一、三四分位数间矩:4[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression 1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularizedNMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1NMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nMax 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 10True0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 118.偏度系数:Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n19.峰度系数:Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n20.四分偏度系数:1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize1,1 n,1 n &&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb54,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Indeterminate InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n1 InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize12,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized34,1 n,1 n ComplexInfinity InverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized,1 n,1 n 1InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularize14,1 n,1 n &&InverseBetaRegularized3 4,1 n,1 n1 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 1 Max 1, Ceiling N InverseBetaRegularized1 4,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&InverseBetaRegularized2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 1,1 n,1 n N Max 1,0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&& InverseBetaRegularized1&&6[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nbConditionalExpression4,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&InverseBetaRegularized11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1 11 N 1 N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 nInverseBetaRegularized14,1 n,1 n 0&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 1N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize12,1 n,1 n 11 2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n 1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized 2 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized3,1 n,1 n 1&&[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb7Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n4,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized2N Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n0 InverseBetaRegularized14,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 1&&InverseBetaRegularized1 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n1 Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized0&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1N 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 34,1 n,1 nN Max 1,CeilingN InverseBetaRegularized34,1 n,1 nInverseBetaRegularized1&&0 InverseBetaRegularize34,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized12,1 n,1 n 1Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized 14,1 n,1 n 2Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized12,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized14,1 n,1 n Max 1,Ceiling N InverseBetaRegularized34,1 n,1 nTrue&&8 [1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb0 InverseBetaRegularized 12,1 n,1 n 1&&0 InverseBetaRegularized 34,1 n,1 n 121.r 阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 22.r 阶中心矩:CentralMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 23.r 阶阶乘矩:FactorialMomentOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 24.r 阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,1 2n ,1 n ,r 25.信息熵：k 1NLogBetaRegularized 1Nk N ,1 n,1 n BetaRegularized k N,1 n,1 n k 1&&k1 BetaRegularized 11N,1 n,1 n k 1&&k BetaRegularized 1N,1 n,1 n k 1&&k 0True[1,N]离散均匀分布样本中位数分布-描述统计.nb9。

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：一、 背景：若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為nx f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.21)(+=n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即21+n 證明：∑=⋅=nx nx X E 11)(n n n 12)1(⋅+= 21+=n 2. 121)(2-=n X Var證明：nx X E nx 1)(122⋅=∑=nn n n 16)12)(1(⋅++=61322++=n n[]22)()()(X E X E X Var -==22)21(6132+-++n n n 1212-=n3.Moment Generating Function xt nx x e nt m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=nx tx x f e 1)(xt n x e n∑==11)1()1(ttn t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：371)()(=x f a 36,...,2,1=x 3710)101()(=≤≤X P b3718)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 371)0()(==X P d 四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(Nn 個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為)(1)(N nx f = )(,...,2,1Nn x =（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：一、 背景：當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(βααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數X的分布函數為⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=ββααβααx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：三、性質：1.2)(βα+=X E證明：⎰=βαdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅=βααβ1βααβ212x -=)(x fαβ-1α β x )(x F1x α β2122αβαβ--=2βα+=2.12)()(2αβ-=X Var證明：dx x f x X E )()(22⎰=βα dx x αββα-⋅=⎰12 βααβ313x -=3133αβαβ--=322βαβα++=22)]([)()(X E X E X Var -=222)2(3βαβαβα+-++=4232222βαβαβαβα++-++=12)(2αβ-=3.Moment Generating Function )()(αβαβ--=t e e t M t t X證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=βα dx e tx αββα-⋅=⎰1βααβtx e t 11⋅-=)(αβαβ--=t e e t t4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：定理：令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴)1,0(~U Y10,)(<<=≤⇒y y y Y P1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。

并通过程序产生伪随机数进行模拟。

N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。

总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。

X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。

一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。

当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。

我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。

整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。

同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。

二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。

三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

均匀分布求边缘概率密度概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨均匀分布中的边缘概率密度函数(Marginal Probability Density Function, MPDF)的求解方法和应用。

均匀分布是概率论中一种重要的分布类型，它描述了随机变量在取值上的均匀性和等可能性。

而边缘概率密度函数则是对多维随机变量的某个特定维度进行独立分析时使用的一种工具。

1.2 文章结构文章主要分为以下几个部分：引言、均匀分布的概念、边缘概率密度函数(MPDF)以及其定义与作用、求解方法与示例计算，以及结论与展望。

在引言部分，我们将介绍本文的目的、内容安排和研究意义。

接下来，我们将深入探讨均匀分布的定义和特征，并通过等可能原理解释其重要性。

然后我们将详细介绍边缘概率密度函数(MPDF)及其在统计学中的作用和意义。

紧接着，我们将介绍求解均匀分布下边缘概率密度函数(MPDF)的方法，并提供具体计算示例。

最后，在结论与展望部分，我们将总结本文的研究内容，并对结果进行解释和分析，同时也指出了本文研究的局限性和未来可进一步研究的方向。

1.3 目的本文旨在明确阐述均匀分布中求解边缘概率密度函数(MPDF)的过程与方法，以及探讨其在统计学中的应用场景。

通过把握边缘概率密度函数的定义和作用，读者将能够更好地理解多维随机变量中各个维度之间的关系，同时也能够更准确地分析和预测随机事件的发生概率。

此外，本文还将介绍数值计算中常用工具或软件对均匀分布进行边缘概率密度求解的说明与应用示例，帮助读者更好地应用先进技术进行数据处理和分析。

通过深入研究与实例演示，读者将获得有关均匀分布与边缘概率密度函数(MPDF)相关知识，并为未来相关领域的研究提供启示和借鉴。

2. 均匀分布的概念2.1 定义和特征在统计学中，均匀分布是指随机变量在一定范围内取值时具有相同概率密度的概率分布。

它的特点是各个数值点上的概率密度相等，即处于给定区间内任意子区间上的概率都是相等的。

1,N 离散均匀分布样本最小值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 1,N 区间内离散均匀分布DU 1，N 样本最小值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、累积分布函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

In[53]:=dist DiscreteUniformDistribution 1,N ;dist1 OrderDistribution dist,n ,1"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist1"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist1,k Log PDF dist1,k , k,1,NOut[54]=OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[55]= 1.概率密度（质量）函数:Out[56]= 1 kN n 1 1N k N n k 1&&k N 0 N n k N 0&&k 1 0k N 0 k 1 1 N n k 1&&k N 0 1 1 1N n TrueOut[57]= 2.累积分布函数:Out[58]=1 1 Floor kN n1 k N 1k N0TrueOut[59]= 3.生存（可靠性）函数：Out[60]=1k 1 N Floor k N n1 k N 0TrueOut[61]= 4.逆生存函数：Out[62]=ConditionalExpression Max 1,Ceiling N 1 q1n 0 q1n 1N q1n 01True,0 q1n 1Out[63]= 5.风险函数（故障率）:2[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[64]=1 k N Nn1 k 2&&k N 01k 2 0 k N 1 1 k N Nn11 k N Nn1k N Nnk 2&&k N 00TrueOut[65]= 6.矩母函数 MGF :Out[66]=MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[67]=7.中心矩母函数 CMGF :Out[68]=CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[69]=8.累积量母函数 CGF :Out[70]=CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[71]=9.阶乘矩母函数 FMGF :Out[72]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[73]=10.特征函数:Out[74]=CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,t Out[75]=11.均值:Out[76]=Mean OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[77]=12.中位值:Out[78]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1Out[79]=13.四分位数列表:Out[80]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 34N 0 1 341n 111 341n 0NTrue,0341n1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 2 1 n N 0 1 2 1 n 111 2 1 n 0NTrue,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpressionMax 1,Ceiling 1 4 1 n N 0 1 4 1 n 111 4 1 n 0NTrue,0 4 1 n 1[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb3Out[81]=14.q 分位数:Out[82]=ConditionalExpressionMax 1,Ceiling N 1 1 q 1n 0 1 1 q 1n 111 1 q 1n0NTrue,0 1 q 1n 1Out[83]=15.方差:Out[84]=Variance OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[85]=16.标准差:Out[86]=StandardDeviation OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[87]=17.一、三四分位数间矩:Out[88]=ConditionalExpression1 Max 1,Ceiling N 341n N341n 1&&41n 11 Max 1,Ceiling N 4 1 nN341n1&&41n 1 Max 1,Ceiling N 341nN Max 1,Ceiling N4 1 nN341n1&&41n 10True,0341n1&&0 4 1 n 1Out[89]=18.偏度系数:Out[90]=Skewness OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[91]=19.峰度系数:Out[92]=Kurtosis OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 Out[93]=20.四分偏度系数:4 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nbOut[94]=ConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 341 Max 1,Ceiling N 34 1n N2Max 1,Ceiling N 2 1 n N1 Max 1,Ceiling N 34 1n N342 Max 1,Ceiling N 34 1n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n N342Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n N1 Max 1,Ceiling N 4 1 n N34Max 1,Ceiling N 34 1n N 2Max 1,Ceiling N 2 1 n NMax 1,Ceiling N 4 1 n NMax 1,Ceiling N 34 1n N Max 1,Ceiling N 4 1 n NTrueOut[95]=21.r阶原点矩矩:Out[96]=Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[97]=22.r阶中心矩:Out[98]=CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[99]=23.r阶阶乘矩:Out[100]=FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[101]=24.r阶累积量:Out[102]=Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution 1,N ,n ,1 ,rOut[103]=25.信息熵：[1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb5Out[104]=k 1NLog1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 1 1Nn True1k Nn 11Nk Nn k 1&&k N 0N n k N 0&&k 10k N 0 k 1 1 N nk 1&&k N 0 1 11Nn True6 [1,N]离散均匀分布样本最小值分布-描述统计.nb。

离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值分布基于Wolfram Mathematica9,下表给出了 N1,N2 区间内离散均匀分布DU N1,N2 样本最大值的概率密度（质量）函数、累积分布函数、生存函数、逆生存函数、风险函数（故障率）、矩母函数 MGF 、中心矩母函数 CMGF 、累积量母函数 CGF 、阶乘矩母函数 FMGF 、特征函数的计算和结果表达式，均值、中位值、众数、四分位数列表、q分位数、方差、标准差、一三四分位数间矩、偏度系数、峰度系数、四分偏度系数、r阶原点矩、r阶中心矩、r阶阶乘矩、r阶累积量、信息熵等描述性统计量的计算和结果表达式。

"四.样本极大值分布："dist DiscreteUniformDistribution N1,N2 ;dist1 OrderDistribution dist,n ,n ;"1.概率密度（质量）函数:"PDF dist1,k"2.累积分布函数:"CDF dist1,k"3.生存（可靠性）函数："SurvivalFunction dist1,k"4.逆生存函数："InverseSurvivalFunction dist1,q"5.风险函数（故障率）:"HazardFunction dist1,k"6.矩母函数 MGF :"MomentGeneratingFunction dist1,t"7.中心矩母函数 CMGF :"CentralMomentGeneratingFunction dist1,t"8.累积量母函数 CGF :"CumulantGeneratingFunction dist1,t"9.阶乘矩母函数 FMGF :"CharacteristicFunction dist1,t"10.特征函数:"CharacteristicFunction dist1,t"11.均值:"Mean dist1"12.中位值:"Median dist1"13.四分位数列表:"Quartiles dist1"14.q分位数:"Quantile dist1,q"15.方差:"Variance dist1"16.标准差:"StandardDeviation dist12[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb"17.一、三四分位数间矩:"InterquartileRange dist1"18.偏度系数:"Skewness dist1"19.峰度系数:"Kurtosis dist1"20.四分偏度系数:"QuartileSkewness dist1"21.r阶原点矩矩:"Moment dist1,r"22.r阶中心矩:"CentralMoment dist1,r"23.r阶阶乘矩:"FactorialMoment dist1,r"24.r阶累积量:"Cumulant dist1,r"25.信息熵："Sum PDF dist,k Log PDF dist1,k , k,N1,N2Clear dist1四.样本极大值分布：1.概率密度（质量）函数:1 k N11 N1 N2 n 11 N1 N2 1 k N11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 1 11 N1 N2 n k N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 01 11 N1 N2 n k N1 0&&k N2 01 N1 N2 n True2.累积分布函数:1 N1 Floor k 1 N1 N2 n N1 k N21k N20True3.生存（可靠性）函数：1k N11 1 N2 Floor k1 N1 N2 n N1 k N20True4.逆生存函数：ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 1 q 1n 0 1 1 q 1n 1N21 1 q 1n 0N1True,0 1 q 1n 1 5.风险函数（故障率）:1 k N21 N1 N2 n0 k N1 1&&k N2 01k N1 1 0 k N2 11 k N21 N1 N2 n 1 1 k N21 N1 N2 n1 1 1 k N21 N1 N2 n k N1 1&&k N2 00True6.矩母函数 MGF :MomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t7.中心矩母函数 CMGF :CentralMomentGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t8.累积量母函数 CGF :CumulantGeneratingFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t9.阶乘矩母函数 FMGF :CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t10.特征函数:CharacteristicFunctionOrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,t11.均值:1 N211 n 1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N212.中位值:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 113.四分位数列表:[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb3ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2 0 4 1 n 1N14 1 n 0N2True,0 4 1 n 1 ,ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling2 1 n 1 N1 N2 0 2 1 n 1N12 1 n 0N2True,0 2 1 n 1 ,ConditionalExpression 1 N1 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N2 0341n1N1 341n 0N2True,0341n114.q 分位数:ConditionalExpression1 N1 Max 1,Ceiling 1 N1 N2 q 1n 0 q 1n 1N1q 1n 0N2True,0 q 1n 115.方差: 1 N1 2 1 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 BernoulliB3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N23 n16.标准差:4 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb1 N1 21 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N12 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N2 12 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N217.一、三四分位数间矩:ConditionalExpression1 N1 N2 Max 1,Ceiling 341n1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 341n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2018.偏度系数: 1 N1 321 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N233 1 N1 22 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 31 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N12 2 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb51 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N23 219.峰度系数: 1 N1 431 N211 n1 N1 N2 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N244 1 N1 32 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N26 1 N1 2 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N26 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2 61 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N221 N12 2 1 N1 2 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N24 1 N1 1 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N214 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N2 41 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 3 3 1 N1 22 N1 N2 11 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N23 1 N11 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N213 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n3 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb713 n 3 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 14 nBernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n4 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N213 n6 BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 14 n 4 BernoulliB 4 n,1 BernoulliB 4 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,1 N1 N2 15 n BernoulliB 5 n,1 BernoulliB 5 n,2 N1 N21 N1 21 N211 n1 N1 N2nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N222 1 N1 2 N1 N211 n1 N1 N2 n BernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,2 N1 N21 N1 N2 n11 nBernoulliB 1 n,1 BernoulliB 1 n,1 N1 N212 n 2 BernoulliB 2 n,1 BernoulliB 2 n,1 N1 N2 13 n BernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,1 N1 N2 13 nBernoulliB 3 n,1 BernoulliB 3 n,2 N1 N2220.四分偏度系数:8 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nbConditionalExpression 1 34 Indeterminate 34 ComplexInfinity 341 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2341 342 2N1 2N2 Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2341 N1 N2 2Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N21 N1 N2 Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N234Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N22Max 1,Ceiling 2 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 34 1n 1 N1 N2Max 1,Ceiling 4 1 n 1 N1 N2True21.r阶原点矩矩:Moment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r22.r阶中心矩:CentralMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 23.r阶阶乘矩:FactorialMoment OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r 24.r阶累积量:Cumulant OrderDistribution DiscreteUniformDistribution N1,N2 ,n ,n ,r[N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb9"25.信息熵："k N1N2Log1 k N11 N1 N2n11 N1 N21 k N11 N1 N2nk N1 0&&k N2 01 111 N1 N2nk N2 0&&k N1 00k N2 0 k N1 0 111 N1 N2n k N1 0&&k N2 0 1 N1 N2 nTrue11 N1 N2N1 k N20True10 [N1,N2]离散均匀分布样本最大值分布.nb。

数学基础-概率论01（离散型分布）⽬录：1.离散型1.1 单点分布单点分布(one-point distribution)亦称⼀点分布，或称退化分布，是⼀种最简单的离散型分布。

假如随机变量X仅取数值a，即P{X=a}=1，则称随机变量X服从单点分布或退化分布。

单点分布的均值E(x)=a，⽅差Var(x)=0。

如果随机变量X有有限均值和零⽅差，则随机变量X服从单点分布。

概率函数：$$P(x)= \begin{cases} {1}, & \text {x=a} \\ 0, & \text{x!=a} \end{cases}$$期望值$E(X)=a$；⽅差 $Var(X)=0$特点：该分布下数据衡等于a1.2 两点分布两点分布( two-point distribution)即“伯努利分布”或者0-1分布，是⼀个离散型概率分布。

在⼀次试验中，事件A出现的概率为P，事件A不出现的概率为q=1-p概率函数：$$P(x)= \begin{cases} p, & \text {x=a} \\ q, & \text{x=b} \end{cases}$$两点分布的均值$E(X)=pa+qb$，⽅差$V(X)=pq(a-b)^2$。

特点：该分布下数据仅有两个可取值，且任意⼀次随机，取a或b的概率不变1.3 均匀分布离散型均匀分布是⼀个离散型概率分布，其中有限个数值拥有相同的概率,典型的如抛硬币，掷⾊⼦概率密度函数：期望：$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx=\int_{a}^{b} \frac{x}{b-a}dx=\frac{b-a} {2}$⽅差：$V(X)=\frac {(b-a)^2} {12}$特点：1.4 ⼆项分布⼆项分布就是重复n次独⽴的伯努利试验,在每次试验中只有两种可能的结果，⽽且两种结果发⽣与否互相对⽴，并且相互独⽴，与其它各次试验结果⽆关，事件发⽣与否的概率在每⼀次独⽴试验中都保持不变，则这⼀系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，⼆项分布服从0-1分布。

（Ⅰ）離散均勻分配（Discrete Uniform on Distributi ）：一、 背景：若隨機變數有n 個不同值，具有相同機率，則我們稱之為離散型均勻分配，通常這都發生在我們不確定各種情況發生的機會，且認為每個機會都相等，例如：投擲骰子、銅幣、、、等等 二、定義：設離散隨機變數X 之可能變量有n ,...,2,1， 若其機率函數為nx f 1)(= n x ,...2,1= 則此種機率分配稱為離散均勻分配 三、性質： 1.21)(+=n X E ，由於機率值相等，故平均數為中心點， 即21+n 證明：∑=⋅=nx nx X E 11)(n n n 12)1(⋅+= 21+=n 2. 121)(2-=n X Var證明：nx X E nx 1)(122⋅=∑=nn n n 16)12)(1(⋅++=61322++=n n[]22)()()(X E X E X Var -==22)21(6132+-++n n n 1212-=n3.Moment Generating Function xt nx x e nt m ∑==11)( 證明：[]tx x e E t m =)( ∑=⋅=nx tx x f e 1)(xt n x e n∑==11)1()1(ttn t e n e e --=+ 例題：一輪盤分37個面積相等扇形，每個扇形上分別標明0 到36號，轉動輪盤，指針所指之數字為X ，若指針所 指之編號服從離散均勻分配，求 X a )(之機率函數？X b )(位在1到10號間機率為何？ )(c 奇數格內機率為何？ )(d 0號之機率為何？ 解：371)()(=x f a 36,...,2,1=x 3710)101()(=≤≤X P b3718)()(=為基數X P c （∵0到36共有18個奇數） 371)0()(==X P d 四、應用：我們可用隨機亂數表自均勻分配中抽出樣本，若自N 個物品之母體中抽出n 個物品為一簡單隨機樣本，則有)(Nn 個可能樣本，而這些樣本被抽出之機率均相同，則這些樣本之分配為)(1)(N nx f = )(,...,2,1Nn x =（Ⅱ）連續型均勻分配（Continuous Uniform on Distributi ）：一、 背景：當我們認為一變數值在某區間（α，β）內發生的機率一樣時，我們稱之為連續型均勻分配 二、定義：設X 為一隨機變數，若其機率密度函數為⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(βααβx x f 則稱X 為在區間（α，β）上均勻分布的隨機變數，以),(~βαU X 表示，其中α、β為均勻分布的兩個參數X的分布函數為⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=ββααβααx x x x x F ,1,,0)( )(x f 及)(x F 以圖形表示如下：三、性質：1.2)(βα+=X E證明：⎰=βαdx x xf X E )()( dx x ⎰-⋅=βααβ1βααβ212x -=)(x fαβ-1α β x )(x F1x α β2122αβαβ--=2βα+=2.12)()(2αβ-=X Var證明：dx x f x X E )()(22⎰=βα dx x αββα-⋅=⎰12 βααβ313x -=3133αβαβ--=322βαβα++=22)]([)()(X E X E X Var -=222)2(3βαβαβα+-++=4232222βαβαβαβα++-++=12)(2αβ-=3.Moment Generating Function )()(αβαβ--=t e e t M t t X證明：][)(tX X e E t M = dx x f e tx )(⎰=βα dx e tx αββα-⋅=⎰1βααβtx e t 11⋅-=)(αβαβ--=t e e t t4.任一隨機變數與（0，1）間之均勻隨機變數有函數關 係，以下是此特性之定理：定理：令)1,0(~U Y ，)(1Y F X -=)(x F 為連續型分配函數且1)(,0)(==b F a F 在b x a <<時，)(x F 嚴格遞增（b a ,可能分別為∞∞-,），則隨機變數)(1Y F X -=的分配函數為)(x F證明：])([)(1x Y F P x X P ≤=≤-)(x F 為嚴格遞增，)()(1x F Y x Y F ≤⇒≤- )]([)(x F Y P x X P ≤=≤∴)1,0(~U Y10,)(<<=≤⇒y y y Y P1)(0),()]([)(<<=≤=≤∴x F x F x F Y P x X P X ∴的分配函數為)(x F 逆定理：令X 具有連續型且嚴格遞增的分配函數)(x F ，則隨機變數Y 定義為)(X F Y =具有)1,0(U 的分配證明：10],)([)(<<≤=≤y y X F P y Y P)()(1y F X y X F -≤⇒≤ )]([)(1y F X P y Y P -≤=≤∴ )()(x F x X P =≤y y F F y F X P y Y P ==≤=≤⇒--)]([)]([)(11 10<<y )1,0(~)(U X F Y =∴例題：設從7點開始每隔15分鐘有一班車到站，若一乘客到 站的時間是均勻分布在7點和7點半之間。

数学期望：随机变量最根本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

它是简单算术平均的一种推广。

例如*城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为*，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(*)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：1、一个完全符合分布的样本2、这个样本的方差概率密度的概念是：*种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。

比方*地*次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知*=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。

下列图为概率密度函数图(F(*)应为f(*)，表示概率密度)：离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、*2分布、t分布、F分布二项分布〔binomial distribution〕：例子抛硬币1、重复试验〔n个一样试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验〕2、P(*=0), P(*=1), P(*=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布〔possion distribution〕：1、一个单位〔时间、面积、空间〕*稀有事件2、此事件发生K次的概率3、P(*=0), P(*=1), P(*=3), ……….所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布二项分布与泊松分布的关系：二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下列图：指数分布〔e*ponential distribution〕：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比方旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。