幂函数检测

一、选择题1．(文)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，则4α＝12，α＝－12，即f (x )＝x 12-，于是f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫1412-＝2.1．(理)已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．(2013·临沂模拟)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：选D ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．D 项正确．3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．－b 2a B ．－baC ．cD.4ac －b 24a解析：选C ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba .∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·ba＋c ＝c .5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0 C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.6．(理)(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≥0. 解得－235≤a ≤1.6．(文)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 二、填空题7．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a24c ，解得c ＝9. 答案：98．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________． 解析：由已知a >0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号， ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：29．已知函数y ＝mx 2＋(m －3)x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立． 当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(m －3)2－4×m ×1≥0， 解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)． 答案：[0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0， 16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0， 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15，或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15(x －1)(x －3)．11．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a .①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]． 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，∵f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于 －1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.故b的取值范围为[－2,0]。

《幂函数》同步检测基础练1.(多选)下列函数中，不是幂函数的是( )A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x2 2.列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数3.设a＝3412⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3415⎛⎫⎪⎝⎭，c＝122，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a4.下列是y＝x 23的图象的是( )5.已知f(x)＝x 12，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )A．f(a)<f(b)<f(1a)<f(1b)B．f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f(1b)<f(1a)D．f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)能力练6.给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．7.函数y ＝3x α－2的图象过定点________．8.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点22⎛ ⎝⎭,，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．9.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >010.若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－111.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23n n-(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或212.已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A．0 B．1 C．2 D．313.（多选）已知函数y=(m-1)x m2-m为幂函数，则该函数为 ()A.奇函数B.偶函数C.区间(0，+∞)上的增函数D.区间(0，+∞)上的减函数14.已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________．15.若(a＋1)12-＜(3－2a)12-，则a的取值范围是________．16.已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域．【参考答案】1.BCD2.C 解析：当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.3.B 解析：构造幂函数y ＝34x ，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝122>1，知a <c .故c >a >b .4.B 解析：y ＝23x ∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )f (x )，即y ＝23x 是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．5.C 解析：因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.6.④ 解析：当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确． ④正确．7. (1，1) 解析：依据幂函数y ＝x α性质，x ＝1时，y ＝1恒成立，所以函数y ＝3x α－2中，x ＝1时，y ＝1恒成立，即过定点(1，1)．8. 解：设y ＝x α(α∈R )，∵图象过点22⎛ ⎝⎭,，∴2α＝22，α＝－12，∴f (x )＝12x -. ∵函数y ＝12x -＝1x，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．9. A 解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m >2n ，所以n <m <0 10. A 解析：根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．11. B 解析：由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.12. B 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5<0(m ∈N )，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1，故选B. 13.BC 解析: 由y =(m -1)x m2-m为幂函数，得m -1=1，即m =2，则该函数为y =x 2，故该函数为偶函数，且在区间(-∞，0)上是减函数，在区间(0，+∞)上是增函数.故选B 、C . 14. (1，＋∞) 解析：由幂函数的图象特征知α>1.15. 2332⎛⎫⎪⎝⎭, 解析：12(1)a -+＜12(32)a --⇔1211a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＜12132a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，函数y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.16.解： 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1，0，1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件①、②都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件①、②都满足，且在区间[0，3]上是增函数． 所以x ∈[0，3]时，函数f (x )的值域为[0，27]．。

3.3 幂函数新课标要求通过具体实例，结合231,,,,y x y y x y x y x x=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。

知识梳理一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性 增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减三、一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．名师导学知识点1 幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.【变式训练1-1】给出下列函数:①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2.其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .【变式训练1-2】已知幂函数y=(m 2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域.解:∵y=(m 2-m-1)为幂函数,∴m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,则y=x -3(x ≠0);当m=-1时,m 2-2m-3=0,则y=x 0(x ≠0).故所求幂函数的解析式为y=x -3(x ≠0)或y=x 0(x ≠0).知识点2 幂函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例2-1】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2. 在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.知识点3 幂函数的性质比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= ( )A .2B .-1C .4D .2或-1A 【解析】因为f (x )为幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以m 2-2m-2<0,所以m=2.故选A .【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3432⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝34x 在(0，＋∞)上单调递增， 又32>1，∴3432⎛⎫⎪⎝⎭>341 ＝1. 又∵函数y 2＝32x 在(0，＋∞)上单调递增，且34<1，∴3234⎛⎫⎪⎝⎭<321 ＝1，∴3432⎛⎫ ⎪⎝⎭>3234⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式训练2-1】比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)－3.143与－π3.解 (1)∵y ＝x 0.3在[0，＋∞)上单调递增且23>13，∴⎝⎛⎭⎫230.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.【变式训练2-2】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+ <()332m a -- 的a 的取值范围．解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()131a -+<()1332a --.因为y ＝13x- 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32.名师导练A 组-[应知应会]1．已知点,在幂函数y=f (x )的图像上,则 ( ) A .f (x )= B .f (x )=x 3 C .f (x )=x -2D .f (x )=xB [解析] 设f (x )=x a ,由题意知a==3,所以a=3,所以f (x )=x 3.故选B .2．（2021秋•三明期末）已知幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)，则实数m 的值是() A ．1-B ．12C ．2D ．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m 的值． 【解答】解：幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)， 2128m -∴=，2m ∴=，故选：C ．3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间． 【解答】解：设幂函数()f x x α=，函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数a Q ∈，如图为幂函数a y x =的图象，则a 的值可以为( )A ．23B ．32 C ．23-D ．32-【分析】根据幂函数的图象关于y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C 选项正确． 【解答】解：根据幂函数a y x =的图象关于y 轴对称，函数是偶函数，排除B 、D 选项； 再根据幂函数a y x =的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数， 所以0a <，排除A ，即C 选项正确． 故选：C ．5．已知幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m 的值为 ( )A .-1B .3C .-1或3D .1或-3B [解析] 因为幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-2m-2=1且m 2+m-1>0,解得m=3,则实数m 的值为3.6．（2021秋•白山期末）若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(= ) A ．14B ．12C ．2D ．4【分析】根据幂函数的定义，令2221m m --=，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数在(0,)x ∈+∞上为增函数即可，确定m 的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．【解答】解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数， 所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -， 所以3m =，2()f x x =， 从而f （2）224==， 故选：D ．7．（2020秋•河南月考）幂函数223()mm y x m Z +-=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-【分析】依题意，2m =-或1-或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<， 再由m Z ∈可得，2m =-或1-或0． 又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意； 若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意； 若0m =，则2233m m +-=-，符合题意， 综上，2m =-或0． 故选：A ．8．（2022春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【分析】先判断1b >，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小． 【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．9．(多选题)已知幂函数f (x )= (m ,n ∈N *,m ,n 互质),则下列关于f (x )的结论正确的是( )A .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数B .当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数C .当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递减D .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )的定义域为R ABD [解析] f (x )==.当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数,故B 中的结论正确;当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,故C 中的结论错误;当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )=的定义域为R,故D 中的结论正确.故选ABD .10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误； 对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确． 故选：CD ．11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为 ．【分析】利用待定系数法求出幂函数()y f x =的解析式，再计算1()16f 的值．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈；其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f (x )=(m 2-5m+7)x m-1为偶函数,则实数m 的值为 .3 [解析] ∵f (x )为幂函数,∴m 2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f (x )=x 为奇函数,不满足题意;当m=3时,f (x )=x 2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.13．（2021秋•湖州期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为 ；函数()f x 为 函数．（填“奇”或“偶” )【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可． 【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)， 28α∴=，3α∴=，3()f x x ∴=，定义域为R ，又33()()()f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴是奇函数，故答案为：3，奇．14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数22(22)m y m m x -=--在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知2221m m --=，再根据函数在(0,)+∞上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．【解答】解：因为函数22(22)m y m m x -=--既是幂函数又是(0,)+∞的减函数， 所以222120m m m ⎧--=⎨-<⎩⇒312m m m ==-⎧⎨<⎩或，解得：1m =-． 故答案为：1-．15．（2021秋•道里区校级月考）当01x <<时， 1.1()f x x =，0.9()g x x =，2()h x x -=的大小关系是 ．【分析】画出这三个函数在区间(0,1)上的图象可得答案． 【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知()()()f x g x h x <<故答案为()()()f x g x h x <<16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)n n f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n = ，f （2）= ．【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出n 的值，写出()f x 的解析式，再计算f （2）的值．【解答】解：函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<，解得13n -<<；又2n k =，且k N ∈，所以0n =，2，当0n =时，3()f x x =；当0n =时，3()f x x =；所以f （2）328==．故答案为：0，2；8．17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点P 8,.(1)求函数f (x )的解析式;(2)画出函数f (x )的图像,并指出其单调区间.解:(1)设f (x )=x α. ∵f (x )的图像过点P 8,,∴8α=,即23α=2-1,解得α=-,故函数f (x )的解析式为f (x )=(x ≠0). (2)作出函数f (x )的图像如图所示.由图可知,函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点(2,).(1)求出函数f (x )的解析式,判断并证明f (x )在[0,+∞)上的单调性;(2)若函数g (x )是R 上的偶函数,当x ≥0时,g (x )=f (x ),求满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )=x α,将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=, 所以f (x )=.幂函数f (x )==在[0,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-==, 因为x 1-x 2<0,+>0,所以f (x 1)<f (x 2), 故幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增.(2)当x ≥0时,g (x )=f (x ),而幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增, 所以当x ≥0时,g (x )单调递增.因为函数g (x )是R 上的偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递减. 由g (5)=,g (1-m )≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m ≤6,所以满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围为[-4,6]. B 组-[素养提升]1．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A ．1B ．0,2C ．－1,1,3D ．0,1,2答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x -- (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数，由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m ＝－1,1,3.2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，()(1)m g x m x =-为幂函数．（Ⅰ）求函数()f x 与()g x 的解析式；（Ⅱ）当a R ∈时，解关于x 的不等式：()()af x g x <．【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）分0a <或4a >，0a =，4a =，04a <<四种情况讨论即可．【解答】解：()I 根据一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，设()f x kx b =+，则112b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则()1f x x =- ()(1)m g x m x =-为幂函数，则2m =，故2()g x x =()()()II af x g x <即2(1)a x x -<，则△24(4)a a a a =-=-当0a <或4a >时，不等式的解集为24{|}a a a x x --或24{|}a a a x x +->， 当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当4a =时，不等式的解集为{|2}x x ≠当04a <<时，不等式的解集为R ．。

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幕函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1幕函数y= f(x)经过点(3, 3)，则f(x)是()A•偶函数，且在(0,+^ )上是增函数B. 偶函数，且在(0,+^ )上是减函数C .奇函数，且在(0 ,+^ )上是减函数D •非奇非偶函数，且在(0,+^ )上是增函数解析：选D 设幕函数的解析式为y= x a,将(3, 3)代入解析式得3 a= 3，解得1a 2，所以y= x2 .故选D.2. (2018丽水调研股函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0, x € R),对任意实数t都有f(2 + t)= f(2-1)成立，在函数值f( —1), f(1), f(2), f(5)中，最小的一个不可能是()A. f(—1)B. f(1)C. f(2)D. f(5)解析：选B 由f(2 + t)= f(2 —t)知函数y= f(x)的图象对称轴为x = 2.当a>0时，易知f(5) = f(—1) > f(1) > f(2);当a v 0 时，f(5) = f(—1) v f(1) v f(2)，故最小的不可能是f(1).3. (2018金华模拟)已知幕函数y= f(x)的图象经过点2, 4，则它的单调递增区间为( )A. (0,+^ )B. ［0,+^ )C.(―汽0)D. ( — m,+m )解析：选C设幕函数f(x)=x a,••• f(x)的图象经过点2, 1 ,••• 2a= 1,解得a= —2,则f(x) = x—2= 4,且X M 0,••• y= x2在(—s, 0)上递减，在(0,+ s)上递增，•函数f(x)的单调递增区间是(一s, 0).4. 定义：如果在函数y= f(x)定义域内的给定区间［a , b］上存在x o(a v x o< b),满足f(x。

) =f［一fa，则称函数y= f(x)是［a , b］上的“平均值函数”，x°是它的一个均值点，如yb—a=x4是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点. 现有函数f(x) = —x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数，则实数m的取值范围是____________ .解析：因为函数f(x)=—x2+ mx+ 1是［—1,1］上的平均值函数,设X 0为均值点，所以X 。

章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a 14 ·a －34等于( ) A ．a －12B ．a －316C ．a 13 D ．a2．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．()0，1B ．()1，2C ．()2，3D ．()3，43．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，534．设a ＝log 20.3，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a5．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－1的单调递增区间为( )A ．(]－∞，0B ．[)0，＋∞C ．()－1，＋∞D ．()－∞，－16．函数f(x)＝e x ＋1|x|（e x－1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝52，lg 2＝0.301 0，则x 的值约为( )A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.6698．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln()x ＋1，x>0 ，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 10．下列说法正确的是( ) A ．函数f ()x ＝1x在定义域上是减函数B ．函数f ()x ＝2x－x 2有且只有两个零点C ．函数y ＝2|x |的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称11．已知函数f ()x ＝log a x ()a >0，a ≠1图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( ) A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若x >1，则f (x )>0 D ．若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.12．已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，且实数a >b >c >0，满足f (a )f (b )f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．) 13．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)22m mx+的图象不经过原点，则实数m 的值为________．14．已知3a＝5b＝A ，且b ＋a ＝2ab ，则A 的值是________．15．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g (x )＝ax ＋m－3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝3|x ＋a |(a ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，则实数a 的值为________；若f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值： (1)31log 43＋2log 92－log 329(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋π0＋log 223－log 416918.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(2)从上述对应填表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)若函数f (x )在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之和为6，求实数a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3，求3x ＋3－x的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x－1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求f (x )的值域．21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f (x )＝0.03x ＋8，②f (x )＝0.8x＋200，③f (x )＝100log 20x ＋50，x ∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.(1)若函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，若x ∈(0，1]时，2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0恒成立，求实数t 的取值范围．章末质量检测(四) 幂函数、指数函数和对数函数1．解析：a 14·a －34＝1344a -＝a －12.故选A. 答案：A2．解析： 设f (x )＝2x －1＋x －5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y ＝2x －1与y ＝x 在R 上都是递增函数，所以f (x )在R 上单调递增，故函数f (x )＝2x －1＋x －5最多有一个零点，而f (2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f (3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f (x )＝2x －1＋x －5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．故选C. 答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥05－3x >0，解得1≤x <53，则函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53.故选C. 答案：C4．解析：a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝30.2>30＝1，c ＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b >c >a . 故选D. 答案：D5．解析：令t ＝x 2－1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为单调递减函数，且函数t ＝x 2－1在(]－∞，0上递减，所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1的单调递增区间为(]－∞，0.故选A. 答案：A6．解析：由题意，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x＋1|－x |（e －x －1）＝e x （e －x ＋1）|－x |（e －x －1）e x ＝e x＋1|x |（1－e x）＝－f (x )，即f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →＋∞时，e x＋1e x －1→1，1|x |→0，即x →＋∞时，e x＋1|x |（e x－1）→0，可排除D ， 故选C. 答案：C7．解析：∵2x＝52，∴x ＝log 252＝lg 5－lg 2lg 2＝1－2lg 2lg 2＝1－2×0.301 00.301 0≈1.322.故选A. 答案：A8．解析：作出y ＝||f （x ）的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2，综上－2≤a ≤0.故选D. 答案：D9．解析：当α＝－1时，幂函数y ＝x －1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A 不符合；当α＝1时，幂函数y ＝x ，符合题意；当α＝2时，幂函数y ＝x 2的定义域为R 且为偶函数，C 不符合题意；当α＝3时，幂函数y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，D 符合题意．故选BD.答案：BD10．解析：对于A ，f ()x ＝1x在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f ()x ＝2x－x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确； 对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，命题正确． 故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝log a 4，a ＝2，故f (x )＝log 2x . 对A ，函数为增函数正确． 对B, f (x )＝log 2x 不为偶函数．对C ，当x >1时， f (x )＝log 2x >log 21＝0成立． 对D ，因为f (x )＝log 2x 往上凸，故若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立．故选ACD. 答案：ACD12．解析：易知函数f (x )＝2x＋log 2x 在(0，＋∞)为增函数，由f (a )f (b )f (c )<0, 则f (a )，f (b )，f (c )中为负数的个数为奇数，对于选项A ，B ，C 可能成立．故选ABC. 答案：ABC13．解析：由函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m 是幂函数， 所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2；当m ＝－1时，f (x )＝x －1，图象不经过原点，满足题意； 当m ＝2时，f (x )＝x 8，图象经过原点，不满足题意； 所以m ＝－1. 答案：－114．解析：由 3a＝5b ＝A ，得a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 当a ＝b ＝0时，A ＝1，满足条件．当ab ≠0时，由b ＋a ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，将a ，b 代入得：1log 3A ＋1log 5A ＝2，即log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A ＝15， 所以A ＝15或1. 答案：15或115．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]. 当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞). 答案：[－1，＋∞)16．解析：(1)∵f (x )＝f (2－x )，取x ＝0得，f (0)＝f (2)， ∴3|a |＝3|2＋a |，即|a |＝|2＋a |，解得a ＝－1；(2)由(1)知f (x )＝3|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥1，31－x ，x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， ∴m ≥1，m 的最小值为1. 答案：－1 117．解析：(1)原式＝14＋(log 32－log 329)＝14＋2＝94；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＋log 223－log 243 ＝49＋1＋log 212 ＝49. 18．解析：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8，b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0， ∴函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内有零点．19．解析：(1)f (x )＝2x为R 上的增函数，则f (x )在区间[a ，2a ]上为增函数， ∴f (x )min ＝2a，f (x )max ＝22a，由22a ＋2a ＝6，得22a ＋2a －6＝0，即2a ＝－3(舍去)，或2a＝2，即a ＝1； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3，则21x ＝3，即1x ＝log 23＝lg 3lg 2＝1lg 2lg 3＝1log 32，则x ＝log 32， ∴3x ＋3－x＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52.20．解析：(1)∵f (x )＝log 4(4x－1)， ∴4x－1>0解得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)令t ＝4x－1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴t ∈[1，15]， ∴y ＝log 4t ∈[0，log 415]， ∴f (x )∈[0，log 415]，即函数f (x )的值域为[0，log 415].21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f (x )在[3 000，9 000]为增函数， 且对∀x ∈[3 000，9 000]，恒有f (x )≥100且f (x )≤x5.①对于函数f (x )＝0.03x ＋8，当x ＝3 000时，f (3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f (x )＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f (x )＝100log 20x ＋50在[3 000，10 000 ]，显然f (x )为增函数，且当x ＝3 000时，f (3 000)>100log 2020＋50≥100； 又因为f (x )≤f (9 000)＝100log 209 000＋50<100log 20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x ∈[3 000，9 000]时，f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5min . 所以f (x )≤x5恒成立；因此，f (x )＝100log 20x ＋50为满足条件的函数模型． (2)由100log 20x ＋50≥350得：log 20x ≥3，所以x ≥8 000， 所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3， 所以a 12＝3，解得a ＝3， 则f (x )＝3x，因为x ∈(0，2)，故1＜3x＜9，11 令t ＝3x ，则1＜t ＜9，函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，即函数G (t )＝－3t ＋10－m 在区间(1，9)内有零点，所以G (1)·G (9)＜0，即(7－m )(－17－m )＜0，解得－17＜m ＜7，所以实数m 的取值范围为(－17，7)；(2)由题意可得，函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝3xf （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝3x －g （x ）＋h （x ）＝3－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＝3x －3－x 2h （x ）＝3x＋3－x 2， 因为2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0，所以t ≤ln h 2（x ）g （x ）＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－x 223x －3－x 2＝ln （3x －3－x ）2＋42（3x －3－x ），设a ＝3x －3－x ，因为0＜x ≤1，且a ＝3x －3－x 在R 上为单调递增函数，所以0＜a ≤83，所以t ≤ln a 2＋42a ＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋4a ，因为a ＋4a ≥2a ·4a ＝4， 当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时取等号，所以t ≤ln 2，故实数t 的取值范围为(－∞，ln 2].。

课时过关检测(九) 幂函数A 级——基础达标1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12D ．y ＝log 3x解析：A 对于A 选项，y ＝x 3为R 上的奇函数，且为R 上的增函数，A 选项符合题意；对于B 选项，y ＝3|x |为偶函数，B 选项不符合题意；对于C 选项，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，C 选项不符合题意；对于D 选项，y ＝log 3x 的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，D 选项不符合题意．故选A ．2．已知常数α∈Q ，如图为幂函数y ＝x α的图象，则α的值可以为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32解析：C 由幂函数y ＝x α的图象关于y 轴对称知，函数y ＝x α是偶函数，排除B 、D 选项；再根据幂函数y ＝x α的图象在第一象限内从左到右下降，可得α＜0，排除A 选项．故选C ．3．已知点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：A ∵函数f (x )＝(a －1)x b 是幂函数，∴a －1＝1，解得a ＝2，又点⎝⎛⎭⎫a ，12在该函数的图象上，∴2b ＝12，解得b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ．4．下列选项正确的是( ) A ．0．20．2>0．30．2B ．2-13<3-13C ．0．8－0．1>1．250．2 D ．1．70．3>0．93．1解析：D A 中，因为函数y ＝x 0．2在(0，＋∞)上为增函数，0．2<0．3，所以0．20．2<0．30．2，故A 项错误；B 中，因为函数y ＝x-13在(0，＋∞)上为减函数，所以2-13>3-13，故B 项错误；C 中，因为0．8－1＝1．25，y ＝1．25x 在R 上是增函数，0．1<0．2，所以1．250．1<1．250．2，即0．8－0．1<1．250．2，故C 项错误；D 中，1．70．3>1，0．93．1<1，所以1．70．3>0．93．1．故选D ．5．函数f (x )＝x a ＋b ，不论a 为何值f (x )的图象均过点(m ，0)，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：A ∵y ＝x a 过定点(1，1)，∴f (x )＝x a ＋b 过定点(1，1＋b )，结合已知条件可知1＋b ＝0，则b ＝－1．6．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：C a <0时，看B 和D ，y ＝ax －1a 与y 轴交点在正半轴，排除D ，此时y ＝x a (a ≠0)为减函数，排除B ；a >0时，看A 和C ，当x >0时y ＝x a (a ≠0)为增函数，排除A ．故选C ．7．已知函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，且点P 在函数g (x )＝x α的图象上，则α＝________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，此时f (2)＝4，∴函数f (x )＝4＋log a (2x －3)(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(2，4)，即P (2，4)，又∵点P 在函数g (x )＝x α的图象上，∴2α＝4，∴α＝2．答案：28．函数y ＝(m 2－5m ＋7)·x m＋3是幂函数且为奇函数，则m 的值为________．解析：因为函数y ＝(m 2－5m ＋7)x m ＋3是幂函数，所以m 2－5m ＋7＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或m ＝3．当m ＝2时，y ＝x 5，是奇函数，满足条件；当m ＝3时，y ＝x 6，是偶函数，不满足条件．故m ＝2．答案：29．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )B 级——综合应用10．(2022·山西测评)若a ＝⎝⎛⎭⎫3412，b ＝⎝⎛⎭⎫4314，c ＝⎝⎛⎭⎫2334，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <bD ．b <c <a解析：A a ＝⎝⎛⎭⎫3412＝⎝⎛⎭⎫91614<1，b ＝⎝⎛⎭⎫4314>1，c ＝⎝⎛⎭⎫2334＝⎝⎛⎭⎫82714<1，且0<827<916<1，函数y ＝x 14在(0，＋∞)上单调递增，所以⎝⎛⎭⎫82714<⎝⎛⎭⎫91614，所以c <a ，所以c <a <b ．故选A ．11．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的是( )A ．a ＋b >0，ab <0B ．a ＋b >0，ab >0C ．a ＋b <0，ab <0D ．以上都可能解析：C 由于函数f (x )为幂函数，故m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2．当m ＝－1时，f (x )＝1x 3，当m ＝2时，f (x )＝x 3．由于“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0”，故函数在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝x 3．由于f (－x )＝－f (x )，故函数是单调递增的奇函数．由于f (a )＋f (b )<0，所以a ＋b <0，ab <0(或ab ＝0或ab >0均可能成立)．故选C ．12．已知点(2，22)在幂函数y ＝f (x )的图象上． (1)求f (x )的表达式；(2)设g (x )＝f (x )－x －1，求函数y ＝g (x )的零点，推出函数y ＝g (x )的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y ＝g (x )的简图．解：(1)因为f (x )为幂函数，所以设f (x )＝x α， 又(2，22)在f (x )的图象上，所以(2)α＝22⇒α＝3，所以f (x )＝x 3． (2)由(1)知f (x )＝x 3， 故g (x )＝f (x )－x －1＝x 3－1x ，令g (x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1， 故函数y ＝g (x )的零点为±1；g (x )＝x 3－1x，故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，又g (－x )＝(－x )3－1－x ＝－x 3＋1x ＝－g (x )，故g (x )为奇函数，根据单调性的性质可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．(以上性质任选其一即可)． 函数y ＝g (x )的图象如图．。

2.3 幂函数2.3.1 幂函数的概念2.3.2 幂函数的图象和性质 双基达标（限时20分钟）1．下列函数中是幂函数的是 ( )．A ．y ＝3xB ．y ＝(3x )2C ．y ＝x 23D ．y ＝2x答案 C2．下列命题正确的是 ( )．A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数图象都过点(0，0)和(1，1)C ．若幂函数y ＝x α是奇函数，则y ＝x α是定义域上的递增函数D ．幂函数图象不可能出现在第四象限答案 D3．若幂函数y ＝x a 2－4a －9为偶函数，则a 的值不可能是 ( )．A ．5B ．4C ．3D ．1解析 函数是偶函数，则a 2－4a －9是偶数，将各选项中数值代入可知a ＝4 时，a 2－4a －9＝－9，不符合要求．答案 B4．以下五个数：23，⎝⎛⎭⎫53－12，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫150，(32)3，由小到大的顺序是________．解析 ∵⎝⎛⎭⎫－233<0，0<⎝⎛⎭⎫53－12<1，⎝⎛⎭⎫150＝1，1<⎝⎛⎭⎫323<23，∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫53－12<⎝⎛⎭⎫150<⎝⎛⎭⎫323<23.答案 ⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫53－12<⎝⎛⎭⎫150<⎝⎛⎭⎫323<235．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________．解析 设f (x )＝x α，把⎝⎛⎭⎫2，22代入得α＝－12，∴f (x )＝x －12.答案 f (x )＝x －126．比较下列各组数中两个数的大小． (1)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1；(2)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.解 (1)∵幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35， ∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1.(2)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x为递减函数，又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334.又∵函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是递增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334.综合提高 (限时25分钟)7．下列不等式在a ＜b ＜0的条件下不能成立的是 ( )．A ．a －1＞b －1B ．a 13＜b 13C ．b 2＜a 2D ．a －23＞b －23解析 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y＝x 2在(－∞，0)上为递减函数，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上的递增函数，从而D 项成立．答案 D8．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为 ( )．A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 解析 当a ＝1时，函数y ＝x 定义域是R 且是奇函数；当a ＝3时，函数y ＝ x 3定义域是R 且是奇函数．答案 A9．已知函数y ＝(a 2－5a ＋7)x a (a 为常数)为幂函数，则a ＝________. 解析 由题知a 2－5a ＋7＝1，∴a ＝2或3.答案 2或310．函数f (x )＝1x m 2＋m ＋1(m ∈N *)的定义域是________，奇偶性为________，单调递减区间是________．解析 ∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，其值必然是正偶数，∴m 2＋m ＋1必然是正奇数，故f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f (x )是奇函 数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇函数 (－∞，0)和(0，＋∞)11．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．(1)a 为何值时，此函数为幂函数？(2)a 为何值时，此函数为正比例函数？(3)a 为何值时，此函数为反比例函数？解 (1)由题意，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0.解得a ＝3±52，即a ＝3±52时，此函数为幂函数． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0. 解得a ＝4，即a ＝4时，此函数为正比例函数．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝－1，a 2－3a ＋2≠0. 解得a ＝3，即a ＝3时，此函数为反比例函数．12．(创新拓展)已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3， 又m ∈N ＋，∴m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.。

幂函数检测题与详解答案1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B. 2 C ．2 2D ．1解析：选C 设f (x )＝x n，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2.∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x|m －1|与y ＝x23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f 9f 3＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f 9f 3＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132α＝132α＝122＝14.答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。