幂子群与循环群的充要条件
摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。
本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。
关键词：幂子群循环群充要条件
代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。
数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。
但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。
例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。
特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。
它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。
一、幂子群与循环群概述
（一）幂子群
设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得
H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。
设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G
的幂子群Gp满足Gp=G。
由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。
而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。
因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。
1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的；
2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。
下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。
若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。
（二）循环群
设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。
当然，G中可能还有别的子群也包含M。
现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。
所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。
一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。
根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：
1.当生成元a是无限阶元素时，是一个无限阶循环群：
={…，a-3，a-2，a-1，e，a，a2，a3，…}
2.当生成元a是有限阶元素时，如果a的阶为n，那么这个群称为n阶循环群：={e，a，a2，…，an-1}
（G，?）与（G’，）是两个群，若存在一个G到G’的双射f满足a，b∈G，有f（a?b）=f（a）f（b），就说f是G到G’的一个同构映射或同构，并称G与G’同构，记作G≌G’。
G是一个群，如果G的一个子集H对G的运算构成一个群，则称H是G的一个子群，如果G的子群H≠G，则称H是G的一个真子群，若H是G的子群，记为H ≤G，若H是G的真子群记为H<G.
二、幂子群的充要条件
定理1：设G是周期幂零群，则对任意p∈（G）有|G：GP|<∞的充要条件是G的每一个西洛子群GP是中心被有限的扩张，且满足ζ（Gp）：ζ（Gp））
<∞。
证明充分性由题设，对G的任意西洛子群GP有ζ（Gp）：ζ（Gp））
<∞。
由引理有ζ（Gp）=DP×FP，DP是可除子群，FP 是有限子群，显然DPGP，又GP/ζ（Gp）是有限p-群，易得GP/DP有限p-群，而DP≤（GP）p显然成立。
故|GP：（GP）
p|<∞。
由题设知：G=GP1×GP2×…×GPn×…，故对任意pi∈π（G）有
Gpi=（GP1）pi×（GP2）pi×…×（GPn）pi×…= GP1×GP2×…×（GPi）pi×…×GPn×…；
因此，|GP：Gpi|=|GPi：（GP）pi|<∞。
必要性。
对G的任意西洛p-子群GP，易得|GP：（GP）p|<∞，由定理知，H是可除阿贝尔子群，H≤，因此有Gp：ζ（Gp）≤Gp：H<∞
显然H≤ζ（Gp）P，故ζ（Gp）：ζ（Gp）
≤ζ（Gp）：H<∞
三、循环群的充要条件
定理2：若G是阿贝尔p―群，则|G：GP|<∞的充要条件是G=D×F，其中D是可除子群，F是有限群。
证明：显然我们只需证明必要性。
由于|G：GP|=|D×F：DP×FP|=|F：FP|<∞，因此不妨设|F：FP|=pn，又因为F中没有可除子群，则由定理可得F=F1×，
其中是有限循环子群，若F是无限的，则F1是无限的，即有
F1=F2×，F2=F3×，……
可以无限下去，因此一定存在正整数n+1，使得
FP=Fn+1P××……×，
由此有|F：FP|≥pn+1，矛盾，因此F为有限p-群。
则显然有F=Fn+1××……×。
设H是G的一个子群。
若H=（1），明显H是循环群。
现令H≠（1），由于H不空，有a∈H，且存在一个不为0的n∈Z，使得a n∈H。
又因a-n=（an）-1∈H，从而H含有a的某些正整数幂。
现令s是使得as∈H的最小正整数，那么我们说H=（as），因为任取am∈H，且可写m=qs+t，其中0≤t 若（a）是无限的，则对不同的m和n∈Z，有am ≠an，因此对于任何正整数s，元ams：当m=0、±1、±2，…是不同的，所以（as）是一个无限群。
又s是使得as∈（as）的最小正整数，所以每个不等于1的子群是无限的。
假如取s=r，则H=（1），这样我们得到r的正因子s的集到（a）的子群的集上的一个双射。
S→（as），同时对应于s的子群（as）的阶是q=r/s，且当s跑遍r的正因子时，q同样也如此。
因此每个子群的阶是r的一个因子。
且对于每一个r的正因子q 来说，有且仅有一个阶为q的子群。
定理3：n阶有限群G是循环群的充要条件是，如果G 中有m阶子群，那么G中m阶子群是唯一的。
证明：必要性显然。
充分性：只需证明G中有n阶元即可。
对于任意a≠e ∈G，如果G=（a）则定理得证，不妨设G≠（a）且a的阶为m，即am=e，对m的任一正约数k，对m的任一正约数
k，m=SK都存在K阶元素as∈（a），根据题设G中m阶和m的正约数阶的子群是唯一的，所以G中所有m的任意正约数阶元全落入（a）中，但G≠（a）这就意味着G中还有其它阶数的元素b，b的阶为g，且g卜m，设
g=P1r1P2r2……Psrs，且m=P1r1P2r2……Psrs其中P1，P2，……，Ps为互异质数，ri≥0，ti≥0，不妨设r1≤t1，r2≥t2，r3≥t3，……rs≥ts，则的阶为P2r2P3r3…Psrs，
aP2r2P3r3…Psrs的阶为P1t1，由于P2r2P3r3…Psrs与P1t1
互质，
因此，（b）×（a…p）=（C）
为G的a…p阶循环群，注意
a…p大于m和g，如果G=（C），则定理得证。
如果G ≠（c）同上讨论，这样继续下去，所求的元素阶数逐渐增大，由于n为有限数，所以G必有n阶元，定理得证。
四、结论
近世代数中最重要、最基本的分支是群、环和域。
我们这里主要了解关于循环群的一些知识。
循环群是一种很重要的群，也是一种已经被完全解决了的一类群。
就是说，这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等，都完全研究明了。
另外，我们知道有限群G都可分解为一些西洛子群的直积，而每个西洛子群，它只要不是循环群，就可以把它分解成不可再分解
的循环子群的直积，因此G的结构完全由这些循环子群唯一确定，而循环群是群类中最简单的一种群，所以循环群的研究为初学者所易接受，从而培养了其学习群论的兴趣，进而也增强了其学习抽象代数的积极性，因而具有很重要的实际意义。
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