幂子群与循环群的充要条件

循环群的结构定理
循环群的结构定理（也被称为拉格朗日定理）是群论中的一个重要结果，它描述了循环群的结构。

结构定理的陈述如下：对于任意一个有限循环群G，它的阶（元素个数）为n，则对于G的任意子群H，H的阶必定能够整除n。

换句话说，G的任意子群的阶都是n的因子。

这个定理的证明可以通过对循环群及其生成元进行推理来完成。

循环群由一个生成元生成，而生成元的阶等于整个群的阶。

对于一个子群H，可以找到一个满足生成元的幂次方等于H中的元素的最小正整数m，那么H的阶就是m的因子。

这个定理在群论中具有广泛的应用，可以用来研究循环群的子群结构、判断一个群是否循环群等。

同时，它也为我们提供了一种将问题转化为循环群的方法，在研究循环群时可以简化问题的复杂度。

需要注意的是，循环群的结构定理只适用于有限循环群，不适用于无限循环群。

对于无限循环群，其子群结构可能更加复杂。

淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号***********指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，a G，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。

文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。

关键词：循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, a G∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目录一、引言 (1)二、群的定义 (1)三、循环群的若干问题 (7)1、定义与性质 (7)2、循环群的性质 (8)3、循环群的判定 (9)四、循环群的同态，同构 (11)五、结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。

循环群的子群是循环群证明
设循环群G是由一个元素a生成的，即G = { a^k | k是整数 }。

现在我们要证明循环群G的任何一个子群也必然是循环群。

设H是G的一个子群，且H不等于{e}，其中e是G的单位元素。

由于H是G的子群，所以H是封闭的，即对于任意的x和y属于H，都有xy属于H。

我们知道，如果a^k属于H，那么H必然包含a^k的所有幂次。

因此，我们可以假设H中存在一个元素b，使得b = a^m，其中m是一个正整数。

现在我们需要证明，H包含G中所有以a为生成元的循环群。

我们不妨设G中元素的总数为n，那么G中所有以a为生成元的循环群的个数为φ(n)，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

由于b = a^m属于H，所以由H的封闭性可知，H包含所有形如
a^(q*m)的元素，其中q是整数。

特别地，如果q和n互质，那么
a^(q*m)就是以a为生成元的循环群的一个元素。

因此，H中包含φ(n)个这样的元素。

显然，H中不能再包含其他以a为生成元的循环群中的元素了，否则H就不是G的子群了。

因此，我们可以得出结论：H是由G中所有以a为生成元的循环群的一些元素所组成的。

而由于这些元素是由b = a^m生成的，所以H 也是由一个元素生成的循环群。

因此，H也是循环群。

综上所述，循环群的任何一个子群也必然是循环群。

§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题.先看一个简单的例子：{},10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st a a b a a b Zt s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为ra 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a aa vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射.再证ϕ的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】(2)设n a o =)(【作用：k n e a k |⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构. 证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群.◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.。