循环群与群同构

§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群. ◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。

淮北师范大学2012届学士学位论文循环群的性质研究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数学生姓名潘帅学号***********指导教师姓名张波指导教师职称讲师2012年4月3日循环群的性质研究潘帅（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要设G是一个群，a G，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。

文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。

关键词：循环群，子群，同构，自同构群Study on the Properties of Cyclic GroupsPan Shuai(School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 )AbstractLet G be a group, a G∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application.The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group.Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group目录一、引言 (1)二、群的定义 (1)三、循环群的若干问题 (7)1、定义与性质 (7)2、循环群的性质 (8)3、循环群的判定 (9)四、循环群的同态，同构 (11)五、结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)一、引言当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术被广泛的应用。

群同构的概念群同构是数学中一种关于群之间的映射关系，它是群理论中十分基础和重要的概念。

群同构通过一一对应地将两个群之间的元素映射到对应的元素上，使得这两个群的结构和特征保持相同。

因此，群同构在研究群的结构和性质上具有非常重要的意义。

在深入了解群同构的概念之前，我们需要先了解什么是群。

群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

这个二元运算满足结合律、存在单位元素和存在逆元素，且封闭于这个集合内。

群的元素通常用字母表示，例如G = {g1, g2, ..., gn}，其中g1, g2, ..., gn 是群G 中的元素。

而群的二元运算通常用乘法符号* 表示，例如g1 * g2 表示元素g1 和g2 相乘运算的结果。

对于一个群G，称它是有限阶群如果它的元素个数是有限的即G < ∞，否则称它是无限阶群。

定义了群的基础概念之后，我们现在可以正式介绍群同构的概念。

设G 和H 是两个群，Φ是从群G 到群H 的一个映射，如果Φ保持群G 的结构和性质不变，即满足以下条件：（1）对于任意的g1, g2 ∈G，有Φ(g1 * g2) = Φ(g1) * Φ(g2)。

（2）对于群G 中的单位元素eG，有Φ(eG) = eH。

（3）对于任意的g ∈G，都存在它的逆元素g^-1 ∈G，且有Φ(g^-1) = (Φ(g))^-1。

则称Φ是从群G 到群H 的一个同态映射。

如果Φ还是双射映射，即对于群G 和群H 中的任意元素g 和h，有Φ(g) = h ⇔Φ(h) = g，则称Φ是从群G 到群H 的一个同构映射。

群同构具有一些重要的性质和应用。

性质一：如果Φ是从群G 到群H 的一个同构映射，则Φ是从群G 到群H 的一个同态映射。

这个性质表明，群同构中的条件要比同态条件更强，因此群同构意味着两个群之间的映射既是同构映射，也是同态映射。

性质二：如果Φ是从群G 到群H 的一个同构映射，则Φ的逆映射Φ^-1 也是从群H 到群G 的同构映射。

§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题.先看一个简单的例子：{},10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st a a b a a b Zt s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为ra 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a aa vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射.再证ϕ的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】(2)设n a o =)(【作用：k n e a k |⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构. 证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群.◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.。

群与群同构的基本概念与性质群与群同构是抽象代数中的一个重要概念。

本文将重点介绍群与群同构的基本概念和性质，以及它们在数学和其他领域中的应用。

1. 群的定义与性质群是一种由一组元素和一个二元运算组成的代数结构。

它需要满足四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

记群为(G, *)，其中G为元素的集合，*为群的二元运算。

2. 群同构的定义设(G, *)和(H, ⊗)是两个群，若存在一个双射函数f: G -> H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a * b) = f(a) ⊗ f(b)，则称G与H同构，记作G ≃ H。

其中f被称为群同构映射。

3. 同构的性质3.1 保结合律：若G与H同构，且*a, *b∈G，则f(a * b) = f(a) ⊗f(b)。

3.2 保单位元：若G与H同构，且e_G为G的单位元，e_H为H的单位元，则f(e_G) = e_H。

3.3 保逆元：若G与H同构，且a∈G，则f(a^(-1)) = f(a)^(-1)。

4. 群同构的例子4.1 整数加法群与整数乘法群的同构在群的运算中，整数加法群和整数乘法群是两个经典的例子。

通过定义f(n) = 2^n，可以证明整数加法群(Z, +)与整数乘法群(Z*, ×)是同构的。

证明过程略。

4.2 平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群的同构平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群也是一个重要的例子。

通过定义f(θ) = e^(iθ)，其中θ为旋转角度，可以证明它们是同构的。

证明过程略。

5. 群同构的应用群同构在数学和其他领域中有着广泛的应用。

5.1 在密码学中，群同构可用于构造具有高安全性的加密算法。

5.2 在量子力学中，群同构用于研究粒子的对称性和守恒定律。

5.3 在拓扑学中，群同构用于研究拓扑空间的同伦性质。

总结：群与群同构是抽象代数中的重要概念。

群同构的定义和性质揭示了群之间的一种特殊关系，具有保结合律、保单位元和保逆元的性质。

群的同构与子群的判别方法在群论中，同构是指两个群之间存在双射满足保持运算关系的映射。

群是抽象代数的一个重要概念，能够描述对称性和对称操作。

然而，当涉及到群的同构和子群时，就需要使用一些特定的方法进行判别。

一、群的同构群的同构是指两个群之间存在双射满足保持运算关系的映射。

具体来说，设有群G1=(X1,*)和G2=(X2,*)，映射f:X1->X2为一双射，则当且仅当f(x*y)=f(x)*f(y)，f(e)=e'时，G1和G2是同构群。

其中，e和e'分别是G1和G2的恒等元素。

群的同构具有如下性质：1.同构是一种等价关系，即对于任意的群G，它与自己同构；2.同构保持了群的结构，因此保持了群元素之间的关系，群的同构不会产生新的群；3.同构保持了群的算法和性质，因此同构的群有相同的大小、阶、循环群等基本性质和结构。

在实际应用中，群的同构可以帮助我们寻找群之间的一一对应关系。

例如，在密码学中，需要通过同构群的选择来确保密码算法的安全性。

此外，在化学中也有广泛的应用，例如用同构群的思想来描述晶体的对称性，进而推导出晶体的物理性质。

二、子群的判别子群是指一个群里面的一些元素自成一个新的群，同时这个群必须满足群运算的各种性质。

当然，子群不一定是原来的群的真子集，它可能与原来的群相等。

关于子群，我们可以给出一些判别方法：1.子群包含了原来群的恒等元素和闭合性质：一个子集H是群G的子群，当且仅当：① e∈H;②如果a,b∈H，那么a*b∈H。

2.封闭性质：如果一个子集H是群G的子群，则对于任意的a∈H，a^-1∈H。

3.子群的大小：如果群G是有限的，则如果H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当H的大小是G的一条因子。

4.借鉴群同构的思想：一个群G的子群需要保持原来群G的群结构，即这个子集必须是群G的同构子群。

5.正规子群：如果一个子群N是群G的正规子群，则对于任意的g∈G，都有gN = Ng，即群G中的所有元素和子群N中的元素的各种组合都得到了保持。

课程思政教学设计-《群论》1. 课程简介本课程旨在引导学生深入了解群论的基本概念、原理和应用，培养学生的逻辑思维和抽象推理能力，以及加强学生的团队合作和沟通能力。

2. 教学目标- 熟悉群论的基本概念和术语- 掌握群论的基本性质和操作方法- 能够运用群论解决实际问题- 培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学大纲第一章：群论基础- 群的定义- 群的性质和基本运算- 子群和陪集第二章：群同构和同态- 同构和同态的概念和性质- 同构定理和同态定理第三章：正规子群和商群- 正规子群的定义和性质- 商群和商映射- 商群定理第四章：群的生成和循环群- 子群的生成- 循环群的定义和性质- 循环群的分类第五章：群的作用和置换群- 群的作用和轨道- 置换群的定义和性质- 置换群的分类第六章：有限群和群的分类- 有限群的性质和分类- 有限单群的定理- 素数阶群和有限循环群4. 教学方法本课程将采用以下教学方法：- 讲授理论知识，结合具体例子进行解释和演示- 引导学生进行小组讨论和合作实践- 布置作业和课堂练，检验学生的理论掌握情况- 设计案例分析和实际应用任务，培养学生的问题解决能力5. 教学评估- 平时成绩：包括出勤情况、课堂表现、小组合作等因素，占总评成绩的30%- 作业和课堂练：包括理论题和计算题，占总评成绩的40% - 期末考试：综合考核学生对群论理论和应用的掌握情况，占总评成绩的30%6. 参考书目- 高等数学（第七版），北京师范大学出版社- 群论导论（第三版），清华大学出版社- Abstract Algebra, David S. Dummit and Richard M. Foote, Wiley以上为《群论》的课程思政教学设计，旨在提供学生全面掌握群论基本知识和方法的机会，并培养学生的逻辑思维和团队合作能力。

希望学生通过本课程的学习，能够拓展思维视野，运用群论解决实际问题，并在日常生活中体现出对共同社会价值的思考和追求。

循环群的一些讨论姚艳【摘要】The cyclic group is a kind of inaportant group. According to the differences of the generator, the cyclic group is divided into two kinds：finite cyclic group and infinite cyclic group. For the two kinds of cyclic group, the uniqueness of the generator and some natures of subgroup were, discussed. The relations be- tween the cyclic groups by the homomorphism and isomorphism were established. Some methods are posed on the judgments of cyclic group at the end of the article.%循环群是一类很重要的群。

根据生成元阶的情况,循环群分成两类：有限循环群和无限循环群。

对于这两类循环群,主要分析生成元是否具有唯一性以及循环群子群的一些性质,利用同态和同构建立起循环群之间的关系,并推论出几个最基本的判断循环群的方法。

【期刊名称】《黑河学院学报》【年(卷),期】2012(003)001【总页数】3页(P120-122)【关键词】循环群;生成元;子群;阶数【作者】姚艳【作者单位】哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨150080／黑河学院数学系,黑龙江黑河164300【正文语种】中文【中图分类】O152定义1设G为群，a∈G，如果G的每个元素都可以表示成元素a的某个方幂，即G={am|m∈Z}，则称G为循环群，记作G=(a)。

证明两个n阶循环群同构好，咱们今天就来聊聊啥叫做“两个n阶循环群同构”这个话题。

别害怕，虽然名字听起来挺复杂的，但其实没啥可怕的。

说白了，这就是数学家们用来描述两个看似不同但本质上差不多的“群体”之间的一种关系。

想象一下你跟你的朋友，都喜欢骑自行车，虽然你们骑的是两辆不同款式的车，但其实你们骑的速度、路线，甚至是你们在骑行时使用的技巧都差不多，那这不就可以说你们之间有点“同构”的味道了嘛。

先从群说起。

群，这个词听起来不算陌生，平时大家有时会说“群里那帮人真是群英荟萃”什么的。

实际上，这里的“群”是一个数学概念，指的不是人群，而是一种具有特定结构的集合，集合里有元素，而且这些元素之间能进行一种“运算”，比如加法、乘法等等。

要注意的是，这个运算得满足一些条件，比如有个“单位元”什么的，简单来说，就是要有个“0”或者“1”之类的东西，能让你运算时不改变结果。

讲到这里，可能有小伙伴觉得复杂，那就暂时记住，群就是集合加运算，而且运算要“有规则”。

“循环群”又是什么鬼呢？其实很简单，大家可以想象一个环形的轨道，群里的每一个元素都可以通过一个元素的不断“自我循环”得到。

例如，你从0开始，走一步就到1，再走一步到2，以此类推，一直走下去就像是绕圈走一样。

我们通常会用“生成元”来描述这种循环。

如果有个元素a，你可以通过a的多次运算得到整个群体的所有元素，那这个群体就叫做循环群。

好了，现在我们有了群和循环群的基本概念。

接下来的问题是，什么叫两个n阶循环群“同构”呢？看似复杂的名词，其实就是想说这两个群体看上去不一样，但从“结构”上看，它们完全一致。

怎么理解呢？就好像你和你的朋友骑着不同款式的车，虽然外形不同，但你们都能用相同的技巧进行比赛，跑出来的成绩一样。

所以，只要你能找到一种方式，把其中一个群体的元素映射到另一个群体的元素上，并且保持运算规则不变，那这两个群体就是同构的。

举个具体的例子，你有个n阶循环群G，它是由n个元素组成的，假设这个群的生成元是g。

§7 循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群 ――循环群 .(它是一类基本而又重要的群 ,数学的一些 分支(数论、有限域论等)和它有密切的联系 .)通过对循环群的学习 ,可初步了解抽象代数研究问题的基本 方法和格式以及论文的写作方法 .本节主要内容是循环群的三大问题 :存在问题 / 数量问题 / 构造问题 .先看一个简单的例子： G ,10 3,10 2,10 1,1,10,102,103, 对数的乘法作成群 .特点是每个元都是 固定元 10的方幂 .一、循环群的概念乘方－－针对乘法1. 定义 G 称为循环群群G 的每个元都是 G 中某个固．定．元． a 的方幂 . ．．． 倍数－－针对加法 记为 G (a) ， a 称为 G 的生成元 . x a k ( 乘法) 即 G (a) G 是群，且 x G, k Z, st. .(注意 :k 与 x 有关！) x ka(加法 )【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式 .】 1 k 1 k 2. 注意:(一般情况下 )生成元不唯一 .a 是生成元 a 1是生成元 .【理由： a k (a 1) k 】3. 范例【解决了循环群的存在问题 .同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！ 】 ①整数加群 (Z, )， Z (1) ( 1).【 1是 阶. n( 1) 0 n 0】问题:还有其他生成元 ?(无)【设 Z (k) 1 (k) 1 nk(n,k Z) k 1】1 *实际上可进一步证明： o(a) G (a) 只o(a 有) 两个生成元 a,a 1 .【课外思考题】 s t st 【设 G (b)，则有 b a ,a b a a st 1 s 1or 1】②模 n 剩余类加群 (Z n , )， Z n ([1]) . 问题 :还有其他生成元 ?(有)【 Z n ([ 1]) ([n 1]) 】 r *实际上可进一步证明： o(a) n G (a)的生成元为 a r 当且仅当 (r,n) 1.【习题】 ur vn r u n v r u v r u r 【若 (r,n) 1，则 ur vn 1 a a (a ) (a ) (a ) e (a ) (a) (a ) . 反之， a r 是生成元，G (a) (a r ) a (a r )k a rk 1 e n |rk 1 (r,n) 1.】 ◎设p 为素数，则 p 阶循环群 G (a)有 p 1个生成元： a,a 2, ,a p1. ◎设 p 为素数，则模 p 剩余类加群 Z p 的所有非零元都是生成元 .二、循环群的种类证明 注意体会生成元 a 的阶在证明过程中的用处 1.结构定理 设循环群 G (a) 同构于(Z, ),if o(a) (Z n , ),if o(a) n(1)设 o(a) 【作用： 【 是映射：若 a k a 再证 的同态性 : x,y Gx (2)设 o(a) n 【作用： 是映射：若 a k a h a k e h ，则 a k hk 0】此时，令:G Z, a k k ，可证 是同构映射 .(证略) o( a)e k h 0 k h ，说明对应元唯一 . 易证 是满射/单射. k a ,y a k e n ，则a k ha h o |(k a) e (xy) (a k h ) k h (a k ) (a h ) (x) (y) .】 】n 此时，令 :G Z n , a k [k]n| k h [k] [h]，说 n (a n ) o(a) n mm e e . 是单射：若 [k] [h],则 n|k h k h mn a k h 是满射： [k] Z n , a k G,st. (a k ) [k] 再证 的同态性 :x,y G x a k ,y a h (xy) (a k h ) [k] [h] (a k ) (a h ) (x) (y).例1:循环群G (a) 的阶为n 生成元a的阶为n .【常用结论】证法同构必同阶.若o(a) n，则(a) Z n G Z n n .反之，设G n，若o(a) n，则① o(a) ,则(a) Z G Z 矛盾；② o(a) k n,则(a) Z k G Z k k n也矛盾.循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2: n 次单位根群U n x C| x n1 与Z n 同构.ni 2k 2k证法 1 利用结构定理. x n 1 x k e n cos isin (k 0,1, ,n 1)nn2ki 2i2i2i2ie n(e n)k U n (e n)是循环群,且生成元e n的阶为n,所以U n (e n) Z n.2ki证法 2 直接建立同构映射. 令:e n[k] ,可证是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类―― 整数加群与模n剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[ 构造定理] 设循环群G (a) ，则有o(a) G (a) a k|k Z ；o(a) n G (a) a k|k 0,1,2, ,n 1 .证明由结构定理的证明过程即得. 另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集左集；反之，x G (a) x a m.若o(a) a k(k Z)彼此互异，此时x a m右集1；若o(a) n，设m kn r (0 r n) ，则a m a kn a r a r右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/ 数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题o(a) or n时，循环群G (a) 的生成元有哪几个？在结构定理证明中a的阶用途是什么？◎S3 是不是循环群？a a a 01 ◎(Q, ) 不是循环群.【设Q (a),则a Q Q na(n Z)(2n 1)a 0 n 】2 2 2 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如: A n x C| x n1 是循环群，U A n 是交换群但不是循环群.n1◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，的数学家约40 年的共同努力，终于在1981 年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000 页以上的篇幅，散布在超过300 篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.经全世界上百名。

齐次循环群的自同构群
自同构群是一种由拓扑结构中的网络、空间和序列组成的结构。

它们表现出鲜明的稳定性，并具有许多优秀的结构性能。

齐次循环群也是这样一类自同构群，它们是由环节组成的图形，在拓扑上呈现出完全的单一环节结构。

一般的齐次循环群具有以下特点：1、它们拥有完美的对称性结构，其分散式体系结构下的所有节点具有相同的空间结构特征；2、在模型上，节点之间相互联系，结构代表了网络节点之间的交互关系；3、它们的位置相对均衡，充分利用空间，从而极大地减少距离误差；4、它们可以通过简单的方式快速搜索，搞定复杂的信息处理任务。

此外，齐次循环群的应用场景十分广泛，在软件和系统的架构中，可以使用齐次循环群来组织系统各层的架构结构，以及优化系统的性能。

相应地，在计算机网络的组织中，齐次循环群也可以提供更为高效率的传输方式，缩短网络数据传输的时延。

总之，齐次循环群是一类具有自身独特结构性特征的自同构群，由于其具有良好的位置特征、可靠的数据传输特性以及出色的空间利用效率等优势，因而日益受到重视，并发挥着重要的应用作用。