Ch 17.2-3 子群与循环群

§ 3 循环群（Cyclic Group）定义若G=<a>，则G被称为循环群.a称为G的一个生成元. Fg1 整数集Z对于普通加法是一个循环群,-1和1是生成元.Fg2 对n≥1,Z n={0,1,⋅⋅⋅,n−1}关于模n的加法是一个循环群.1和−1=n−1为生成元.Fg3 Z8=<1>=<3>=<5>=<7>Fg4 U10=1,3,7,9=<3>=<7>Fg5 U8={1,3,5,7}定理1G是一个群，a∈G.如果a=∞,则a i=a j当且仅当i=j.如果a=n,则<a>={e,a,a2,⋅⋅⋅,a n−1}和a i=a j当且仅当n|i−j.Corollary 1 a=<a>Corollary 2 a k=e implies that a divides k.Fg6 假设a=6，则<a>的结构如下图定理2 假设a是一个群阶为n的一个元和k是一个正整数, 则<a k>=<a gcd⁡(n,k)>和 a k=n gcd⁡(n,k).Corollary 1 在一个有限循环群中，元素的阶整除群的阶.Corollary 2 假设a=n,则<a i>=<a j>当且仅当gcd n,i=gcd⁡(n,j)和 a i= a j当且仅当gcd n,i= gcd⁡(n,j).Corollary 3假设a=n, 则<a>=<a j>当且仅当gcd n,j=1和a= a j当且仅当gcd n,j=1.Corollary 4 Z n中，整数k为Z n的一个生成元当且仅当gcd n,k=1.循环群的子群的分类定理 3 Fundamental Theorem of Cyclic Group循环群的每一个子群都是循环群.如果<a>=n,则<a>的任意一个子群的阶是n的一个因子.而且对n的每一个正因子k,<a>只有一个k阶子群即<a n/k>.Corollary 对于n的每一个正因子k,Z n的唯一阶k的子群为<n/k>；而且所有的<n/k>为Z n的全部子群.Fg7 Z30的全部子群为定义若ϕ1=1且当n>1时，ϕn为小于n同n互素的正整数的个数，则ϕ为Z+的一个函数.这个数学理论函数叫做Euler phi function.由U(n)的定义，我们知道U(n)=ϕ(n).ϕ(n)的前12个函数值在下表中给出定理4 如果d是n的一个因子，则一个阶为n的循环群中阶为d的元的个数为ϕ(d).Corollary 在一个有限群中，阶为d的元的个数被ϕ(d)整除.Subgroup lattice of group。

群论中的群与子群在数学领域中，群论是一门非常重要的学科，其研究对象是群和群之间的关系。

群是一种代数结构，一般来说，它由一组元素和一个二元运算所构成。

这个二元运算必须满足结合律、存在单位元素和逆元素等性质。

子群则是群论中的一个基本概念，它是指一个群中的子集，该子集可以构成一个群，并且该子群的元素在原来的群中依然满足同样的运算法则。

在群论中，群中的元素可以是任何对象，但它们必须满足一些特殊的性质。

例如，群中的元素必须是可逆的，所以它们必须具有逆元素；同时，群中的元素也必须遵守结合律，这意味着它们的运算顺序不影响结果。

此外，群中的元素也必须具有单位元素，该元素在进行运算时不会改变元素的值。

子群是指在一个群中选择一些元素，并对它们进行运算形成的小群。

这些子群的运算法则必须和原来的群相同。

一个最简单的例子是，一个由整数{…,-2,-1,0,1,2,…}构成的加法群，它的子群可以是所有偶数的整数。

可以看到，偶数的整数在加法运算下构成了一个群，并且它们的加法运算法则是和原来的加法群相同的。

子群的一个关键性质是，它必须是原来的群中的一个子集。

这意味着，子群中的元素必须在原来的群中仍然满足群的公理。

例如，如果一个群是由实数和加法运算构成的，那么该群的子群必须仍然具有实数的性质，否则就不是一个合法的子群。

在群论的研究中，子群也具有特殊的意义。

它们可以用来描述一些不同的结构。

例如，在纯数学中，子群可以用来描述对称性，这对物理学来说非常有用。

同时，在编程中，子群也可以用来描述一些数据的结构，比如笛卡尔积。

此外，子群还可以用来描述一些群的性质。

例如，如果一个群有一个非平凡子群（即除了空子集和群本身以外还有其他的子群），那么这个群就被称为可简群。

反之，如果一个群没有任何非平凡子群，那么这个群就被称为单群。

总之，群论中的群与子群是非常重要的概念，它们为我们描述和理解不同的结构和性质提供了重要的工具。

在实际应用中，它们也被广泛地应用在物理学、计算机科学等领域。

近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 那么1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定一样? 证 不一定一样 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的答复是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :εx x → (4):τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。

《离散数学》刘任任（第二版）习题答案第20章 群1. 设G 是群，G b a ∈,.试证：a a =--11)(111)(---=a b ab证明：设e 是单位元（下同），直接依照概念即有：a a e ab b a a bb a ae a aa e -------=====1111111,()()()(),11111 (), ()a a ab b a -----∴==2. 试举一个只有两元素的群。

解：设G =<⊕>{,},01 ，而且G 的单位元为0,那么能够确信乘法表中的三个元素，0⊕0=0；0⊕1=1；1⊕0=1；由群的概念，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此1⊕1=0。

因此乘法运算⊕有如下表：易知，单位元e =0，运算知足封锁性和结合律，且111-=。

故G 是群。

3. 设}4,3,2,1{=A 的乘法表为214344231313242341214321 问：A 是不是成为群？假设不是群，结合律是不是成立？A 有无单位元?解：若是A 是一个群，那么必然有单位元i ，乘法表中第i 行第i 列元素维持不变，而概念的乘法表不知足此性质。

因此A 无单位元，故A 不成群。

且42342341=⋅⋅≠⋅⋅=()(),无结合律。

4. 设G 是群.试证：假设对任何G b a ∈,，均有555444333)(,)(,)(ab b a ab b a ab b a ===，那么G 是互换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。

()a b ab a ba b a b ba 33322221==∴=()(),()又 ()a b ab a ba b a b ba 55544442==∴=()(),()因此， (a b ba ba ba a b a b a b a b 442422122222222====()()()()())()(), 于是，得 a b b a 2222=, 再由(1)知，baba ba b a a b ===22222)(, 故有 ab ba =. 5. 设G 是群.试证：假设对任何G a ∈，有a a =-1，那么G 是互换群。