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r
H G , 对于任意的 h H , 可设 h a , 其
n
中 n Z .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r .
若 s 0 ,则
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§4
循环群
a s a nqr an (a r )q h(a r )q H ,
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t ( s, n) ( , n) ( s, t ) st ( , n) ([s, t ] n) . ( s, t )
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循环群
r [ s, t ]
k Z ,使得 r k[s, t ] .所以 b a a
.
(2)假设 | a | n . 由于 b H ,因此 | b | | | a s | ;由于 b K , 因此 | b | | | a | .也就是说, n n n n , , | | (r , n) ( s, n) (r , n) (t , n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
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循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H a s 和
K a 是 G 的两个子群,证明:
t
H K a
[s, t ]
[ s, t ]
.
证明 显然 a H K ,从而, a[ s, t ] H K .
r r
设 r 0 . 由于 (r, n) (r, n) 且 | a | | a | , 因 此我们可以进一步假设 r 0 . 一方面，由于
| a | n ,我们有
n r ( r , n) r n ( r , n) r ( r , n)
e. n r 令 s | a | . 根据命题 3.12 ， s | . 另一方 ( r , n) (a )
目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
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§5
§6 §7
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循环群
命题 4.1
证明
循环群的子群仍是循环群.
设 G a 是一个循环群, H 是 G
的任意一个子群. 若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设
t
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从 而 , (s, n) | (r , n) 且 (t , n) | (r , n) . 因 此
[(s, n), (t , n)] | (r , n) .众所周知, ([s, t ], n) [(s, n), (t , n)]. k ([s, t ], n) (r, n) ,所以 a
这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
h a n a qr (a r )q a r .
由 此 可 见 H a r . 所 以 H a r . 这 就 是 说, H 是循环群.□
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命 题 4.2
.由于 b 的任意性,我们有
[ s, t ]
H K a
.
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注 我们有
(t , n) [(s, n), (t , n)] ( s, n) ((s, n), (t , n)) t ( , n) ((s, t ), n) ( s, t ) ( s , n) ((s, t ), n)
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[ s, t ]
为了证明 H K a
,现在只需证明
H K a
[ s, t ]
.
考察为 H K 中任意一个元素 b a r : (1)假设 | a | . 由于 b H , 因此存在 i Z , 使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
H {e} .考察集合 N {n N | a H } ,易见
n
N . 将 N 中最小的那个正整数记作 r .
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我们来阐明 H a r . 事实上 , 一方面 , 显然 , a H . 另一方面 , 由于 G a 且
k ([ s , t ], n )
,从而, a a
r
.由
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于 a
k ([ s , t ], n )
a
([ s , t ], n ) r
,因此
([ s , t ], n )
b a a
总有 b a a
r [ s, t ]
.
综上所述 , 无论是 | a | 还是 | a | ,
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(a )
e
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面，由于 (a r ) s e 且 | a | n ,根据命题 3.12, n n n | (rs ) ,从而, | (rs ) .由于 ( , r) 1, ( r , n) ( r , n) n n n r 因此 ,即 | a | . | s .所以 s ( r , n) ( r , n) ( r , n)
k ( [ s , t ], n ) ( r , n)
注
所以 ( [s, t ], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得
a
( r , n)
.
这样,根据第 3 题,我们有 a 此, a a
r
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a .因
r k ([ s , t ], n )
设 G a 是 一 个 有 限 循 环
群, | a | n , r 是任意一个整数.那么 n r , |a | ( r , n) 其中 ( r , n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
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证明
当 r 0 时 , 结论显然成立 . 不妨假
