2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A版

2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A

版

xx 高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．

复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．

1． 对数的概念

如果a x

＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __ 叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2． 对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R )；④log am M n

＝n m

log a M . (2)对数的性质

①a log a N ＝__N __；②log a a N

＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N

log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝1

log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

3． 对数函数的图象与性质

指数函数y ＝a x

与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． [难点正本 疑点清源] 1． 对数值取正、负值的规律

当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 2． 对数函数的定义域及单调性

对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 3． 关于对数值的大小比较

(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较．

1． (xx·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________．

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞

解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞，

令t ＝2x ＋1 (t >0)．

因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所

以函

数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞. 2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0

上(其中mn >0)，则1m ＋2

n

的最小值为________．

答案 8

解析 y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过点A (－2，－1)，A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 即2m ＋n ＝1.

∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4m

n

≥4＋24＝8，

当且仅当4m 2

＝n 2

时取等号． 3

．

(xx·

安

徽

)(log 29)·(log 34)

等

于

( )

A.14

B.1

2 C ．2 D ．4 答案 D

解析 方法一 原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.

方法二 原式＝2log 23·log 24

log 23

＝2×2＝4.

4． (xx·重庆)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关

系是 ( ) A ．a ＝b c C ．a b >c 答案 B

解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233， ∴a ＝b .

又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，

∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32c .

5． (xx·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是 ( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

，b B ．(10a,1－b ) C.⎝

⎛⎭

⎪

⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )

答案 D

解析 由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .

对于A ，点⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a

＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．

对于B ，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图

象上． 对于C ，点⎝

⎛⎭

⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a ＝1－lg

a ＝1－

b ≠b ＋1，∴不在图象上． 对于D ，点(a 2,

2b )，当x ＝a 2

时，y ＝lg a 2

＝2lg a ＝2b ， ∴该点在此图象上.

题型一 对数式的运算 例1 计算下列各式：

(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2

；

(2)

2

－lg 9＋127＋lg 8－lg 1 000

lg 0.3·lg 1.2

；

(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．

思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口． 解 (1)原式＝(lg 2)2

＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52

＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.

(2)原式＝

2－2lg 3＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2

lg 3＋3lg 2－32－＋2lg 2－

＝

－32

＋2lg 2－－

＋2lg 2－

＝－3

2

.

(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2

＝

3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝5

4

.