03.圆锥曲线小题训练(较难)

典型小题1- 1双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4典型小题1- 2如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0典型小题1- 3以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对典型小题1- 4过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+典型小题1- 521,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 典型小题1- 6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=典型小题1- 7设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定典型小题1- 8若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,)44±B ．1(,84±C ．1(,44D ．1(,84典型小题1- 9椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为A ．20B ．22C ．28D ．24典型小题1- 10若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2典型小题1- 11与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 典型小题1- 12若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）典型小题1- 13椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

圆锥曲线测试题 小题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为 （ ）A ．（0,41a） B ．)161,0(a C ．)161,0(a-D ．)0,161(a2．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y x B ．14322=+y x C ．13422=+y x D ．1422=+y x 3．双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为（ ）A ．1322=-x y B ．1322=-x y C ．1322=-y x D ．1322=-y x 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738B ．316 C ．38 D ．73165．ab ay bx b y ax b a =+=+-≠≠220,0,0和则方程所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(1122222222>>>=+=-b m a by m x b y a x 和椭圆的离心离互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．已知椭圆121)(1222=-+t y x 的一条准线方程为y=8，则t 为 （ ）A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．08．给出下列曲线①0124=-+y x ，②322=+y x ，③1222=+y x ，④1222=-y x其中与直线32--=x y 有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④9．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足|PF 1|=e|PF 2|，则e 的值为 （ ）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为,215+A ，F 分别是它的左顶点和右焦点，设B 点坐标为（0，b ），则∠ABF 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围为 . 12．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .13．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线恰有3条，则λ= .14．抛物线)0(22>=p px y 的动弦长|PQ|为8p ，当PQ 的中点M 到y 轴的距离最小时，直线PQ 的倾斜角为 .一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 二、11．),1()2,(+∞---∞ 12．x y 542-= 13．4 14．656ππ或。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线小题练习021．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM=2MF,则直线OM 的斜率的最大值为（A）3（B ）23（C）2（D ）12．椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足OAF ∆是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）A1 B．21 D．23．若抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（ ）A ．34B ．32C ．1D ．2 4．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一条直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ，则2121x x y y 为（ ）A 、4B 、-4C 、2p D 、2p -5．如图，1F ，2F 是双曲线1C ：1322=-y x 与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则2C 的离心率是（ ）．A ．31B ．32 C.15D ．52 6．若抛物线mx y =2的焦点是双曲线1322=-y x 的一个焦点，则实数m 等于（ ） A.4± B.4 C.8± D.87．过抛物线22y px =焦点的直线交抛物线于A B 、，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值A ．234p B ．234p - C ．23p D ． 23p -8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线分别交于A 、B两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为3，则双曲线的离心率=e （ ）A.21 B.27 C. 2 D. 39．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率k =（ ）A2 B 22C3D3310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．511．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.12．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．02=±yx B ．02=±y x C ．03=±y x D ．03=±y x13．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（ ） A ．B ．C ．2D ．214．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若01260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．12D ．1315．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 16．已知Ｐ是抛物线xy 42=上的一个动点，则点Ｐ到直线1243:1=+-y x l 和02:2=+x l 的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．417．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：22213x y a +=1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ．34B ．1C ．2D ．4 18．设12F F 是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．34 B ．23 C ．12D ．4519．椭圆22186x y +=上存在n 个不同的点12,,...,n P P P ，椭圆的右焦点为F 。

圆锥曲线80个压轴小题（含答案）1. 已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，过点 O 的两条直线 l 1 与 l 2 的夹角为 60∘，直线 l 1 与双曲线 C 相交于点 A 1，B 1，直线 l 2 与双曲线 C 相交于点 A 2，B 2，若使 ∣A 1B 1∣=∣A 2B 2∣ 成立的直线 l 1 与 l 2 有且只有一对，则双曲线 C 离心率的取值范围是 ( ) A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)2. 已知椭圆 E:x 25+y 24=1 的一个顶点为 C (0,−2)，直线 l 与椭圆 E 交于 A ，B 两点，若 E 的左焦点为 △ABC 的重心，则直线 l 的方程为 ( ) A. 6x −5y −14=0 B. 6x −5y +14=0 C. 6x +5y +14=0 D. 6x +5y −14=03. 设双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0,b ＞0) 的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ,μ∈R ），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为 ( ) A. 2√33B.3√55C.3√22D. 984. 双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 的左，右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线的左，右支分别于点 B ，C ，且 ∣BC ∣=∣CF 2∣，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. y =±3x B. y =±2√2x C. y =±(√3+1)x D. y =±(√3−1)x5. 已知“若点 P (x 0,y 0) 在双曲线 C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0) 上，则 C 在点 P 处的切线方程为 C:xx 0a −yy 0b =1”，现已知双曲线 C:x 24−y 212=1 和点 Q (1,t )(t ≠±√3)，过点 Q 作双曲线 C 的两条切线，切点分别为 M ，N ，则直线 MN 过定点 ( ) A. (0,2√3) B. (0,−2√3) C. (4,0) D. (−4,0)6. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，∣MF∣=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x7. 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60∘的直线A1B1和A2B2，使∣A1B1∣=∣A2B2∣，其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (2√33,2] B. [2√33,2) C. (2√33,+∞) D. [2√33,+∞)8. 如图，双曲线x 2a2−y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，点P是双曲线右支上一点，PF1交左支于点Q，交渐近线y=bax于点R．M 是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM⊥PF1，则双曲线的离心率是( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √59. 已知m,n,s,t∈R∗，m+n=3，ms +nt=1，其中m，n是常数且m<n，若s+t的最小值是3+2√2，满足条件的点(m,n)是椭圆x 24+y216=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )A. x−2y+3=0B. 4x−2y−3=0C. x+y−3=0D. 2x+y−4=010. 设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=( )A. 1+2√2B. 4−2√2C. 5−2√2D. 3+2√211. 已知抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点 F 恰为双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的右焦点，且两曲线的交点连线过点 F ，则双曲线的离心率为 ( ) A. √2 B. √2+1 C. 2 D. 2+√212. 如图，斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60∘，B 为斜足，平面 α 上的动点 P 满足 ∠PAB =30∘，则点 P 的轨迹是 ( )A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线的一支13. 已知定点 M (1,54)，N (−4,−54)，给出下列曲线方程：① 4x +2y −1=0；② x 2+y 2=3；③x 22+y 2=1；④x 22−y 2=1．在曲线上存在点 P 满足 ∣MP∣=∣NP∣ 的所有曲线方程是 ( ) A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④14. 双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左右焦点为 F 1，F 2，P 是双曲线上一点，满足 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，直线 PF 1 与圆 x 2+y 2=a 2 相切，则双曲线的离心率为 ( ) A. 54 B. √3 C.2√33D. 5315. 过双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点 F 1，作圆 x 2+y 2=a 2 的切线交双曲线右支于点 P ，切点为 T ，PF 1 的中点 M 在第一象限，则以下结论正确的是 ( ) A. b −a =∣MO∣−∣MT∣ B. b −a >∣MO∣−∣MT∣ C. b −a <∣MO∣−∣MT∣ D. b −a =∣MO∣+∣MT∣16. 在椭圆 x 216+y 29=1 内，通过点 M (1,1) 且被这点平分的弦所在的直线方程为 ( )A. 9x −16y +7=0B. 16x +9y −25=0C. 9x +16y −25=0D. 16x −9y −7=017. 已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A. m>n且e1e2>1B. m>n且e1e2<1C. m<n且e1e2>1D. m<n且e1e2<118. 已知点P为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且∣F1F2∣=b2a，I为三角形PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则λ的值为( )A. 1+2√22B. 2√3−1C. √2+1D. √2−119. 已知F1，F2为双曲线C:x2−y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60∘，则点P到x轴的距离为( )A. √32B. √62C. √3D. √620. 直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若∣AB∣=4，则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于( )A. 74B. 2 C. 94D. 421. 设A为双曲线x 216−y29=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于点B，过点B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( )A. (4110,0) B. (185,0) C. (4,0) D. (225,0)22. 已知抛物线y2=2px(p>0)，△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为−1，则1y1+1y2+1y3的值为( )A. −12p B. −1pC. 1pD. 12p23. 设点P(x,y)是曲线a∣x∣+b∣y∣=1(a≥0,b≥0)上任意一点，其坐标(x,y)均满足√x2+y2+2x+1+√x2+y2−2x+1≤2√2，则√2a+b取值范围为( )A. (0,2]B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)24. 若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x2 9+y24=1的交点个数为( )A. 至多1个B. 2个C. 1个D. 0个25. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支26. 直线y=x+3与曲线y 29−x∣x∣4=1( )A. 没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点27. 直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2∣x∣（k∈R，且k≠0）的公共点的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 428. 已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. √529. 已知椭圆x 24+y 2b =1(0<b <2)，左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣BF 2∣+∣AF 2∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( ) A. 1 B. √2 C. 32 D. √330. 若在曲线 f (x,y )=0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f (x,y )=0 的"自公切线"．下列方程：① x 2−y 2=1，② y =x 2−∣x ∣，③ y =3sinx +4cosx ，④ ∣x ∣+1=√4−y 2，对应的曲线中存在"自公切线"的有 ( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④31. 设直线 l 与抛物线 y 2=4x 相交于 A ，B 两点，与圆 (x −5)2+y 2=r 2(r >0) 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)32. 椭圆 a 2x 2+y 2=a 2 (0<a <1) 上离顶点 A (0,a ) 距离最大的点恰好是另一个顶点 Aʹ(0,−a )，则 a 的取值范围是 ( ) A. (√22,1) B. [√22,1)C. (0,√22) D. (0,√22]33. 已知集合 M ={(x,y )∣x 2+y 2≤1}，若实数 λ，μ 满足：对任意的 (x,y )∈M ，都有 (λx,μy )∈M ，则称 (λ,μ) 是集合 M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) A. {(λ,μ)∣λ+μ=4} B. {(λ,μ)∣λ2+μ2=4} C. {(λ,μ)∣λ2−4μ=4} D. {(λ,μ)∣λ2−μ2=4}34. 已知两点 M (1,54) 、 N (−4,−54)，给出下列曲线方程： ① 4x +2y −1=0；② x 2+y 2=3；③x 22+y 2=1；④x 22−y 2=1．曲线上存在点 P满足 ∣MP ∣=∣NP ∣ 的所有曲线方程是 ( ) A. ①②③ B. ②④C. ①③D. ②③④35. 过点 (√2,0) 引直线 l 与曲线 y =√1−x 2 相交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，当 △AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( ) A. √33B. −√33C. ±√33D. −√336. 如图，一条直线与抛物线 y 2=2px (p >0) 交于 A ，B 两点，且 OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于 D ，若点 D 的坐标为 (2,1)，则抛物线方程为 ( ) A. y 2=54x B. y 2=52x C . y 2=5x D . y 2=10x37. 已知 F 是抛物线 y 2=x 的焦点，点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中 O 为坐标原点），则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C.17√28D. √1038. 已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yOB⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R )，则 x 2+y 的取值范围是 ( ) A. [−√22,√22] B. [12,√22] C. [−12,12]D. [−√22,12]39. 已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P (x,y ) 为该抛物线上的动点，若点 A (−1,0)，则 |PF ||PA | 的最小值为 ( ) A. 12 B.√22C.√32D.2√2340. P 是抛物线 y =x 2 上任意一点，则当 P 和直线 x +y +2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物线的准线距离是 ( ) A. 19 B. 12 C. 1 D. 241. 已知直线 l:y =k (x −2)(k >0) 与抛物线 C:y 2=8x 交于 A ，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若 ∣AF ∣=2∣BF ∣，则 k 的值是 ( ) A. 13 B.2√23C. 2√2D.√2442. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A,B,C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 ( ) A. √25B.√35C.√105D.√5543. 如图，M ，N 是焦点为 F 的抛物线 y 2=4x 上的两个不同的点，且线段 MN 的中点 A 的横坐标为 3，直线 MN 与 x 轴交于 B 点，则点 B 的横坐标的取值范围是 ( )A. (−3,3]B. (−∞,3]C. (−6,−3)D. (−6,−3)∪(−3,3]44. 已知椭圆 M:x 24+y 2=1 的上、下顶点为 A ，B ，过点 P (0,2) 的直线 l 与椭圆 M 相交于两个不同的点 C ，D （C 在线段 PD 之间），则 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ( ) A. (−1,16) B. [−1,16]C. (−1,134)D. [−1,134)45. 若抛物线 y =4x 2 的焦点是 F ，准线是 l ，则过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个46. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线 AC ，BD ，设内层椭圆方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，若直线 AC 与 BD 的斜率之积为 −14，则椭圆的离心率为 ( ) A. 12 B. √22 C.√32D. 3447. 已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线与直线l的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交48. 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 149. 已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=x+m对称，且x1x2=−12，则m的值为( )A. 34B. 32C. 54D. 5250. 已知抛物线M:y2=4x，圆N:(x−1)2+y2=r2(r>0)，过点(1,0)的直线l与圆N交于C，D两点，交抛物线M于A，B两点，则满足∣AC∣=∣BD∣的直线l只有三条的必要条件是( )A. r∈(0,1]B. r∈(1,2]C. r∈(32,4) D. r∈[32,+∞)51. 已知P为抛物线y=12x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，点A的坐标是(6,172)，则∣PA∣+∣PQ∣∣的最小值是( )A. 8B. 192C. 10 D. 21252. 已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( ) A. 相切 B. 相交C. 相离D. 以上情况都有可能53. 已知 F 1，F 2 分别是椭圆x 24+y 23=1 的左，右焦点，A 是椭圆上一动点，圆 C 与 F 1A的延长线，F 1F 2 的延长线以及线段 AF 2 相切，若 M (t,0) 为其中一个切点，则 ( ) A. t =2 B. t >2C. t <2D. t 与 2 的大小关系不确定54. 已知点 A ，B 是双曲线 x 2−y 22=1 上的两点，O 为坐标原点，且满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点 O 到直线 AB 的距离等于 ( ) A. √2 B. √3 C. 2 D. 2√255. 已知椭圆x 24+y 2b =1(0<b <2)，左右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，若 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，则 b 的值是 ( ) A. 1 B. √2 C. 32D. √356. 抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线交 x 轴于点 C ，焦点为 F ，A ，B 是抛物线的两点．已知 A ，B ，C 三点共线，且 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，直线 AB 的斜率为 k ，则有 ( ) A. k 2=14 B. k 2=√34C. k 2=12D. k 2=√3257. 已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√32，过右焦点 F 且斜率为 k (k >0)的直线与 C 相交于 A 、 B 两点．若 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 k = ( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 258. 设直线 l:2x +y +2=0 关于原点对称的直线为 l ′，若 lʹ 与椭圆 x 2+y 24=1 的交点为 A 、 B ，点 P 为椭圆上的动点，则使 △PAB 的面积为 12 的点 P 的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C.3 D. 459. 已知抛物线y2=−x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形60. 已知点F为抛物线y2=−8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且∣AF∣=4，则∣PA∣+∣PO∣的最小值为( )A. 6B. 2+4√2C. 2√13D. 4+2√561. 椭圆x 225+y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则∣y2−y1∣的值是( )A. √53B. 103C. 203D. 5362. 点P在直线l:y=x−1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且∣PA∣=∣AB∣，则称点P为“ A点”，那么下列结论中正确的是( )A. 直线l上的所有点都不是“ A点”B. 直线l上仅有有限个点是“ A点”C. 直线l上的所有点都是“ A点”D. 直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ A点”63. 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p +1q等于( )A. 2aB. 12a C. 4a D. 4a64. 已知椭圆C:x 22+y2=1，点M1，M2，⋯，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，⋯，P10，则10条直线AP1，AP2，⋯，AP10的斜率乘积为( )A. 14B. 116C. −18D. −13265. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为( )A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−32=066. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈(0,π2)，以A、B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C、D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( )A. 当θ增大时，e1增大，e1e2为定值B. 当θ增大时，e1减小，e1e2为定值C. 当θ增大时，e1增大，e1e2增大D. 当θ增大时，e1减小，e1e2减小67. 已知a>0，过M(a,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0)于P，Q两点，若1∣MP∣2+1∣MQ∣2为定值，则a=( )A. √2pB. 2pC. p2D. p68. 在抛物线y=x2+ax−5（a≠0）上取横坐标为x1=−4，x2=2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A. (−2,−9)B. (0,−5)C. (2,−9)D. (1,−6)69. 椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0)，若该椭圆C与直线x+y−3=0有公共点，则其离心率的最大值为( )A. √612B. √66C. √55D. √51070. 已知抛物线y=−x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则∣AB∣等于( )A. 3B. 4C. 3√2D. 4√271. 记椭圆x 24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn(n=1,2,⋯)，当点(x,y)分别在Ω1，Ω2，⋯上时，x+y的最大值分别是M1，M2，⋯，则limn→∞M n=( )A. 0B. 14C. 2D. 2√272. 已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x=−1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的线段长为( )A. 18B. 14C. 8D. 473. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且∣AK∣=√2∣AF∣，则△AFK的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 3274. 已知直线x+2y−3=0与圆x2+y2+x−6y+m=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m等于( )A. 3B. −3C. 1D. −175. 中心在原点，焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆被直线3x−y−2=0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为( )A. 2x 225+2y275=1 B. 2x275+2y225=1 C. x225+y275=1 D. x275+y225=176. 若方程√x2+1=a(x−1)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A. −1<a<−√22B. a<−√22或a>√22C. −1<a<−√22或√22<a<1 D. a<−1或−1<a<−√2277. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点．若∣FA∣=2∣FB∣，则k=( )A. 13B. √23C. 23D. 2√2378. 已知抛物线 M ：y 2=4x ，圆 N ：(x −1)2+y 2=r 2（其中 r 为常数，r >0），过点 (1,0) 的直线 l 交圆 N 于 C 、 D 两点，交抛物线 M 于 A 、 B 两点，且满足 ∣AC∣=∣BD∣ 的直线 l 只有三条的必要条件是 ( ) A. r ∈(0,1] B. r ∈(1,2]C. r ∈(32,4)D. r ∈[32,+∞)79. 已知 O 是平面上的一个定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈(0,+∞)，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心80. 点 P 在直线 l:y =x −1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y =x 2 于 A ，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为" A 点"，那么下列结论中正确的是 ( ) A. 直线 l 上的所有点都是" A 点" B. 直线 l 上仅有有限个点是" A 点" C. 直线 l 上的所有点都不是" A 点"D. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是" A 点"答案第一部分1. A2. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，椭圆x 25+x 24=1 的左焦点为 (−1,0)，因为点 C (0,−2)，且椭圆左焦点 F 1 恰为 △ABC 的重心，所以 x 1+x 2+03=−1，y 1+y 2−23=0，所以 x 1+x 2=−3，y 1+y 2=2, ⋯⋯① 因为 x 125+y 124=1，x 225+y 224=1，所以两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)5+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，将 ① 代入得：y 1−y2x 1−x 2=65，即直线 l 的斜率为 k =y 1−y 2x 1−x 2=65，因为直线 l 过 AB 中点 (−32,1)，所以直线 l 的方程为 y −1=65(x +32)，故答案为 6x −5y +14=0．3. A 【解析】双曲线的渐近线为：y =±ba x ，设焦点 F (c,0)，则 A (c,bca )，B (c,−bca )，P (c,b 2a )， 因为 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (c,b 2a )=((λ+μ)c,(λ−μ)bca )， 所以 λ+μ=1，λ−μ=bc ， 解得：λ=c+b 2c ，μ=c−b 2c ， 又由 λμ=316，得：c 2−b 24c =316，解得：a 2c =34， 所以，e =c a =2√33． 4. C 5. C【解析】设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则切点分别为 M ，N 的切线方程为x 1x 4−y 1y 12=1，x 2x4−y 2y 12=1．因为点 Q (1,t ) 在两条切线上， 所以x 14−y 1t 12=1，x24−y 2t 12=1．所以 M ，N 两点均在直线 x4−ty12=1 上，即直线 MN 的方程为 x4−ty12=1，显然直线过点 (4,0)．6. C7. A 【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=(ca)2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得2√33<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．8. C 【解析】设PF1的方程为y=k（x+c），k＞0，与渐近线方程y=ba x联立，可得R(ackb−ka,bckb−ka)，把直线y=k(x+c)代入双曲线x 2a2−y2b2=1，可得(b2−a2k2)x2−2ca2k2x−a2c2k2−a2b2=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可得x1+x2=2ca2k2b2−a2k2，即有中点M(ca 2k2b−a k ,cb2kb−a k)，由A(a,0)，F2(c,0)，RF2⊥PF1，可得k RF2=bck2ack−bc=−1k，即有bk2+2ak−b=0，解得k=c−ab（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM=cb2kca2k2−ab2+a3k2=−1k，即为(c3+a3)k2=a(c2−a2)，即有(c3+a3)(c−a)2=ab2(c2−a2)=a(c2−a2)2，化为c=2a，即e=ca=2．9. D 【解析】因为m，n，s，t为正数，m+n=3，ms +nt=1，s+t的最小值是3+2√2，所以(s+t)(ms +nt)的最小值是3+2√2，所以(s+t)(ms +nt)=m+n+mts+nst≥m+n+2√mn，满足mts =nst时取最小值，此时最小值为m+n+2√mn=3+2√2，得：mn =2，又：m +n =3，所以，m =1，n =2． 设以 (1,2) 为中点的弦交椭圆x 24+y 216=1 于 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由中点坐标公式知 x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 分别代入 4x 2+y 2=16，得 {4x 12+y 12=16,4x 22+y 22=16,两式相减得 2(x 1−x 2)+(y 1−y 2)=0，所以 k =y 2−y1x 2−x 2=−2．所以此弦所在的直线方程为 y −2=−2(x −1)，即 2x +y −4=0． 10. C 【解析】如图，设 ∣AF 1∣=m ，则 ∣BF 1∣=√2m ，∣AF 2∣=m −∣BF 2∣=√2m −2a ，所以 ∣AB ∣=∣AF 2∣+∣BF 2∣=m −2a +√2m −2a =m ，得 m =2，又由 ∣AF 1∣2+∣AF 2∣2=∣F 1F 2∣2，可得 m 2+(m −2a )2=4c 2，即得 (20−8√2)a 2=4c 2，所以 e 2=c 2a 2=5−2√2． 11. B 【解析】根据题意 p2=c ，设抛物线与双曲线的一个交点为 A ，则有 A (c,2c )，因为点 A 在双曲线上，所以有 c 2a 2−4c 2b 2=1，整理得 e 2−2e −1=0，所以双曲线的离心率e =1+√2．12. C 13. D 【解析】提示：对于①，可得 MN 的中点为 O (−32,0) 不在直线 l:4x +2y −1=0 上，k MN =12，又直线 4x +2y −1=0 的斜率为 k l =−2，即 k l k MN =−1，所以线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 不与 4x +2y −1=0 相交，所以①不成立； 对于②，因为 (−32)2+02<3，所以 MN 的中点为 O (−32,0) 在圆 x 2+y 2=3 的内部，所以线段 MN 的中垂线与圆相交，所以②正确；对于③和④，只需联立线段 MN 的中垂线 y =−2x −3 与曲线方程，判断判别式即可，可得③和④都成立．14. D 【解析】设 PF 1 与圆相切于点 M ，因为 ∣PF 2∣=∣F 1F 2∣，所以 △PF 1F 2 为等腰三角形，设 N 为 PF 1 中点，则 F 2N ⊥PF 1，又 OM ⊥PF 1，O 为 F 1F 2 中点，所以 ∣F 1M ∣=12∣F 1N ∣=14∣PF 1∣，又因为在直角三角形 F 1MO 中，∣F 1M ∣2=∣F 1O ∣2−a 2=c 2−a 2=b 2，所以 ∣F 1M ∣=b =14∣PF 1∣ ⋯⋯①，又 ∣PF 1∣=∣PF 2∣+2a =2c +2a ⋯⋯②，c 2=a 2+b 2 ⋯⋯③，由①②③解得 e =ca =53． 15. A【解析】连 OT ，则 OT ⊥F 1T ，在直角三角形 OTF 1 中，∣F 1T∣∣=√∣OF 1∣2−∣OT∣2=b ．连 PF 2，M 为线段 F 1P 的中点，O 为坐标原点，所以 ∣OM∣=12∣PF 2∣，所以∣MO∣−∣MT∣=12∣PF 2∣−(12∣PF 1∣−∣F 1T∣∣)=12(∣PF 2∣−∣PF 1∣)+b =12×(−2a )+b =b −a．16. C 【解析】设以点 M (1,1) 为中点的弦两端点为 P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)， 则 x 1+x 2=2,y 1+y 2=2． 又 x 1216+y 129=1, ⋯⋯①x 2216+y 229=1, ⋯⋯②①−② 整理得：y 1−y2x 1−x 2=−916，所以以点 M (1,1) 为中点的弦所在直线的斜率 k =−916． 所以中点弦所在直线方程为 y −1=−916(x −1)， 即 9x +16y −25=0．17. A 【解析】由题意知 m 2−1=n 2+1，即 m 2=n 2+2，(e 1e 2)2=m 2−1m ⋅n 2+1n =(1−1m )(1+1n )，代入 m 2=n 2+2，得 m >n ，(e 1e 2)2>1． 18. D 19. B 20. C【解析】直线 4kx −4y −k =0，即 y =k (x −14)，即直线 4kx −4y −k =0 过抛物线 y 2=x 的焦点 (14,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 ∣AB ∣=x 1+x 2+12=4，故 x 1+x 2=72，则弦 AB 的中点的横坐标是 74，弦 AB 的中点到直线 x +12=0 的距离是 74+12=94 . 21. A 【解析】设 AB:x =my +5，与双曲线方程联立得 (9m 2−16)y 2+90my +81=0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−90m 9m 2−16，y 1y 2=819m 2−16． 右准线方程为 x =165，所以 C (165,y 2)，则 AC:y −y 2=y 2−y 1165−x 1(x −165)，令 y =0，化简可得 x =4110．特殊法：设 A (5,94)，则 B (5,−94)，C (165,−94)．故 k AC =94−(−94)5−165=52，直线 AC 为 y −94 =52(x −5)，即：10x −4y −41=0，与 x 轴交点为 (4110,0)，可得答案． 22. B 23. D 【解析】因为 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1=√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2≤2√2，所以一动点 P (x,y ) 的轨迹是以点 (−1,0) 和点 (1,0) 为焦点椭圆及其内部，椭圆的方程为x 22+y 2=1，又曲线 a ∣x ∣+b ∣y ∣=1 表示的区域为一平行四边形，因为曲线 a∣x∣+b ∣y ∣=1(a ≥0,b ≥0) 上任意一点，其坐标 (x,y ) 均满足 √x 2+y 2+2x +1+√x 2+y 2−2x +1≤2√2，即平行四边形在椭圆的内部，所以有{1b ≤1,1a≤√2解得 {b ≥1,√2a ≥1, 所以 √2a +b ≥2．24. B 【解析】由直线与圆没有交点可得 22>2，即 m 2+n 2<4，n 2<4−m 2， 所以n 29+m 29+4−m 24=1−5m 236<1， 所以点 (m,n ) 在椭圆 x 29+y 24=1 的内部，故经过点 (m,n ) 的直线与椭圆由 2 个交点． 25. A26. D 【解析】当 x >0 时，曲线为 y 29−x 24=1，将直线 y =x +3 代入曲线方程得 x =0（舍）或 x =245，故此时有一个交点；当 x ≤0 时，曲线为 y 29+x 24=1，将直线 y =x +3 代入曲线方程得 x =0 或 x =−2413，故此时有两个交点．因此共有 3 个交点．27. D 【解析】将 y =2k 代入 9k 2x 2+y 2=18k 2∣x∣ 得：9k 2x 2+4k 2=18k 2∣x∣ ⇒9∣x ∣2−18∣x∣+4=0，显然该关于 ∣x ∣ 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个．28. D 【解析】设点 P 坐标为 (x P ,y P )，由已知，直线 PF 2 的方程为 y =ba (x −c )，代入双曲线方程得 x P =a 2+c 22c，y P =−b 32ac ，因为 PF 1⊥PF 2，所以 k PF 1⋅k PF 2=−1，即−b 32ac a 2+c 22c+c ⋅ba =−1，化简得b 4=a 4+3a 2c 2，即 (c 2−a 2)2=a 4+3a 2c 2，即 c 2=5a 2，所以 e 2=5，e =√5．29. D 【解析】由椭圆的方程可知 a =2，由椭圆的定义可知，∣AF 2∣+∣BF 2∣+∣AB ∣=4a =8，所以 ∣AB ∣=8−(∣AF 2∣+∣BF 2∣)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则 2b 2a=3．所以 b 2=3，即 b =√3．30. C【解析】①中 x 2−y 2=1 是一个等轴双曲线，它不存在"自公切线"； ②如图所示，曲线在点 (−12,−14) 和点 (12,−14) 处的切线重合； ③ y =3sinx +4cosx =5sin (x +φ)(tanφ=43)．如图，在所有的最高点处的切线重合，所以③存在"自公切线"； ④中曲线如图所示，不存在"自公切线"．31. D 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则 {y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以 (y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)⋯∗．①当 x 1=x 2，即直线 l 斜率不存在时，此时一定存在 2 条满足题意的直线，如图：②当 x 1≠x 2 时，设直线 l 的斜率为 k ，∗ 式化为 2y 0⋅y 1−y2x 1−x 2=4，即 ky 0=2．由直线与圆相切得 y 0−0x 0−5⋅k =−1，即 ky 0=5−x 0=2，所以 x 0=3，即点 M 在直线 x =3 上．而 x =3 与抛物线交点为 N(3,±2√3)，与 x 轴的交点为 P (3,0)， 圆心到 N 、 P 的距离分别为 4、2．当 r =4 时，点 N 在圆上，没有对应的直线满足要求；当 r =2 时，点 M 在 x 轴上，没有对应的直线满足要求；当2<r<4时，过点M作圆的切线即可满足要求，如图所示：这样的切线恰有两条，从而直线l恰有4条，则2<r<4．32. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点P的坐标为(x0,y0)，所以x02=1−y02a2，∣AP∣2=1−y02a2+(y0−a)2=(a2−1a2)y02−2ay0+a2+1．因为0<a<1，所以a2−1 a2<0，关于y0的二次函数图象开口向下，所以对称轴y0=a3a2−1≥−a．解得√22≤a<1．33. C 【解析】由实数λ，μ满足：对任意的(x,y)∈M，都有(λx,μy)∈M，即λ2x2+μ2y2≤1，所以∣λ∣≤1，∣μ∣≤1.而{∣λ∣≤1,∣μ∣≤1.构成的区域如图：A、B、D选项的集合所表示的曲线均与(λ,μ)所表示的区域无交点，C选项所表示的抛物线与区域有交点，符合题意．34. D 【解析】由题意，知P点必在线段MN的垂直平分线上．∵MN的中点为(−32,0)，直线MN斜率为12，∴MN的垂直平分线方程是y=−2x−3，它显然与①中的直线平行，∴排除A、C；注意到选项B、D的区别，联立垂直平分线方程与椭圆方程，解得③中曲线上存在符合题设条件下的P点．35. B【解析】如图，设直线 AB 的方程为 x =my +√2 （显然 m <0 ），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P(√2,0)，联立 {x =my +√2,y =√1−x 2.消去 x 得 (1+m 2)y 2+2√2my +1=0，由题意得 Δ=8m 2−4(1+m 2)>0，所以 m 2>1，由根与系数的关系得 y 1+y 2=−2√2m 1+m 2，y 1⋅y 2=11+m 2， 所以 S △AOB =S △POB −S △POA =12⋅∣OP ∣⋅∣y 2−y 1∣ =√22⋅√8m 2(1+m 2)2−41+m 2 =√22⋅√4(m −1)(1+m 2)2令 t =1+m 2(t >2)， 所以 S △AOB =√2⋅√t−2t 2 =√2⋅√−2(1t −14)2+18，所以当 1t =14，即 t =4，m =−√3 时，△AOB 的面积取得最大值，此时，直线l 的斜率为 −√33． 36. B 【解析】设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，依题意，k OD =12，k AB =−2， 所以直线 AB 方程为 y −1=−2(x −2)，即 y =−2x +5， 代入抛物线方程得 4x 2−(20+2p )x +25=0， 所以 {x 1+x 2=10+p 2,x 1x 2=254. ⋯⋯①又因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2+y 1y 2=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25=0, ⋯⋯②， 将 ① 代入 ② 得 5×254−10×10+p 2+25=0，解得 p =54，所以抛物线方程为 y 2=52x ．37. B 【解析】我们设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，直线 AB 方程为 x =my +t ．直线 AB 交 x 轴于点 M (t,0)．联立直线和抛物线的方程消去 x 得y 2−my −t =0,因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以 x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=2, 解得 y 1y 2=−2，即 t =2，所以 AB 过 x 轴上定点 M (2,0)．S △ABO =12∣OM ∣∣y 1−y 2∣=∣y 1−y 2∣,S △AFO =12∣OF ∣∣y 1∣=18∣y 1∣,所以S △ABO +S △AFO =∣y 1−y 2∣+1∣y 1∣=9∣y 1∣+21≥3,当且仅当 98∣y 1∣=2∣y 1∣，即 ∣y 1∣=43 时，等号成立．38. B 【解析】建立如图所示的坐标系，可设 A (1,0)，B (0,1)，设 ∠AOC =α(0≤α≤π2)，则 OC⃗⃗⃗⃗⃗ (cosα,sinα)， 所以 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,2y )=(cosα,sinα)， 所以 x2+y =12(cosα+sinα)=√22sin (α+π4)(0≤α≤π2)．由π4≤α+π4≤3π4，可得sin(α+π4)∈[√22,1]，即x2+y∈[12,√22]．39. B 【解析】抛物线y2=4x的准线方程为l:x=−1．过点P作PFʹ⊥l，垂足为Fʹ，由抛物线的定义，得|PF|=|PFʹ|，故|PF||PA|=|PFʹ||PA|=cos∠PAF，即求cos∠PAF的最小值，又0≤∠PAF<π2，故需使∠PAF最大．当直线PA与抛物y2=4x相切时，∠PAF最大，|PF||PA|取得最小值，这时，设直线PA的方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1), y2=4x,消去y得，k2x2+(2k2−4)x+k2=0，则Δ=(2k2−4)2−4k4=0，所以k2=1，解得k=±1．故此时tan∠PAF=1，∠PAF=π4，所以cos∠PAF=√22．40. B41. C 【解析】法一据题意画图，作AA1⊥lʹ，BB1⊥lʹ，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，∣AF∣=2∣BF∣=2r，则∣AA1∣=2∣BB1∣=2∣AD∣=2r，所以有∣AB∣=3r，∣AD∣=r，则∣BD∣=2√2r，k=tanθ=tan∠BAD=∣BD∣∣AD∣=2√2.法二直线y=k(x−2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，由{y2=8x,y=k(x−2).可得ky2−8y−16k=0，因为∣FA∣=2∣FB∣，所以y A=−2y B.则y A+y B=−2y B+y B=8k ，所以y B=−8k，y A⋅y B=−16，所以−2y B2=−16，即y B=±2√2，又k>0，故k=2√2.42. C 【解析】如图，还原正方体，连接A1B1,B1D1,A1D1. ∠D1B1A1即为所求角．设正方形的边长为2，则A1B1=2√2,A1D1=B1D1=√5．在△D1B1A1中用余弦定理，得AB和CD的夹角的余弦值为√105．43. A 【解析】（i）若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3,0)．（ii）若直线MN的斜率存在，设A(3,t)（t≠0），M(x1,y1)，N(x2,y2)．则由{y12=4x1,y22=4x2,得y12−y22=4(x1−x2)，所以y1−y2x1−x2(y1+y2)=4，即k MN=2t，所以直线MN的方程为y−t=2t(x−3)，所以点 B 的横坐标 x B =3−t 22． 由 {y −t =2t (x −3),y 2=4x,消去 x 得 y 2−2ty +2t 2−12=0．由 Δ>0 得 t 2<12，又 t ≠0， 所以 x B =3−t 22∈(−3,3)．综上，点 B 的横坐标的取值范围为 (−3,3]．44. D 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为 x =0，C (0,1)，D (0,−1)，此时 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1； 当直线斜率存在时，设斜率为 k ，C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则直线方程为 y =kx +2，与椭圆方程联立得 (1+4k 2)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k )2−48(1+4k 2)=64k 2−48>0，得 k 2>34，x 1+x 2=−16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=(1+k 2)⋅121+4k 2+2k ⋅−16k 1+4k2+4=−4k 2+161+4k 2=−1+171+4k 2,因为 k 2>34，所以 1+4k 2>4，0<171+4k 2<174，所以 −1<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <134． 综上，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 [−1,134)． 45. C【解析】由已知，过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆的圆心在抛物线 y =4x 2 上，又因为此圆过 F 和 M ，所以圆心在 MF 的垂直平分线上，抛物线 y =4x 2 与 MF 的垂直平分线的交点有两个，故过点 F 和点 M (4,4) 且与准线 l 相切的圆有 2 个． 46. C 【解析】因为内外两个椭圆的离心率相同，不妨设 B 点坐标为 (0,tb )，A 点坐标为 (ta,0)，设直线 BD 斜率为 k 1，AC 斜率为 k 2，则 BD 的方程为 y =k 1x +tb ，AC 的方程为 y =k 2x −k 2ta ．由 BD 、 AC 与椭圆相切易得k 12a 2+b 2=t 2b 2 ⋯⋯① k 22a 2+b 2=k 22t 2a 2 ⋯⋯②由①得 k 12=(t 2−1)b 2a 2 ⋯⋯③由②得k 22=b 2a (t −1) ⋯⋯④又因为 k 1k 2=−14，所以 a =2b ，从而椭圆的离心率为√32． 47. A 【解析】P 1(x 1,y 1) 是直线 l 上的一点，故有 f (x 1,y 1)=0，P 2(x 2,y 2) 是直线 l 外一点，故 f (x 2,y 2)≠0，是一个非零实数，从而 f (x,y )+f (x 1,y 1)+f (x 2,y 2)=0 表示的直线与直线 l 平行且不重合． 48. A 【解析】根据题意，S △ABC=12×∣AB∣×ℎ=12×2√2×ℎ=2, 解得 ℎ=√2，即点 C 到直线 AB 的距离为 √2．问题转化为与直线 AB 距离为 √2 的直线与抛物线交点的个数． 由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 √2 的直线方程为y =−x 或 y =−x +4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．49. B 【解析】∵ 双曲线上的一点到双曲线左、右焦点的距离之差为 4，∴ a =2．∵A (x 1,2x 12)，B (x 2,2x 22)关于直线 y =x +m 对称，∴ {2x 12−2x 22x 1−x 2=−1,x 1+x 22+m =2x 12+2x 222,整理得 x 1+x 2=−12，m =32． 50. D【解析】（i ） 当 l 与 x 轴垂直时，直线 l:x =1 与抛物线 M 交于点 (1,±2)，与圆 N 交于点 (1,±r )，显然满足 ∣AC ∣=∣BD ∣．（ii ） 当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 x =my +1． 由 {x =my +1,y 2=4x,消去 x ，得 y 2−4my −4=0．设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，且 y 1<y 2，则 y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4， 所以 (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16(m 2+1)．由 {x =my +1,(x −1)2+y 2=r 2,解得 y =±√r 2m 2+1． 设 C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，且 y 3<y 4，则 (y 3−y 4)2=4r 2m 2+1．由 ∣AC ∣=∣BD ∣，得 ∣y 3−y 1∣=∣y 4−y 2∣，即 ∣y 1−y 2∣=∣y 3−y 4∣． 由此，16(m 2+1)=4r 2m 2+1，解得 r =2(m 2+1)， 显然，当 r >2 时，m 有两解，对应的直线 l 有两条．又当 r =2 时，m =0，此时直线 l 斜率不存在，即为第一种情况 综合（i ）（ii ），当 r ≥2 时，对应的直线 l 有三条，故D 适合．51. B 【解析】抛物线的准线方程为 y =−12，设抛物线焦点为 F ，则点 F 坐标为 (0,12)．根据抛物线的定义可得 ∣PQ ∣=∣PF ∣−12，所以 ∣PA∣+∣PQ∣∣=∣PF ∣+∣PQ ∣−12．所以 ∣PA∣+∣PQ∣∣ 的最小值为 ∣FQ ∣−12=192．52. A 【解析】提示：如图，设 PF 1 的中点为 M ，因为 OM 为 △PF 1F 2 的中位线，所以 ∣OM ∣=12∣PF 2∣，设以线段 PF 1 、 A 1A 2 为直径的两圆的半径分别是 r 、 a ，则两圆的圆心距为 ∣OM ∣=12∣PF 2∣=12(2a−∣PF 1∣)=12(2a −2r )=a −r ，所以两圆的位置关系是内切．53. A 【解析】由已知得圆 C 是 △AF 1F 2 的旁切圆， 点 M 是圆 C 与 x 轴的切点，设圆 C 与直线 F 1A 的延长线，AF 2 分别相切于点 P ，Q ，则由切线的性质可知： ∣AP ∣=∣AQ ∣，∣F 2Q ∣=∣F 2M ∣，∣F 1M ∣=∣F 1P ∣，所以∣MF 2∣=∣QF 2∣=(∣F 1A ∣+∣AF 2∣)−(∣AF 1∣+∣AQ ∣)=2a−∣AF 1∣−∣AP ∣=2a−∣F 1P ∣=2a−∣F 1M ∣,所以 ∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ， 所以 t =a =2．54. A 【解析】由于双曲线为中心对称图形，为此可考察特殊情况，设 A 为 y =x 与双曲线在第一象限的交点，则不妨设 B 为直线 y =−x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线 AB 与 x 轴垂直，点 O 到 AB 的距离即为点 A 或点 B 的横坐标的值，联立直线与双曲线的方程，求出 x 的值即可． 55. D【解析】由椭圆的定义得 ∣AF 1∣+∣AF 2∣=2a =4，∣BF 1∣+∣BF 2∣=2a =4，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣=4a −(∣BF 2∣+∣BF 1∣)，因为 ∣∣BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的最大值为 5，所以 ∣AF 1∣+∣BF 1∣ 的最小值为 3，当直线 l 与 x 轴垂直的时候，∣AF 1∣+∣BF 1∣ 最小，所以此时 A (−c,32)，代入椭圆方程解得 b =√3．56. D 【解析】设直线 AB 的方程为 y =k (x +p2)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) ，联立直线与抛物线得 k 2x 2+(k 2p −2p )x +p 2k 24=0，所以 x 1+x 2=2p−k 2p k 2，x 1x 2=p 24，又 ∣AF ∣，∣AB ∣，∣BF ∣ 成等差数列，所以 2∣AB ∣=∣AF ∣+∣BF ∣，又 ∣AB ∣=√1+k 2∣x 1−x 2∣=√1+k 2⋅2p √1−k 2k 2，∣AF ∣+∣BF ∣=x 1+x 2+p ，所以 4(1−k 4)=1，解得 k 2=√32． 57. B 【解析】设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 y 1=−3y 2.由 e =√32，可设 a =2t,c =√3t,b =t ，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线 AB 的方程为 x =sy +√3t （s =1k ），代入 x 2+4y 2−4t 2=0，消去 x 并整理得(s 2+4)y 2+2√3tsy −t 2=0,那么y 1+y 2=−2√3ts s 2+4,y 1y 2=−t 2s 2+4.把 y 1=−3y 2 代入得−2y 2=−2√3ts s 2+4,−3y 22=−t 2s 2+4,消去 y 2，解得 s =√22，从而 k =√2．58. B 【解析】∵ 直线 l:2x +y +2=0 关于原点对称的直线为 l ′:−2x −y +2=0，lʹ 与椭圆 x 2+y 24=1 的交点为 (1,0)，(0,2)，∴ ∣AB ∣=√5．∵ S △PAB =12×∣AB ∣×d =12，∴ P 到直线 lʹ 的距离为 d =√55． ∴ P 在与 lʹ 平行且到 lʹ 距离为√55的直线 m 上，设 m:−2x −y +c =0，则√55=√5，解得 c =1 或 c =3．而 m 1:−2x −y +3=0 与椭圆无交点，m 2:−2x −y +1=0 与椭圆有两个交点，故符合题意的点共有两个．59. B 【解析】提示：联立抛物线方程和直线方程，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，然后可求得 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0．所以 OA ⊥OB ． 60. C【解析】由已知可得抛物线 y 2=−8x 的焦点坐标为 (−2,0)，准线方程为 x =2，设点 A 坐标为 (x 0,y 0)，根据抛物线的定义可得 2−x 0=4，所以 x 0=−2，y 0=±4．O 关于准线的对称点为 Oʹ(4,0)，则 P 点为 AOʹ 与准线 x =2 的交点时 ∣PA∣+∣PO∣ 有最小值，且最小值为 AOʹ=2√13．61. D 【解析】由已知得 a =5，b =4，c =3，又 △ABF 2 的内切圆周长为 π，得内切圆的半径为 r =12，根据椭圆的定义有 ∣AB ∣+∣AF 2∣+∣BF 2∣=4a =20，则 S △ABF 2=12(∣AB ∣+∣AF 2∣+∣BF 2∣)×r =5，又因为 S △ABF 2=12∣F 1F 2∣∣y 2−y 1∣，所以 ∣y 2−y 1∣=53．62. C 【解析】设 A (x 1,x 12)，B (x 2,x 22)，P (x 0,x 0−1)，根据题意 A 是 PB 的中点，所以 2x 1=x 2+x 0，2y 1=x 22+x 0−1，因为点 A 在抛物线 y =x 2 上，代入抛物线方程有x 22−2x 2x 0+2x 0−x 02−2=0,。

. . . .. .高中数学圆锥曲线难题一．选择题〔共10小题〕1．椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，那么|NF|：|AB|等于〔〕A．B．C．D ．2．设点P与正方体ABCD﹣A1B 1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，那么点P的轨迹是〔〕A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．〔2010•密云县一模〕如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线的方程为〔〕A．y2=x B．y2=9xC．y2=xD．y2=3x高中数学圆锥曲线难题4．〔2011•海珠区一模〕一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是〔〕A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆5．〔2012•模拟〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，那么的最大值为〔〕A．B．C．1D．6．〔2014•二模〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，那么〔〕A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小7．〔2014•三模〕从〔其中m，n∈{﹣1，2，3}〕所表示的圆锥曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕方程中任取一个，那么此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为〔〕A．B．C．D．8．〔2013•二模〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，那么有〔〕A．B．C．D．9．〔2014•和平区模拟〕在抛物线y=x2+ax﹣5〔a≠0〕上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，那么抛物线顶点的坐标为〔〕A．〔﹣2，﹣9〕B．〔0，﹣5〕C．〔2，﹣9〕D．〔1，6〕10．〔2012•模拟〕以下四个命题中不正确的选项是〔〕A．假设动点P与定点A〔﹣4，0〕、B〔4，0〕连线PA、PB的斜率之积为定值，那么动点P的轨迹为双曲线的一局部B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*〞：m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，假设x≥0，那么动点的轨迹是抛物线的一局部C．两圆A：〔x+1〕2+y2=1、圆B：〔x﹣1〕2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，那么动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．A〔7，0〕，B〔﹣7，0〕，C〔2，﹣12〕，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，那么椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线二．解答题〔共10小题〕11．〔2008•XX〕中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1〔﹣3，0〕，一条渐近线的方程是．〔Ⅰ〕求双曲线C的方程；〔Ⅱ〕假设以k〔k≠0〕为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．12．〔2013•〕直线y=kx+m〔m≠0〕与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．〔Ⅰ〕当点B的坐标为〔0，1〕，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；〔Ⅱ〕当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．13．焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A〔0，〕为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．14．〔2011•〕设λ＞0，点A的坐标为〔1，1〕，点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．15．〔2013•南开区一模〕椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设，，求证：λ1+λ2为定值．16．〔2013•〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．17．〔2008•〕双曲线．〔1〕求双曲线C的渐近线方程；〔2〕点M的坐标为〔0，1〕．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值围；〔3〕点D，E，M的坐标分别为〔﹣2，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔0，1〕，P为双曲线C上在第一象限的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．18．〔2011•三模〕过抛物线y2=4x上一点A〔1，2〕作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C〔异于点A〕在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．〔1〕设，求λ；〔2〕当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．19．〔2013•〕椭圆C：〔a＞b＞0〕的两个焦点分别为F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，且椭圆C经过点．〔Ⅰ〕求椭圆C的离心率：〔Ⅱ〕设过点A〔0，2〕的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．20．〔2014•模拟〕点A，B的坐标分别是〔0，﹣1〕，〔0，1〕，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．〔1〕求点M轨迹C的方程；〔2〕假设过点D〔2，0〕的直线l与〔1〕中的轨迹C交于不同的两点E、F〔E在D、F之间〕，试求△ODE与△ODF 面积之比的取值围〔O为坐标原点〕．高中数学圆锥曲线难题参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，那么|NF|：|AB|等于〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：此题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1．由此推导出|NF|：|AB|的值．解答：解：取直线的斜率为1．右焦点F〔2，0〕．直线AB的方程为y=x﹣2．联立方程组，把y=x﹣2代入整理得14x2﹣36x﹣9=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，，∴AB中点坐标为〔〕，那么AB的中垂线方程为，令y=0，得，∴点N的坐标〔〕．∴|NF|=，|AB|==，∴|NF|：|AB|=，应选B．点评：特值法是求解选择题和填空题的有效方法．2．设点P与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，那么点P的轨迹是〔〕A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：抛物线的定义．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，M∈C1D1，N∈A1B1，故平面EFMN的点到AD和BC的距离相等．PM为P到C1D1的距离．根据P到BC的距离等于P到点M的距离，可得点P的轨迹．解答：解：由题意可得AD和BC平行且相等，设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，且M∈C1D1，N∈A1B1，那么平面EFMN与AD也平行，故平面EFMN的点到AD和BC的距离相等．由正方体的性质可得平面EFMN垂直于平面CDD1C1，故有D1C1垂直于平面EFMN，故PM为P到C1D1的距离．由此可得P到BC的距离等于P到点M的距离，故点P的轨迹是抛物线，应选D．点评：此题主要考察抛物线的定义的应用，属于根底题．3．〔2010•密云县一模〕如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线的方程为〔〕A．y2=x B．y2=9xC．y2=xD．y2=3x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，那么抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，那么由得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．应选D．点评：此题主要考察了抛物线的标准方程．考察了学生对抛物线的定义和根本知识的综合把握．4．〔2011•海珠区一模〕一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是〔〕A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆考点：双曲线的定义．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：根据CD是线段AQ的垂直平分线．可推断出|PA|=|PQ|，进而可知|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．解答：解：由题意知，CD是线段AQ的垂直平分线∴|PA|=|PQ|，∴|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|〔定值〕，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以Q、O两点为焦点的双曲线，应选B．点评：此题主要考察了双曲线的定义的应用，考察了学生对椭圆根底知识的理解和应用，属于根底题．5．〔2012•模拟〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，那么的最大值为〔〕A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据根本不等式，求得|AB|的围，进而可得答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=〔a+b〕2﹣2ab，又ab≤，∴〔a+b〕2﹣2ab≥〔a+b〕2﹣得到|AB|≥〔a+b〕．所以≤=，即的最大值为．应选A．点评：此题主要考察抛物线的应用和余弦定理的应用，考察了学生综合分析问题和解决问题的能力．6．〔2014•二模〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，那么〔〕A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．解答：解：连接BD，AC设AD=t那么BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在〔0，〕上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t〔1﹣cosθ〕=2c∴c'=t〔1﹣cosθ〕AC+AD=+t，∴a'=〔+t〕e2==∴e1e2=×=1应选B．点评：此题主要考察椭圆和双曲线的离心率的表示，考察考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意根底知识的积累和练习．7．〔2014•三模〕从〔其中m，n∈{﹣1，2，3}〕所表示的圆锥曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕方程中任取一个，那么此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为〔〕A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；列举法计算根本领件数及事件发生的概率．专题：计算题；压轴题．分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率解答：解：设〔m，n〕表示m，n的取值组合，那么取值的所有情况有〔﹣1，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，﹣1〕，〔3，2〕，〔3，3〕共7个，〔注意〔﹣1，2〕，〔﹣1，3〕不合题意〕其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔3，3〕共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为应选B点评：此题考察了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决此题的关键8．〔2013•二模〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，那么有〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程；等差数列的通项公式；直线的斜率．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出点C〔﹣，0〕，可得直线AB方程为y=k〔x﹣〕，将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x1+x2和x1x2关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出|AB|=•．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得•=，即可解出，得到此题答案．解答：解：∵抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，∴准线与x轴的交点C坐标为〔﹣，0〕因此，得到直线AB方程为y=k〔x﹣〕，与抛物线y2=2px消去y，化简整理，得，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由根与系数的关系得∴|AB|==•=•=•∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|AB|，根据抛物线的定义得|AF|=x1+，|BF|=x2+，因此，得到x1+x2+p=2•，即+p=2•，化简得=，约去得•=∴〔1+k2〕〔1﹣k2〕=，解之得k2=应选：D点评：此题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考察了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．9．〔2014•和平区模拟〕在抛物线y=x2+ax﹣5〔a≠0〕上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，那么抛物线顶点的坐标为〔〕A．〔﹣2，﹣9〕B．〔0，﹣5〕C．〔2，﹣9〕D．〔1，6〕考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．解答：解：两点坐标为〔﹣4，11﹣4a〕；〔2，2a﹣1〕两点连线的斜率k=对于y=x2+ax﹣5y′=2x+a∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为〔﹣1，﹣a﹣4〕切线方程为〔a﹣2〕x﹣y﹣6=0直线与圆相切，圆心〔0，0〕到直线的距离=圆半径解得a=4或0〔0舍去〕抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为〔﹣2，﹣9〕应选A．点评：此题考察两点连线的斜率公式、考察导数在切点处的值为切线的斜率、考察直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．10．〔2012•模拟〕以下四个命题中不正确的选项是〔〕A．假设动点P与定点A〔﹣4，0〕、B〔4，0〕连线PA、PB的斜率之积为定值，那么动点P的轨迹为双曲线的一局部B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*〞：m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，假设x≥0，那么动点的轨迹是抛物线的一局部C．两圆A：〔x+1〕2+y2=1、圆B：〔x﹣1〕2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，那么动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．A〔7，0〕，B〔﹣7，0〕，C〔2，﹣12〕，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，那么椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线考点：椭圆的定义；轨迹方程．专题：证明题；压轴题．分析：利用直译法，求A选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项B中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项C中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断D中动点的轨迹即可解答：解：A：设P〔x，y〕，因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴×=，化简得9y2=4x2﹣64，即〔x≠±4〕，∴动点P的轨迹为双曲线的一局部，A正确；B：∵m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，∴==，设P〔x，y〕，那么y=，即y2=4ax〔x≥0，y≥0〕，即动点的轨迹是抛物线的一局部，B正确；C：由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确；D设此椭圆的另一焦点的坐标D 〔x，y〕，∵椭圆过A、B两点，那么CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，D错误应选D点评：此题综合考察了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考察了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度二．解答题〔共10小题〕11．〔2008•XX〕中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1〔﹣3，0〕，一条渐近线的方程是．〔Ⅰ〕求双曲线C的方程；〔Ⅱ〕假设以k〔k≠0〕为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．考点：双曲线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．〔2〕设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值围．解答：解：〔Ⅰ〕解：设双曲线C的方程为〔a＞0，b＞0〕．由题设得，解得，所以双曲线方程为．〔Ⅱ〕解：设直线l的方程为y=kx+m〔k≠0〕．点M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得〔5﹣4k2〕x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=〔﹣8km〕2+4〔5﹣4k2〕〔4m2+20〕＞0．整理得m2+5﹣4k2＞0．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标〔x0，y0〕满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，k≠0．将上式代入③式得，整理得〔4k2﹣5〕〔4k2﹣|k|﹣5〕＞0，k≠0．解得或．所以k的取值围是．点评：本小题主要考察双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等根底知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理运算能力．12．〔2013•〕直线y=kx+m〔m≠0〕与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．〔Ⅰ〕当点B的坐标为〔0，1〕，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；〔Ⅱ〕当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔I〕先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=，从而A、C的坐标为〔，〕，根据两点间的距离公式即可得出AC的长；〔II〕欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明假设OA=OC，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，那么A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，从而解得，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．解答：解：〔I〕∵点B的坐标为〔0，1〕，当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B〔0，1〕，O〔0，0〕，∴线段OB的垂直平分线为y=，将y=代入椭圆方程得x=±，因此A、C的坐标为〔，〕，如图，于是AC=2．〔II〕欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，那么有OA=OC，设OA=OC=r，那么A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，故，x2=〔r2﹣1〕，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．点评：此题主要考察了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考察等价转化思想，属于根底题．13．焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A〔0，〕为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．考点：双曲线的标准方程；轨迹方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．〔2〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|，根据双曲线的定义|TF2|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．解答：解：〔1〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…〔3分〕故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1…〔6分〕〔2〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|OF1|假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…〔8分〕根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①…〔10分〕由于点N是线段F1T的中点，设N〔x，y〕，T〔x T，y T〕那么…〔12分〕代入①并整理得点N的轨迹方程为…〔14分〕点评：此题主要考察双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法〔如相关点代入法〕．14．〔2011•〕设λ＞0，点A的坐标为〔1，1〕，点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．考点：抛物线的应用；轨迹方程．专题：综合题；压轴题．分析：设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．解答：解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P〔x，y〕，Q〔x，y0〕，M〔x，x2〕那么x2﹣y0=λ〔y﹣x2〕即y0=〔1+λ〕x2﹣λy①再设B〔x1，y1〕由得将①代入②式得又点B在抛物线y=x2将③代入得〔1+λ〕2x2﹣λ〔1+λ〕y﹣λ=〔〔1+λ〕x﹣λ〕2整理得2λ〔1+λ〕x﹣λ〔1+λ〕y﹣λ〔1+λ〕=0因为λ＞0所以2x﹣y﹣1=0故所求的点P的轨迹方程：y=2x﹣1点评：此题考察题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．15．〔2013•南开区一模〕椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设，，求证：λ1+λ2为定值．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕根据椭圆C 的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．〔2〕设A、B、M点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，设直线l的斜率为k，那么直线l的方程是y=k〔x﹣2〕，然后采用“联立方程〞+“设而不求〞+“韦达定理〞，结合中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．解答：解：〔1〕设椭圆C 的方程为，那么由题意知b=1．…〔2分〕∴．∴a2=5．…〔4分〕∴椭圆C的方程为．…〔5分〕〔2〕设A、B、M点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔0，y0〕．又易知F点的坐标为〔2，0〕．…〔6分〕显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，那么直线l的方程是y=k〔x﹣2〕．…〔7分〕将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得〔1+5k2〕x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…〔8分〕∴．…〔9分〕又∵．〔11分〕∴．…〔12分〕点评：此题考察的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据条件计算出椭圆的标准方程是解答此题的关键．16．〔2013•〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．考点：专压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：〔1〕利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；〔2〕先设，，由〔1〕得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；〔3〕根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：〔1〕焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1 所以抛物线C的方程为x2=4y〔2〕设，由〔1〕得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，所以PA ：①PB：②联立①②可得点P 的坐标为，即，又因为切线PA 的斜率为，整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为整理得，即因为点P〔x0，y0〕为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直线AB 的方程为〔3〕根据抛物线的定义，有，所以=由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评：此题以抛物线为载体，考察抛物线的标准方程，考察利用导数研究曲线的切线方程，考察计算能力，有一定的综合性．17．〔2008•〕双曲线．〔1〕求双曲线C的渐近线方程；〔2〕点M的坐标为〔0，1〕．设P是双曲线C上的点，Q是点P 关于原点的对称点．记．求λ的取值围；〔3〕点D，E，M的坐标分别为〔﹣2，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔0，1〕，P为双曲线C上在第一象限的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．考点：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕在双曲线，把1换成0，就得到它的渐近线方程．〔2〕设P的坐标为〔x0，y0〕，那么Q的坐标为〔﹣x0，﹣y0〕，先求出，然后运用向量数量积的坐标运算能够求出λ的取值围．〔3〕根据P为双曲线C上第一象限的点，可知直线l 的斜率再由题设条件根据k的不同取值围试将s表示为直线l的斜率k的函数．解答：解：〔1〕在双曲线，把1换成0，所求渐近线方程为〔2〕设P的坐标为〔x0，y0〕，那么Q的坐标为〔﹣x0，﹣y0〕，=∵∴λ的取值围是〔﹣∞，﹣1]．〔3〕假设P为双曲线C上第一象限的点，那么直线l 的斜率由计算可得，当；当∴s表示为直线l的斜率k的函数是点评：此题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．18．〔2011•三模〕过抛物线y2=4x上一点A〔1，2〕作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C〔异于点A〕在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．〔1〕设，求λ；〔2〕当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．考点：抛物线的简单性质；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕设出过A点的切线方程，确定出D点，分别表示出，，根据λ1+λ2=1，求出λ的值．〔2〕设C〔x0，y0〕，P〔x，y〕，用x0，y0表示出x，y，代入抛物线方程，进而确定P点的轨迹．解答：解：〔1〕过点A的切线方程为y=x+1．…〔1分〕切线交x轴于点B〔﹣1，0〕，交y轴交于点D〔0，1〕，那么D是AB的中点．所以．〔1〕…〔3分〕由⇒=〔1+λ〕⇒．〔2〕同理由=λ1，得=〔1+λ1〕，〔3〕=λ2，得=〔1+λ2〕．〔4〕将〔2〕、〔3〕、〔4〕式代入〔1〕得．因为E、P、F三点共线，所以+=1，再由λ1+λ2=1，解之得λ=．…〔6分〕〔2〕由〔1〕得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．。

圆锥曲线小题：第一方面：圆锥曲线的方程1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．解：设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A （35，45），易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x＋2. 令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1. 【答案】x 25＋y 24＝1第二方面：焦点三角形例2：已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点， P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．解：焦点三角形12PF F 中，12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，故12121||||2PF F S PF PF ∆=，又2221212||||||PF PF F F +=，12||||2PF PF a +=，则()221212212F F PF PF PF PF =⋅-+，2212424c PF PF a =⋅-， 所以2212b PF PF =⋅，则9221==∆b S F PF ，故3=b . 附：若21F PF ∆为一般三角形，则=∆21F PF S θsin 2121PF PF ⋅（用θ表示21PF F ∠）. 由余弦定理得221212221cos 2F F PF PF PF PF =⋅-+θ，又aPF PF 221=+，c F F 221=，所以()()2212214cos 12c PF PF PF PF =+⋅⋅-+θ，所以()2214cos 12b PF PF =+⋅⋅θ，θcos 12221+=⋅b PF PF ，所以=∆21F PF S 2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 21222221θθθθθθθb b b PF PF ==+=⋅.本题︒=∠9021PF F ，则9221==∆b S F PF ，易得3=b ，故熟记椭圆焦点三角形21F PF 的面积公式=∆21F PF S 2tan2θb ，对于求解选、填空题有着很大的优势，但是大题必须按部就班去做。

高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（）A．2B．4C．3D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以F A，FO为邻边作平行四边形OF AB，若点B在椭圆上，则b2等于（）A．B．2C．3D．43．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（）A．1B．2C．3D．44．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（）A．2B．C．D．7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．1B．C．2D．8．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点（2，3），若F1、F2为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点A（6，8），则当|P A|+|PF2||取最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝k（x﹣）过点F2，且与双曲线C在第一象限交于点P，若（）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝（a+1）|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝2，则e1的值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则＝（）A．1B．2C．3D．412．已知双曲线，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0，y0）为双曲线C上一点，且位于第一象限，若△PF1F2为锐角三角形，则y0的取值范围为（）A．B．C．D．13．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若F A＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．14．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（1，]C．（1，2]D．（1，2）15．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．416．设双曲线C：（a＞0，b＞0），M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若k PM•k PN＝4，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．517．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．318．已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M 位于第一象限，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．419．已知椭圆，圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（﹣2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）A．B．C．D．20．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[3，]D．[，3]二．填空题（共10小题）21．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是．22．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为．23．椭圆C：和双曲线的左右顶点分别为A，B，点M为椭圆C的上顶点，直线AM与双曲线E的右支交于点P，且，则双曲线的离心率为．24．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为k（k＞0）的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为r1，△BF1F2的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为：；若r1＝3r2，则k＝．25．已知双曲线的一条渐近线为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝8与l交于A，B两点，若△ABM是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．26．（文科）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以F为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C 的右支于P，Q两点（O为坐标原点），△OPQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率的平方为．27．已知P是椭圆＝1上任意一点，AB是圆x2+（y﹣2）2＝1的任意一条直径（A，B为直径两个端点），则的最小值为，最大值为．28．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为，＝．29．已知F1，F2分别是双曲线C：，b＞0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2的大小为；双曲线的离心率为．30．已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C 的离心率为．三．解答题（共10小题）31．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．32．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．33．已知椭圆的离心率为，且坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且与直线x＝3交于点P，使得|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．34．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为D．（Ⅰ）若点D的纵坐标为﹣，求直线AB的方程；（Ⅱ）线段AB的中垂线与直线x＝﹣4交于点E，若|AB|＝，求|DE|．35．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜5），与圆M：（x﹣5）2+y2＝16有且只有两个公共点．（1）求抛物线C的方程；（2）经过R（2，0）的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．36．曲线C：y2＝2px（p＞0）与曲线E：x2+y2＝32交于A、B两点，O为原点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线l1、l2，l1、l2的斜率分别为k1、k2，k1+k2＝2，l1、l2分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．37．已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD面积的取值范围．38．已知圆锥曲线+＝1过点A（﹣1，），且过抛物线x2＝8y的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为（，0）点E的坐标为0，），直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|•|EM|为定值．39．已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．40．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：k AD﹣k BD＝﹣2．（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线1交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．高中数学圆锥曲线一．选择题（共20小题）1．【解答】解：连接PF2，由题意可知|PF2|＝2|ON|，|NQ|＝|PF1|，所以|OQ|＝|ON|+|NQ|＝（|PF2|+|PF1|）＝×4＝2，由极化恒等式可知，所以＝3，（极化恒等式：）．故选：C．2．【解答】解：依题意，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵四边形OF AB为平行四边形，∴y1＝y2，又，，∴x2＝﹣x1，又F A∥OB，且直线F A的倾斜角为，∴．∵y1＝y2，x2＝﹣x1，∴x1＝﹣1，x2＝1，．得A（﹣1，），将A的坐标代入椭圆方程，可得，①又a2﹣b2＝4，②联立①②解得：，．故选：B．3．【解答】解：双曲线C：（b＞0）的渐近线方程为y＝±，右焦点（，0）到其一条渐近线的距离等于，可得，解得b＝2，即有c＝，由题意可得＝1，解得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，如图，过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2：x＝﹣1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC＝MA+MF，设M到l1的距离为d1，M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2＝MA+MC＝MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F（1，0）到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离为．∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2．故选：B．4．【解答】解：如图，设M（x0，y0），则N（﹣x0，﹣y0），∵A（a，0），且线段AM的中点为B，∴B（，），由B，F，N三点共线，得，依题意，F（1，0），∴，，即．又y0≠0，解得a＝3，∴b2＝32﹣12＝8．可得C的方程为．故选：C．5．【解答】解：由|AF|＝4，得a﹣c＝4，设线段AN的中点为P，M（m，n），则N（﹣m，﹣n），又A（a，0），∴P （，），F（a﹣4，0），∵点M、F、P在同一直线上，∴k MF＝k FP，即，化简即可求得a＝6，∴c＝2，则b2＝a2﹣c2＝32．故椭圆方程为．故选：C．6．【解答】解：由题意知：a2＝1+4＝5，∴椭圆T：．设P（x0，y0），∵l1⊥l2，且M（0，1），∴，又，∴＝．﹣1≤y0≤1，∴当时，d12+d22的最大值为，故选：D．7．【解答】解：由抛物线方程，可得直线方程为x＝﹣，F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则M（，y1），N（﹣），∴，得，①，得，②又直线AB过焦点F，∴，③联立①②③得，p4＝（16﹣p2）（9﹣p2），解得p＝（p＞0）．设抛物线准线交x轴于K，则FK＝p＝．在Rt△MKF中，可得cos∠MFK＝，由抛物线的性质，可得∠AMF＝∠AFM＝∠MFK，则∠AFK＝2∠MFK，∴cos∠AFK＝，则cos，∴sin∠AFx＝，则tan．∴直线AB的斜率为．故选：D．8．【解答】解；由题意，可设双曲线C的方程为y2﹣3x2＝k（k≠0），将点（2，3）代入，可得32﹣3×22＝k，即k＝﹣3．故双曲线方程为．作出双曲线如图所示，连接PF1，AF1，由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2．∴|PF2|＝|PF1|﹣2，则|P A|+|PF2|＝|P A|+|PF1|﹣2≥|AF1|﹣2．当且仅当A，P，F1三点共线时等号成立，由A（6，8），F1（﹣2，0），得直线AF1的方程为y＝x+2．联立，得2x2﹣4x﹣7＝0．解得x＝1±．∵点P在双曲线的右支上，∴点P的坐标为（，）．故选：C．9．【解答】解：如右上图，由直线l：y＝k（x﹣）过点F2，可得F2（），由（）•＝0，可得OP＝OF2，取PF2的中点M，连接OM，则OM⊥PF2．又OM∥PF1，∴PF1⊥PF2．设PF2＝m，则|PF1|＝（a+1）|PF2|＝（a+1）m，由，解得．∴双曲线C的离心率为e＝．故选：C．10．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为a1，实半轴长为a2，即有e1＝，e2＝，设P为第一象限的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由∠F1PF2＝，可得4c2＝m2+n2﹣2mn cos，即为4c2＝3a12+a22，即有，又e2＝2，∴．故选：D．11．【解答】解：根据题意得F1（﹣，0）、F2（，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A1、B1，与F1F2切于点A，则|P A1|＝|PB1|，|F1A1|＝|F1A|，|F2B1|＝|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝4，故|F1A|﹣|F2A|＝4，而|F1A|+|F2A|＝2，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|＝4可得（x+）﹣（﹣x）＝4，解得x＝2，故|OA|＝2，则△PF1F2的内切圆的圆心在直线x＝3上，延长F2B交PF1于C，在三角形PCF2中，由题意得，三角形PCF2是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有|OB|＝|CF1|＝（|PF1|﹣|PC|）＝（|PF1|﹣|PF2|）＝2，∴＝1．故选：A．12．【解答】解：由双曲线，得F1（﹣，0），F2（，0），∵P位于第一象限，∴∠PF1F2恒为锐角，又△PF1F2为锐角三角形，∴∠PF2F1，∠F1PF2均为锐角．由∠PF2F1为锐角，得2＜x0＜，∴（0，）．∵y0＞0，∴y0∈（0，），由∠F1PF2为锐角，得＞0，∴＞0，即＞0，又，∴＞0．即＞，又y0＞0，∴y0＞．综上所述，y0∈（）．故选：C．13．【解答】解：如图，由圆O的方程，得圆O的半径为OA＝OB ＝．过O作AB的垂线OH，则H为AB的中点，又F A＝BP，∴H为FP的中点，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则OH为三角形FF1P的中位线，可得OH∥PF1，则PF1⊥PF，由∠AOB＝120°，可得OH＝．∴，则PF＝，在Rt△PFF1中，由勾股定理可得：，整理得：．解得：e＝或e＝（舍）．故选：D．14．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，倾斜角设为θ，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c ﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，由θ为锐角，可得＝，即θ＝，可得直线AB的斜率为，而双曲线的渐近线的方程为y＝±x，由过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B 两点，可得＞，即b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，可得c＜2a，由e＝，且e＞1，则1＜e＜2，故选：D．15．【解答】解：不妨设直线AB的斜率大于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH 中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．16．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1），∴k PM•k PN＝•＝，∵，，∴两式相减可得，即，∵k PM•k PN＝4，∴，则e＝＝．故选：C．17．【解答】解：如图所示，l1：y＝，l2：y＝﹣，F2（c，0），则过焦点F2平行于l1的直线方程为y＝．由，解得P（）．∴|OP|＝．由|+|＝|﹣|，得F1P⊥F2P，即P在以线段F1F2为直径的圆上．则|OP|＝c＝，即e＝．故选：C．18．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），再设PQ的方程为x＝my+1，联立，得y2﹣4my﹣4＝0．∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则．|PM|•|QN|＝（|PF|﹣1）（|QF|﹣1）＝（x1+1﹣1）（x2+1﹣1）＝x1x2＝1，则≥2＝2．∴的最小值为2．故选：B．19．【解答】解：由圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，得．作出椭圆C与圆A的图象如图，F（﹣2，0）为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F′（2，0），则|PQ|+|PF|＝|PQ|+2×4﹣|PF′|＝8﹣（|PF′|﹣|PQ|），圆A过点F′，要使|PQ|+|PF|最小，则|PF′|﹣|PQ|需要取最大值为圆的直径．∴|PQ|+|PF|的最小值为8﹣．故选：D．20．【解答】解：如图，由题意，A（c，），|F1F2|＝2c，则tan．由，得≤≤1，即2≤≤．∴e＝∈[]．故选：A．二．填空题（共10小题）21．【解答】解：由已知可得2b＝2，即b＝1，∵△F1AB的面积为，∴（a﹣c）b＝，得a﹣c＝；∵a2﹣c2＝b2＝1；∴a＝2，c＝．可得椭圆方程为；∴＝＝．令|PF1|＝m，则．∴＝，∵≤m≤，∴1≤﹣m2+4m≤4；∴1≤≤4．故答案为：；[1，4]．22．【解答】解：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣c，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为P为OF的中点，所以P（﹣，0），因为，所以（﹣c﹣x1，﹣y1）＝2（x2+c，y2），所以可得y1＝﹣2y2，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得：（a2+m2b2）y2﹣2b2mcy+b2c2﹣a2b2＝0，所以y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣，所以A，B的中点坐标（﹣，），所以线段AB的中垂线方程为：y﹣＝﹣m（x+），令y＝0，可得x＝，由题意可得﹣＝，可得a2（1+m2）＝（2+m2）c2，①由，可得：9m2c2＝（1+m2）a2②，由①②可得：9m2＝2+m2，解得m2＝，将m2＝代入①可得a2＝c2，所以＝，故答案为：．23．【解答】解：如图，由已知可得：A（﹣3，0），B（3，0），M（0，）．则，AM所在直线方程为y＝，设P（x0，y0），则，消去x0，y0，解得b2＝6．则c＝．∴双曲线的离心率为e＝．故答案为：．24．【解答】解：△AF1F2的内切圆圆心为O1，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，得|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，则|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记O1的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同理可得内心O2的横坐标也为a，则有直线O1O2的方程为x＝a；设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2O2＝，∠O1F2O＝90°﹣，在△O1EF2中，tan∠O1F2O＝tan（90°﹣）＝，在△O2EF2中，tan∠O2F2O＝tan＝，由r1＝3r2，可得3tan ＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，则直线的斜率为tanθ＝＝．∴k＝．故答案为：a；．25．【解答】解：双曲线的一条渐近线l的方程为y＝，圆M：（x﹣a）2+y2＝8的圆心M（a，0），半径为r＝2，由△ABM为等腰直角三角形，可得AB＝r＝4，设OA＝t，由，可得OB＝5t，AB＝4t，由4t＝4，得t＝1，过M作MD⊥AB，且D为AB的中点，OD＝3，AB＝4，AD＝2，M到直线l的距离为MD＝，在直角三角形OMD中，MD2＝OM2﹣OD2，在直角三角形AMD中，MD2＝AM2﹣AD2，即有a2﹣9＝8﹣4，解得a＝，即有MD＝2＝，解得b＝，c＝，∴e＝．故答案为：．26．【解答】解：如图所示OP＝OQ，且△OPQ的一个内角为60°，则△OPQ为等边三角形，∴OP＝PQ，设圆与x轴交于G，连接PF，PG，则∠OPG＝90°，由∠POG＝30°，可得∠OGP＝60°，可得PG＝PF＝FG＝c，由OG＝2c，可得OP＝c，PQ＝c，则PH＝c，可得OH＝c，故P（c，c），又P为双曲线上一点，∴，由b2＝c2﹣a2，e＝，且e＞1，可得9e4﹣16e2+4＝0，解得e2＝．故答案为：．27．【解答】解：设圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心为C，则＝（）•（）＝（﹣﹣）•（）＝＝．∵P是椭圆＝1上的任意一点，设P（x0，y0），，即．∵点C（0，2），∴＝＝．∵y0∈[﹣1，1]，∴当y0＝1时，取得最小值1，当时，取得最大值．∴的最小值为0，最大值为．故答案为：0；．28．【解答】解：由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，得﹣，即p＝2．∴抛物线C的方程为x2＝4y；圆x2+y2﹣2y＝0为x2+（y﹣1）2＝1，则圆心与抛物线的焦点M重合，圆的半径为1．如图，联立，得4y2﹣17y+4＝0．解得：，y F＝4．∴|AB|＝|AM|﹣1＝|AA1|﹣1＝；|EF|＝|MF|﹣1＝|FB1|﹣1＝4，则＝．故答案为：x2＝4y；16．29．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），如图可得△QF1F2为等腰三角形，则△PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay＝0，则直线PF1的方程设为ax﹣by+ac＝0，则I到直线PF1的距离为＝|a﹣b|，由图象可得a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a，设Q（0，t），且t＞c，则直线QF2的方程为tx﹣cy+tc＝0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为b﹣a，即有＝b ﹣a，化简可得abt2﹣tc3+abc2＝0，由△＝c6﹣4a2b2c2＝c2（a2﹣b2）2，解得t＝或＜c（舍去），则Q（0，），直线QF2的斜率为＝﹣，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay＝0平行，可得∠F1PF2＝，由F1到渐近线OM的距离为＝b，|OM|＝＝a，由OM为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OM|＝2a，|PF1|＝2|MF1|＝2b，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则b＝2a，e＝＝＝．故答案为：，．30．【解答】解：如图，由题意可得，直线F1M与圆O相切于点M，且|MF1|＝b，由双曲线的定义可知，2a＝|NF1|﹣|NF2|＝|MN|+|MF1|﹣|NF2|，∵|MN|＝|NF2|+|OF2|，且|OF2|＝c，∴2a＝b+c，即b＝2a﹣c，∴b2＝（2a﹣c）2＝c2﹣4ac+4a2，又b2＝c2﹣a2，联立解得4c＝5a，即e＝．故答案为：．三．解答题（共10小题）31．【解答】解：（1）设切点A（m，n），可得m2＝4n，x2＝4y即y＝的导数为y′＝x，可得切线l1的斜率为m，对椭圆+＝1两边对x求导，可得+＝0，即有y′＝﹣，则椭圆C2在点A处的切线l2的斜率为﹣，由题意可得率为m•（﹣）＝﹣1，化为b2＝a2，则e＝＝＝＝；（2）假设存在椭圆C2，使得S1＝2S2．由抛物线C1在点A处的切线l1的方程为mx＝2（y+n），与椭圆方程x2+2y2＝2b2联立，消去x可得（4+2m2）y2+8ny+4n2﹣2b2m2＝0，则n+y P＝﹣＝﹣，解得y P＝﹣，可得|y P﹣n|＝|﹣﹣n|＝，又椭圆C2在点A处的切线l2的方程为mx+2ny＝2b2，与抛物线方程x2＝4y联立，可得nx2+2mx﹣4b2＝0，可得mx Q＝﹣，即x Q＝﹣＝﹣＝﹣，y Q＝x Q2＝•＝，所以|y Q﹣n|＝，由S1＝2S2，可得＝2•，即为2n2＝1+2n，解得n＝+（负的舍去），则2b2＝m2+2n2＝4n+2n2＝4+3，所以存在椭圆C2，且方程为+＝1，使得S1＝2S2．32．【解答】解：（1）由已知，，∴，化简得动点M的轨迹E的方程：；证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，﹣y1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，此时△＞0，∴，，由直线BC的方程：，得：，令y＝0，则＝＝＝＝，∴直线BC过点P（﹣2，0），即P，B，C三点共线．33．【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，且a2﹣b2＝c2，则a＝2b，c＝b，坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为，可得••a＝•b•c，解得b＝1，a＝2，则椭圆的方程为+y2＝1；（2）假设存在满足题意的直线l，显然其斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣），且A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2﹣k2x+k2﹣4＝0，由题意，可得△＝16（k2+1）＞0恒成立，又x1+x2＝，x1x2＝，由|P A|＝|3﹣x1|，|PB|＝|3﹣x2|，|AB|＝|x1﹣x2|，且|P A|，|AB|，|PB|依次成等差数列，可得|3﹣x1|+|3﹣x2|＝2|x1﹣x2|，即6﹣（x1+x2）＝2，所以6﹣＝2＝2•，即52k2+15＝4，解得k＝±，所以存在这样的直线满足题意，且直线l的方程为y＝x﹣或y＝﹣x+．34．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，F（1，0），设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．∴．点D的纵坐标为，解得m＝2或m＝．当m＝2时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0；当m＝时，直线AB的方程为3x﹣2y﹣3＝0．∴直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0或3x﹣2y﹣3＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．∴|AB|＝＝．令，解得m＝±1．从而可得D的纵坐标为，横坐标为．∵DE⊥AB，于是|DE|＝．35．【解答】解：（1）联立方程，得x2+（2p﹣10）x+9＝0，∵抛物线C与圆M有且只有两个公共点，则△＝（2p﹣10）2﹣36＝0，解得p＝2或p＝8（舍去）．∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）假设直线y＝2上存在定点Q（m，2），当直线l的斜率不存在时，A（2，），B（2，），由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，即恒成立．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x ﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2﹣4（k2+1）x+4k2＝0，则，x1x2＝4，由题知2k RQ＝k AQ+k BQ，∴＝＝＝．整理得：（m2﹣4）k﹣2（m+2）＝0．∵上式对任意k成立，∴，解得m＝﹣2．故所求定点为Q（﹣2，2）．36．【解答】解：（1）由对称性可知：A、B关于x轴对称，可设A（a，a），a＞0，则a2＝2pa⇒a＝2p，把A（2p，2p）代入曲线C得：（2p）2+（2p）2＝32⇒p＝2；（2）证明：由（1）得曲线C的方程为y2＝4x，即有M（1，2），设N（x1，y1），P（x2，y2），则，同理，（*），若直线NP斜率为0，直线NP的方程设为y＝t0，代入曲线C，仅有一解，不合题意，舍去；当m存在时，设直线NP的方程设为x＝my+t，把x＝my+t代入y2＝4x 整理得：y2＝4（my+t）⇒y2﹣4my﹣4t＝0，且16m2+16t＞0，得，代入（*）式，得：﹣4t＝4⇒t＝﹣1，故直线NP的方程为x＝my﹣1，可得直线NP恒过定点（﹣1，0）．37．【解答】解：（1）抛物线的准线：x＝﹣，由抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．可得得p＝2，所以．（2）设点P坐标为（x0，y0），满足．由题意可知切线斜率不会为0，设切线PC为（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，由△＝0可得①，设切点C（x1，y1），所以y1＝2m1，代入①可得②．设切线PD为（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切点D（x2，y2），同理可得③．由②③可知y1，y2是方程y2﹣2y0y+4x0＝0的两根，所以y1+y2＝2y0，y1•y2＝4x0，又，，所以代入②③可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x﹣2y0y+4x0＝0的两根，即CD直线方程为4x﹣2y0y+4x0＝0．∴，∴，S△PCD＝＝＝，又因为且x0∈[﹣2，0]，．38．【解答】解：（1）抛物线x2＝8y的焦点B（0，2），将点A（﹣1，），B（0，2）代入方程得：，解得，∴圆锥曲线的标准方程为；证明：（2）由（1）可知，该圆锥曲线为椭圆，且D（），E（0，2），设椭圆上一点P（x0，y0），则直线PD：，令x＝0，得，∴|EM|＝|2+|；直线PE：，令y＝0，得，∴|DN|＝||．∴|DN|•|EM|＝||•|2+|＝||•||＝|•|＝||．∵点P在椭圆上，∴，即．代入上式得：|DN|•|EM|＝||＝||＝．故|DN|•|EM|为定值．39．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．40．【解答】解：（1）设D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），得（x≠﹣2），（x≠2），∵k AD﹣k BD＝﹣2，∴，整理得：x2＝2y（x≠±2）；（2）存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．证明如下：由题意，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，得x2﹣2kx﹣4＝0．则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．＝．则＝．直线OP：y＝，取y＝﹣1，得，直线OQ：y＝，取y＝﹣1，得．则|x M﹣x N|＝||＝||＝＝＝．∴．∴S△OPQ＝4S△OMN．故存在常数入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．第21页（共21页）。

第三章圆锥曲线的方程【压轴题专项训练】一、单选题1．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点A ．（12，0）B ．（1，0）C ．（2，0）D ．（-2，0）【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上，设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y yx x +=++，结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)，故选B.【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键.2．已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长1PF 交椭圆于点Q ，若2PF PQ ⊥，且2PF PQ =，则椭圆的离心率为A-B 1C D ．2【答案】A 【分析】由题意可得2PQF 为等腰直角三角形，设|PF 2|＝t ，运用椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t ，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率．【详解】解：PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形，设|PF2|＝t ，则|QF 2|，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a ﹣t，24t a=则t ＝2（2a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2+（2a ﹣t ）2＝4c 2，4（6﹣）a 2+（12﹣a 2＝4c 2，化为c 2＝（9﹣a 2，可得e ＝ca-．故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力．3．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2|>|PF 1|，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A ．4B ．6C．D ．8【答案】D 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+=2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a cc a =++≥+=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8.故选：D 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)(218)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号.4．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为（）AB ．3C ．6D【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+，再利用均值不等式得到答案．【详解】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c ce c a ca ++=+=，()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++．，22222a cc a +≥=，当且仅当2222a c c a =时取等号，21e 2e 2∴+的最小值为6，故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e 2e 2+是解题的关键，意在考查学生的计算能力．5．已知点A 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P，且满足PA =C 的方程为（）A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y=D ．2x y=【答案】C 【分析】本题首先可根据题意得出点0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后设切线方程为2p y kx =-、切点为(),P P P x y ，通过联立抛物线与切线方程解得1k =±，最后对1k =、1k =-两种情况分别进行讨论，通过PA =.【详解】由题意可知，抛物线准线方程为2py =-，点0,2p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线斜率k 一定存在，设过点A 与抛物线相切的直线方程为2py kx =-，切点(),P P P x y ，联立抛物线与切线方程222p y kx x py⎧=-⎪⎨⎪=⎩，转化得2220x pkx p -+=，222440p k p ∆=-=，解得1k =±，当1k =时，直线方程为2py x =-，2220x px p -+=，解得P x p =，则22P P p p y x =-=，因为PA =2222PP p x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1p =；当1k =-时，同理得1p =，综上所述，抛物线方程为22x y =，故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.6．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）ABCD【答案】C 【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PEFEP PFμ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF ===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max μ∴,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是A ．23B ．1C ．32D ．16【答案】B【详解】设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ．由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos60°=a 2+b 2﹣ab ，配方得，|AB|2=（a+b ）2﹣3ab ，又∵ab≤2(2a b +∴（a+b ）2﹣3ab≥（a+b ）2﹣34（a+b ）2=14（a+b ）2得到|AB|≥12（a+b ）．∴||MN AB≤1，即||MN AB的最大值为1．故选B ．点睛：本题难点在寻找解题的思路，作为一个最值的问题，这里首先要联想到函数的思想，先求出|MN|，|AB|,再利用基本不等式解答.8．设抛物线22y x =的焦点为F，过点0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S等于A ．45B ．23C ．47D ．12【答案】A【详解】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，，BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==．由12BF BB ==知32B B x y ，==02AB y x ∴-=-：把22y x =代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===．故选A ．9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,π54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为AB ．105C．3D．5【答案】D【详解】分析：由题意可知：可设A （-c ，2b a），C （x ，y ），由S △ABC ＝3S △BCF2，可得222=AF F C ,根据向量的坐标运算求得x=2c ，y=22b a-，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．详解：设椭圆的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），由x=-c ，代入椭圆方程可得by x a=±可设A （﹣c ，），C （x ，y ），由，可得222=AF F C ，即有2(2,)2(,)b c x c y a -=-），即2c=2x-2c ，可得：x=2c ，22b y a=-代入椭圆得：，根据离心率公式可知：16e 2+1-e 2=4，解得0＜e＜1，则D 点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、多选题11．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =()11m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（）A ．椭圆C 的离心率为2B ．存在m ，使FAB 为直角三角形C ．存在m ，使FAB 的周长最大D ．当0m =时，四边形FBEA 面积最大【答案】BD 【分析】直接求出椭圆的离心率判断A ；利用椭圆的对称性及角AFB 的范围判断B ；利用椭圆定义及数学转化分析FAB ∆的周长判断C ；由四边形面积公式分析D 正确．【详解】解：如图所示：对于A ，由椭圆方程可得，2a =，b =1c =，椭圆C 的离心率为12e =，故A 错误；对于B ，当0m =时，可以得出3AFE π∠=，若取1m =时，得3tan 1tan44AFE π∠=<=，根据椭圆的对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 正确；对于C ，由椭圆的定义得，FAB 的周长||||||AB AF BF =++||(2||)(2||)4||||||AB a AE a BE a AB AE BE =+-+-=+--，||||||AE BE AB + ，||||||0AB AE BE ∴-- ，当AB 过点E 时取等号，||||||4||||||4AB AF BF a AB AE BE a ∴++=+-- ，即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大，此时直线AB 的方程为1x m c ===，但是11m -<<，∴不存在m ，使FAB 的周长最大，故C 错误；对于D ，||FE 一定，根据椭圆的对称性可知，当0m =时，||AB 最大，四边形FBEA 面积最大，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为()0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为（）AB ．2C D ．3【答案】ABC 【分析】1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于9，2||||2PA PF a ++的最小值不小于9，分析出当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a +，可得a 的范围，从而可得答案.【详解】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ==，1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于9又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++，当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a +所以529a +≥，即2a ≥，因为c =可得c e a=．故选：ABC ．【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围13．已知O 为坐标原点，()1,2M ，P 是抛物线C ：22y px =上的一点，F 为其焦点，若F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则下列说法正确的有（）A ．若6PF =，则点P 的横坐标为4BC ．若POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9πD ．PMF △周长的最小值为3【答案】ACD 【分析】先求出4p =，选项A 求出点P 的横坐标为042PF x p-==，判断选项A 正确；选项B 求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为22b a ==B 错误；选项C 先判断POF 外接圆的圆心的横坐标为1，再判断POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C 正确；选项D 直接求出PMF △的周长为3C ≥+D 正确.【详解】解：因为双曲线的方程为2213x y -=，所以23a =，21b =，则2c ==，因为抛物线C 的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以=22p ，即4p =，选项A ：若6PF =，则点P 的横坐标为042PF x p-==，所以选项A 正确；选项B ：因为抛物线C 的焦点F 与双曲线2213x y -=的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为223b a =，所以选项B 错误；选项C ：因为(0,0)O 、(2,0)F ，所以POF 外接圆的圆心的横坐标为1，又因为POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以3r =，所以该外接圆面积为29S r ππ==，所以选项C 正确；选项D ：因为PMF △的周长为()2232P P M pC PF PM MF x PM x PM x =++=++=+++=选项D 正确.故选：ACD 【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，14．已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD 【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A ，根据焦点弦性质判断B ，由向量共线与焦点弦性质判断C ，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D ．【详解】解：易知点F 的坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 错误；根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时，212116x x p =-=-，选项B 正确；若MF NF λ=，则MN 过点F ，则MN 的最小值即抛物线通经的长，为2p ，即12，选项C 正确，抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，过点M ，N ，P 分别做准线的垂直线MM '，NN '，PP '，垂足分别为M '，N '，P '，所以MM MF '=，NN NF '=.所以32MM NN MF NF ''+=+=，所以线段34MM NN PP ''+'==所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为13158488PP '-=-=，选项D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性质，对抛物线22y px =，AB 是抛物线的过焦点的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，2124p x x =，12AB x x p =++，AB最小时，AB 是抛物线的通径．三、填空题15．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，点P （12，4）．当|NA |+|NP |的值最小时，点N 的横坐标为____．【答案】9【分析】根据椭圆定义问题可转化为|MN |+|NP |的最小值问题，数形结合可得M ，N ，P 三点共线时有最小值.【详解】分别过点A ，B ，N 作准线的垂线，垂足为A 1，B 1，M ，如图所示，由抛物线的定义知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∴|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA 1|+|BB 1|＝2|MN |，∴|NA |+|NP |＝12|AB |+|NP |＝|MN |+|NP |，故原问题可转化为|MN |+|NP |的最小值问题，当M ，N ，P 三点共线时，|MN |+|NP |取得最小值，此时y N ＝y P ＝4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得，1212y y x x --＝124y y +＝42N y ＝41242=⨯，即直线AB 的斜率为12，又直线AB 经过点F （1，0），∴直线AB 的方程为y ＝12（x ﹣1），把4N y =代入，得14(1)2N x =-解得N x ＝9，∴当|NA |+|NP |的值最小时，点N 的横坐标为9．故答案为：916．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点Fl 交C 于A ，B两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ，若点F 到C 的准线的距离为3，则sin QMN ∠的值为______．【答案】58【分析】由题意得3p =，可得抛物线的方程和直线AB 的方程，联立直线AB 方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得AB 的中点Q 的坐标和弦长AB ，可得圆Q 的半径，在QMN 中，由锐角三角函数的定义可得所求值【详解】解：抛物线C ：()220y px p =>的焦点为(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，由题意得3p =，则抛物线方程为236,(,0)2y x F =，则直线AB的方程为3)2y x =-，由23)26y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22731504x x -+=，设,A B 的横坐标分别为12,x x ，则125x x +=，所以AB 的中点Q 的坐标为5(2，12538AB x x p =++=+=，则圆Q 的半径为4，在QMN 中，552sin 48QMN ∠==，故答案为：58【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式进行转化，考查方程思想和计算能力，属于中档题17．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点F 1位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P （点O 为坐标原点），且|ON |＝|OP |，则双曲线E 的离心率e 为__．【分析】由对称性得ON ⊥MN ，由点到直线距离公式得1F N ，然后由勾股定理求得,,a b c 的关系得出离心率．【详解】解：双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，∵|ON |＝OP |，且F 1P ⊥OM ，可得△PF 1O ≌△NF 1O ，ON ⊥MN ，双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，则|F 1N |＝|F 1P |b ．∵13MN F N =，∴|MN |＝3b ，|MF 1|＝2b ，由勾股定理可得，|ON |＝|OP |a =，|PM |，又|MN |2+|ON |2＝|OM |2，∴(3b )2+a 2＝(a )2，整理可得a ，即3c 2＝4a 2，∴3c e a ==．18．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的焦距为4，直线l ：y ＝2x 与椭圆C 相交于点A 、B ，点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的动点，直线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1•k 2＝59-，则椭圆C 的标准方程是__．【答案】2295x y +＝1【分析】设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），代入作差法表示出k 1•k 2＝59-，与224a b -＝联立，即可求出椭圆的标准方程.【详解】设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （﹣x 1，﹣y 1），则2200221x y a b+=，2211221x y a b +=，两式作差得22220101220x x y y a b --+=．因为直线PA ，PB 的斜率都存在，所以2201x x -≠0．所以22b a＝﹣22012201y y x x --＝﹣01010101y y y y x x x x --⨯+-＝﹣k 1•k 2＝59，则22590a b -＝，又因为焦距为4，则224a b -＝，联立两式可得229,5a b =＝所以该椭圆的方程为：2295x y +＝1故答案为：2295x y +＝1四、解答题19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别是F 1、F 2，上、右顶点分别是A 、B ，满足∠F 1AF 2＝120°，||AB =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)与圆x 2+y 2＝1相切的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的斜率．【答案】(1)22:14x C y +=；(2)|PQ |max ＝2；直线l的斜率为2k =±．【分析】(1)由焦点12AF F △得出,,a b c 的关系，解得,,a b c 得椭圆标准方程；(2)设直线方程为x ＝ty +m ，由直线与圆相切得,t m 关系，直线方程代入椭圆方程，计算出0∆>，设设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由韦达定理得1212,y y y y +，求得12y y -，得弦长PQ ，=n换元后用基本不等式得最值及直线斜率．【详解】解：(1)因为2tan ∠=cOAF b，||AB =，得tan 60cb︒==，又a 2＝b 2+c 2，所以=c ，a 2＝4b 2，5b 2＝5，解得b ＝1，a ＝2，椭圆的标准方程为22:14x C y +=；(2)由题意知直线l 不能平行于x 轴，所以设为x ＝ty +m ，由已知得(0，0)到x ﹣ty ﹣m ＝0的距离为11=，所以m 2＝t 2+1，联立直线和椭圆得(ty +m )2+4y 2＝4，即(t 2+4)y 2+2tmy +m 2﹣4＝0，得△＝(2tm )2﹣4(t 2+4)(m 2﹣4)＝﹣4(4m 2﹣4t 2﹣16)＝16(t 2﹣m 2+4)＝16×3，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则|y 2﹣y 1|==，||PQ =y 2﹣y 1|=n ，则n ≥1，2||233PQ n n n==≤++，当3=n n，即n =|PQ |max ＝2，此时t =l 的斜率为1=t 20．已知双曲线E ：2222x y a b -＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，离心率e ＝2，直线l ：x ＝2a c与E 的一条渐近线交于Q ，与x 轴交于P ，且|FQ |（1）求E 的方程；（2）过F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，求证：PF 平分∠APB ．【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析.【分析】（1）先将直线l 的方程与渐近线方程联立求出点Q 的坐标，求出PF 的长，从而可求出|FQ |，再由|FQ |b 的值，再结合离心率可求出a 的值，从而可求出E 的方程；（2）设过点F 得直线方程为：x ＝my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系，然后表示出k P A ，k PB ，相加化简，若等于零，可得PF 平分∠APB 【详解】解：（1）不妨设直线l ：x ＝2a c与E 的一条渐近线b y x a =交于Q ，则由2a x cb y xa ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得y Q ＝ab c ，又PF ＝c ﹣2a c ＝2b c，∴|FQ |2＝（ab c ）2+（2b c）2＝b 2＝3，∴b ，又离心率e ＝2，∴2224a b a +=，∴a ＝1．∴E 的方程为：2213y x -=．（2）设过点F 得直线方程为：x ＝my +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩，可得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，则1221231my y m -+=-，122931y y m =-，∵过F 的直线交E 的右支于A ，B 两点，∴y 1y 2＜0，可得﹣3＜m＜3，又P （12，0），∴k P A +k PB ＝12121122y y x x +--＝12211233()()2211()()22y my y my x x +++--，∴122133(()22y my y my +++＝2my 1y 2+123()2y y +＝2293122031231mm m m -⋅+⨯=--∴k P A +k PB ＝0，∴PF 平分∠APB ．21．已知0a b >>，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≥和曲线22222:1(0)x y C y a b-=<组成，其中曲线1C 的右焦点为()12,0F ，曲线2C 的左焦点()26,0F -.（1）求,a b 的值；（2）若直线l 过点2F 交曲线1C 于点,A B ，求1ABF 面积的最大值.【答案】（1）4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；（2）设出直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.【详解】解：（1）由题意：12(2,0),(6,0)F F -，2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩即4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）知，曲线221:1(0)2016x y C y +=≥，点2(6,0)F -，设直线l 的方程为：6(0)x my m =->，联立22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()225448640m y my +-+=，22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>，又0m >，1m ∴>，设()()1122,,,A x y B x y ，1224854m y y m ∴+=+，1226454y y m =+，12y y ∴=-，1ABF ∴面积21222111165118225454S F F y y m m =-=⨯⨯=++，令0t =>，221m t ∴=+，94S t t∴=+，当且仅当32t =，即2m =时等号成立，所以1ABF【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =（O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；（2）若,A B 是C 上的两个动点，且,A B 两点的横坐标之和为8．（ⅰ）设线段AB 的中垂线为l ，证明：l 恒过定点．（ⅱ）设（ⅰ）中定点为D ，当AB 取最大值时，且P ，D 位于直线AB 两侧时，求四边形PADB 的面积．【答案】（1）24y x =；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【分析】（1）根据题意得0t >，22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，进而解方程即可得答案；（2）（ⅰ）设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=，进而分12x x =和12x x ≠两种情况求解直线l 方程，以证明直线过定点；（ⅱ）直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，根据韦达定理与弦长公式求得||10AB ≤当且仅当26n =时等号成立，进而得直线:220AB x ±-=，再讨论P ，D 位于直线AB 两侧时得:220AB x -=，进而根据点到直线的距离求解点,P D 到直线AB 的距离以求解四边形的面积.【详解】解：（1）由抛物线的性质得0t >，所以根据抛物线的定义得：22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且128x x +=．（ⅰ）证明：设AB 中点为(),E m n ，则1242x x m +==，122y y n +=，当12x x =时，0l y =：；当12x x ≠时，2121222121214()42AB y y y y k x x y y y y n--====--+，则2l nk =-，:(4)2n l y n x -=--，令0y =，得6x =，故直线过定点()6,0综上，l 恒过定点()6,0．（ⅱ）由（ⅰ）知直线2:(4)AB y n x n-=-，即()42n x y n =-+，所以直线AB 与抛物线24y x =联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=，由0∆>，得21216,2n y y n +<=，212216y y n =-，2212416|||102n n AB y y ++-=-≤=，当且仅当26n =时等号成立，所以AB 的最大值为10，此时直线AB 的方程为:220AB x -=．对于直线220x -=，(2602)21(2)20⎡⎤⨯⨯-⨯⨯-->⎣⎦，所以点,P D 在同侧，不合题意，对于直线220x +-=，满足P ，D 位于直线AB 两侧，所以直线:220AB x +-=，点P 到直线AB 的距离1d =点D 到直线AB 的距离2d =所以()1212PADB S AB d d =⋅+=。