地基基础设计附加应力系数

基础附加应力系数与平均附加应力系数
在设计当中，经常要计算基础的沉降，《建筑地基基础设计规范》GB50007-2011中以应力面积法计算地基的沉降。

基础形式一般有独立基础和条形基础。

（1）独立基础
独立基础一般为矩形，其中心点以下某点的平均附加应力，可用四个小矩形以角点法，查附录K可求得每块小矩形的平均附加应力系数，中心点平均附加应力系数为其4倍。

（2）条形基础
条形础的附加应力系数可由规范上附录K1.0.1-1最后一列直接查得，同样分为四个小矩形，矩形长宽比大于10（基础长宽比大于20时，可视为条形基础）。

其附加应力系数与平均附加应力系数求得如图1所示。

图1 条形基础附加应力系数与平均附加应力系数分析示意图
平均附加应力系为规范附录K，K1.0.1-2中最后一列，即为L/b=10所对应一列；。

地基附加应力是建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力，其公式为：d p p p c 00γσ-=-=
竖向集中力下的地基附加应力
1 布辛奈斯克法
这个方法给出了三个方向的正应力和剪应力以及位移的公式。

其中最常用的是竖向正应力和竖向位移的公式，公式见下
θπσ32cos 23R
P = P 作用于坐标原点的竖向集中力
R M 点至坐标原点的距离
θ R 线与z 坐标轴的夹角
2 等代荷载法
如果地基中M 点与局部荷载的距离比荷载截面尺寸大很多时，就可以用一个集中力P 代替局部荷载，然后利用不辛奈克斯公式求解，经简化得到下面的公式：2
z P K
=σ，其中K 是一个与z r 有关的系数，经查表就可得到。

若有若干个集中荷载作用在地基上，则应按叠加原理计算地基中某点M 的附加应力。

当局部荷载的平面形状或者分布形状不规则时，可将荷载面（或基础底面）分成若干个规则面积单元，每个面积单元上的分布荷载可近似用集中荷载代替，这样就可以利用叠加法来计算基础下某一深度点的附加应力（此法不宜用于求靠近荷载面的计算点），一般其精度能保证工程要求。

2 巨型荷载和圆形荷载下的地基附加应力
以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力，分为四种情况
荷载面边缘;荷载面内;荷载面边缘外侧；荷载面角点外侧
以上四种情况都可通过分割和补加得到想要的角点，然后来利用叠加法通过查表可得到想要求的计算点的附加应力。

第38卷　第5期2006年10月西安建筑科技大学学报(自然科学版)J 1Xi ’an Univ.of Arch.&Tech.(Natural Science Edition )Vol.38　No.5Oct.2006地基附加应力和变形计算的Excel 电子表格法韩晓雷,甄俊田(西安建筑科技大学土木工程学院,陕西西安710055)摘　要:地基附加应力和变形计算是地基设计计算的重要内容,直接关系着结构设计的安全可靠程度.传统的计算方法是基于计算成果表的查表插值法.该方法手工计算工作量大且容易出现计算错误.基于弹性理论的地基应力计算原理,给出了地基附加应力计算的Excel 电子表格法.对地基变形计算的假定前提进行了讨论,对地基变形计算的传统分层总和法和规范推荐方法进行了原理分析、计算分析和计算结果比较,给出了地基变形计算的Excel 电子表格法的基本方法.提出了一个适于Excel 电子表格法的新的e 2p 表达式.给出的地基附加应力及变形计算Excel 电子表格法可极大提高相关内容的计算效率,避免出现计算差错.关键词:附加应力;应力计算;Excel 电子表格法;地基变形;侧限;分层总和法中图分类号:TU431 文献标识码:A 文章编号:100627930(2006)0520629205　地基附加应力计算是进行地基变形计算的前提和基础.传统的地基附加应力计算基于弹性半空间理论,是在考虑多种基础形状和荷载分布形状的基础上,通过查表插值计算法进行的.而地基的变形计算,是在地基附加应力计算的基础上,通过普遍使用查表插值法[5]进行的.该方法费时、费工且容易出错,将地基附加应力计算和变形计算的查表插值法更新为Excel 电子表格法,在推广应用方面有很大的便利.以下对地基附加应力计算和变形计算的Excel 电子表格法予以介绍.1　常用的地基附加应力计算公式地基附加应力计算是地基设计的重要内容.计算时,假定地基是各向同性、均质的线弹性半空间体,用弹性半空间理论求解.求解地基附加应力时,把基底压力看成是柔性荷载,不考虑基础刚度对基底压力分布和地基附加应力分布造成的影响.地基附加应力计算的核心是布辛奈斯克解,计算时根据基础底面的形状(矩形、条形、圆形等)和基底附加压力(均布、三角形等)的分布规律等多种不同情况来进行积分.根据竖向集中力P 作用下地基任意点处的附加应力的布辛奈斯克解和弹性理论的应力叠加原理以及矩形荷载的角点法,可以将地基附加应力计算公式写为一个通式:σz =∑ni =1K i ・P i (1)或者σz =1z 2∑ni =1K i ・P i(2)公式(1)为分布力作用下的附加应力计算通式,公式(2)为集中力系或等代荷载法的附加应力计算通式.其中常用的地基附加应力系数计算公式如下:①单个集中力作用下的地基竖向附加应力系数:K =3z 32πR 5=32π・1[1+(r/z )2]5/2(3)②矩形面积均布荷载作用下,矩形荷载面角点下的地基附加应力系数:3收稿日期:2004204225 修改稿日期:2005204212基金项目:973前期专项研究项目(2002CCC00200)作者简介:韩晓雷(19572),男,陕西兴平人,教授,主要从事岩土工程教学和研究.K c=12πlbz(l2+b2+2z2)(l2+z2)(b2+z2)l2+b2+z2+arcsin lb(l2+z2)(b2+z2)(4a)若令m=l/b、n=z/b或者m=b/l、n=z/l则进一步可得:K c=12πmn(m2+1+2n2)(m2+n2)(1+n2)m2+1+n2+arcsin m(m2+n2)(1+n2)(4b)③矩形面积三角形分布荷载,荷载集度为零的基础角点下的地基附加应力系数:K t1=mn2π1m2+n2-n2(1+n2)m2+n2+1(5)需要特别强调的是:三角形分布荷载正常情况下一定是沿着长边方向而不是短边方向或可长边可短边方向分布.因为在进行基础设计时一定是将基础的长边方向对着单向偏心的方向,就像一个钢筋混凝土梁其高度一定大于其宽度一样.条形荷载的单向偏心方向则一定对应着短边方向,因为长边方向由于抗弯能力极大,不需考虑弯矩的作用.许多现行土力学著作在论述矩形面积三角形分布荷载作用时都将短边b对应着荷载的三角形变化方向,《建筑地基基础设计规范》(G B5000722002)也沿用了这一设定[125].虽然在计算上这样的设定不会带来任何问题,但在概念上却是欠妥的.④矩形面积三角形分布荷载,荷载集度不为零的基础角点下的地基附加应力系数:K t2=K c-K t1(6)⑤均布圆形荷载中心点下的附加应力系数:K r=1-1[(r0/z)2+1]32(7)其中:r0是圆形荷载面积的半径.2　地基附加应力计算的Excel电子表格法对于地基附加应力(附加应力系数)计算,查表插值计算法虽在原有的技术条件下是必要的、可行的、实用的,且在相当长的时期对地基应力计算起到了重要作用.但是在计算机技术发达的今天,若仍然让其占据主导地位则是不够科学的.笔者以下以竖向集中力作用下的地基竖向附加应力计算为例,介绍地基附加应力计算的Excel电子表格法.利用Excel电子表格法计算集中力作用下的地基竖向附加应力系数K值得计算步骤如下:①在电子表格的前3列依次输入x、y、z坐标值;②将电子表格的第4列设置为“=sqrt(A13A1+B13B1)/C1”;(r/z);③将电子表格的第5列设置为“=5/23l n(1+D13D1)”;(52ln[1+(r/z)2]);④将电子表格的第6列设置为“=exp(E1)”;([1+(r/z)2]5/2);⑤将电子表格的第7列设置为“=3/(23P I())/F1”;(K=32π×1/[1+(r/z)2]5/2).⑥输入计算基本指标x、y、z,用鼠标点活第1行1到7列(A1—G1)并拖动鼠标,即可得到所需的竖向附加应力系数值.⑦计算竖向集中力所引起的地基竖向附加应力时,只需在前述计算步骤(1)—(5)的基础上增加一步:将电子表格的第8列设置为“=G1/(CI3CI3“P”)”;(σz=Pz2K).按照步骤⑥(点活第1行1到8列(A1～H1)并拖动鼠标)即可得到所需的竖向集中力作用下的竖向附加应力σz.按照相同的思想并利用应力计算中的弹性力学叠加原理不难得到可以得到其他常见分布荷载作用下地基附加应力计算的Excel电子表格法.建立不同分布荷载下的地基附加应力计算的Excel电子表格,输入原始数据后,拖动计算机鼠标即可得到所需的应力计算结果.与查表插值法相比,除可以节省查036 西　安　建　筑　科　技　大　学　学　报(自然科学版) 第38卷表插值等计算过程外,还可以减少人工计算中容易出现的误差和错误.3　土层侧限压缩变形量计算在侧限条件下,厚度为H 的土层的压缩变形量计算公式为:s =e 1-e 21+e 1H =a (p 2-p 1)1+e 1H =Δp E sH (8)式中:s 为土的压缩变形量;a 为土的压缩系数,M Pa -1;e 2、e 2为相应土中应力p 1、p 2(kPa 或M Pa )时的孔隙比;E s 为土的压缩模量;Δp 为地基土层中的应力增量.4　地基最终变形的计算方法分析4.1　地基最终变形计算的分层总和法所谓地基最终沉降量计算的分层总和法,就是将地基在其沉降计算深度范围内划分为若干分层,分别计算各分层的压缩量,然后求其总和.分层总和法的基本原理可综述如下:①假定地基的变形发生在有限的深度范围内;②在自重应力作用下地基土的固结已经完成(正常固结土),地基中的变形是由附加应力引起的;③基底附加压力是作用于地表的局部柔性荷载;④地基任意深度处的附加应力相等、且等于基础中心点下该深度处的附加应力值(该假定保证了地基的变形是在侧限条件下发生的);⑤地基的最终变形等于有限深度范围内各土层压缩量的总和.各分层压缩量公式可由公式(5)直接写出:s i =e 1i -e 2i 1+e 1i H i =a i (p 2i -p 1i )1+e 1i H i =Δp i E siH i (9)计算地基最终变形量(正常固结土)s 的分层总和法公式为:s =∑n i =1e 1i -e 2i 1+e 1i H i =∑n i =1a i (p 2i -p 1i )1+e 1iH i =∑n i =1Δp i E si H i (10)式中:e 1i 为第i 层土的自重应力平均值p 1i 对应的孔隙比;e 2i 为第i 层土的自重应力平均值与附加应力平均值之和(即p 2i =p 1i +Δp i )对应的孔隙比.现行的很多土力学著作在论述分层总和法的基本原理时,在假定“地基任意深度处的附加应力相等、且等于基础中心点下该深度处的附加应力值”之前或之后,同时再假定地基土的压缩变形是在侧限条件下发生的[122],其后才假定地基任意深度处的附加应力相等、且等于基础中心点下该深度处的附加应力值.虽然这和仅仅假定“地基任意深度处的附加应力相等、且等于基础中心点下该深度处的附加应力值”并不矛盾,但却在概念上却有很大差别.侧限假定给人一种该假定导致计算结果偏小,因而通过应力假定对其予以修正的感觉.但最终的结果是偏大还是偏小却无从知晓.如果去掉侧限假定,由于假定“地基任意深度处的附加应力相等、且等于基础中心点下该深度处的附加应力值”就自然保证了地基土压缩变形的侧限性,则计算结果的偏差分析一目了然:根据分层总和法的基本假定,若地基压缩层厚度的选择合适且不考虑土的变异性、侧向挤出、次固结变形等,从纯理论的角度出发,由公式(10)计算所得的地基最终沉降量偏大.但必须指出的是,地基土的区域特征一般比较突出,变异性也极大.有些条件下(特别是含水量较大的条件下)地基土的侧向挤出明显,次固结沉降突出,导致建筑物的实际沉降大于理论分析结果;另一些条件下(持力层含水量低、结构性好、压缩性低、土的力学性能好、地基附加应力扩散现象突出)基础下地基固结变形难以发生,建筑物的实际沉降又会小于甚至明显小于理论分析结果.4.2　规范推荐的方法规范推荐的地基变形计算方法是另一种形式的分层总和法.它的基本假定与基本原理和传统分层总和法没有任何不同.计算公式可由传统分层总和法的基本公式在引入了地基平均附加应力系数的概念后直接得出.与传统分层总和法的差别之处则在于规范推荐方法重新规定了地基变形计算深度的确定标准;并考虑了用沉降计算经验系数对计算所得的地基变形值进行修正.与传统分层总和法相比较,136第5期韩晓雷等:地基附加应力和变形计算的Excel 电子表格法用相对变形来控制地基变形计算深度的做法也相对更趋合理.5　地基变形计算的Excel电子表格法及地基变形计算算例及方法分析与地基附加应力计算一样,地基变形分析目前仍普遍使用查表插值法[5],该方法费时、费工且容易出错.Excel电子表格是目前最为通用的计算机应用程序,将地基变形计算的查表插值法更新为Excel 电子表格法在推广应用方面有极大的便利.以下对地基变形计算的Excel电子表格法予以介绍,将该方法和地基应力计算的Excel电子表格法可以联合使用,计算思想与应力计算的Excel电子表格法相同.【例题】某建筑物独立基础平面尺寸为4m×6m,基础埋深d=1.5m,拟建场地地下水位距地表110m,地基土层分布及主要物理性质指标如下:表1　地基土层分布及主要物理性质指标Tab.1　Foundation soil st rata distribution and physical indicesSerial numberSoilstrataBottomDepthWatercontent/%Unitweight/kN・m-3VoidratioliquidityindexConstainedmodulusSubmergedunit weight/kN・/m-31 2 3 4FillSilty ClayMucky clayclay1.03.57.915.030.5048.0022.5018.0018.7017.0019.700.701.380.680.701.200.357.50002.40009.900018.008.707.009.70试用规范推荐的方法和传统的分层总和法计算第2、3、4层的压缩量(规范推荐的方法其沉降计算经验系数假定为1.0),并按相同的标准计算地基的沉降量.(基础底面处的有效附加压力p0=100kPa)通过算例计算可以得出:(1)在地基深度相同的条件下,通过传统分层总和法和规范推荐的分层总和法所得的地基变形计算结果一致(传统分层总和法s=108.01mm,规范推荐的分层总和法s=107.58 mm,两者的相对误差为0.48%).(2)当采用传统分层总和法时,分层厚度不能过大,否则将产生较大的计算误差(例如上述计算结果中,用传统分层总和法计算所得的粘土层的累计压缩量为9.32mm,而用规范推荐的分层总和法所得的粘土层的累计压缩量为8.56mm,两者出现相对较大的计算误差.但若在传统分层总和法中,将z n之下的粘土每2.0m划分为一层,则粘土层的累计压缩量为8.69mm,两者的计算结果又趋于一致).(3)当地基土的压缩性随深度变化较小,而又采用目前仍普遍使用的查表法计算地基变形时,规范推荐的分层总和法和规范推荐的分层总和法相比,计算工作量会相对一些(分层相对少一些).地基土的压缩性原始数据以如下50、100、150、200kPa下的对应孔隙比给出时,根据泰勒级数法令:e=e0+A1p1+A2p2+A3p3+A4p4(11)分别将50、100、150、200代入式中,利用Excel电子表格求解以系数为未知数的线性代数方程组,得到e2p关系式;并可在计算各土层平均总应力的基础上利用Excel电子表格求解e1i e2i,按s i=e1i -e2i1+e1i h i利用Excel电子表格求解各分层的压缩量,进而求解地基沉降量.6　结　论(1)建立不同分布荷载下的地基附加应力计算的Excel电子表格,输入原始数据后,拖动计算机鼠标即可得到所需的应力计算结果.(2)根据分层总和法的基本假定,若地基压缩层厚度的选择合适且不考虑土的变异性、侧向挤出、次固结变形等,从纯理论的角度出发,由公式(10)计算所得的地基最终沉降量偏大.(3)通过算例分析和对地基变形计算的传统分层总和法和规范法进行比较可以发现,若将两者的地基变形计算深度确定方法统一,并在前者中也引入沉降计算经验修正系数,则两者的不同之处仅在于在分层区间[z i-1、z i],前者采用了直线法求解附加应力面积(F= σzi H i),而后者则采用了积分法来求解附加应力面积(F=p0(z i αi-z i-1 αi-1)).若土层划分的足够小,则两者之间的计算误差显然也可忽略不计.236 西　安　建　筑　科　技　大　学　学　报(自然科学版) 第38卷因此,在地基变形计算深度确定方法统一,并同时引入沉降计算经验修正系数的前提下,地基变形计算时可在上述两种方法中任选其一(传统分层总和法的分层厚度宜适当小一些).参考文献　R eferences [1]　洪毓康.土质学与土力学[M ].北京:人民交通出版社,1990.HON G Yu 2kang.Soil and Soil Mechanics[M ].Beijing :China Communications Press ,1990.[2]　华南理工大学,等.地基及基础[M ].北京:中国建筑工业出版社,1998.South China university of technology etc.Beijing :China Architecture and Buding Press ,1998.[3]　陈仲颐.土力学[M ].北京:清华大学出版社,2000.CH EN Zhong 2yi.Soil Mechanics [M ].Beijing :Tsinghua University Press ,2000.[4]　赵树德.土力学[M ].北京:高等教育出版社,2001.ZHAO Shu 2de.Soil Mechanics [M ].Beijing :Higher Education Press ,2001.[5]　G B5000722002,建筑地基基础设计规范[S].2002.G B50007—2002,Code for design of building foundation[S].2002.(编辑　白茂瑞)Excel method about stress and displacement of foundationsH A N X i ao 2lei ,W A N G Rong(School of Civil Eng.,Xi πan Univ.of Arch.&Tech..,Xi πan 710055,China )Abstract :Calculation in superimposed stress and displacement of foundation is an important factorfor foundation design.It is the basis of construction designing dependably and safely.Traditional method of calculation in superimposed stress and displacement of foundation named numeric insert ,is based upon the numeric tables ,which had been given out by books.As far as this method is concerned ,a large amount of calculation has to be done by hand ,so it is no strange that errors may occur very f requently.Based upon the elastic theory about stress calculating ,an Excel method about stress calculat 2ing of foundation has been given out.Discussing the assumptions about calculation in dissplacement of foundation from f undamental principles and through an example ,analyzing and contrasting layerwise summation method with the method recommended by foundation code about displacement of foundation is also presented.Excel method for calculating dis 2placement of foundation has also been given out.A new e 2p formula is proposed primarily for Excel method.This method helps improve the efficiency of calculation in superimposed stress and displacement of foundation greatly ,and can reduce the possibility of calculating errors.K ey w ords :su perim posed st ress ;st ress calculating ;Excel method ;dis placement of f oundation ;conf ined;layerw ise summation method336第5期韩晓雷等:地基附加应力和变形计算的Excel 电子表格法3Biography :HAN Xiao 2lei ,Professor ,Xi πan 710055,P.R.China ,Tel :0086229282201140,E 2mail :Hanxiaolei1218@。

土中应力计算1 土中自重应力地基中的 应力分:自重应力——地基中的 自重应力是指由土体本身的 有效重力产生的 应力.附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的 应力,在附加应力的 作用下,地基土将产生压缩变形,引起基础沉降.计算土中应力时所用的 假定条件:假定地基土为连续、匀质、各向同性的 半无限弹性体、按弹性理论计算.地基中除有作用于水平面上的 竖向自重应力外,在竖直面上还作用有水平向的 侧向自重应力.由于沿任一水平面上均匀地无限分布,所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形,而不能有侧向变形和剪切变形.3.1.1均质土的 自重应力a 、假定:在计算土中自重应力时,假设天然地面是一个无限大的 水平面,因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在.可取作用于该水平面上任一单位面积的 土柱体自重计算.b 、均质土层Z 深度处单位面积上的 自重应力为:应力图形为直线形.z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加;沿水平面则为均匀分布.必须指出,只有通过土粒接触点传递的 粒间应力,才能使土粒彼此挤紧,从而引起土体的 变形,而且粒间应力又是影响土体强度的 —个重要因素,所以粒间应力又称为有效应力.因此,土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的 应力.土中竖向和侧向的 自重应力一般均指有效自重应力.并用符号σcz 表示 .3.1.2成层土的 自重应力地基土往往是成层的 ,成层土自重应力的 计算公式:∑==n i i i cz z 1γσ结论:土的 自重应力随深度Z ↑而↑.其应力图形为折线形.自然界中的 天然土层,一般形成至今已有很长的 地质年代,它在自重作用下的 变形早巳稳定.但对于近期沉积或堆积的 土层,应考虑它在自重应力作用下的 变形.此外,地下水位的 升降会引起土中自重应力的 变化(图2—4).3.1.31、地下水对自重应力的 影响地下水位以下的 土,受到水的 浮力作用,使土的重度减轻.计算时采用水下土的 重度(w sat γγγ-=')2、不透水层的 影响不透水层指基岩层只含强结合水的坚硬粘土层作用在不透水层层面及层面以下的土自重应力应等于上覆土和水的总重.3、水平向自重应力地地中除了存在作用于水平面上的坚向自重应力外,还存在作用于坚直面上的水平自重应力,根据弹性力学和土体的侧限条件,可得:σcx=σcy=K oσczKo:土的侧压力系数4、地下水位升降引起的自重应力变化:地下水位下降自重应力增大,因没有水的浮力,地下水位上升自重应力减小 .[例题2—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2·1中.试计算地面下深度为2.5米、5米和9米处的自重应力,并绘出分布图.[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6米,其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6米和2.4米,第二层为粉质粘土层.依次计算2.5米、3.6米、5米、6米、9米各深度处的土中竖向自重应力,计算过程及自重应力分布图一并列于例图2—1中.2 基底压力建筑物荷载通过基础传递给地基,在基础底面与地基之间便产生了接触应力.它既是基础作用于地基的基底压力,同时又是地基反用于基础的基底反力.对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等,其基底压力可近似地按直线分布的图形计算,即按下述材料力学公式进行简化计算.1．基底压力的概念:在基础与地基之间接触面上作用着建筑物荷载通过基础传来的压力称为基底压力.(方向向下)↓单位面积土体所受到的压力称为基底压力.2．地基反力:地基对基础的反作用力(方向向上)↑3．基底压力的分布形态和哪些因素有关？基础的刚度、地基土的性质、基础埋深、荷载大小 .4．基底压力的分布形态:1)柔性基础地基反力分布与上部荷载分布基本相同,而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小.图3-2 柔性基础基底压力分布2)刚性基础在外荷载作用下,基础底面基本保持平面,即基础各点的沉降几乎是相同的,但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况.刚性基础在中心荷载作用下,开始的地基反力呈马鞍形分布;荷载较大时,边缘地基土产生塑性变形,边缘地基反力不再增加,使地基反力重新分布而呈抛物线分布,若外荷载继续增大,则地基反力会继续发展呈钟形分布图3-3 刚性基础基底压力分布图马鞍形—一般建筑物基础属此形态,近似“直线形”抛物线形钟形3.2.2基底压力的简化计算1、中心荷载作用下的基底压力中心荷载下的基础,其所受荷载的合力通过基底形心.基底压力假定为均匀分布(图2—5),此时基底平均压力设计值按下式计算:式中:F:上部结构传至基础顶面的 坚向力设计值,kN;G:基础自重设计值及其上回填土重标准值,kN;r G :基础及因填土的 平均重度,一般取20kN/米3,在地下水位以下部分用有效重度; d:基础埋深,必须从设计地面或室内外平均设计地面起算,米;A:基础底面面积,米2.如基础长度大于宽度5倍时,可将基础视为条形基础进行计算.即可沿长度方向取1米计算.2、 偏心荷载下的 基底压力对于单向偏心荷载下的 矩形基础如图2·6所示.设计时,通常基底长边方向取与偏心方向一致,此时两短边边缘最大压力设计值与最小 压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算:F G p A +=AdG G γ=min maxp p WM lb G F ±+米:作用于基础底面的 力矩设计,kN.米;W:基础底面的 抵抗矩,米3,对于矩形截面W=bL 2/6;P 米ax 、p 米in:分别为基础底面边缘的 最大、最小 压力设计值.将e=米/(F+G)、A=bl 、W=bl 2/6代入上式,得:a 当e<L/6时,基底压力呈梯形分布;b 当e=L/6时,基底压力呈三角形分布;c 当e>L/6时,p 米in<0,则:p 米ax=2(F+G)/3ab式中:a:单向偏心坚向荷载作用点至基底最大压力边缘的 距离,米,a=L/2-e.b:基础底面宽度.3.2.3基底附加压力建筑物建造前,土中早巳存在着自重应力.如果基础砌置在天然地面上,那末全部基底压力就是新增加于地基表面的 基底附加压力.一般天然土层在自重作用下的 变形早巳结束,因此只有基底附加压力才能引起地基的 附加应力和变形.实际上,一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处,该处原有的 自重应力由于开挖基坑而卸除.因此,由建筑物建造后的 基底压力中扣除基底标高处原有的 土中自重应力后,才是基底平面处新增加于地基的 基底附加压力,基底平均附加压力值按下式计算(图2—8): 61F G e lb l +⎛⎫=± ⎪⎝⎭P o=基底压力P —土的自重应力σcz即P o=P-σcz —引起地基的变形(即基础的沉降)p0=p-r0dp0:基底附加压力设计值,kPa;p:基底压力设计值,kPa;r0:基底标高以上各天然土层的加权平均重度.其中地下水位以下部分取有效重度,kN/米3;d:从天然地面起算的基础埋深,米.有了基底附加压力,即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载,由此根据弹性力学求算地基中的附加应力.3 地基附加应力地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力.其计算方法一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体,而且在深度和水平方向上都是无限延伸的 ,即把地基看成是均质的线性变形半空间,这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答.计算地基附加应力时,都把基底压力看成是柔性荷载,而不考虑基础刚度的影响. 3.3.1 集中力作用下土中应力计算1、单个竖向集中力作用在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力F时,半无限体内任意点米的应力(不考虑弹225223)(23z Fz r Fz Z απσ=+=[]2521)/(123+=z r πα性体的 体积力)可由布辛克斯纳解计算,如图3-5所示.工程中常用的 竖向正应力s z 及地表上距集中力为R 处的 竖向位移w (沉降)可表示成如下形式:图3-5 竖向集中力作用下的 附加应力E － 土的 弹性模量;μ － 泊松比. 工程上对上述应力公式加以改造为: ( α称为集中力作用下的 地基竖向力系数,可由表查得)2、多个集中力及不规则分布荷载作用θππσ353cos 2323R F R Fz Z ==()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=R R z E F w 1)1(12132μπμθcos 222z z y x R =++=oc z p ασ=3.3.2 分布荷载下地基附加应力对实际工程中普遍存在的 分布荷载作用时的 土中应力计算,通常可采用如下方法处理:当基础底面的 形状或基底下的 荷载分布不规则时,可以把分布荷载分割为许多集中力,然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力.当基础底面的 形状及分布荷载都是有规律时,则可以通过积分求解得相应的 土中应力.如图3-6所示,在半无限土体表面作用一分布荷载p (x ,y ),为了 计算土中某点米(x ,y ,z )的 竖向正应力σz 值,可以在基底范围内取单元面积d F =d ξd η,作用在单元面积上的 分布荷载可以用集中力d Q 表示,d Q =p (x ,y ) d ξd η.这时土中米点的 竖向正应力σz 值可用下式在基底面积范围内积分求得,即:图3-6(右图)分布荷载作用下土中应力计算1、空间问题的 附加应力计算常见的 空间问题有:均布矩形荷载、三角形分布的 矩形荷载及均布的 圆形荷载.(1) 均布矩形荷载图3-7(右图)矩形面积均布荷载作用下土中应力计算① 矩形面积角点下土中竖向应力计算在图3-7所示均布荷载作用下,计算矩形面积角点c 下深度z 处N 点的 竖向应力s z 时,同样可其将表示成如[]⎰⎰⎰+-+-==A A z z z y x d d y x p z d 252223)()(),(23ηξηξπσσpz d d z o l l bb z αηξξηπσ=++=⎰⎰--222252223)(23⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222320412arctan 41)4)(41()81(22m n m nm n m n m m n mn a π下形式:角点应力系数:在矩形面积上作用均布荷载时,若要求计算非角点下的 土中竖向应力,可先将矩形面积按计算点位置分成若干小 矩形,如图3-8所示.在计算出小 矩形面积角点下土中竖向应力后,再采用叠加原理求出计算点的 竖向应力s z 值.这种计算方法一般称为角点法.图3-8 角点法计算土中任意点的 竖向应力② 矩形面积中点O 下土中竖向应力计算图3-7表示在地基表面作用一分布于矩形面积(l ×b )上的 均布荷载p ,计算矩形面积中点下深度z 处米点的 竖向应力s z 值.式中n =l /b 和米=z /b .⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222222222arctan ))(()2(21z b l z lbz b l z b z l z b l lbz a c π⎰⎰=++=l o boz p z y x dxdy b xpz 011252223)(23απσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=222222231)(21b l zz b l z b z b a t π⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰⎰23202000202522301111)(23r z p z r drd rz p z ππθσ(2) 矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算图3-9(右图) 矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算 当地基表面作用矩形面积(l ×b )三角形分布荷载时,为计算荷载为零的 角点下的 竖向应力值,可将坐标原点取在荷载为零的 角点上,相应的 竖向应力值σz 可用下式计算:(3) 圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的 计算 为了 计算圆形面积上作用均布荷载p 时土中任一点米(r,z )的 竖向正应力,可采用原点设在圆心O 的 极坐标(如图3-10),由以下公式在圆面积范围内积分求得.图3-10(右图) 圆形面积均布荷载作用下土中应力计算2、平面问题的附加应力设在地基表面上作用有无限长的条形荷载,且荷载沿宽度可按任何形式分布,但沿长度方向则不变,此时地基中产生的应力状态属于平面问题.在工程建筑中,当然没有无限长的受荷面积,不过,当荷载面积的长宽比l/b≥10时,计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少.因此,对于条形基础,如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等,常可按平面问题考虑.(1)线荷载(2)均布条形分布荷载下土中应力计算:条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题,对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理.图3-11(右图)均布条形荷载作用下的土中应力计算米(x,y)点的三个附加应力分量为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpozπσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpoxπσ等值线图3.3.3 非均质和各项异性地基中的 附加应力在柔性荷载作用下,将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的 计算与土的 性质无关.但是,地基土往往是由软硬不一的 多种土层所组成,其变形特性在竖直方向差异较大,应属于双层地基的 应力分布问题. 1、 双层地基对双层地基的 应力分布问题,有两种情况值得研究:一种是坚硬土层上覆盖着不厚的 可压缩土层即薄压缩层情况;另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的 土层即硬壳层情况.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=2222216)144(32m m n nm p o xzπτ当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性高时(薄压缩层情况),即E 1＜E 2时,则土中附加应力分布将发生应力集中的 现象.当上层土的 压缩性比下层土的 压缩性低时(即硬壳层情况),即E 1＞E 2,则土中附加应力将发生扩散现象,如图3-12所示.在实际地基中,下卧刚性岩层将引起应力集中的 现象,若岩层埋藏越浅,应力集中愈显著.在坚硬土层下存在软弱下卧层时,土中应力扩散的 现象将随上层坚硬土层厚度的 增大而更加显著.因土的 泊松比变化不大,其对应力集中和应力扩散现象的 影响可忽略.图3-12 双层地基中界面上附加应力的 分布规律双层地基中应力集中和扩散的 概念有着重要工程意义,特别是在软土地区,表面有一层硬壳层,由于应力扩散作用,可以减少地基的 沉降,故在设计中基础应尽量浅埋,并在施工中采取保护措施,以免浅层土的 结构遭受破坏. 2、 变形模量随深度增大的 地基在地基中,土的 变形模量E o 常随着地基深度增大而增大,这种现象在砂土中尤其显著.与均质地基相比,这种地基沿荷载中心线下,地基附加应力将产生应力集中. 可用以下半经验公式修正:v － 为应力集中因素,对粘性、完全弹性体v ＝3;硬土v ＝6;砂土与粘土之间的 土v ＝3～6.θπσvz RvF cos 22=3、 各项异性地基天然沉积形成的 水平薄交互层地基,其水平向变形模量E oh 大于竖向变形模量E ov假定地基竖直和水平方向的 泊松比相同,但变形模量不同条件下,均布线荷载下各项异性地基的 附加应力为:z σ － 线荷载作用下,均质地基的 附加应力.当非均质地基的 E oh >E ov 时,地基中出现应力扩散现象;当E oh <E ov 时,出现应力集中现象.3.4 有效应力原理1、土中二种应力试验在直径和高度完全相同的 甲、乙两个量筒底部,放置一层松散砂土,其质量与密度完全 一样.在甲量筒中放置若干钢球,使松砂承受σ的 压力;在乙量筒中小 心缓慢地注水,在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的 压力.结论:甲、乙两个量筒中的 松砂顶面都作用了 相同的 压力σ,但产生两种不同的 效果,反映土体中存在两种不同性质的 力:(1)由钢球施加的 应力,通过砂土的 骨架传递的 应力(有效应力σ’),能使土层发生压缩变形,从而使土的 强度发生变化;(2)由水施加的 应力通过孔隙水来传递(孔隙水 压力u),不能使土层发生压缩变形.ovoh zz E E /σσ='AA W=χ现象:甲中砂面下降,砂土发生压缩.乙中砂面并不下降,砂土未发生压缩. 总应力:在土中某点截取一水平截面,其面积为A,截面上作用应力 σ,它是由上面的 土体的 重力、静水压力及外荷载P 所产生的 应力,称为总应力.有效应力:总应力的 一部分是由土颗粒间的 接触承担的 称为有效应力. 饱和土有效应力公式:u +'=σσσ' － 有效应力;σ － 总应力;u － 孔隙水压力.公式表明总应力为有效应力与孔隙水压力之和. 部分饱和土有效应力公式:()w a a u u u -+-='χσσa u － 气体压力; w u － 孔隙水压力.χ － 由试验确定的 参数, .3.4.1 毛细水上升时土中有效自重应力的计算图3-13 毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力在毛细水上升区,由于表面张力的作用使孔隙水压力为负值.使有效应力增加,在地下水位以下,由于水对土颗粒的浮力作用,使土的有效应力减少.3.4.2 土中水渗流时(一维渗流)有效应力计算(a)静水时(b)水自上向下渗流(c)水自下向上渗流图3-14 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力分布当土中水渗流时,水对土颗粒有着动水力,必然影响土中有效应力的分布.表3-1 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力的计算。