2018年高考数学考试大纲解读专题07三角函数文

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

2018年高考数学考纲与考试说明解读2018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议类年份全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ别2 / 883 / 88全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．4 / 88（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和5 / 88不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：题型1 函数的概念例1 有以下判断：①f(x)＝|x |x与g(x)＝⎩⎨⎧1 x≥0－1 x<0表示6 / 887 / 88同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________.题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题） 例 2、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----=-=-='，当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单8 / 88调递减；当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x xx=-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C.例3、（2012理科）（10） 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）B9 / 88（1）定义域 （2）奇偶性 （3）对称性 （4）单调性（求导） （5）周期性 （6）特征点 （7）变化趋势1.考查角度(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质;(2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算;(3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也1,ln(1)y t x x t==+-1'111x t x x -=-=++(1)0,31()034ln 44f f <-=<-10 / 88可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2.题型及难易度选择题或填空题.难度:中等或偏上.2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋ (k ∈Z)； (6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3（2013理科）若函数=的图像关于直线2x =-对称，则的最(1)(3)8(1)(5)15f f a f f b -=-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩法一：导数求最值问题大值是______. 1616)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max 2222222==⇒-+-=+-=⇒+-=++-+-=-g t g t t t t t g x x x x x x x f 法二：知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用 数学思想：考查转化、数形结合 体现了多角度、多维度、多层次题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用例4、已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥. 故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --令1=1+2nx 得111+＜22nnln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222nn nln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222ne⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.（6）复习重点函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括 1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；1个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根；2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；3个要素：定义域、值域、解析式；3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.关注二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．① 当a 1≥时，恒有()'≥h x ()00'≥h ，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥在[)0,+∞恒成立② 当a 1时，()h x '在[)0,+∞是增函数，()00=a 10,0,使'-∃h x ()0x 0'=h ，所用当()()0x 0,0时'∈x h x ，从而()h x 是减函数，()00h =，()0≤h x ，所以()0h x ≥在[)0,+∞不恒成立 故1a ≥即为所求.全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. （2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()211x x e ax -≤+ ∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++， 即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =再令()()22x x x x h x x e xe e a ϕ'==+-+，()()241x x x x e ϕ'=++ 0x ≥时，()0x ϕ'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数（理21）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

2018高考数学（文）备考黄金易错点专题07 三角变换及解三角形（易错起源）1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知()sin sin sin co s0B AC C+-=，a=2，c C=A.π12 B.π6C.π4D.π3【答案】B2.【2017课标3，文6】函数1ππ()s in()c o s()536f x x x=++-的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：c o s c o s sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16s in s in s in 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.3.【2017课标II ，文3】函数π()s in (2)3f x x =+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.π2【答案】C 【解析】由题意，故选C.4.【2017课标3，文4】已知4sin c o s 3αα-=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A5. 【2017山东，文4】已知3c o s 4x =,则co s 2x =A.14-B.14C.18- D.18【答案】D【解析】由3c o s 4x =得2231c o s 22c o s 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.5.【2017山东，文7】函数in 2c o s 2y x x=+ 最小正周期为A.π2B.2π3C.πD. 2π【答案】C【解析】因为πin 2c o s 22s in 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 7.【2017浙江，13】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,A E B C B F C D ⊥⊥，△ABE 中，1c o s 4B E A BC A B∠==，1c o s ,s in 44D B C D B C ∴∠=-∠==，B C 1s in 22D S B D B C D B C ∴=⨯⨯⨯∠=△又21c o s 12s in ,s in 44D B C D B F D B F ∴∠=-∠=-∴∠=c o s s in 4B DCD B F ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，c o s 4B DC ∠=．8.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【答案】13【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.9.【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________.【答案】75°10.【2016高考新课标2文数】若3c o s ()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15（C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237c o s 22c o s 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且c o s 2c o s 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 (1)2425(2)C(2)因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45B ．－45C ．－35D.35(2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求． 【锦囊妙计，战胜自我】解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．。

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2018年高考数学分类汇编之三角函数一、选择题1。

【2018全国二卷6】在ABC △中，cos2C 1BC =,5AC =，则AB =A ．B C D ．2.【2018全国二卷10】若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3.【2018全国三卷4】若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-4．【2018全国三卷9】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ,b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-， 则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ)到直线的距20x my --=离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B 。

2 C. 3D.46。

【2018天津卷6】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函sin(25y x π=+10π数A 在区间上单调递增B 在区间上单调递减35[,44ππ3[,]4ππC 在区间上单调递增 D 在区间上单调递减53[,42ππ3[,2]2ππ7．【2018浙江卷5】函数y =sin2x 的图象可能是||2x A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数，则的最小值是_________．()2sin sin 2f x x x =+()f x 2．【2018全国二卷15】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________．3。

专题07 三角函数（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2）π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y =t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数s i n (y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用.2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.考向一三角恒等变换3样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-样题2 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α= ABCD【答案】B12cos()13αβ-=⇒ 5sin()13αβ-=，34sin()cos()55αβαβ+=-⇒+=-，则sin 2sin[()()]ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+5412356()()13513565=⨯-+⨯-=-，故选B. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D5【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由2sin 32π=，21cos 32π=-，22211()(()()32222f π=---⨯-． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．考向三 利用正、余弦定理解三角形样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．7样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，bc =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.样题8（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．考向四 解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．【解析】（1）由题意知,PA AC PA AB ⊥⊥，则,PAC PAB △△均为直角三角形，在Rt PAC △中，1,60PA PCA =∠=，解得3AC =；在Rt PAB △中，1,30PA PBA =∠=，解得AB =又90CAB ∠=，则BC ==．即,B C .9。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (5) 三角函数图象与性质【2018年高考考纲解读】三角函数的有关知识大部分是B级要求，只有函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】1．记六组诱导公式对于“kπ±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不2变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】考点1、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-【变式探究】【2016高考新课标2理数】若，则（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 【答案】D【解析】 ，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝()3cos()45πα-=sin 2α=7251515-725-2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．4解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A. 【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化．(3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin2α＋cos2α.同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施(1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．(2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍．(3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cos α＝24x，则sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.【答案】(1)－64(2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型2、三角函数的图象【例2】【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x =，再将曲线向左平移12π个单位长度得到2C ，故选D. 【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D【举一反三】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )(2)(2014·四川)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力． (2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力． 【答案】(1)B (2)A【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位． 题型三 三角函数的性质及其应用例3．【2017课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）23.（2）3. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A=. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=故△ABC的周长为3【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动个单位长度 （B ）向右平行移动个单位长度 （C ）向左平行移动个单位长度 （D ）向右平行移动个单位长度 【答案】Dπsin(2)3y x =-sin 2y x =π3π3π6π6【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确．答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-sin 2y x =6π解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cosx sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确． 综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C题型四 求三角函数的解析式例4．(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 C【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确．答案 D【举一反三】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为 {x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．题型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用例5．【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B2()sin sin f x x b x c =++()f x【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B ．【举一反三】(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4，又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6.又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增，21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c 0=b cos 21()22=-++x f x c π0≠b 2πc∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A. 答案 A【变式探究】(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．【举一反三】(2015·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。

1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-3.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

【答案】(1)15cos 17B =； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc+-=35．所以=45． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ， 故tan B=sin cos BB=4．10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是()sin sin ΒA Β=-．又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以，2A B =．（Ⅱ）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =． 又B ，()0,πC ∈，所以π2C B =±． 当π2B C +=时，π2A =； 当π2C B -=时，π4A =．综上，π2A =或π4A =．易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 (1)2425(2)C解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝35>0，所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝2425.又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π3)，所以cos(2α－π6)＝2425.(2)因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 (2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D解析 (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210， 得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.②由①②得sin α＝35，故选D.(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4解析 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ·23a ＝－1010. 故选C.(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4.【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【锦囊妙计，战胜自我】。