正比例和反比例复习

正比例函数和反比例函数一、知识要点1.如果变量y是自变量x的函数，对于x在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。

（为了深入研究函数，我们把“y是x的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x表示自变量，括号外的字母f表示y随x变化而变化的规律。

f(a)表示当x=a时的函数值）2.函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。

3.正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。

二、课堂练习1.油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，•自变量的范围是_____________．当Q=10升时，t=_______________。

2.在函数xxy+-=12中，自变量x的取值范围是。

3.一棵小树苗长10cm，从发芽起每年长高3cm,则x年后其高度y关于x的函数解析式为_________,y___（填“是”或“不是”）x的正比例函数.4.观察下图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆圈，每个图案中圆圈的总数是s。

按此规律推断出s与n的关系式为。

正比例函数反比例函数解析式y=kx(k≠0)y=xk(k≠0)图像经过(0，0)与(1，k)两点的直线经过(1，k)与(k，1)两点的双曲线经过象限当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。

当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。

增减性当k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。

当k>0时，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内，y随着x的增大而增大。

5. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x ，底边长为y ，则y 关于x 的函数解析式，及自变量x 的取值范围__________________6. 若点P(3,8)在正比例函数y=kx 的图像上,则此正比例函数解析式是________________。

掌握初中数学复习中的正比例与反比例关系初中数学复习中的正比例与反比例关系数学作为一门理科学科，有着严密的逻辑和体系。

在我们的学习中，正比例与反比例是很重要的概念。

掌握正比例与反比例的关系对于初中数学的学习和应用都具有重要意义。

本文将详细介绍正比例与反比例的概念、性质，并通过实例进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、正比例关系正比例关系是指两个变量之间的关系满足一个常数的比例关系。

简言之，当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值也相应地按照相同的比例增加（或减少）。

我们可以用下面的公式来表示正比例关系：y = kx其中，y和x是两个变量，k是正比例常数。

在这个公式中，k的值是恒定的，在变量x和y之间始终保持恒定的比例。

举个例子来说明正比例关系。

假设我们以每小时车速（x）和行驶的距离（y）作为例子。

如果车辆以恒定的速度行驶，那么行驶的距离和车速之间就存在正比例关系。

在这种情况下，常数k就代表着车辆的速度。

二、反比例关系相对于正比例关系，反比例关系是指两个变量之间满足一个常数的倒数关系。

简单来说，当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值按照其倒数的比例减小（或增加）。

我们可以用下面的公式来表示反比例关系：y = k/x其中，y和x是两个变量，k是反比例常数。

在这个公式中，k的值是恒定的，在x和y之间始终保持恒定的倒数关系。

让我们以另一个例子来说明反比例关系。

假设我们以圆的半径（x）和其面积（y）作为例子。

根据圆的面积公式A = πr²（A代表面积，r代表半径），我们可以看到当半径增大时，面积减小，并且它们之间满足一个常数的倒数关系。

在这种情况下，常数k就代表π（pi）的值。

三、实例分析我们来看一个实际的例子，以更好地理解正比例和反比例关系。

例子1：小明去超市买了若干只苹果，他发现苹果的价格和数量之间存在正比例关系。

如果购买10只苹果需要20元，那么购买20只苹果需要多少元？解析：我们设购买20只苹果需要的费用为y元，购买20只苹果的数量为x。

《正比例、反比例复习课》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握正比例和反比例的概念，能够辨识生活中的正比例和反比例关系，运用正比例和反比例的知识解决实际问题。

2. 过程与方法：通过对比、归纳、总结等方法，使学生系统地掌握正比例和反比例的性质和特点，提高学生的数学思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。

二、教学内容1. 正比例和反比例的概念。

2. 正比例和反比例的性质和特点。

3. 正比例和反比例在生活中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正比例和反比例的概念，正比例和反比例的性质和特点。

2. 教学难点：正比例和反比例在生活中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过对比、归纳、总结等方法，自主探究正比例和反比例的性质和特点。

2. 利用生活中的实例，让学生体会正比例和反比例的实际应用，提高学生的实际问题解决能力。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的实例，引导学生回顾正比例和反比例的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：学生自主探究正比例和反比例的性质和特点，教师给予必要的指导。

3. 课堂讲解：教师讲解正比例和反比例的概念，引导学生通过对比、归纳、总结等方法，掌握正比例和反比例的性质和特点。

4. 实例分析：教师展示生活中的实例，引导学生运用正比例和反比例的知识解决实际问题。

5. 小组讨论：学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和解决问题的方法。

6. 课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固所学知识。

7. 课后作业：布置相关的练习题，巩固所学知识，提高学生的实际问题解决能力。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：评估学生课后作业的完成质量，检查学生对正比例和反比例概念的理解和应用能力。

《正比例、反比例复习课》教案第一章：正比例与反比例的定义1.1 教学目标了解正比例和反比例的定义能够区分正比例和反比例关系1.2 教学内容正比例的定义：两个变量之间的比值保持不变反比例的定义：两个变量之间的乘积保持不变1.3 教学活动通过实例引入正比例和反比例的概念引导学生通过观察和分析，总结正比例和反比例的定义进行小组讨论，让学生分享自己对正比例和反比例的理解1.4 作业与评估设计一些练习题，让学生运用正比例和反比例的定义解决问题评估学生对正比例和反比例的理解程度第二章：正比例和反比例的性质2.1 教学目标掌握正比例和反比例的性质能够应用正比例和反比例的性质解决问题2.2 教学内容正比例的性质：随着自变量的增加，因变量也按比例增加反比例的性质：随着自变量的增加，因变量按比例减少通过实例讲解正比例和反比例的性质引导学生进行实验，观察正比例和反比例的变化规律进行小组讨论，让学生运用正比例和反比例的性质解决问题2.4 作业与评估设计一些练习题，让学生运用正比例和反比例的性质解决问题评估学生对正比例和反比例性质的理解程度第三章：正比例和反比例的应用3.1 教学目标能够运用正比例和反比例解决实际问题能够选择合适的比例关系解决问题3.2 教学内容正比例的应用：例如速度和时间的关系，路程和速度的关系等反比例的应用：例如面积和边长的关系，总价和数量的关系等3.3 教学活动通过实例讲解正比例和反比例在实际问题中的应用引导学生进行小组讨论，分享解决实际问题的方法进行小组合作活动，让学生共同解决一个实际问题3.4 作业与评估设计一些实际问题，让学生运用正比例和反比例解决评估学生对正比例和反比例应用的理解程度第四章：正比例和反比例的图象能够绘制正比例和反比例的图象能够通过图象分析正比例和反比例的关系4.2 教学内容正比例的图象：一条通过原点的直线反比例的图象：一条双曲线4.3 教学活动引导学生通过绘制图象来理解正比例和反比例的关系进行小组讨论，让学生分析图象中的特点和规律进行小组合作活动，让学生共同绘制一个正比例或反比例的图象4.4 作业与评估设计一些练习题，让学生绘制正比例和反比例的图象评估学生对正比例和反比例图象的理解程度第五章：正比例和反比例的综合应用5.1 教学目标能够综合运用正比例和反比例解决复杂问题能够选择合适的比例关系解决实际问题5.2 教学内容正比例和反比例的综合应用：例如在实际问题中涉及到正比例和反比例5.3 教学活动通过实例讲解正比例和反比例在复杂问题中的应用引导学生进行小组讨论，分享解决复杂问题的方法进行小组合作活动，让学生共同解决一个涉及正比例和反比例的复杂问题5.4 作业与评估设计一些复杂问题，让学生综合运用正比例和反比例解决评估学生对正比例和反比例综合应用的理解程度第六章：正比例和反比例的复习与测试6.1 教学目标复习正比例和反比例的知识点提高学生解决问题的能力6.2 教学内容通过测试题复习正比例和反比例的知识点分析测试题的答案，巩固学生的理解6.3 教学活动设计与本节课相关的内容的测试题，包括选择题、填空题和解答题让学生在规定时间内完成测试题，老师进行批改和评价针对测试题中的错误，进行讲解和辅导，让学生加深对正比例和反比例的理解6.4 作业与评估设计一些复习题，让学生巩固正比例和反比例的知识点评估学生对正比例和反比例的掌握程度第七章：正比例和反比例在实际生活中的应用7.1 教学目标培养学生将数学知识应用到实际生活中的能力提高学生解决实际问题的能力7.2 教学内容正比例和反比例在实际生活中的应用案例7.3 教学活动讲解正比例和反比例在实际生活中的应用案例，如购物、交通、生产等引导学生进行小组讨论，分享实际生活中的正比例和反比例应用案例进行小组合作活动，让学生共同解决一个实际生活中的问题7.4 作业与评估设计一些实际生活中的问题，让学生运用正比例和反比例解决评估学生对正比例和反比例在实际生活中应用的理解程度第八章：正比例和反比例的教学反思8.1 教学目标培养学生反思学习过程的能力提高学生的问题解决能力8.2 教学内容正比例和反比例的学习过程和方法8.3 教学活动引导学生回顾本节课的学习内容，总结正比例和反比例的知识点让学生反思学习过程中的优点和不足，讨论如何改进学习方法进行小组合作活动，让学生共同完成一个教学反思报告8.4 作业与评估设计一些反思题，让学生反思正比例和反比例的学习过程评估学生对正比例和反比例的理解程度和学习方法第九章：正比例和反比例的拓展与提升9.1 教学目标提高学生的数学思维能力培养学生的创新意识9.2 教学内容正比例和反比例的拓展知识，如比例函数、反比例函数的图像和性质9.3 教学活动讲解正比例和反比例的拓展知识，如比例函数、反比例函数的图像和性质引导学生进行小组讨论，分享对拓展知识的理解和看法进行小组合作活动，让学生共同探究比例函数、反比例函数的图像和性质9.4 作业与评估设计一些拓展题，让学生运用比例函数、反比例函数的图像和性质解决问题评估学生对正比例和反比例拓展知识的理解程度和创新能力第十章：正比例和反比例的总结与展望10.1 教学目标培养学生总结归纳的能力提高学生对数学知识的理解和应用能力10.2 教学内容正比例和反比例的知识点总结10.3 教学活动引导学生总结正比例和反比例的知识点，形成思维导图让学生展望正比例和反比例在未来的应用和发展进行小组合作活动，让学生共同完成一个总结报告10.4 作业与评估设计一些总结题，让学生归纳正比例和反比例的知识点评估学生对正比例和反比例的理解程度和总结能力重点和难点解析1. 正比例与反比例的定义及区分补充说明：通过实际例子，让学生观察和分析，总结正比例和反比例的定义，强化对概念的理解。

正比例与反比例复习资料一、学习内容：正比例，反比例，比例尺。

二、基本概念：1*．比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

在比例里，两外项的积等于两内项的积，这叫做比例的基本性质。

2．正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（或商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫正比例关系。

正比例关系用字母表示为：xy = k （一定）。

3．反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。

反比例关系用字母表示为：x ×y = k （一定）。

4．正比例的图像是直线，反比例的图像是曲线。

5．比例尺：图上距离和实际距离的比叫做比例尺。

写成等式为：图上距离：实际距离=比例尺 （ 或 实际距离图上距离=比例尺），由此可得出： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺三、正反比例的判断。

（一）判断依据：①必须是两种相关联的量，也就是一种量变化，另一种量也要随着变化。

②商一定，正比例；积一定，反比例；积不一定，商也不一定，就不成比例；和一定、差一定都不成比例。

（二）判断方法：①写关系式。

②列表。

（三）方法总结。

根据一个乘积关系式，可以找出三组比例关系式。

如：侧面积＝底面周长×高，所以当侧面积一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例；当底面周长一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例；当高一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例。

（四）自我检测（一）。

1．苹果的单价一定，购买的数量和总价。

（ ）2．圆的周长和直径。

（ ）3．李叔叔从家到工厂，骑车的速度和所需的时间。

（ ）4．做20道数学题，已做的和没做的。

（ ）5．长方形的面积一定，它的长和宽。

（ ）6．正方形的周长和边长。

（ ）7．长方形的周长一定，它的长和宽。

（ ）8．三角形的高一定，它的面积和底。

正比率和反比率的意义知识点一：正比率和反比率的意义（ 1）正比率两种相关系的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若是这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）必然，这两种量变叫做成正比率的量，它们的关系叫做正比率关系。

用字母 x 和y表示两种相关系的量，用k 表示必然的量，那么正比率关系可以写成：yk必然x比方，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是必然的，我们就说，总价和数量是成正比率的量。

工总＝工效（必然）工总和工时是成正比率的量工时行程＝速度（必然）所以行程与时间成正比率。

时间（ 2）反比率两种相关系的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若是这两种量中相对应的两个数的积必然，这两种量就叫做成反比率的量，它们的关系叫做反比率关系。

用字母 x 和y表示两种相关系的量，用k表示必然的量，那么反比率关系可以写成：x ×y = k（必然）比方，长×宽＝面积（必然）长和宽是成反比率的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（必然）每本的页数和装订的本数是成反比率的量知识点二：正比率和反比率有什么相同点和不相同点？（ 1）相同点：正、反比率都是研究两种相关系的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）不相同点：正比率是两种相关系的量中相对应的两个数的比值（商）必然；反比率是两种相关系的量中相对应的两个数的积必然。

正比率反比率相同点不同点知识点三：正比率和反比率的图像是一条什么线？（ 1）正比率关系的图象是一条过原点的直线。

（ 2）反比率关系的量是一条但是原点的曲线。

知识点四：正比率和反比率的判断（1）先判断两种量x和 y 可否是相关系的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（）若吻合y必然，则x和 y 成正比率；若吻合x×y = k （必然），则x和2kxy 成反比率；否则，这两种量就不行比率关系。

【典型例题】题型一：依照图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数以下表，依照表填空。

《正比例、反比例复习课》教案章节一：正比例的概念与特征1. 教学目标(1) 让学生理解正比例的概念。

(2) 能够识别正比例关系，并用数学语言表达。

(3) 掌握正比例的图像特征。

2. 教学内容(1) 正比例的定义。

(2) 正比例的判定方法。

(3) 正比例的图像特征。

3. 教学方法(1) 采用讲授法讲解正比例的概念和判定方法。

(2) 使用案例分析法分析正比例实例。

(3) 利用数形结合法讲解正比例的图像特征。

4. 教学步骤(1) 引入正比例的概念，讲解正比例的定义。

(2) 通过实例分析，让学生掌握正比例的判定方法。

(3) 利用图像，讲解正比例的图像特征。

章节二：反比例的概念与特征1. 教学目标(1) 让学生理解反比例的概念。

(2) 能够识别反比例关系，并用数学语言表达。

(3) 掌握反比例的图像特征。

2. 教学内容(1) 反比例的定义。

(2) 反比例的判定方法。

(3) 反比例的图像特征。

3. 教学方法(1) 采用讲授法讲解反比例的概念和判定方法。

(2) 使用案例分析法分析反比例实例。

(3) 利用数形结合法讲解反比例的图像特征。

4. 教学步骤(1) 引入反比例的概念，讲解反比例的定义。

(2) 通过实例分析，让学生掌握反比例的判定方法。

(3) 利用图像，讲解反比例的图像特征。

章节三：正比例与反比例的应用1. 教学目标(1) 让学生掌握正比例和反比例在实际问题中的应用。

(2) 能够运用正比例和反比例解决实际问题。

2. 教学内容(1) 正比例的应用。

(2) 反比例的应用。

3. 教学方法(1) 采用案例分析法讲解正比例和反比例在实际问题中的应用。

(2) 使用问题解决法引导学生运用正比例和反比例解决实际问题。

4. 教学步骤(1) 通过实例，讲解正比例在实际问题中的应用。

(2) 通过实例，讲解反比例在实际问题中的应用。

(3) 布置练习题，让学生运用正比例和反比例解决实际问题。

章节四：正比例与反比例的综合练习1. 教学目标(1) 让学生巩固正比例和反比例的知识。

正比例和反比例的知识点
1. 正比例呀，就好比你和好朋友一起成长，你长高一厘米，好朋友也长高一厘米，你们之间的身高比例始终不变，这多有趣呀！比如你去买糖果，一块钱能买两颗糖，那两块钱不就能买四颗糖啦，价钱和糖果数量就是正比例关系呢！
2. 反比例呢，就像一场拔河比赛，一方力量增大，另一方就得减小力量才能保持平衡呢！比如说，你走路的速度越快，到达目的地所用的时间不就越短嘛，速度和时间就是反比例关系呀！
3. 正比例可不是随便说说的哦，就像汽车的速度和行驶的路程，如果速度一直不变，那跑的路程肯定会随着时间不断增加呀！例如每小时行驶 60 千米，开两小时就跑 120 千米，这就是正比例在生活中的体现呢！
4. 反比例可是很神奇的哟！想象一下，你做一项工作，工作效率越高，完成工作需要的时间不就越短嘛！比如你一小时能做 10 个零件，那要做100 个零件不就得 10 小时，要是效率提高到一小时 20 个零件，时间不就只用 5 小时了，这就是反比例呀！
5. 正比例就如同你和小伙伴的友谊，随着时间推移，一起经历的快乐也会正比例增加呀！比如每天一起玩耍的时间越长，你们之间的欢乐也就越多呢！像你练习弹钢琴，练习的时间越长，弹得越好，这就是正比例呀！
6. 反比例能让你看到事物的另一面呢！好比你攒钱买喜欢的东西，单价越高，你能买到的数量就越少呀！例如你有 100 块钱，每个东西 20 块，就能买 5 个，要是单价变成 50 块，不就只能买 2 个啦，这就是反比例呢！
所以呀，正比例和反比例在我们生活中无处不在，好好去发现它们吧，会给你带来很多乐趣和惊喜呢！。

《正比例反比例》总复习教案设计第一章：正比例与反比例的概念回顾1.1 回顾正比例和反比例的定义正比例：两个变量x和y之间的关系是正比例，如果它们之间的比值（商）始终保持不变，即x/y=k（k为常数），称x和y成正比例。

反比例：两个变量x和y之间的关系是反比例，如果它们之间的乘积始终保持不变，即xy=k（k为常数），称x和y成反比例。

1.2 回顾正比例和反比例的性质正比例的性质：当x增加时，y也增加；当x减少时，y也减少。

k 值不变。

反比例的性质：当x增加时，y减少；当x减少时，y增加。

k值不变。

第二章：正比例和反比例的图像分析2.1 分析正比例的图像正比例函数的图像是一条通过原点的直线，斜率为k。

2.2 分析反比例的图像反比例函数的图像是一条双曲线，通过原点。

第三章：正比例和反比例的计算方法3.1 计算正比例给定一个正比例函数y=kx，求解x或y的值时，可以直接使用比例关系进行计算。

3.2 计算反比例给定一个反比例函数y=k/x，求解x或y的值时，可以使用乘积关系进行计算。

第四章：正比例和反比例的应用题4.1 应用题举例例如：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了3小时，求行驶的距离。

解答：使用正比例关系，距离=速度时间=603=180公里。

4.2 应用题解题步骤分析题目，确定是正比例还是反比例问题。

设定未知数，列出比例关系式。

解方程，求解未知数的值。

第五章：正比例和反比例的综合练习5.1 练习题举例例如：一个长方形的面积是长和宽的乘积，如果长为8厘米，宽为6厘米，求长方形的面积。

解答：使用反比例关系，面积=长宽=86=48平方厘米。

5.2 练习题解答步骤分析题目，确定是正比例还是反比例问题。

设定未知数，列出比例关系式。

解方程，求解未知数的值。

检查答案，确认符合实际情况。

第六章：正比例和反比例的转换关系6.1 回顾转换关系正比例转换为反比例：若两个变量x和y成正比例，即y=kx，它们也可以表示为y=k/x，此时x和y成反比例。

《正比例反比例》总复习教案设计第一章：正比例与反比例的概念回顾1.1 回顾正比例和反比例的定义正比例：两个变量x和y之间的关系是正比例，如果它们之间存在一个常数k，使得y=kx（k≠0）。

反比例：两个变量x和y之间的关系是反比例，如果它们之间存在一个常数k，使得y=k/x（k≠0）。

1.2 探讨正比例和反比例的图像特征正比例函数的图像是一条通过原点的直线，斜率为正常数k。

反比例函数的图像是一条双曲线，通过原点，两支分别向x轴正半轴和x轴负半轴无限延伸。

第二章：正比例和反比例的性质与应用2.1 探讨正比例和反比例的性质正比例函数的性质：当x增大或减小时，y的值也按比例增大或减小。

反比例函数的性质：当x增大时，y的值减小；当x减小时，y的值增大。

2.2 应用正比例和反比例解决实际问题例题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？解题思路：使用正比例关系，路程=速度×时间。

第三章：正比例和反比例的运算3.1 掌握正比例和反比例的运算规则正比例运算规则：两个正比例函数相乘，结果仍为正比例函数；两个正比例函数相除，结果为反比例函数。

反比例运算规则：两个反比例函数相乘，结果仍为反比例函数；两个反比例函数相除，结果为正比例函数。

3.2 进行正比例和反比例的运算练习练习题：已知两个正比例函数的解析式分别为y1=2x和y2=3x，求它们的和、差、积、商。

第四章：正比例和反比例的综合应用4.1 探讨正比例和反比例在现实生活中的应用实例：一家工厂的生产成本（固定成本+变动成本）与生产数量之间存在反比例关系，固定成本为10000元，变动成本为每件产品20元，求生产500件产品的总成本。

4.2 进行正比例和反比例的综合练习练习题：一个长方形的面积与它的宽之间存在正比例关系，当宽为5厘米时，面积为30平方厘米，求长方形的面积与宽的关系式，并求当宽为10厘米时的面积。

第五章：正比例和反比例的复习与检测5.1 进行正比例和反比例的知识点梳理梳理正比例和反比例的定义、性质、运算规则及实际应用。