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分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.一组试验仅有四个互斥的结果 A,B,C,D, 则下边各组概率可能建立的是( D )A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.35B.P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47C.P(A)= ,P(B)= ,P(C)=,P(D)=D.P(A)=,P(B)= ,P(C)=,P(D)=2.给出以下结论 :①互斥事件必定对峙 .②对峙事件必定互斥 .③互斥事件不必定对峙 .④事件 A与 B 的和事件的概率必定大于事件A的概率 .⑤事件 A与 B 互斥 , 则有 P(A)=1-P(B).此中正确命题的个数为( C )A.0B.1C.2D.33.1 人在打靶中连续射击 3 次, 事件“起码有 1 次中靶”的对峙事件是( C )A. 起码有 3 次中靶B.3 次都中靶C.3 次都不中靶D.恰有 1 次中靶4.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球 , 那么 , 互斥而不对峙的事件是 ( D )A. 起码有一个红球与都是红球B.起码有一个红球与都是白球C.起码有一个红球与起码有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球5. 现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书 , 从中任取 1 本, 拿出的是理科书的概率为( C )A. B. C. D.6.某工厂的产品中 , 出现二级品的概率是 7%,出现三级品的概率是 3%, 其他都是一级品和次品 , 并且出现一级品概率是次品的9 倍, 则出现一级品的概率是( A )7.一商铺有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项 , 此中中一等奖的概率为 0.1, 中二等奖的概率为0.25, 则不中奖的概率为0.65 . 8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲竞赛 , 所选 3 人中起码有1 名女生的概率为, 那么所选 3 人中都是男生的概率为.9.从一箱产品中随机地抽取一件 , 设事件 A=“抽到一等品”, 事件B=“抽到二等品” , 事件 C=“抽到三等品” , 且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 0.35 .10.一个口袋内装有大小同样的红球、白球和黑球, 从中摸出一个球, 摸出红球或白球的概率为0.58, 摸出红球或黑球的概率为0.62, 那么摸出红球的概率为0.2 .11.盒子里装有 6 个红球 ,4 个白球 , 从中任取 3 个球 . 设事件 A 表示“ 3 个球中有 1 个红球 ,2 个白球” , 事件 B 表示“ 3 个球中有 2 个红球 ,1个白球” . 已知 P(A)= ,P(B)= , 求“ 3 个球中既有红球又有白球”的概率 .【分析】记事件C 为“3 个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A “3 个球中有 1 个红球 ,2 个白球”和事件 B“3 个球中有 2 个红球 ,1 个白球” ,并且事件 A 与事件 B 是相互互斥的 ,因此 P(C)=P(A ∪B)=P(A)+P(B)=+ = .12.在数学考试中 , 小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18, 在 80 分～ 89分的概率是 0.51, 在 70 分～ 79 分的概率是 0.15, 在 60 分～ 69 分的概率是 0.09, 在 60 分以下的概率是 0.07, 计算 :(1)小明在数学考试中获得 80 分以上成绩的概率 ;(2)小明考试及格的概率 .【分析】记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80 分～ 89 分”“在 70 分～ 79 分”“在 60 分～ 69 分”分别为事件 A,B,C,D, 且这四个事件相互互斥 .(1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(A ∪B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69.(2)方法一 :小明及格的概率是 P(A ∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二 :小明不及格的概率为0.07, 则小明及格的概率为1-0.07=0.93.B组提高练( 建议用时 20 分钟)13. 假如事件 A,B 互斥 , ,分别为事件A,B的对峙事件,那么( B )A.A∪B 是必定事件B.∪是必定事件C.与必定互斥D.与必定不互斥14.对一批产品的长度 ( 单位 :mm)进行抽样检测 , 下列图为检测结果的频次散布直方图 . 依据标准 , 产品长度在区间 [20,25) 上的为一等品 , 在区间[15,20) 和区间 [25,30) 上的为二等品 , 在区间 [10,15) 和[30,35) 上的为三等品 . 用频次预计概率 , 现从该批产品中随机抽取一件 , 则其为二等品的概率为 ( D )15.为保护世界经济次序 , 我国在亚洲经济论坛时期踊跃倡议反对地方贸易保护主义 , 并承诺包含汽车在内的入口商品将最多在 5 年内把关税所有降低到世贸组织所要求的水平 , 此中 21%的入口商品恰巧 5 年关税达到要求 ,18%的入口商品恰巧 4 年关税达到要求 , 其他入口商品将在 3年或 3 年内达到要求 , 则包含汽车在内的入口商品不超出 4 年的时间关税达到要求的概率为0.79 .16.甲射击一次 , 中靶概率是 P1, 乙射击一次 , 中靶概率是 P2, 已知 ,22是方程 x -5x+6=0的根 , 且 P 知足方程 x -x+ =0.1则甲射击一次 , 不中靶概率为;乙射击一次 , 不中靶概率为.17.假定向三个相邻的敌军军械库扔掷一枚炸弹 , 炸中第一个军械库的概率为 0.5, 炸中其他两个军械库的概率都为 0.1. 若只需炸中一个 , 此外两个也要发生爆炸 . 求军械库发生爆炸的概率 .【分析】设以 A,B,C 分别表示炸中第一、第二、第三个军械库这三个事件,于是P(A)=0.5,P(B)=P(C)=0.1. 又设D 表示军械库爆炸这个事件,则有 D=A ∪B∪C,此中 A,B,C 相互互斥 .( 由于只扔掷了一枚炸弹 , 因此不会同时炸中两个以上军械库 )因此 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.1+0.1=0.7.18.以下图 , 靶子由一此中心圆面Ⅰ和两个齐心圆环Ⅱ、Ⅲ组成 , 射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为 0.35,0.30,0.25.(1)求射手没有命中圆面Ⅰ的概率 .(2)求射手命中圆面Ⅰ或圆环Ⅲ的概率 .(3)求射手没有命中靶的概率 .【分析】记射手命中圆面Ⅰ为事件 A, 命中圆面Ⅱ为事件 B, 命中圆面Ⅲ为事件 C,不中靶为事件 D, 则 A,B,C 互斥 .(1)记“射手没有命中圆面Ⅰ”为事件 E,则 E= .因此 P(E)=P( )=1-P(A)=1-0.35=0.65.(2)记“射手命中圆面Ⅰ或圆环Ⅲ”为事件 F,则 F=A+C. 因此P(F)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.35+0.25=0.60.(3)射手中靶的概率为 P(A ∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.由于中靶和不中靶是对峙事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B ∪C)=1-0.90=0.10.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.若随机事件 A,B 相互互斥 ,A,B 发生的概率均不等于 0, 且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.20. 某医院派出医生下乡进行免费治疗, 派出医生人数及其概率以下:医生人数01234 5 人及以上概率0.10.16x y0.2z(1)若派出医生不超出 2 人的概率为 0.56, 求 x 的值 ;(2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96, 最少 3 人的概率为 0.44, 求 y,z 的值 .【分析】 (1) 由派出医生不超出 2 人的概率为 0.56,得 0.1+0.16+x=0.56,因此x=0.3.(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,得 0.96+z=1, 因此 z=0.04.由派出医生最少 3 人的概率为 0.44, 得y+0.2+z=0.44,因此 y=0.44-0.2-0.04=0.2.封闭 Word 文档返回原板块。
一、知识要点及方法1、基本概念:(2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥;（3）若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A与事件B互为对立事件；概率加法公式：当事件A与B互斥时,满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P(A∪B）= P(A)+ P（B）=1，于是有P（A)=1—P(B）2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A）≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P(B）；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P（A∪B）= P（A)+ P（B)=1，于是有P(A）=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生;（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；(2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
二、试题课时训练1．如果事件A、B互斥，记错误!、错误!分别为事件A、B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件B.A∪错误!是必然事件C.错误!与错误!一定互斥D.A与错误!一定不互斥2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有1个白球；都是红球3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，由甲、乙两人下成和棋的概率为(）A．60%B．30％C．10% D．50%4．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为错误!。
3.1.3概率的基本性质1.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为()A.恰有两件次品B.恰有一件次品C.恰有两件正品D.至少有两件正品解析事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.答案 B2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3解析设“抽到的不是一等品”为事件B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事件，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案 C3.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.其中错误的个数是()A.0B.1C.2D.3解析对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A，B为互斥事件时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故②错；因A，B，C并不一定是随机试验中的全部基本事件，故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；若A，B不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故④错.答案 D4.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人. 解析 设男教师有x 人，则女教师有x ＋12人，故P ＝x x ＋x ＋12＝920，解得x＝54，则参加联欢会的教师共有2x ＋12＝120. 答案 1205.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P (A )＋P (B )＝1，P (B )＝2P (A )，解得P (A )＝13，P (B )＝23.答案 136.据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)(2)求至少2人排队等候的概率，解 记在窗口等候的人数为0,1,2，分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互斥. (1)至多2人排队等候的概率是P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.16＝0.26， 故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.7.在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C 1＝{出现1点}，事件C 2＝{出现2点}，事件C 3＝{出现3点}，事件C 4＝{出现4点}，事件C 5＝{出现5点}，事件C 6＝{出现6点}，事件D 1＝{出现的点数不大于1}，事件D 2＝{出现的点数大于3}，事件D 3＝{出现的点数小于5}，事件E ＝{出现的点数小于7}，事件F ＝{出现的点数为偶数}，事件G ＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.能力提升8.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为()A.一个是5点，另一个是6点B.一个是5点，另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点解析同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.答案 C9.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17 B.1235C.1735 D.1解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.答案 C10.从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________.解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2. 答案 0.211.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 192812.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 解 (1)由已知得⎩⎨⎧25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以⎩⎨⎧x ＝15，y ＝20.顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均值估计为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝15100＋30100＋25100＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.13.(选做题)判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由，某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.解(1)是互斥事件.理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件. (2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名部是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.。
学习资料课时分层作业(十七) 概率的基本性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示,则(）A．A⊆B B．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件C[由互斥事件的定义知,A、B互斥．］2．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是（）A．0。
14B．0.20C．0。
40D．0.60A[由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－错误!－0。
4＝0.14。
故选A.］3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对C[“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还有可能是丙或丁,所以这两事件互斥但不对立．］4．“二十四节气”是古代农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民族悠久文化内涵和历史沉淀．根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0。
20，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为（）A．0.65B．0.55C．0.35D．0.75C［设事件“某地在节气夏至当日下雨"为事件A，“某地在节气夏至当日阴天"为事件B,“某地在节气夏至当日晴天”为事件C，由题意可得事件A,B，C为互斥事件，所以P（A)＋P（B)＋P(C)＝1，又P(A)＝0。
45，P（B）＝0。
2，所以P(C）＝0.35.］5．某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖｝，事件B＝｛抽到二等奖},事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A)＝0。
1,P（B)＝0.25，P（C)＝0。
4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为(）A．0。
3.1.3 概率的基本性质课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列说法正确的是( )A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件解析：选D 由互斥事件和对立事件的定义易知，D正确．2．某小组有5名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．至少有1名男生与全是女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．恰有1名男生与恰有2名女生解析：选D A中两事件互斥且对立；B、C中两个事件能同时发生故不互斥；D中两事件互斥不对立，故选D.3．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．A与D B．A与BC．B与C D．B与D解析：选A 事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选A.4．(2019·某某高一检测)从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200 g的概率为0.2，质量在200～300 g内的概率为0.5，那么质量超过300 g的概率为( ) A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：选B 质量超过300 g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.5．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③解析：选C 从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数，至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．故选C.6．一个盒子中有10个相同的球，分别标有1,2,3，…，10，从中任选一球，则此球的为偶数的概率是____．解析：取2号，4号，6号，8号，10号是互斥事件，且概率均为110，故有110＋110＋110＋110＋110＝12. 答案：127．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928. 答案：19288．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．解析：由对立事件的概率计算公式知，重量不小于30克的概率为1－0.3＝0.7. 答案：0.79．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x 的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，所以x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，所以z ＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44，所以y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是13，都是白子的概率是1330. (1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．解：(1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝13＋1330＝2330，即任意取出2粒恰好是同一色的概率是2330. (2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D ，由(1)，知事件D 与事件C 是对立事件，且P (C )＝2330， 所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P (D )＝1－P (C )＝1－2330＝730. ‖层级二‖|应试能力达标|1．下列说法中正确的是( )A ．对立事件一定是互斥事件B ．若A ，B 为随机事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )C ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1D ．若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A 与B 是对立事件解析：选A A 说法显然正确；B 说法不正确，当事件A ，B 能同时发生时，不满足P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；C 说法不正确，P (A )＋P (B )＋P (C )不一定等于1，还可能小于1；D 说法不正确，例如：袋中有大小相同的红球、黄球、黑球、绿球各1个，从袋中任意摸1个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不是对立事件，但P (A )＋P (B )＝12＋12＝1. 2．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A ：命中环数大于8；事件B ：命中环数小于5；事件C ：命中环数大于4；事件D ：命中环数不大于6，则( )A ．A 与D 是互斥事件B ．C 与D 是对立事件 C ．B 与D 是互斥事件 D ．以上都不对解析：选A 由互斥事件、对立事件的定义可判断A 正确．故选A.3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产的情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%.若从一批该产品中随机抽检一件，则这件产品是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，则这三个事件彼此互斥，因而所求概率P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜a ＜2，54＜a ＜32，a ≤43，解得54＜a ≤43. 5．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：若每辆车的投保金额均为2 700元，则赔付金额大于投保金额的概率约为________(用频率估计概率)．解析：设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P (A )＝1601 000＝0.16，P (B )＝1101 000＝0.11，由于投保金额为2 700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.16＋0.11＝0.27.答案：0.276．甲射击一次，中靶概率是P 1，乙射击一次，中靶概率是P 2，已知1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且P 1满足方程x 2－x ＋14＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．解析：由P 1满足方程x 2－x ＋14＝0知，P 21－P 1＋14＝0，解得P 1＝12；因为1P 1，1P 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1P 1·1P 2＝6，解得P 2＝13.因此甲射击一次，不中靶概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶概率为1－13＝23. 答案：1223 7．猎人在相距100 m 处射击一野兔，命中的概率为12，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m ，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m ，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，则射击不超过两次击中野兔的概率为________．解析：设距离为d ，命中的概率为P ，则有P ＝k d 2.将d ＝100，P ＝12代入，得k ＝Pd 2＝5 000， 所以P ＝5 000d2. 设第一、二次击中野兔分别为事件A 1，A 2，假如第一次就命中，那么概率就是P 1＝12；假如第二次才命中，意思就是第一次没有命中，第二次才命中，P 2＝(1－P 1)×5 0001502＝19.综上，P ＝P 1＋P 2＝12＋19＝1118. 故射击不超过两次击中野兔的概率为1118. 答案：11188．某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的随机样本，顾客购物一次的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“一位顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“一位顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3彼此互斥，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。
3.1.3 概率的根本性质[A 根底达标]1．打靶3次，事件A i 表示“击中i 发〞，其中i ＝0，1，2，3.那么A ＝A 1∪A 2∪A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发D ．以上均不正确解析：选B.A 1∪A 2∪A 3所表示的含义是A 1，A 2，A 3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，应选B.2．(2021·黑龙江省哈尔滨市第三中学期末考试)把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张， 事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞是( )A ．对立事件B ．两个不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．两个概率不相等的事件解析：选C.把红、黑、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌〞与事件“乙分得红牌〞不能同时发生，但能同时不发生，所以事件“甲分得红牌〞与事件“乙分得红牌〞是互斥但不对立事件．应选C.3．(2021·福建省平和一中、南靖一中等五校联考)甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，那么甲获胜的概率是( ) A.12 B.56 C.16D.23解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，即两个人和棋或乙获胜，故甲胜的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16.应选C. 4．(2021·陕西省咸阳市检测(一))某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C .从这50名学生中任抽1人，假设抽得B 的概率是0.4，那么抽得C 的概率是( )解析：选A.由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350A.5．假设事件A 和B 是互斥事件，且P (A ，那么P (B )的取值范围是( )A．[0] B，0.9]C．(0] D．[0，1]解析：选A.由于事件A和B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，＋P(B)≤1，所以0≤P(B A.6．假设A，B为互斥事件，P(A，P(A∪B，那么P(B)＝________．解析：因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B), 所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.7．(2021·黑龙江省大庆铁人中学期末考试)某人在一次射击中，，，，那么该人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．解析：某人在一次射击中，，，，所以该人在一次射击中命中9环或10环的概率为p＝1－0.19－0.29＝0.52.8．某商店月收入(单位：元)在以下范围内的概率如下表所示：解析：记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)范围内的事件分别为A，B，C，D，因为事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.9．某公务员去开会，，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：(1)记“他乘火车去〞为事件A1，“他乘轮船去〞为事件A2，“他乘汽车去〞为事件A3，“他乘飞机去〞为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，那么P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.，，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．[B 能力提升]10．100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品〞，F表示事件“3件产品全是次品〞，G表示事件“3件产品中至少有1件次品〞，那么以下结论正确的选项是( )A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G任意两个事件均互斥D．E与G对立解析：选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件．故A，C错．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．11．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销完毕后(3件，当天营业完毕后检查存货，假设发现存货少于2件，那么当天进货补充至3件，否那么不进货，将频率视为概率，那么当天商店不进货的概率为________．解析：商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件〞与“日销售量为0件〞不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件〞为事件A，“当天商品销售量为1件〞为事件B，“当天商店不进货〞为事件C，那么P(C)＝P(A)＋P(B)＝120＋520＝310.答案：3 1012．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾〞箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，那么m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n ＝400600＝23. (2)设“生活垃圾投放错误〞为事件A ，那么事件A －表示“生活垃圾投放正确〞，从而P (A －)＝400＋240＋601 000，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－0.7＝0.3.13．(选做题)某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，假设最高气温不低于25，那么Y ＝6×450－4×450＝900；假设最高气温位于区间[20，25)，那么Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 假设最高气温低于20，那么Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.。
课时训练17概率的基本性质一、互斥事件与对立事件的判定1.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则A的对立事件为()A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品答案:B解析:利用对立事件的定义或利用补集思想.2.把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对答案:A3.判断下列各对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解:(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,不是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.二、互斥事件的概率加法公式4.若A,B是互斥事件,则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)=1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1答案:D解析:∵A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),若A,B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1;若A,B不对立,则P(A)+P(B)<1,∴P(A∪B)≤1.5.某城市2015年的空气质量状况如下表所示:污染指3060100110130140数T概率P其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为轻微污染.该城市2015年空气质量达到良或优的概率为() A. B. C. D.答案:A解析:所求概率为.故选A.6.抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B).下面给出两种不同解法:解法一:∵P(A)=,P(B)=,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)==1.解法二:∵A∪B这一事件包括四种结果,即出现1,2,3和5,∴P(A∪B)=.请判断解法一和解法二的正误.解:解法一是错误的,解法二是正确的.错解的原因在于忽视了互斥事件的概率加法公式应用的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”二者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用P(A∪B)=P(A)+P(B)求解.而解法二中,将A∪B分成出现“1,2,3”与“5”这两个事件,记出现“1,2,3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥,于是P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=.故解法二正确.三、复杂事件的概率求法7.一枚壹元硬币连掷三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”.写出事件A,B,C的概率P(A),P(B),P(C)之间的正确关系式是.答案:P(A)+P(B)+P(C)=1解析:事件A,B,C之间是互斥的,且又是一枚硬币连掷三次的所有结果.8.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24,0.28,0.19,那么这个射手在一次射击中,射中不够8环的概率为.答案:0.29解析:不够8环的概率为1-(0.24+0.28+0.19)=0.29.9.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为.答案:0.2解析:由题意知A=“摸出红球或白球”与B=“摸出黑球”是对立事件,又P(A)=0.58,所以P(B)=1-P(A)=0.42,又C=“摸出红球或黑球”与D=“摸出白球”也是对立事件,因为P(C)=0.62,所以P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.10.经统计某银行营业厅一个窗口等候的人数及相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上P0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率是.(2)至少3人排队等候的概率是.答案:(1)0.56(2)0.44解析:记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C彼此互斥.(1)至多2人排队等候的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排队等候的概率为1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.(建议用时:30分钟)1.下列说法正确的是()A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大B.事件A,B同时发生的概率一定比事件A,B恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案:D2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与BB.B与CC.A与DD.B与D答案:C解析:A与B是互斥事件且为对立事件,B与C是相等事件,A与D是互斥但不对立事件,B与D可能同时发生,不是互斥事件.3.从一批产品中取出3件产品,设事件A为“三件产品全不是次品”,事件B为“三件产品全是次品”,事件C为“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是()A.事件A与C互斥B.事件B与C互斥C.任何两个均互斥D.任何两个均不互斥答案:B解析:∵事件C包含三件产品中“三正”“二正一次”“一正二次”三种情况,∴事件A,B互斥,事件B,C互斥且对立.4.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级属正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为()A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96答案:D5.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8答案:C6.在10件产品中有8件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是.答案:“至少有一件是二级品”7.已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别为0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在一小时内断头不超过2次的概率和断头超过2次的概率分别为,.答案:0.970.038.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙胜的概率为,则甲胜的概率为.答案:9.某学校成立了数学、英语、音乐三个课外兴趣小组,三个小组分别有39,32,33个成员,其中一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.从中随机选出一个成员,(1)他至少参加了2个小组的概率为;(2)他参加了不超过2个小组的概率为.答案:(1)(2)解析:由题设知,3个小组的总人数为6+7+8+8+11+10+10=60.只参加1个小组的人数为6+10+8=24,参加2个小组的人数为7+11+10=28,参加3个小组的人数为8.(1)“至少参加2个小组”包括“参加2个小组”和“参加3个小组”.所以至少参加2个小组的概率P=.(2)“参加了不超过2个小组”包括“参加1个小组”和“参加2个小组”.所以参加了不超过2个小组的概率P=.10.(2015北京高考,文17)某超市随机选取 1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁商品顾客人数100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这 1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.。
3.1.3 概率的基本性质一、选择题1．给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．A 与B 互斥D ．A 与B 互为对立事件2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述几对事件中是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③4．下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]g 范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.686．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( ) A .15 B .25 C .35 D .45题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．8．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲队胜的概率是________．9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．三、解答题10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？能力提升12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？13．年最高水位[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)(单位：m)概率0.10.280.380.160.08(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12m.答案：3．1.3 概率的基本性质1．C2．D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A ∪B≠B ∪D.]3．C [从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C .]4．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A 、B 为互斥事件时才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，故②错；因A ，B ，C 并不是随机试验中的全部基本事件，故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；若A 、B 不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故④错．]5．C [设“质量小于4.8 g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在[4.8,4.85]g ”为事件C ，则A ∪C ＝B ，且A 、C 为互斥事件，所以P(B)＝P(A ∪C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]6．C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．∴P(B ∪D ∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.] 7．0.30解析 P ＝1－0.42－0.28＝0.30.8.512解析 设甲队胜为事件A ，则P(A)＝1－14－13＝512. 9.59解析 没有5点或6点的事件为A ，则P(A)＝49，至少有一个5点或6点的事件为B. 因A ∩B ＝∅，A ∪B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－49＝59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52；(2)P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.答射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.11．解记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E，则易知A、B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.12．解(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．13．解设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)记“水位不低于12m”为事件A，P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.。
第三章概率3.1.3 概率的基本性质一、选择题1．下列说法合理的是A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是16，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨．D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．【答案】B2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1–0.45–0.15=0.4．故选B．3．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.7【答案】C【解析】由题意，摸出黑球的概率是P=1–0.43–0.27=0.3．故选C．4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是A．至多有1次中靶B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶【答案】C【解析】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．5．“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．至少有1名男生和至少有1名女生【答案】A【解析】“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A．6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】A中的两个事件是包含关系，故不符合要求；B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求．故选C．7．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【答案】D【解析】选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A不互斥；选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；选项C，“恰有一个白球“，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥；选项D，“至少一个白球“发生时，“红，黑球各一个“不会发生，故D互斥，不对立．故选D．8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是3 10，那么概率是710的事件是A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡【答案】A9．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为A．15% B．20% C．45% D．65%【答案】D【解析】∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率50%+15%=65%，故选D．10．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是A．15B．310C．12D．35【答案】A【解析】由题意设这个班有100a 人，则数学不及格有15a 人，语文不及格有5a 人，都不及格的有3a 人，则数学不及格的人里含有3a 人语文不及格，所以已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：P =31155=．故选A ． 二、填空题11．假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率____________． 【答案】0.225【解析】∵向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，∴军火库发生爆炸的概率p =0.025+0.1+0.1=0.225．故答案为：0.225． 12．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是____________． 【答案】0.25【解析】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，设红、黄、白球各有a ，b ，c 个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，∴0.650.6a ca b cb c a b c +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，∴10.60.4a a b c =-=++，10.650.35ba b c=-=++，∴摸出白球的概率是P =1–0.4–0.35=0.25．故答案为：0.25．13．甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．则乙不输棋的概率为____________． 【答案】56【解析】∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．∴乙不输棋的概率p =1–1566=．故答案为：56． 14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为____________． 【答案】0.65【解析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A 表示“甲击中”，B 表示“乙击中”，由已知得P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p =1–P （A ）P （B ）=1–（1–0.3）（1–0.5）=0.65．故答案为：0.65．15．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是____________．【答案】0.74【解析】由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74，故答案为：0.74．16．口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是____________．【答案】0.2【解析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为1–0.3–0.5=0.2，故答案为：0.2．三、解答题17．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率．【解析】（1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，则P（A）=45，P（B）=35，P（C）=710，三人中有且只有2人及格的概率为：P1=P（AB C）+P（A B C）+P（ABC）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=43715510⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭+43715510⎛⎫⨯-⨯⎪⎝⎭+（1–45）×37510⨯=113 250．（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，三人中至少有一人不及格的概率为：P2=1–P（ABC）=1–P（A）P（B）P（C）=1–43783 5510125⨯⨯=．18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解析】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，∴()()()()()()()()()()()135125121P AP B C P B P CP C D P D P CP A P B P C P D⎧=⎪⎪⎪+=+=⎪⎨⎪+=+=⎪⎪⎪+++=⎩，解得()()()()13116144P AP BP CP D⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为111 464，，．19．某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中7～10环的概率如下表所示命中环数7 8 9 10概率0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次，（1）命中9环或10环的概率；（2）命中不足7环的概率．。
