2014年高考文科数学大纲卷及答案
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数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,2,4,6,8}M,{1,2,3,5,6,7}N,则MN中元素的个数为 ( )
A.2 B.3 C.5 D.7
2.已知角的终边经过点(4,3),则cos ( )
A.45 B.35 C.35 D.45
3.不等式组(x2)0,||1,xx的解集为 ( )
A.{|21}xx B.{|10}xx
C.{|01}xx D.{|1}xx
4.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
( )
A.16 B.36 C.13 D.33
5.函数3ln(1)(1)yxx的反函数是 ( )
A.3(1e)(1)xyx
B.3(e1)(1)xyx
C.3(1e)()xyxR
D.3(e1)()xyxR
6.已知a、b为单位向量,其夹角为60,则(2ab)b ( ) A.1 B.0 C.1 D.2
7.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有 ( )
A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种
8.设等比数列{}na的前n项和为nS.若23S,415S,则6S ( )
A.31 B.32 C.63 D.64
9.已知椭圆C：22221xyab(0)ab的左、右焦点为1F、2F,离心率为33,过2F的直线l交C于A,B两点.若1AFB△的周长为43,则C的方程为 ( )
A.22132xy
B.2213xy
C.221128xy
D.221124xy
10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( )
A.81π4 B.16π C.9π D.27π4
11.双曲线C：22221(0,0)xyabab的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于 ( )
A.2 B.22 C.4 D.42
12.奇函数()fx的定义域为R.若(2)fx为偶函数,且(1)1f,则(8)(9)ff ( )
A.2 B.1 C.0 D.1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.共20分,把答案填写在题中的横线上.
13.6(2)x的展开式中3x的系数为 .（用数字作答）
14.函数cos22sinyxx的最大值为 .
15.设x,y满足约束条件02321xyxyxy≥≤≤,则4zxy的最大值为
.
16.设直线1l和2l是圆222xy的两条切线.若1l与2l的交点为(1,3),则1l与2l的夹角的正切值等于
.
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
数列{}na满足11a,22a,2122nnnaaa.
（Ⅰ）设1nnnbaa,证明{}nb是等差数列；
（Ⅱ）求{}na的通项公式.
18.（本小题满分12分）
ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3cos2cosaCcA,1tan3A,-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页） 求B.
19.（本小题满分12分）
如图,三棱柱111ABCABC中,点1A在平面ABC内的射影D在AC上,90ACB,1BC,12ACCC.
（Ⅰ）证明：11ACAB；
（Ⅱ）设直线1AA与平面11BCCB的距离为3,求二面角1AABC的大小.
20.（本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.
21.（本小题满分12分）
函数32()33(0)fxaxxxa.
（Ⅰ）讨论()fx的单调性；
（Ⅱ）若()fx在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F,直线4y与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且5||||4QFPQ.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页） 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）数学（文科）答案解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】解：∵{1,2,4,6,8}{1,2,3,5,6,7}{1,2,6}MN，∴MN}{1,2,6，即MN中元素的个数为3.
【提示】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可.
【考点】交集及其运算，集合中元素个数的最值.
2.【答案】D
【解析】解：∵角α的终边经过点(4,3)，∴4x，3y，225rxy.
∴44cos55xr，故选：D．
【提示】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos的值.
【考点】任意角的三角函数的定义.
3.【答案】C
【解析】解：由不等式组(2)0||1xxx可得2011xxx或，，解得01x，故选：C．
【提示】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求.
【考点】一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，不等式组的解法.
4.【答案】B
【解析】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EFBD∥，则CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CECF.
设正四面体的棱长为2a，则EFa，22(2)3CECFaaa.
在CEF△中，由余弦定理得：
2223cos26CEEFCFCEFCEEF.
故选：B． 【提示】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF△的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值.
【考点】异面直线及其所成的角.
5.【答案】D
【解析】解：∵3ln(1)yx，∴31exy，即3e1xy，∴3(e1)yx，∴所求反函数为3(e1)xy，故选：D
【提示】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数.
【考点】反函数.
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得，111cos602ab，21b，∴22(2)22||||||0abbabbabb，故选：B．
【提示】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得ab、2b的值，可得(2)abb的值.
【考点】平面向量数量积的运算.
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有2615C种选法，再从5名女医生中选出1人，有155C种选法，则不同的选法共有15575种.故选C．
【提示】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.
【考点】排列、组合及简单计数问题，排列、组合的实际应用.
8.【答案】C 【解析】解：由等比数列的性质可得2S，42SS，64SS成等比数列，即3，12，615S成等比数列，可得26123(S15)，解得663S.故选：C
【提示】由等比数列的性质可得2S，42SS，64SS成等比数列，代入数据计算可得.
【考点】等比数列的前n项和.
9.【答案】A
【解析】解：∵1AFB△的周长为43，∴443a，∴3a，∵离心率为33，∴1c，∴222bac，∴椭圆C的方程为22132xy.
【提示】利用1AFB△的周长为43，求出3a，根据离心率为33，可得1c，求出b，即可得出椭圆的方程.
【考点】椭圆的简单性质.
10.【答案】A
【解析】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴222(4)(2)RR，∴94R，∴球的表面积为2981π4π44.
故选：A．
【提示】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高1PO上，记为O，求出1PO，1OO，解出球的半径，求出球的表面积.
【考点】球内接多面体，球的体积和表面积.
11.【答案】C
【解析】解：∵：22221(00)xyabab，的离心率为2，∴2cea，双曲线的渐近线
