【2020九年级数学上】圆周角和圆心角的关系习题含答案

初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.9.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.【考点】圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.。

鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．22．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于cm．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．27．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．2【解答】解：作点D关于AB的对称点DE，连接CE，交AB于点P，过点O作OF⊥CE，垂足为F，∵∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，∴∠BOE＝36°，∠COE＝120°，∴∠C＝30°，∵AB＝4，∴OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∴CE＝2，∴PC+PD的最小值为2，故选：B．2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定【解答】解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°【解答】解：∵在△AOB中，OA＝OB，∠OAB＝α∴∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α∴当α＝36°时，∠AOB＝180°﹣2×36°＝108°108×5＝540°∵转360°恰好位于点A，540°﹣360°＝180°＞108°∴此时不位于弧AB上，A错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°∴此时小华还没到达点A，故C错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°当α＝90°时，点B在圆外，不符合题意，故D错误；故选：B．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3，在Rt△DOE中，DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，故选：A．5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝100°，∵BO＝CO，∴∠OBC＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°【解答】解：连接BC，∵∠AOC＝110°，∴∠ABC＝∠AOC═55°，∵CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠ABC＝55°，故选：C．7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解答】解：A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，∴∠BAD＝80°+30°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，故选：C．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：A．10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°【解答】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝58°，∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣64°＝116°，故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是①②③④．【解答】：如图，连接CD、AD、CO，，∵点C，D是半圆上的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝180°÷3＝60°，∴∠CBA＝∠AOC÷2＝60°÷2＝30°，即①正确；∵∠BEO＝180°﹣∠BOD﹣∠CBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°∴OD⊥BC，即②正确．∵OB＝OC，OD⊥BC，∴E是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC，即③正确．∵AC⊥BC，OD⊥BC，∴AC∥OD，∵∠DCB＝∠BOD÷2＝60°÷2＝30°，∠CBA＝30°∴∠DCB＝∠CBA，∴CD∥AB，∴四边形AODC是平行四边形，∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC，又∵四边形AODC是平行四边形，∴AO＝OD＝DC＝CA，∴四边形AODC是菱形，即④正确．综上，可得正确的结论有：①②③④．故答案为①②③④．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是72π．【解答】解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆＝π•OB2﹣π•OC2＝π（OB2﹣OC2）＝πBC2＝72π．故答案为72π．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于3cm．【解答】解：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB＝×360°＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为3cm，∴AB＝3cm．故答案为：3．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝102°．【解答】解：连接AC，AD，∵BC＝CD＝DE，∴＝＝，∴设∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝α，∵∠B＝98°，∠E＝116°，∴∠B+∠E﹣α＝98°+116°﹣α＝180°，∴α＝34°，∴∠BAE＝3α＝102°，故答案为：102°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝40°．【解答】解：连接OD，∵AD∥OC，∴∠DAB＝∠BOC＝50°，∵OA＝OD∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°故答案为40°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为80°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝100°，∴∠D＝80°，故答案为80°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝25°．【解答】解：∵AD∥BC，∴＝，∴∠PBC＝∠PCB，∵∠APB＝50°，∴∠PBC＝25°，故答案为：25°．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为100°．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∴CD＝AB．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴劣弧BC的度数为80°，则优弧BC的度数为：360°﹣80°＝280°，∴∠D＝140°．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC．∴∠B＝∠C＝75°．∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°；（2）如图，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12．在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2＝BE•AB；⑥BC2＝CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）∵CD＝2，∴CE＝，∵∠D＝∠A＝30°，∴AC＝2，AB＝4，∴＝＝π，∴周长为：+227．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）【解答】证法1：连接OA，OC，∵∠B＝∠1，∠D＝∠2，∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°；证法2：如图2，连接CA，BD，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠1+∠3＝∠2+∠4，∴∠ADC+∠ABC＝∠2+∠4+∠ABC＝180°．28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）解：当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形．理由如下：连接OP，如图1，∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，而P是的中点，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，又∵OA＝OP＝OB，∴△OAP和△OBP都为等边三角形，∴OA＝AP＝OB＝PB，∴四边形PBOA是菱形；（3）解：如图2，在PC上截取PD＝P A，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴P A＝DA，∠DAP＝60°，∵∠P AB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，∴∠P AB＝∠DAC，在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC（ASA），∴PB＝DC，又∵P A＝PD，∴PC＝PD+DC＝P A+PB＝a+b．。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余试题2:如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( )A．2对 B．3对 C．4对D．5对试题3:如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是．试题4:如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°试题5:如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120°试题6:下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A、1个B、2个C、3个D、4个试题7:如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝．试题8:如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝．试题9:如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数．试题10:如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 试题11:如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。

【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。

你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。

8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。

圆---圆心角、圆周角1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C.D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( )A.40°B.60°C.80°D.120°2.如图，已知在⊙O中，点C为的中点，∠A＝40°，则∠BOC等于( )A.40°B.50°C.70°D.80°3. 下面四个图中的角，是圆心角的是( )4. 下列说法正确的是( )A.相等的圆心角所对的弦相等B.相等的圆心角所对的弧相等C.等弧所对的弦相等D.度数相等的弧的长度相等5. 如图，在⊙O中，弦AB.CD相交于点E，且AB＝CD，连接AD.BC，则下列给出的结论中，正确的有( )①②AD＝BC ③∠CBD＝∠ADB ④∠A＝∠C ⑤AE＝CEA.5个B.4个C.3个D.2个6. 如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( )A.25°B.50°C.60°D.80°7. 如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A.B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝( )A.80°B.90°C.100°D.无法确定8. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A.20°B.30°C.70°D.110°9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为( )A.50°B.80°C.100°D.130°10. 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做_________.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也______；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弦_________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_______-.11. 顶点在_________，两边都和圆_______的角叫圆周角.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_______.在__________(或相等的圆)中，同弧或等弧所对的圆周角_______；反之，相等的圆周角所对的弧_________.12. 半圆(或直径)所对的圆周角是_______；90°的圆周角所对的弦是________.13.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__________，这个圆叫做___________；圆内接四边形对角_________-.14. 已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝__________.15. 如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD的度数为_____.16. 下列四个图中，∠x是圆周角的是________.17. 如图，AB.CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD.CB的延长线相交于P，则∠P＝_______-.18. 如图所示，A.B.C.D是⊙O上顺次四点.若∠AOC＝160°，则∠D＝_______________ ，∠B＝____________.19. 如图，已知A.B.C.D是⊙O上四点，若AC＝BD，求证：AB＝CD.20. 如图，在△AOB中，AO＝AB，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于D，交AO于点E，AD＝BO.试说明，并求∠A的度数.21. 如图，A.B.C在圆上，弦AE平分∠BAC交BC于D.求证：BE2＝ED·EA.22. 如图所示，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC.BC的长.23. 如图，△ABC内接于⊙O，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是上一点，且满足AD＝DE，连接BD与AE相交于点F.求证：△ADF∽△ABC.24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.25. 如图，已知△ABC是等边三角形，⊙O经过点A.B.C，点P是BC上任一点.(1)图中与∠PBC相等的角为________；(2)试猜想三条线段PA.PB.PC之间的数量关系，并证明.26. 如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC.BC的交点分别为D.E，且.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值.参考答案：1—9 CBDCA BBDD10. 圆心角 相等 相等 相等 相等 相等 相等11. 圆上 相交 一半 同一圆 相等 相等12. 90° 直径13. 圆的内接多边形 多边形的外接圆 互补14. 60°15. 60°16. ③17. 40°18. 80° 100° 19.20. 解：设∠A ＝x°.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x°，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x°.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x°.从而∠BOD ＝2x°－x°＝x°，即∠BOD ＝∠AOD ，∴由三角形的内角和为180°，有2x°＋2x°＋x°＝180°，x°＝36°，即∠A ＝36°.21. 证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAB ＝∠EAC ，又∵∠EBC ＝∠EAC ，∴∠EBC ＝∠EAB ，又∵∠E 公用，∴△EBD ∽△EAB ，∴EB EA ＝ED EB，∴EB2＝EA·ED. 22. 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，∴∠ADC ＝12∠ADE ＝30°＝∠ABC.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝12AB ＝4cm.BC ＝AB2－AC2＝82－42＝43(cm). 23. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∵AD ＝DE ，∴∠DAE ＝∠AED ，∴∠DAE ＝∠AED ＝∠ACD ＝∠BAC ，∵∠ADF ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADF ∽△ABC.24. (1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；(2)证明：∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2.25. 解：(1)∠PAC ；(2)PA ＝PB ＋PC.在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD 可证△PCD 是等边三角形，△ACD ≌△BCP.26. 解：(1)△ABC 为等边三角形.理由如下：连接AE ，如图，∵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形；(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC＝12BD·AC，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB2－BD2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725.。