圆心角和圆周角的专题练习

圆心角圆周角练习题圆心角和圆周角是圆内角的一种特殊形式，它们在几何学中具有重要的地位。

本文将介绍关于圆心角和圆周角的一些练习题，帮助读者加深对这一概念的理解。

一、选择题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是：A. 圆心角大于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角小于对应的圆周角2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为56°，则对应的圆周角的度数为：A. 56°B. 112°C. 224°3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为72°，则弧AB所对应的圆周角的度数为：A. 72°B. 144°C. 288°5. 在同一个圆中，圆心角和对应的弧所对应的圆周角之间的关系是：A. 圆心角小于对应的圆周角B. 圆心角等于对应的圆周角C. 圆心角大于对应的圆周角二、填空题1. 在同一圆中，一条弧的度数等于其所对应的圆周角的度数，则这条弧所对应的圆心角的度数为________。

2. 在圆O中，已知∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数为________。

3. 在同一个圆中，圆心角的度数等于所对应的弧所对应的圆周角的度数，则该弧所对应的圆周角的度数为________。

三、解答题1. 在同一个圆中，圆心角和对应的圆周角的关系是什么？为什么？2. 已知在同一个圆中，圆心角的度数为60°，则对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

3. 在圆O中，∠ACB是圆心角，则它所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

4. 若∠ACD是圆O中的圆心角，且其度数为90°，则弧AB所对应的圆周角的度数是多少？并通过计算或推理进行解答。

总结：本文通过选择题、填空题和解答题的形式，对圆心角和圆周角的概念进行了练习和探讨。

九年级数学圆心角圆周角专项练习题一、单选题1．如图，⊙O中，半径OC⊙弦AB于点D，点E在⊙O上，⊙E=22.5°⊙AB=4，则半径OB等于（）AB．2C．D．32．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD 4．在半径为1的弦所对的弧的度数为（）A．90B．145C．90或270D．270或145 5．如图，ABC是O的内接三角形，,30AB BC BAC=∠=︒，AD是直径，8AD=，则AC的长为（）A．4B．CD．6．下列说法正确的有（）①不在同一条直线上的三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE的度数是_____．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．10．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么AB________2CD（填“＞，＜或＝”）三、解答题11．如图，已知A⊙B⊙C⊙D是⊙O上的四点，延长DC⊙AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．13．如图，在ABC中，AC BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//DF BC，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半。

<弧、弦、圆心角 、圆周角>练习一、选择题1．同圆中两弦长分别为x 1和x 2它们所对的圆心角相等，那么（ ）A ．x 1 ＞x 2B ．x 1 ＜x 2 C. x 1 ＝x 2 D ．不能确定2．下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对4．如图所示，如果的⊙O 半径为2弦AB= AB 的距离OE 为（ ）A ． 1 B． C ．12D5．如图所示，⊙O 的半径为5，弧AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长为（ ）A ．BC ． 8D ．6．如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（ ）A ．90°B 。

45 °C 。

60°D 。

30°第 6 题图第 5 题图第 4 题图二、填空题 7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________8．如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，∠DOE=70°则∠BOD=___________9．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD=___________第 9 题图第 8 题图B B10．D 、C 是以AB 为直径的半圆弧上两点，若弧BC 所对的圆周角为25°弧AD 所对的圆周角为35°，则弧DC 所对的圆周角为_____度11．如图所示，在⊙O 中，A 、B 、C 三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=_______12．如图所示，CD 是圆的直径，O 是圆心，E 是圆上一点且∠EOD=45°，A 是DC 延长线上一点，AE 交圆于B ，如果AB=OC ，则∠EAD= ____________第12题图第11题图D三、解答题 13.已知如图所示，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA 、OB 的中点。

圆圆中的概念专题练习1.圆心角、圆周角如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A =50º，则∠BCE 的度数为（） A ．40º B ．50º C ．60º D ．130º2． 已知M ，N ，P ，Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A ．42NOQ ∠=B ．132NOP ∠=C ．PON ∠比MOQ ∠大D ．MOQ ∠与MOP ∠互补 3．如图3，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE=40°，则∠P 的度数为（） A. 140° B.70° C.60° D.40°4． 如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于（ ） A ．12.5° B ．15° C ．20° D ．22.5°2. 垂径定理5．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，AB OC ⊥于点E ，若=30C D B ∠︒，2OA =，则AB 的长为（）AB． C ．2 D ．46． 如右图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AC ，若CD= ∠A =30º，则⊙O 的半径为． 7．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为．8． 如图，AB 是⊙O的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，ADNM第7题图A 11A 7A 6A 5A 8A 9A 10A 12A 4A 3A 2A 1分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC=∠AEC ；③BC 平分∠ABD ；④AF=DF ；⑤BD=2OF ；⑥△CEF ≌△BED ，其中一定成立的是（ ） A ．②④⑤⑥ B ．①③⑤⑥ C ．②③④⑥ D ．①③④⑤ 3. 弧长9． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是DC 延长线上一点，如果⊙O 的半径为6，60BCE ∠=︒，那么 BCD 的长为（）A ．6πB ．12πC ．2πD ．4π10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ，则 BC的长为（） A ．2π B ．4π C ．6π D ．12π 4. 正多边形11.如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则1∠的度数为（） A ．20° B ．25° C ．30°D ．35°12． 如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF 的半径是，则这个正六边形的周长是（）A ．B ．12 cmC ．D ．36 cm 13．如图，正十二边形1221A A A ，连接73A A ，107A A ，则=∠1073A A A .5. 扇形面积14．如图，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形ABCDEF 和6个半径为1米、圆心分别在正六边形ABCDEF 的顶点上的⊙A ，⊙B ，⊙C ，⊙D ，⊙E ，⊙F 组合而成.现要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为 米2.15． 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为______________.16.如图，平地面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA ＝6cm ，在OA 与地面垂直并且扇形没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，求点O 移动的距离.6. 圆锥17． 如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm 7. 阴影面积18． 如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A.42-πB.84-πC.82-πD.44-π19． 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作⌒OC 交⌒AB 于点C. 若OA=2，则阴影部分的面积为___________.20． 如图，⊙P 的半径为5，A 、B 是圆上任意两点，且6=AB ，以AB 为边作正方形ABCD （点D 、P 在直线AB 两侧）。

圆专题一、圆心角、圆周角1.如图，设⊙O的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.2.如图，AB为⊙O的弦，∠OAB=75O ,则此弦所对的优弧是圆周的______。

4.如图，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A=32O 18’ ，以点C 为圆心、BC 为半径作圆，交AB 于点D,交AC 于点E,则⋂BD 的度数是______。

5.如图，点O 是△ABC 的外心，已知∠ACB=100O ,则劣弧⋂AB 所对的∠AOB=______度。

6.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E, ∠ACD=60O , ∠ADC=50O ,则∠AEC=______度。

7.如图，以等腰△ABC 的边AB 为直径的半圆，分别交AC 、BC 于点D 、E,若AB=10, ∠OAE=30O,则DE=______。

8.在锐角△ABC 中，∠A=50O ,若点O 为外心，则∠BOC=_____;若点I 为内心，则∠BIC=______；若点H 为垂心，则∠BHC=________.9.若△ABC 内接于⊙O ，∠A=n O,则∠BOC=_______.10.如图，已知AB 和CD 是⊙O 相交的两条直径，连AD 、CB ，那么α和β的关系是（ ） A.α=β B.β>21α C.β<21α D.β=2α 11.如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 交于点E ，且⋂⋂⋂==CDBC AB ，若∠BEC=130O ,则∠ACD 的度数为（ ）A.15OB.30OC.80OD.105O12.如图，AB 为半圆的直径，AD ⊥AB,点C 为半圆上一点，CD ⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB 的长。

13.如图，AO ⊥BO,AO 交⊙O 于点D ，AB 交⊙O 于点C, ∠A=27O,试用多种方法求⋂DC 、⋂BC 的度数。

14.求证：如果AB 和CD 为⊙O 内互相垂直的两条弦，那么∠AOC 和∠BOD 互补。

完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

圆心角和圆周角同步练习一、填空题: 一、填空题：1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．2. 如图1，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，130AOC ∠=o， 则弧AD 的度数为 ，CAD ∠的度数为 ，ACD ∠的度数为 ．图1 图23. 如图2，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=o，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB OC =，则EAD ∠= ，EOB ∠=，ODE ∠=．4. 如图3，弧ACB 与弧ADB 的度数比是5:4，则AOB ∠= ，ACB ∠=，ADB ∠= ， CAD CBD ∠+∠= ．5. 如图4，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，点E ，F 分别在弧AC 和弧BC 上，若50ABC ∠=o，则BEC ∠= BFC ∠=．图图56. 如图5，已知：圆O 是△ABC 的外接圆，50BAC ∠=o，47ABC ∠=o，则AOB ∠=__________度．1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是»AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DDCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有______对相等的角。

3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.Ａ4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, »»BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DDCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D 是»AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是¼CAD上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.16.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻.当甲带球部到A 点时,乙随后冲到B 点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)答案：1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD 是等边三角形,从而CD= 4cm. 14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2. 15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴»»BCBD ,∴∠COB= ∠DOB. ∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.16.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.。

圆周角和圆心角的练习题一、选择题1．圆周角是24°，则它所对的弧是________ A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是________A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．（）A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___[ ] A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题6．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（如图）．求BD 的长．8．如图，半圆的直径AB =13cm ，C 是半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，并且CD =6cm ．求AD 的长．、9．如图，圆内接△ABC 的外角∠MAB 的平分线交圆于E ，EC =8cm ．求BE 的长．10．已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，且AB =a ．求DE 的长．11．如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CFA =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小．12．如图，⊙O 的内接正方形ABCD 边长为1，P 为圆周上与A ，B ，C ，D 不重合的任意点．求PA 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2的值．13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =135°，以A 为圆心，AB 为半径作⊙A 交AD ，BC 于E ，F 两14．如图，⊙O 的半径为R ，弦AB =a ，弦BC ∥OA ，求AC 的长．15．如图，在△ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的平分线交△ABC 的外接圆于D ，E 和F ，如果，，分别为m °，n °，p °，求△ABC 的三个内角．16．如图，在⊙O 中，BC ，DF 为直径，A ，E 为⊙O 上的点，AB =AC ，EF =21DF ．求∠ABD +∠CBE 的值．17．如图，等腰三角形ABC 的顶角为50°，AB =AC ，以数．第二页18．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．19．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（如图）．求CE的长．21．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O 的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．第三页28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．31．如图，⊙O的半径为40cm，CD是弦，A为的中点，弦AB交CD于F．若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距．32．如图，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长．三、证明题33．如图，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐角．求证：ABCsin =2R 34．已知：如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE =DE ．35．如图，已知D 为等边三角形ABC 外接圆上的上的一点，AD 交BC 边于E ．求证：AB 为AD 和AE 的比例中项．36．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的圆交BC 于D ．求证：D 为BC 的中点．第四页37．已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E ．求证：AE 平分∠OA D ．38．已知：如图，△ABC 的AB 边是⊙O 的直径，另两边BC 和AC 分别交⊙O 于D ，E 两点，DF ⊥AB ，交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H ．求证：DF 2=HF ·GF ．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD 中，BC =C D ．求证：AB ·AD +BC 2=AC 2．40．已知：如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是中点，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ，DB 交AC 于G ．求证：AF =FG ．41．如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 所对优弧上一点，直径CD ⊥AB ，PB 交CD 于E ，延长AP 交CD 的延长线于F ．求证：△EPF ∽△EO A ．42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．第五页46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC 交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.第六页6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200°DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°三、解答题:13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.A14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值.16.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.第七页17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B，如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素) 18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?。

圆心角与圆周角练习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么对应的圆周角：A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 可能相等2. 已知圆的半径为5，圆心角为30°，求圆周角的度数：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3. 在圆中，圆心角的度数是圆周角度数的：A. 2倍B. 1/2倍C. 1/4倍D. 4倍4. 如果一个圆周角的度数是60°，那么它所对的圆心角是：A. 120°B. 60°C. 30°D. 180°5. 在同圆或等圆中，圆心角和圆周角的关系是：A. 相等B. 互补C. 互余D. 没有固定关系6. 已知圆的半径为10，圆心角为45°，求圆周角的度数：A. 22.5°B. 45°C. 90°D. 无法确定7. 圆心角和圆周角的关系可以用以下哪个公式表示：A. 圆心角= 2 × 圆周角B. 圆周角= 2 × 圆心角C. 圆心角 = 圆周角D. 圆周角 = 圆心角 / 28. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的圆心角是：A. 45°B. 90°C. 180°D. 270°9. 在圆中，圆心角和圆周角的度数之和：A. 总是等于180°B. 总是等于360°C. 总是小于360°D. 总是大于360°10. 已知圆的半径为8，圆心角为60°，求圆周角的度数：A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共20分）11. 在同圆或等圆中，如果圆心角是圆周角度数的2倍，那么圆周角的度数是圆心角的________倍。

12. 圆心角的度数是圆周角度数的________倍。

圆----圆心角与圆周角练习题1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对3．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．7．如图6，AB是⊙O的直径，⌒BC=⌒BD，∠A=25°，则∠BOD= ．8．如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M若∠BAC=60°∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．9．⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=53，cos β=31，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．。

圆周角圆心角练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是同弧所对圆心角的度数的______。

A. 1/2B. 2倍C. 3倍D. 4倍2. 若圆心角为40°，则同弧所对的圆周角为______。

A. 20°B. 40°C. 80°D. 120°3. 在圆中，若一条弦所对的圆心角为60°，则这条弦所对的圆周角是______。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠B的度数为______。

A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°5. 已知圆的半径为5，圆心角为120°，那么这个圆心角所对的弧长为______。

A. 5πB. 10πC. 15πD. 20π二、填空题6. 若圆周角为45°，则同弧所对的圆心角为______。

7. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为100°，则弦AB所对的圆周角为______。

8. 已知圆的半径为10，圆心角为150°，则这个圆心角所对的弧长为______。

9. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=90°，则∠B的度数为______。

10. 若圆的半径为8，圆心角为90°，则这个圆心角所对的弧长为______。

三、简答题11. 解释什么是圆周角，并说明它与圆心角的关系。

12. 给出一个圆内接四边形的例子，并说明其对角互补的性质。

13. 解释如何计算一个圆心角所对的弧长。

14. 在圆中，如果知道圆周角的度数，如何计算同弧所对的圆心角的度数？15. 圆内接四边形的对角互补性质在实际问题中有哪些应用？四、解答题16. 已知圆的半径为6，圆心角为60°，求这个圆心角所对的弧长。

17. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB所对的圆周角的度数。

北师大版九年级下3.4 圆周角与圆心角的关系一．选择题（共10小题）1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠DCB=40°，则∠ABD=（）A．80°B．50°C．40°D．20°2．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=90°，则sin∠ACB=（）A．12B．√22C．√32D．√333． 如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D在半圆O 上．若∠BDC=140°，则∠ABC 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4． 如图，在⊙O 中，弦 AB =3√2 ，点C 是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙O 的直径为（ ）A ．3B ． 3√2C ． 4√2D ．65． 如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=40°，则∠D=（ ）A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°6． 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC ^ 的中点，AC 与BD 交于点E ．若∠DBA=40°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．40°B ．30°C ．15°D ．10°7．如图，AB为⊙O的直径，∠BED=20°，则∠ACD的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂，则CH的长为（）足为H，已知AB=16cm, sin∠OBA=35cm A．6cm B．10cm C．4cm D．4039．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD等于（）A．20°B．25°C．30°D．32.5°10．如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E，连接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B=65°，则∠BAC的度数是（）A．45°B．55°C．40°D．50°二．填空题（共4小题）11．如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，OC⊥AB于点D．若OA=√10，AB=6，则sin∠OAD= ______ ．12．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=130°，则∠ABC= ______ °．13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，κ长为半径作AC的中点为O，以O为圆心，12⊙O，交AB交于点D，连接CD，若AD=1，则tan∠BCD的值为 ______ ．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC=140°那么∠CDE= ______ °．三．解答题（共5小题）15．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD=60°．（1）求证：DF平分∠BFC；（2）设AB交DF于点G、且DE=GE，求∠DCF的度数．16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠DBA=30°，∠COD=60°．（1）求证：BC∥OD；（2）若AB=10，求AC的长．17．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB=10，AC=6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．（1）求△ABC的面积；（2）求CE的长．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使得CE=AB，∠1=∠2，连接ED．（1）求证：BD=ED；（2）若AB=3，BC=5，∠ABC=60°．求tan∠DCB的值．19．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC=AF．（1）证明：BE∥CD；（2）若CF=2，求BF的长．。

圆周角和圆心角的关系—巩固练习（基础）一、选择题1．（2016•张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC 的度数是（）A．75°B．60°C．45° D．30°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8. （2016•嘉定区一模）在⊙O中，已知=2，那么线段AB与2AC的大小关系是．（从“＜”或“=”或“＞”中选择）9．如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H ，BD∥OC，则∠B的度数是 .10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，且∠POM＝45°，则AB＝ .（第11题图）（第12题图）ODA BC（第10题图）12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．14．（2015•嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB ﹣∠ABC=30°．故选D ．2.【答案】D ；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A ；【解析】∵弦AB ∥CD ，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B ；【解析】 ∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A ；【解析】 ∠BAD=∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D ；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°． 12∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】＜【解析】如图，∵=2，∴=，∴AC=BC，在△ABC中，AC+BC＞AB，∴AB＜2AC，故答案为：＜．9．【答案】60°；10．；11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²，x＝, 即AB的长＝.第11题 第12题12．【答案】90° ； 【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF ．理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE=90°=∠ADC ，又∠AEB=∠ACB ，∴∠BAE=∠CAF ，∴．∴BE=CF ．14.【答案与解析】BE CF解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，即OD⊥AC，∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE⊥AC，∴AE=AC=4，设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，∴（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ， 所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ，即AE=BF ．(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则， ＝54(cm 2)．11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯。

垂径定理，圆周角，圆心角练习一．选择题（共8小题）1．（2013•丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5[C．6D．8|2．（2012•茂名）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=6，则DE=（）A．3B．4C．5>D．63．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．$3D．4—4．（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．【5．（2007•深圳）下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．相等的圆心角所对的弧相等/D．弧是半圆6．（2007•仙桃）如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D 是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（）A．40°B．60°·C．80°D．120°7．下列说法中正确的是（）A．相等的弦所对的弧相等…B．相等的圆心角所对的弧相等C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等D．相等的弦所对的圆心角相等8．下列命题中正确的是（）{A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦）二．填空题（共8小题）9．（2009•郴州）如图，在⊙O 中，，∠A=40°，则∠B=_________度．10．如图，在⊙O中，=，如果∠AOC=65°，则∠BOD=_________．11．（2011•阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为_________度．12．（2010•湘西州）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=_________．…13．（2013•漳州）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_________厘米．14．（2013•西宁）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB= _________．15．（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为____．16．（2012•遵义）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_________．(三．解答题（共8小题）17．（2011•佛山）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求△AOB的面积．18．（2010•长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．-19．（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．$20．如图所示，在⊙O中，AB与CD是相交的两弦，且AB=CD，求证：．21．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．22．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．（1）求证：=；（2）求BD的长．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于E、F，AE=BF，说明AC=BD的理由．24．（2012•长春一模）如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12．求线段EF的长．。

《圆心角与圆周角》练习题1．下列说法中，正确的是( )A ．等弦所对的弧相等 B. 等弧所对的弦相等C. 圆心角相等，它们所对的弦相等D. 弦相等，它们所对的圆心角相等2．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ︵，CD ︵，EF ︵，如果AB ︵＋CD ︵＝EF ︵，那么AB ＋CD 与EF 的大小关系是( )A ．AB ＋CD ＝EF B ．AB ＋CD ＞EFC ．AB ＋CD ＜EF D ．不能确定4．如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D ，E 为半圆弧上的点，CD ︵＝DE ︵＝EB ︵，若∠BOE ＝55°，则∠AOC 的度数为___．5．如图所示，AB ，CD ，EF 都是⊙O 的直径，且∠1＝∠2＝∠3，则⊙O 的弦AC ，BE ，DF 的大小关系是_______（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）6．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A 的度数为________．7．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是⊙O 的弦，且AC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FB ，则∠AOC ＝________°，∠COF ＝________°.8．如图，AD ︵＝BC ︵，若AB ＝3，则CD ＝________.9.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 是⊙O 上的点，则∠1+∠2等于（ ）A ．90°B ．45°C ．180°D ．60°（第9题） （第10题） （第11题） （第12题） （第13题）10.如图，在⊙O中，若C是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有（）A.1个B.2 个C.3个D.4个11.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为( )A．90°B．60°C．45°D．30°12.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A.30°B.45°C.55°D.60°13.如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=20°，∠B=70°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°14.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°（第14题）（第15题）（第16题）（第17题）（第18题）15.如图，在△ABC中，AB为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°16.如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°17.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A.43°B.35°C.34°D.44°18.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O 交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是( )A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤12019.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ．（第19题）（第20题）（第21题）（第22题）（第23题）20.如图，已知点E 是圆O 上的点，B ，C 是AD ︵的三等分点，∠BOC ＝46°，则∠AED 的度数为________．21.已知如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝60°，则∠DCE ＝ .22.如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠ABC=70°．∠BOC=________．23.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为24．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是( )A. AD ︵＝BD ︵ B ．AF ＝BF C ．OF ＝CF D ．∠DBC ＝90°（第24题） （第25题） （第26题） （第27题） （第29题）25．已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC ＝30°，那么∠BAD ＝( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°26．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是( )A ．58°B ．60°C ．64°D ．68°27．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．在⊙O 中，∠AOB ＝160°，则弦AB 所对的圆周角是( )A ．80°B ．320°C ．160°D ．80°或100°29．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°30. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．53（第30题） （第31题） （第32题） （第33题） （第34题）31．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( ) A ．1 B.203 C ．3 D.16332．如图，B ，C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E ，F 两点，与线段AC 交于D 点．若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A ．30°B ．29°C ．28°D ．20°33. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过B ，C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC ＝135°，CF ＝2 ，则AE 2＋BE 2的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．2034．如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，∠A ＝20°，且CE ︵＝BE ︵，则∠C 的度数是______．35．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为________．（第35题） （第36题） （第37题） （第38题） （第39题）36．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝45°，AC ＝2 cm ，则AD ＝______cm.37. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为_________.38．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，＝.若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝________．39．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝_________．40．如图，在⊙O 中，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝________．（第40题） （第41题） （第42题） （第43题） （第44题）41．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则DC ＝_________．42．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB 为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( )A ．2∠CB ．4∠BC ．4∠AD ．∠B ＋∠C43．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°44. 如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC.若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°45．如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠DCF ＝20°，则∠EOD 等于( )A ．10°B ．20°C ．40°D ．80°（第45题） （第46题） （第47题） （第48题） （第49题）46. 如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是( )A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°47. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于( )A ．4 3B ．6 3C ．2 3D ．848．如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°49. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°50．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．60°D ．30°（第50题） （第51题） （第52题） （第53题） （第54题）51．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 三点在⊙O 上，则∠1＋∠2＝__ __度．52．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是AD ︵上任意一点，则∠ABP ＋∠DCP ＝_______．53. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 垂直AB ，点D 是⊙O 上一点，且点D 与点C 位于弦AB 两侧，连接AD ，CD ，OB ，若∠BOC ＝70°，则∠ADC ＝_________度．54．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝_________°.55．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AOE 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°56．下列四个命题：其中正确的命题有( )①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等； ④等弧所对的圆心角相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个57．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°（第57题） （第58题） （第60题） （第61题） （第62题）58．如图，在⊙O 中，若点C 是 AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°59. 在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中真命题有( )A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．②④60．如图，AB ，CD 分别为⊙O 的两条弦，OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，且OM ＝ON ，则A ．AB ＝CD B ．∠AOB ＝∠COD C.AB ︵＝CD ︵ D ．以上结论都对61．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AOC.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个62．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AE ︵＝BD ︵，若∠AOE ＝32°，则∠COE 的度数是( )A ．32°B ．60°C ．64°D ．68°63．如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，则下列结论：①AB ＝CD ；②AC ＝BD ；③∠AOC ＝∠BOD ；④AC ︵＝BD ︵中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（第63题） （第64题） （第65题） （第66题）64．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 分别为OA ，OB 的中点，CF ⊥AB ，DE ⊥AB ，下列结论：①CF ＝DE ；②AF ︵＝FE ︵＝EB ︵；③AE ＝2CF ；④四边形CDEF 为正方形．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④65．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，D 是的中点，若∠ACD ＝20°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90°66．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD 等于（ ）A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°67．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是半径OA 的中点，过点E 作DC ⊥AB ，交⊙O 于点C 、D ，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DF A 的大小为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°（第67题） （第68题） （第69题） （第70题）68．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，已知B （8，0），C （0，6），则⊙A 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．869．如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB ＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 70．如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC ＝100°，则∠ABC 等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°71．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝10，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、N 分别是BC 、AB 的中点，则MN 长的最大值是（ ）A ．10B ．5C ．10D ．2072．如图，⊙A 过原点O ，分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，点B 在⊙A 上，已知∠B ＝30°，⊙A 的半径为2，则圆心A 的坐标是（ ）A ．（，1）B ．（1，）C ．（，1）D ．（1，）73．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC ＝3，则DE 的长是（ ）A ．3B ．3.5C ．2D ．1.5（第71题） （第72题） （第73题） （第74题）74．如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6，则AE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．775如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为 ．（第75题） （第76题） （第77题） （第78题）76．如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝45°，∠E ＝30°，则∠F ＝ ．77．如图，⊙O 中两条弦AB 、CD 相交于点P ，已知P A ＝3，PB ＝4，PC ＝2，那么PD 长为 ．78．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是OB 的中点，过E 点作弦CD ⊥AB ，G 是弧AC 上任意一点，连结AG 、GD ，则∠G ＝ ．79．已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°．给出以下四个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③劣弧是劣弧 的2倍；④AE ＝BC ．其中正确结论的序号是 ．80．已知⊙O 的直径为10，点A 、点B 、点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC 、BD 、CD 的长；（2）如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．答案1．B2．[解析] A ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠A ＝50°，∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°.∵C 是AB ︵的中点，∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°. 3．B 4.15 5．AC ＝BE ＝DF6．[答案] 40°[解析] ∵在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.又∵∠B ＝70°，∴∠C ＝∠B ＝70°，∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝40°.7．36 108 8．39.A 10.C 11.B 12.D 13.A 14.C 15.C 16.B 17.B 18.A19.166° 20.690 21.600 22.800 23.1800-2m 24--28 CDACD 29--33 BBDAC34. 25° 35. 35° 36. 2 37．65° 38. 25° 39. 60° 40. 30° 41. 23 42--50 ACDC AADDA51. 90 52. 45° 53. 35 54. 21555--64 DBDAA DDCDA65--74． C ．B ．B ．C ．D ．D ．A ．A ．AB ．75． 110°．76． 60°．77． 6．78． 60°．79．①②③．80．解：（1）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC ＝＝＝8． ∵AD 平分∠CAB ，∴＝，∴CD ＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝5； （2）如图②，连接OB ，OD ，∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝∠CAB ＝30°， ∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°．又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴BD ＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD ＝5．。

第3章第4节圆周角和圆心角的关系同步检测一.选择题1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°答案：A解析：解答：连接OB，OC，∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，:∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°．故选A．分析：首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC=90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．2.如图，都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）A．28°B．31°C．38°D．62°答案：A解析：解答：∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，'∵∠CDB=62°，∴∠B=180°-90°-62°=28°，∴∠ACD=∠B=28°．故选A．分析：利用垂直的定义得到∠DPB=90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．3.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35°B．55°C．70°D．110°答案：B解析：解答：：∵AB是⊙O的直径，、∴∠ACB=90°，∵∠BAC=35°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠ADC=∠ABC=55°．故选B．分析：先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．4.下列命题中，正确的命题个数是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个…答案：A解析：解答：解：①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；②中，必须是同弧或等弧所对，错误；③正确；④中，必须在同圆或等圆中，错误．故选A．分析：根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．5.如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C)答案：A解析：解答：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．故选：A．分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．6.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（）A．55°B．40°C．35°D．30°答案：A解析：解答：∵∠ACD与∠B是AD对的圆周角，∴∠B=∠ACD=35°，~∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=55°．故选A．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB 是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°答案：D 解析：解答：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =40°，！∴∠AOC =2∠ABC =80°．故选：D ．分析：由⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC =40°，根据圆周角定理，即可求得答案．8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于（ ）A ．55B ． 255C ．2D ．12答案：D解析：解答：∵∠E=∠ABD ，∴tan ∠AED=tan ∠ABD=12AC AB ． 故选D ．、分析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．9.如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°答案：C解析：解答：∵∠ABC=12∠AOC ， 而∠ABC+∠AOC=90°，∴12∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．】分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=12∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以12∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°答案：C解析：解答：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=35°，》∴∠B=55°，∴∠ADC=55°．故选C．分析：连接BC，推出Rt△ABC，求出∠B的度数，即可推出∠ADC的度数.11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（）A．10°B．30°C．80°D．120°答案：D解析：解答：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠A+∠C=180°，:即：x+8x=180，∴x=20°，则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，所以∠D=120°，故选D．分析：本题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A.∠C 的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．12.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°答案：B`解析：解答：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．13.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A.点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．2、答案：C解析：解答：∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO =120°，∴∠BAO =60°，∵AB 是⊙C 的直径，∴∠AOB =90°，∴∠ABO =90°-∠BAO =90°-60°=30°，∵点A 的坐标为（0，3），∴OA =3，∴AB =2OA =6，{∴⊙C 的半径长=2AB =3． 故选：C ． 分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB 的度数，由圆周角定理可知∠AOB =90°，故可得出∠ABO 的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB 的长，进而得出结论．14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE =70°，则∠BOD =（ ） A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°答案：D解析：解答：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A =∠DCE =70°，∴∠BOD =2∠A =140°．}故选D ． 分析：由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A =∠DCE =70°，由圆周角定理知，∠BOD =2∠A =140°．15.如图，已知经过原点的⊙P 与轴分别交于两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB =（ ）A．80°B．90°C．100°D．无法确定答案：B解析：解答：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．、故选B．分析：由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．二.填空题16.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是答案：70°解析：解答：解：∵OA=OC，∠OAC=20°，∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，∴∠B=12∠AOC=12×140°=70°．}故答案为：70°．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数，由圆周角定理∠B的度数即可．17.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的大小为.答案：60°解析：解答：∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，∴∠ADB=∠ACB=60°．故答案为60°．&分析：先根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数，然后根据圆周角定理求解．18.如图，都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是答案：100°解析：解答：∵都在⊙O上，即四边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠D+∠B=180°，又∠B=130°，∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°，又∠D为⊙O的圆周角，∠AOC为⊙O的圆心角，且两角所对的弧都为，则∠AOC=2∠D=100°．故答案为：100°;分析：由四个点都在圆O上，得到四边形ABCD为圆O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补得到∠B与∠D互补，由∠B的度数求出∠D的度数，∠D为圆O的圆周角，所求的角∠AOC是圆O的圆心角，且两角所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠D的度数可求出∠AOC的度数．19.如图，四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是答案：20°解析：解答：∵OC⊥AB，∴AC BC∴∠CDB=12∠AOC，而∠AOC=40°，∴∠CDB=20°．故答案为20°．;分析：由OC⊥AB，根据垂径定理得到弧AC=弧BC，再根据圆周角定理得∠CDB=12∠AOC，而∠AOC=40°，即可得到∠BDC的度数．20.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD 的度数是度.答案：100解析：解答：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，∴∠A=50°，∵∠BOD=2∠A，∴∠BOD=100°．故答案为：100．分析：先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据圆周角定理即可求得∠BOD的度数．$三.解答题21.请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．答案：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，∵OA=OC，∴∠A=∠C，∵∠BOC=∠A+∠C，∴∠BAC=12∠BOC；②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则—∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OD，∴∠D=∠OCD，∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=12∠BOC．③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），∵OC=OE，∴∠E=∠OCE，/∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠BOC=2∠A，即∠BAC=12∠BOC．解析：分析：分别从当点O在∠BAC的一边上时，当圆心O在∠BAC的内部时与当圆心O 在∠BAC的外部时，去分析证明，即可证得结论．22.如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=22，试求⊙O的半径大小．答案：∵∠BAC=45°，∴∠B0C=90°，∵BC2∴OB=OC=2．.即⊙O的半径为2．解析：分析：根据圆周角定理，可求∠B0C=90°，即可知△BOC为等腰直角三角形，故可求0B=OC=1．23.已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．答案：画出图形：连接，∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°．分两种情况：①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，{则∠C=12∠AOB=30°，②在劣弧上任取一点D，连接，∵四边形ADB C是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-∠C=150°．综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．解析：分析：根据已知条件得出△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，再根据弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，然后分类讨论，即可得出答案．24.如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．答案：3$解析：解答：过A点作直径AD，连接BD，如图，∠ABD=90°，又∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠BAD=30°，而AB=3cm，∴BD=3，∴AD=2BD=23（cm），即⊙O的直径为23cm．故答案为：23．分析：过A点作直径AD，则∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，在Rt△ABD中，AB=3cm，利用三边的数量关系可求出AD．25.如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长63cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．答案：如图，设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理，得AC=12AB3，在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=33362 ACOA==，解得∠AOC=60°，所以，∠AOB=2∠AOC=120°，根据圆周角定理，得∠P =12∠AOB =60°， 又APBP ′为圆内接四边形，所以，∠P′=180°-∠P=120°，故弦AB 所对的圆周角的度数为60°或120°解析：分析：设弦AB 在优弧上所对的圆周角为∠P ，劣弧上所对的圆周角为∠P ′，连接OA ，OB ，过O 点作OC ⊥AB ，垂足为C ，由垂径定理可知AC =12AB ，解直角三角形得∠AOC 的度数，由垂径定理可知，∠AOB =2∠AOC ，由圆周角定理得∠P =12∠AOB ，利用∠P 与∠P ′的互余关系求∠P ′．|。

垂径定理圆心角圆周角练习1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50o．则∠ADC=_______．第1题第2题第3题3.如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25°，则∠ACB的大小为___________.第4题第5题4.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE=.5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.6、⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．7、已知AB是⊙O的直径，AC,AD是弦，且AB=2,AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是()A.45°或60°B.60°C.105°D.15°或105°8、如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A.20°B.30°C.40°D.50°9、如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=的度数．13∠BOC,∠BAC=45°，求∠ACB 10、如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明狐B E CF。

DF11、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．12、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，B C交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．△13．如图所示，ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CFAEB CFD△14．如图所示，在ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。