高中数学 错误解题分析 1-3-1,1-3-2,1-3-3 且(and)或(or)非(not)

高中数学重点难点归纳总结函数是贯穿高中数学的一条主线，近几年对函数的考察既全面又深入，保持了较高的内容比例，并达到了一定深度。

题型分布总体趋势是四道小题一道大题，题量稳中有变，但分值基本在35分左右。

选填题覆盖了函数的大部分内容，如函数的三要素，函数的四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)与函数图像、常见的初等函数，反函数等。

小题突出考察基础知识，大题注重考察函数的思想方法和综合应用。

高中数学重点难点归纳总结——三角函数三角部分是高中数学的传统内容，它是中学数学重要的基础知识，因而具有基础性的地位，同时它也是解决数学本身与其它学科的重要工具，因此具有工具性。

高考大部分以中低档题的形式出现，至少考一大一小两题，分值16分左右，其中三角恒等变形、求值、三角函数的图象与性质，解三角形是支撑三角函数的知识体系的主干知识，这无疑是高考命题的重点。

高中数学重点难点归纳总结——立体几何承载着空间想象能力，逻辑推理能力与运算能力考察的立体几何试题，在历年的高中数学考试中被定义于中低档题，多是一道解答题，一道选填题;解答一般与棱柱，棱锥有关，主要考察线线与线面关系，其解法一般有两种以上，并且一般都能用空间向量方法来求解。

高中数学重点难点归纳总结——数列与极限数列与极限是高中数学重要内容之一，也是进一步学习高中数学的基础，每年高考占15%。

高考以一大一小两题形式出现，小题主要考察基础知识的掌握，解答题一般为中等以上难度的压轴题。

由于这部分知识处于交汇点的地位，比如函数、不等式，向量、解几等都与它们有密切的联系，因此大题目具有较强的综合性与灵活性和思维的深刻性。

高中数学重点难点归纳总结——解析几何直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质是支撑解析几何的基础，也是高中数学在高考命题的重点，以下三个小题一道大题的形式出现约占30分。

客观题主要考察直线方程，斜率、两直线位置关系，夹角公式、点到直线距离，圆锥曲线的标准方程，几何性质等基础知识。

2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程双基达标 限时20分钟1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．10解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D2．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是 ( )． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D. 答案 D3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.故选D. 答案 D4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析 由已知2a ＝8，2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为y 216＋x 2＝1.答案y 216＋x 2＝15．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析 由已知2c ＝6， ∴c ＝3，而c 2＝9， ∴20－k ＝9或k －20＝9， ∴k ＝11或k ＝29. 答案 11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)． 由椭圆的定义知2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知2c ＝10，2a ＝26，所以c ＝5，a ＝13，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是 ( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)． 又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A. 答案 A8．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4，故选B. 答案 B 9．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)， ∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案 (π4，π2)10．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P 点的坐 标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1，得y 1＝±32，即P 点的坐标为(3，±32)， ∴|PF 2|＝|y 1|＝32由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|. 答案 711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c ，3)， F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．(创新拓展)如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5. ∵A (1，0)，C (－1，0)，∴点M 的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a2－c 2＝2541＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。

排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧三大模型一、知识点归纳二、基本题型讲解三、排列组合解题备忘录1.分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8大典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6.未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错8.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染色问题七．排列组合问题经典题型与通用方法（一）排序问题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

2.3.2双曲线的简单几何性质双基达标 限时20分钟1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 ( )． A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14A.答案 A 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( )．A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析 令x 2－y 23＝0，则y ＝±3x .答案 C3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 解析 由离心率为2，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2，即a ＝b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 28＝1.故选D. 答案 D4．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析 依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案x 23y 212＝1 5．双曲线x 24y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k2，又∵e ∈(1，2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案 (－12，0)6．求双曲线x 2－y 24＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．解 把方程化为标准方程为x 212－y 222＝1，由此可知实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x 1±y2＝0，即y ＝±2x .综合提高（限时25分钟）7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )． A. 5 B.52C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12，而e ＝c a＝1＋（b a）2＝1＋22＝5，故选A.答案 A8．若0<k <a 2，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1与x 2a 2－y 2b2＝1有 ( )．A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点 解析 a 2－k >0，b 2＋k >0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2. 所以两双曲线有相同的焦点．答案 D9．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．解析 由已知设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由e ＝135e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝16925.∴b 2a 2＝14425，则b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±a b x ＝±512x . 答案 y ＝±512x 10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．解析 设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F 1PF 2中，|PF 1| ＝22c ，|PF 2|＝2c ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故有e ＝2＋1. 答案2＋111．求与双曲线x 216－y 291共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程．解 设与x 242－y 232＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程为x 242－y 232＝λ，则（33）242－（－3）232＝λ，从而有λ＝1116，所求双曲线的方程为x 211－16y 299＝1.12．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A 、B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)． (1)求直线AB 的方程；(2)若过点N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD →²AB →＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否 共圆？为什么？解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根，∴2－k 2≠0.且x 1＋x 2＝2k （2－k ）2－k 2.∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. (2)共圆．将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∴A (－1，0)，B (3，4)． ∵CD →²AB →＝0，∴CD 垂直AB ， ∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0， 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0) 则x 3＋x 4＝－6，x 3²x 4＝－11， ∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3，6)． |CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝410，|MC |＝|MD |＝12|CD |＝210，|MA |＝|MB |＝210，即A 、B 、C 、D 到M 的距离相等， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．。

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程双基达标限时20分钟1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是( )．A.x216－y291(x≤－4) B.x29－y216＝1(x≤－3)C.x216－y291(x≥4) D.x29－y216＝1(x≥3)解析根据双曲线的定义可得．答案 D2．双曲线x210－y22＝1的焦距为 ( )．A．3 2 B．4 2 C．3 3 D．4 3解析由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4 3.故选D.答案 D3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )．A.x225－y224＝1B.y225－x224＝1C.x225－y224＝1或y225－x224＝1D.x225－y224＝0或y225－x224＝0解析因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x225－y224＝1或y225－x224＝1.答案 C4．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________．解析 因为双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，所以k <0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，则c ＝3，于是有－8k －1k＝32＝9，解得k ＝－1.答案 －1 5．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16， 又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2， ∴|PF 2|＝33. 答案 336．(1)求经过点P (－3，27)和Q (－62，－7)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．解 (1)设双曲线的标准方程为nx 2＋my 2＝1(m ·n <0)， 又双曲线经过点P (－3，27)和Q (－62，－7)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧28m ＋9n ＝1，49m ＋72n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝125，n ＝－175，所以所求的双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.(2)因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A 点的坐标为(±15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为 ( )．A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1. 答案 A8．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于 ( )． A ．24 B ．36 C ．48 D ．96解析 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16. ∴S △PF 1F 2＝12×16×102－（162）2＝48.故选C.答案 C9．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________.解析 (1)当焦点在x 轴上，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9， ∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9， ∴m ＝－2；综上述，m ＝7或m ＝－2. 答案 7或－210．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析 由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上．根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)，故实数a ＝1.答案 111．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． (4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．12．(创新拓展)已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值．解 设点D 的坐标为(5，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2. ∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)， 半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系双基达标限时20分钟1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是 ( )．A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A解析注意“∈”与“∉”互为否定形式．答案 B2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是 ( )．A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．答案 C3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1.”是真命题．答案 D4．“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”．答案若x、y不全为零，则xy≠05．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个．解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．答案 26．将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零；逆命题：若a的平方大于零，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零；逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．综合提高（限时25分钟）7．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )．A．0 B．2 C．3 D．4解析原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题，逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题，否命题“若a≤b，则ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”为真命题，逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．答案 B8．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的( )．A．原命题 B．逆命题C．否命题 D．逆否命题解析设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命题．答案 C9．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．解析将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于它本身”，所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数”，即“绝对值等于它本身的数是正数”．答案绝对值等于它本身的数是正数10．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；其中所有正确叙述的序号是________．解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不 都是无理数”．答案 (1)(2)11．给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题；分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围．解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a >13或a <－1； 乙为真时，2a 2－a >1即B ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a >1或a <－12； (1)甲、乙至少有一个真命题时，应取A ，B 两集合的并集，这时的a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a >13或a <－12. (2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时， －1≤a <－12，所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为 ⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫13<a ≤1或－1≤a <－12. 12．(创新拓展)求证：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．即原命题的逆否命题为真命题，∴原命题为真命题．法二 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，因此假设不成立，故a＋b≥0.。

2.1.2 求曲线的方程双基达标限时20分钟1．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是( )．A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3解析设P(x，y)，由题设得（x－1）2＋（y＋2）2＝3，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.答案 B2．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是( )．A．一条直线 B．一条直线去掉一点C．一个点 D．两个点解析注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．答案 B3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )．A．π B．4πC．8π D．9π解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，故S ＝4π.4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是________．解析 由截距式可得直线为x 5＋y 5＝1⇒线段方程为x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)． 答案 x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)5．已知A (－1，0)，B (2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________． 解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB | ＝（2＋1）2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝06．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程． 解 由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．综合提高（限时25分钟）7．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( )．A ．y ＝0(－1≤x ≤1)B ．y ＝0(x ≥1)C ．y ＝0(x ≤－1)D ．y ＝0(|x |≥1)解析 由题意可知，|AB |＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)．答案 C8．在△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是 ( )．A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析 易知BC 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3，所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.9．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝010．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析 设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 02＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )， 则x ＝x 02，y ＝y 0－12. 即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得2y ＋1＝2·(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程．答案 y ＝4x 211．已知B (－3，0)、C (3，0)，△ABC 中BC 边上的高的长为3，求△ABC 的垂心H 的轨迹方程．解 设H 的坐标为(x ，y )，则A 点的坐标为(x ，3)或(x ，－3)，当A 的坐标为(x ，3)时， ∵AB ⊥CH ，∴k AB ·k CH ＝－1，即3－0x －（－3）·y －0x －3＝－1(x ≠±3)． 化简，整理，得y ＝－13x 2＋3(x ≠±3)． x ＝±3，y ＝0时也适合此方程，所以方程y ＝－13x 2＋3为所求轨迹方程．当A 的坐标为(x ，－3)时，同理可得H 的轨迹方程为y ＝13x 2－3. 总之，△ABC 的垂心H 的轨迹方程是y ＝－13x 2＋3或y ＝13x 2－3. 12．(创新拓展)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，动点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差大于零的等差数列，求动点P 的轨迹方程．解 设动点P (x ，y )，由已知M (－1，0)，N (1，0)．∴MP →＝(x ＋1，y )，MN →＝(2，0)，∴NM →＝(－2，0)，PM →＝(－x －1，－y )，PN →＝(1－x ，－y )．∴NP →＝(x －1，y )．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝(－x －1)(1－x )＋(－y )2＝x 2＋y 2－1. NM →·NP →＝－2(x －1)．依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧2（x 2＋y 2－1）＝2（x ＋1）－2（x －1）－2（x －1）－2（x ＋1）>0 化简得：x 2＋y 2＝3且x <0.所以动点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝3(x <0)．。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示双基达标 限时20分钟1．对于空间中的三个向量a ，b ，2a －b .它们一定是( )．A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．以上均不对 答案 A2．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是 ( )． A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析 对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面 知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．答案 C3．已知A (3，4，5)，B (0，2，1)，O (0，0，0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是 ( )．A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85D.⎝⎛⎭⎫65，45，85 解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.答案 A4．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为____________．解析 a ，b 的坐标即为i ，j ，k 前面的系数，故a 的坐标为(2，－4，5)，b 的坐标为(1， 2，－3)．答案 (2，－4，5) (1，2，－3)5．设命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，命题q ：a 、b 、c 是三个非零向量，则命题p 是q 的________条件．解析 {a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，c 是三个非零向量， 但反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要6．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以底面正方形ABCD 的中心为坐标原点O ，分别以射线OB ，OC ，AA 1的指向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体八个顶点的坐标．解 设i ，j ，k 分别是与x 轴、y 轴、z 轴的正方向方向相同的单位坐标向量．因为底面正方形的中心为O ，边长为2，所以OB ＝ 2.由于点B 在x 轴的正半轴上，所以OB →＝2i ，即点B 的坐标为(2，0，0)． 同理可得C (0，2，0)，D (－2，0，0)，A (0，－2，0)． 又OB 1→＝OB →＋BB 1→＝2i ＋2k ，所以OB 1→＝(2，0，2)． 即点B 1的坐标为(2，0，2)．同理可得C 1(0，2，2)，D 1(－2，0，2)，A 1(0，－2，2)．综合提高（限时25分钟）7．已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为 ( )．A.12a ＋12b ＋12B. 12a －12b ＋12c C ．－12a ＋12b ＋12c D ．－12a＋12b －12c 解析 如图所示，连接ON ，AN ，则ON →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，AN →＝12(AC →＋AB →)＝12(OC →－2OA →＋OB →) ＝12(－2a ＋b ＋c ) ＝－a ＋12b ＋12c ，所以MN →＝12(ON →＋AN →)＝－12a ＋12b ＋12c .答案 C8．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( )．A ．(12，14，10)B ．(10，12，14)C ．(14，10，12)D ．(4，2，3) 解析 8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i ) ＝12i ＋14j ＋10k∴点A 在{i ，j ，k }下的坐标为(12，14，10)． 答案 A9．设a ，b ，c 是三个不共面的向量，现在从①a ＋b ；②a －b ；③a ＋c ；④b ＋c ；⑤a ＋b ＋c 中选出使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．解析 构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c 即可，故③④⑤都是可以 选择的．答案 ③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的选择)10．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点，若记AB →＝a ，AC →＝b ，AA →＝c ，则DE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析 DE →＝DA 1→＋A 1E →22＝12AA 1→＋12(AB →＋AC →－AA 1→) ＝12c ＋12(a ＋b －c ) ＝12a ＋12b. 答案12a ＋1211．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →； (3)AN →；(4)AQ →. 解 连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋2b ＋c )． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →5＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45. 12．(创新拓展)已知{i ，j ，k }是空间的一个基底设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k .试问是否存在实数λ，μ，υ，使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解 假设存在实数λ，μ，υ使a 4＝λa 1＋μa 2＋υa 3成立，则有3i ＋2j ＋5k ＝λ(2i －j ＋k )＋μ(i ＋3j －2k )＋υ(－2i ＋j －3k )＝(2λ＋μ－2υ)i ＋(－λ＋3μ＋υ)j ＋(λ－2μ－3υ)k ∵{i ，j ，k }是一组基底， ∴i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ－2υ＝3，－λ＋3μ＋υ＝2，λ－2μ－3υ＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1，υ＝－3， 故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．。

3.1.3 空间向量的数量积运算双基达标 限时20分钟1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ²b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ²b ＝a ²c ，则b ＝c解析 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ²b ＝0； 对于C ，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于D ，a ²b ＝a ²c 可以移项整理推得a ⊥(b －c )． 答案 B2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )． A ．2BA →²AC → B ．2AD →²DB → C ．2FG →²AC → D ．2EF →²CB →解析 2BA →²AC →＝－a 2，故A 错；2AD →²DB →＝－a 2，故B 错； 2EF →²CB →＝－12a 2，故D 错，只有C 正确．答案 C3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )．A.12B.22 C ．－12 D ．0 解析 因为OA →²BC →＝OA →²(OC →－OB →)＝OA →²OC →－OA →²OB →＝|OA →||OC →|cos 〈OA →，OC →〉－ |OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉，又因为〈OA →，OC →〉＝〈OA →，OB →〉＝π3， |OB →|＝|OC →|，所以OA →²BC →＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 D4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________． 解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ²b ＝12，再由a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.答案185．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a²b ＋b²c ＋c²a 的值为________．解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a²b ＋b²c ＋c²a )＝0， ∴a²b ＋b²c ＋c²a ＝－32＋12＋422＝－13.答案 －136．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →²ED 1→；(2)BF →²AB 1→解 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a²b ＝b ²c ＝c²a ＝0. (1)BC →²ED 1→＝BC →²(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ²[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →²AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)²(AB →＋AA 1→)＝(c －a ＋12b )²(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.综合提高（限时25分钟）7．已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为 ( )． A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →²AD →＋2AB →²AA 1→＋2AD →²AA 1→＝1＋1 ＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6. 答案：D8．已知a ，b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是 ( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析 ∵AB →²CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)²CD →＝AC →²CD →＋|CD →|2＋DB →²CD →＝|CD →|2＝1，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →²CD →|AB →||CD →|＝12，∴a 与b 的夹角为60°. 答案 C9．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________． 解析 由m ⊥n ，得(a ＋b )²(a ＋λb )＝0，∴a 2＋(1＋λ)a ²b ＋λb 2＝0，∴18＋(λ＋1)³32³4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－32.答案 －3210．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是______．解析 不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）²（BC →＋12BB 1→）22³5＝0－2＋2－022³5＝0，故填90°. 答案 90°11．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°. 求证：BD ⊥平面ADC .证明 不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD →²AC →＝(AD →－AB →)²AC →＝AD →²AC →－AB →²AC →，由于AD →²AC →＝AD →²(AD →＋DC →)＝AD →²AD →＝1，AB →²AC →＝|AB →|²|AC →|cos 60°＝2³2³ 12＝1.∴BD →²AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ADC . 12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．(1)证明 AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →. ∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1→²AB →＝0，BB 1→²BC →＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB →²BC →〉＝π－〈BA →²BC →〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1→²BC 1→＝(AB →＋BB 1→)²(BB 1→＋BC →) ＝AB →²BB 1→＋AB →²BC →＋BB 1→2＋BB 1→²BC →＝|AB →|²|BC →|²cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)解 结合(1)知AB 1→²BC 1→＝|AB →|²|BC →|²cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝（AB ―→＋BB 1―→ )2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1→|.∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12，∴|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。