增广拉格朗日函数法

增广拉格朗日方法发展史增广拉格朗日法是对二次惩罚法（Quadratic Penalty Method）的一种改进。

为了用无约束的目标函数替代原约束问题，二次惩罚法要求二次惩罚项的系数趋近于无穷（对约束的偏离给予很高的惩罚），但是这种要求会使得替代的目标函数的海森矩阵趋近于无穷（ill conditioning），这使得替代函数的优化变得很困难，尤其是在最优点的附近，目标函数的行为很诡异，用二阶的泰勒公式逼近的话只有在非常小的区域内有效，因此收敛速度非常的慢，况且通过牛顿方程来计算下降方向会由于海森矩阵的病态性而变得很不准确。

为了解决这个问题，在二次惩罚的基础上引入了线性逼近的部分，个人感觉这种方法可以这样感性的理解：线性项和二次惩罚项实际是对约束偏离的一种惩罚，只不过他们有各自的针对性，二次项比较适合惩罚大的偏离，而小的偏离，只用当其系数很大时才起作用，相反，线性项比较适合小的偏离，而大的偏离二次项比它要好。

那么这样的互补就能够使得在二次项系数比较小的情况下依然适用。

而理论上恰恰可以验证这一点，分别是最优的拉格朗日乘子、当前线性项系数、当前二次惩罚项系数）来看。

最优的拉格朗日乘子受来自线性项和二次项两方面的影响，近于很小的情况下，也能使得等式约束成立（偏移为0）。

细心的同学就会发现，为什么不直接用拉格朗日乘子法求呢？这就是ALM算法巧妙的地方，因为多出一个二次惩罚项会使得算法的收敛速度很快，体现在理论上就是当很小时，每次乘子的更新可以变得很大。

而且增广拉格朗日乘子法比拉格朗日乘子法普适性更好，需要的条件更加温和，比如不要求原函数是强凸的，甚至可以是非凸的，而且原函数可以趋近于无穷，而这种条件下，拉格朗日乘子法就无能为力了。

究其原因，是因为二次惩罚项具有很好的矫正作用，在原函数非凸的情况下，只要满足一定的条件（二次惩罚项系数足够大），增广拉格朗日函数在最优点处的二阶导是正定的。

因此具有严格的局部极小值。

增广拉格朗日函数法摘要：一、引言二、增广拉格朗日函数法简介1.拉格朗日函数2.增广拉格朗日函数法的发展3.增广拉格朗日函数法的应用领域三、增广拉格朗日函数法的基本原理1.原始拉格朗日函数2.增广拉格朗日函数的构建3.优化问题的求解四、增广拉格朗日函数法的优点与局限性1.优点2.局限性五、增广拉格朗日函数法在我国的研究与应用1.研究现状2.应用案例六、结论正文：一、引言增广拉格朗日函数法作为一种优化方法，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文旨在对增广拉格朗日函数法进行详细介绍，包括其基本原理、应用领域以及在我国的研究现状。

二、增广拉格朗日函数法简介1.拉格朗日函数拉格朗日函数是一个与路径无关的函数，用于描述系统的动力学行为。

它由系统的动能和势能组合而成，表示为L(q,q",t)=K(q")+V(q,t)。

2.增广拉格朗日函数法的发展增广拉格朗日函数法由拉格朗日函数法发展而来，主要是在原有拉格朗日函数的基础上增加一些项，以更好地描述系统的动力学行为。

3.增广拉格朗日函数法的应用领域增广拉格朗日函数法广泛应用于数学、物理、工程等领域，如控制理论、优化问题、机器学习等。

三、增广拉格朗日函数法的基本原理1.原始拉格朗日函数原始拉格朗日函数表示为L(q,q",t)=K(q")+V(q,t)，其中K(q")表示系统的动能，V(q,t)表示系统的势能。

2.增广拉格朗日函数的构建在原始拉格朗日函数的基础上，增广拉格朗日函数法引入一些新的项，如约束项、惩罚项等，以更好地描述系统的动力学行为。

新的拉格朗日函数表示为L(q,q",t)=K(q")+V(q,t)+sum_{i=1}^{n}c_i(q,t)+lambdasum_{i=1}^{m}g_i(q ,t)。

3.优化问题的求解通过求解增广拉格朗日函数的极小值（或极大值）问题，可以得到系统的最优解。

大连理工优化方法-增广拉格朗日方法MATLAB程序上机大作业II定义目标函数funfunction f=fun(x)x1=x(1);x2=x(2);f=4*x1-x2^2-12;定义目标函数梯度函数dfunfunction f=dfun(x)x2=x(2);f=[4;-2*x2];定义等式约束函数hffunction qua=hf(x)qua=25-x(1)^2-x(2)^2;定义等式约束函数梯度函数dhffunction qua=dhf(x)qua=[-2*x(1);-2*x(2)];定义不等式约束函数gfunfunction inq=gfun(x)inq=10*x(1)-x(1)^2+10*x(2)-x(2)^2-34;定义不等式约束梯度数dgffunction inq=dgf(x)inq=[10-2*x(1);10-2*x(2)];定义增广拉格朗日函数mpsifunctionpsi=mpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma)f=feval(fun,x);he=feval(hf,x);gi=feval(gfun,x);l=length(he);m=length(gi);psi=f;s1=0;for i=1:lpsi=psi-he(i)*mu(i);s1=s1+he(i)^2;endpsi=psi+0.5*sigma*s1;s2=0.0;for i=1:ms3=max(0.0, lambda(i) - sigma*gi(i));s2=s2+s3^2-lambda(i)^2;endpsi=psi+s2/(2.0*sigma);定义增广拉格朗日函数梯度函数dmpsifunctiondpsi=dmpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) dpsi=feval(dfun,x);he=feval(hf,x);gi=feval(gfun,x);dhe=feval(dhf,x);dgi=feval(dgf,x);l=length(he);m=length(gi);for i=1:ldpsi=dpsi+(sigma*he(i)-mu(i))*dhe(:,i);endfor i=1:mdpsi=dpsi+(sigma*gi(i)-lambda(i))*dgi(:,i);end定义BFGS法函数函数bfgsfunction[x,val,k]=bfgs(mpsi,dmpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda ,sigma) maxk=1000;rho=0.5;sigma1=0.4;epsilon1=1e-4;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);while(k<maxk)< p="">gk=feval(dmpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigm a);if(norm(gk)<epsilon1)< p="">break;enddk=-Bk\gk;m=0;mk=0;while(m<20)newf=feval(mpsi,x0+rho^m*dk,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,l ambda,sigma);oldf=feval(mpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);if(newf<oldf+sigma1*rho^m*gk'*dk)< p="">mk=m;break;endm=m+1;endx=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(dmpsi,x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) -gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-((Bk*sk)*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(mpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma );定义增广拉格朗日乘子法函数multphrfunction answer=multphr(fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,x0)maxk=5000;sigma=2.0;eta=2.0;theta=0.8;k=0;ink=0;epsilon=1e-4;x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gfun,x);l=length(he);m=length(gi);mu=0.1*ones(l,1);lambda=0.1*ones(m,1);btak=10;btaold=10;while(btak>epsilon&&k<maxk)< p="">[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,la mbda,sigma); ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gfun,x);btak=0.0;for i=1:lbtak=btak+he(i)^2;endfor i=1:mtemp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilonif(k>=2&&btak > theta*btaold)sigma=eta*sigma;endfor i=1:lmu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor i=1:mlambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i)); endendk=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);xfmulambdak运行求解>> x0=[0;0]x0 =>> multphr('fun','hf','gfun','dfun','dhf','dgf',x0) x = 1.001281489564374.89871784708758f =-31.9923105871169mu =1.01559644571312lambda =0.754451167977228k =4</maxk)<></oldf+sigma1*rho^m*gk'*dk)<></epsilon1)<></maxk)<>。

增广拉格朗日函数法拉格朗日函数法的基本思想是将约束条件和目标函数统一起来，构造出一个新的增广拉格朗日函数。

增广拉格朗日函数是目标函数和约束条件的线性组合，并引入拉格朗日乘子，通过对增广拉格朗日函数进行求导，得到一组方程组，进而求解最优解。

设有一个有约束条件的优化问题：$$\begin{align*}\text{minimize} \quad & f(x) \\\text{subject to} \quad & g_i(x) \leq 0 \quad (i=1,2,...,m) \\& h_j(x) = 0 \quad (j=1,2,...,n)\end{align*}$$其中，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$是约束条件。

引入拉格朗日乘子$\lambda_i$和$\mu_j$，构造增广拉格朗日函数如下：$$L(x, \lambda, \mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{n}\mu_j h_j(x)$$增广拉格朗日函数的关键是引入拉格朗日乘子$\lambda_i$和$\mu_j$，它们是与约束条件相关的未知参数。

乘子的物理意义是衡量约束条件对目标函数的影响程度，通过调整乘子的值，可以确定目标函数在约束条件下的最优解。

求解增广拉格朗日函数的步骤如下：1. 对增广拉格朗日函数$L(x, \lambda, \mu)$分别对$x$、$\lambda$和$\mu$求偏导，得到一组方程组：$$\begin{align*}\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \sum_{i=1}^{m}\lambda_i \frac{\partial g_i}{\partial x} +\sum_{j=1}^{n}\mu_j \frac{\partial h_j}{\partial x} &= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} = g_i(x) &\leq 0 \quad (i=1,2,...,m) \\\frac{\partial L}{\partial \mu_j} = h_j(x) &= 0 \quad(j=1,2,...,n)\end{align*}$$2. 解方程组得到$x^*$、$\lambda^*$和$\mu^*$，其中$x^*$为最优解。

增广拉格朗日函数法原理增广拉格朗日函数法是一种数学优化方法，主要用于解决约束条件下的优化问题。

该方法的基本原理是将约束条件转化为拉格朗日乘子的形式，然后把约束条件和目标函数合并成一种新的函数，称为增广拉格朗日函数。

该方法的核心是增广拉格朗日函数的构建。

一般来说，增广拉格朗日函数的形式如下：L(x,\alpha,\beta) = f(x) - \sum_i \alpha_ih_i(x) - \sum_j \beta_jg_j(x)其中，x是目标函数的自变量，f(x)是待优化的目标函数，h_i(x)和g_j(x)是分别表示等式和不等式约束条件的函数。

而\alpha_i和\beta_j是对应的拉格朗日乘子，它们的值是根据约束条件的具体形式来确定的。

在这个新的函数中，通过求解其关于x的导数并令其等于0，可以得到目标函数的最优解。

根据约束条件的具体形式，我们可以得到不同的优化方法，例如KKT条件、罚函数法等。

在应用增广拉格朗日函数法进行优化的过程中，需要注意以下几点：1.优化问题需要满足某些条件，例如目标函数必须是连续可微函数、约束条件必须是可导函数。

2.在构建增广拉格朗日函数的过程中，需要根据约束条件的类型确定对应的拉格朗日乘子的符号和使用范围。

3.通过求解增广拉格朗日函数关于自变量的导数来得到最优解，但需要保证所得的解满足约束条件。

4.在实际应用中，可能需要使用其他方法对求解的结果进行验证，例如绘制经过最优点的等高线、计算目标函数的最小值等。

总体而言，增广拉格朗日函数法是一种有效的优化方法，特别适用于含有等式或不等式约束条件的问题。

在实际应用时，需要根据具体情况进行调整和优化，以得到最优的结果。

增广拉格朗日函数法原理增广拉格朗日函数法（Augmented Lagrangian Method）是一种用于求解约束优化问题的数值方法。

它基于拉格朗日乘子法，但通过引入罚函数和惩罚项，将原问题转化为一系列无约束优化问题，并通过迭代的方式逼近最优解。

拉格朗日函数用于将约束优化问题转化为等价的无约束优化问题。

对于一个有约束的优化问题,我们可以定义拉格朗日函数L(x,λ)，其中x为优化变量，λ为拉格朗日乘子。

拉格朗日函数的定义如下：L(x,λ)=f(x)+∑λ_i*g_i(x)+∑μ_i*h_i(x)其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_i(x)是等式约束和不等式约束，λ_i和μ_i是拉格朗日乘子。

在拉格朗日乘子法中，我们希望通过求解下面的问题最小化拉格朗日函数：min L(x, λ)然而，在实际应用中，由于问题的复杂性，往往很难直接求解上述优化问题。

因此，引入增广拉格朗日函数。

L_A(x, λ, u) = L(x, λ) + ∑ u_i * [max(0, h_i(x))] + (ρ/2) * ∑ [max(0, h_i(x))]^2其中，u_i是罚函数参数，ρ是惩罚项的系数。

接下来，我们通过迭代的方式来求解增广拉格朗日函数。

首先，选择一个初始点x^0，并初始化拉格朗日乘子λ^0和u^0。

然后，通过求解无约束最优化问题来确定下一步的迭代点x^k+1、即，求解以下最小化问题：min L_A(x^k+1, λ^k, u^k)x^k+1对于每一次迭代，在求解无约束最优化问题后，可以更新拉格朗日乘子和罚函数参数。

λ^k+1 = λ^k + ρ * max(0, h(x^k+1))u^k+1 = u^k + ρ * max(0, h(x^k+1))^2然后，重复以上步骤直到满足收敛条件或达到最大迭代次数。

总结来说，增广拉格朗日函数法是一种通过引入罚函数和惩罚项，将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题的数值方法。

基于不等式约束的一类新的增广lagrangian函数
增广lagrangian函数是一种用于求解约束优化问题的有效方法，它可以将原始问题转换为
一个无约束优化问题，从而更容易求解。

最近，基于不等式约束的增广lagrangian函数被
提出，它可以有效地解决不等式约束优化问题。

基于不等式约束的增广lagrangian函数的基本思想是，将原始问题中的不等式约束转换为
等式约束，然后将等式约束和不等式约束结合起来，构成一个新的lagrangian函数。

这种
新的lagrangian函数可以有效地解决不等式约束优化问题，并且可以更好地控制约束条件。

基于不等式约束的增广lagrangian函数的优点是，它可以有效地解决不等式约束优化问题，而且可以更好地控制约束条件。

此外，它还可以提高求解效率，减少计算量，提高求解精度。

总之，基于不等式约束的增广lagrangian函数是一种有效的求解不等式约束优化问题的方法，它可以有效地控制约束条件，提高求解效率，减少计算量，提高求解精度。

毕业论文题目增广拉格朗日乘数法及在其在约束优化问题的应用学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1001班学生高亚茹学号 20100921032 指导教师邢顺来二〇一四年五月二十五日摘要增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。

本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。

然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。

关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原ABSTRACTAugmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier methods. Finally it is specified the augmented lagrangian method on the practical applications of scientific fields, such as water supply ystems and image restorations, also proved augmented lagrangian multiplier methods of practical application.Key words：Augmented Lagrange Multiplier Methods；Penalty Function Methods Water Supply Systems ；Image Restorations目录摘要.................................................................................... .I ABSTRACT. (II)1前言 (1)1.1增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1)1.2研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1)2增广拉格朗日乘子法 (3)2.1约束非线性规划 (3)2.2罚函数外点法 (4)2.3拉格朗日乘子法....................................... (6)2.4增广拉格朗日乘子法.............................. (7)2.4增广拉格朗日乘子法的计算........................... ................................. 10 3 增广拉格朗日乘子法的应用................................................. ...... (12)3.1供水系统调度的增广拉格朗日函数优化方法.......................... . (12)3.2图像复原的增广拉格朗日函数优化方法 (14)结论........................................................................................... .. (17)参考文献 (18)致谢 (19)1前言1.1 增广拉格朗日函数法的产生与应用在求解有约束条件的优化题目时，有一个重要方法，便是用适合的方法把约束优化问题，转变成无约束优化问题来进行求解。