2022-2023学年广东省广州市第二教育联盟高一年级上册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市真光中学、深圳二中教育联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m 的值为（ ）2213x y m +=-()0,1-A ．2B ．4C ．D ．4-2-【答案】C【分析】由焦点坐标得到，求解即可.31m --=【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有，解得．31m --=4m =-故选：C.3．设z 为任一实数，则点表示的图形是（ ）()2,2,z A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOy D ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【分析】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形后可得正确的选项.()2,2,z 【详解】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形如图所示：()2,2,z故点表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，()2,2,z 故选：D.4．若圆与圆有3条公切线，则（ ）221x y +=()()22416x a y -+-==a A ．3B ．3C ．5D ．3或3--【答案】D【分析】根据公切线的条数可判断两圆的位置关系即可求解.【详解】因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,则圆心距等于两圆半径之和,,解得或,14=+=3a 3-故选:D.5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ．y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a -==∴==-=-=∴=因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.b y xa =±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b -=>22220x y b y x ab a -=⇒=±6．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足，若，，，则（ ）12EG GF =SA a = SB b = SC c = SG = A ．B ．111326a b c -+ 111362a b c -+C ．D ．111632a b c -+ 111366a b c ++ 【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得()1133SG SE EG SE EF SE SF SE=+=+=+-()2121133332SE SF SE SB SC =+=+⋅+.()111362113626SA SB S a c C b ++=⋅++=故选：D7．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为α()2,2,1n =--(),3,0A x α()2,1,4P -α，则（ ）103x =A ．-1B ．-11C ．-1或-11D ．-21【答案】C【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.【详解】，而，(2,2,4)PA x =+- 103n d n PA ⋅==，103=解得或－11.=1x -故选：C8．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【详解】设，直线的方程为，联立方程11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-，得，∴，同理直线与抛物214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=2l 线的交点满足，由抛物线定义可知22342224k x x k ++=12342AB DE x x x x p +=++++=，当且仅当（或）时，取等号.22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=121k k =-=1-点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以α22||sin pAB α=2222||πcos sin (+)2p p DE αα==222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+.222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=二、多选题9．下列命题是真命题的有（ ）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面,,BA BM BNB ．直线l 的方向向量为，直线m 的方向向量为，则l 与m 垂直()1,1,2a =-12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥α()0,1,1a =-()1,1,1n =--D ．平面α经过三点是平面α的法向量，则(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=1u t +=【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得,,BA BM BN ,,BA BM BNA ，B ，M ，N 共面，A 正确；对于B ，，故，可得l 与m 垂直，B 正确；2110a b ⋅=--= a b ⊥ 对于C ，，故，可得l 在α内或，C 错误；0110a n ⋅=-+=a n ⊥ //l α对于D ，，易知，故，故，D 正确.(1,1,1)AB =- n AB ⊥ 10u t -++=1u t +=故选：ABD.10．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）C 221y x m n -=A ．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则B ．曲线可能是圆C x 0m n >->C C ．若，则曲线一定是双曲线D ．若为双曲线，则渐近线方程为0mn <CC y =【答案】BD【分析】根据各选项及曲线的特征一一判断即可；【详解】解：因为曲线的方程为，C 221y x m n -=对于A ：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A 错误；C x 221x y n m +=-0n m ->>对于B ：当时曲线表示圆，故B 正确；0m n =->C 对于C ：若，满足，曲线为，表示圆，故C 错误；1m n =-=0mn <C 221x y +=对于D ：若为双曲线，则，221y x m n -=0mn >当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，00m n >⎧⎨>⎩221y x m n -=y y =当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D 正确；00m n <⎧⎨<⎩221x y n m -=--x y =故选：BD11．已知圆和圆的交点为A ，B ，则（ ）221:(1)4O x y -+=222:(1)2O x y +-=A ．两圆的圆心距122O O =B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆上存在两点P 和Q 使得2O PQ AB>D ．圆上的点到直线AB 的最大距离为1O 2【答案】BD【分析】求出两圆圆心距，可判断A 选项；将两圆方程作差即得公共弦AB 的方程，可判断B 选项；求出，可判断C 选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D 选项.AB1O AB 【详解】对于A ，圆的标准方程为，圆心为，半径为，1O ()2214x y -+=()11,0O 12r =圆的标准方程为，圆心为，半径为2O ()2212x y +-=()20,1O 2r =所以，A 不正确；1O =对于B ，将两圆方程作差可得，2220x y -+-=即得公共弦AB 的方程为，故B 正确；10x y -+=对于C 选项，圆心到直线的距离为，所以1O AB 1d ==AB ==对于圆上的任意两点、，，C 不正确；2O P Q 22PQ r AB≤=对于D 选项，圆心到直线的距离的最大值为D 正确.1O AB 112d r +=故选：BD.12．如图，菱形边长为2，，E 为边AB 的中点.将沿DE 折起，使A 到，ABCD 60BAD ∠=︒ADE A '且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（ ）A DE '⊥BCDE AB 'AC 'A ．B ．四面体的外接球表面积为BD AC '⊥A CDE '8πC ．BC 与所成角的余弦值为D ．直线与平面A D '34A B 'A CD '【答案】BCD【分析】将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，ADE DE A A 'A DE '⊥BCDE A B 'A C 'EB ，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．ED EA 'E【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，ADE ∆DE A A 'A DE '⊥BCDE A B 'A C '，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，EB ∴ED EA 'E 对于，，0，，，，0，， 2，A (1B 0)(0D 0)(0A '1)(C 0)，，(1BD =- 0)(2A C '=1)-，与不垂直，故错误；2310BD A C '⋅=-+=≠BD ∴A C'A 对于，取中点，连接，B CE F DF ，⊥ DE DC 12FE FD FC CE ∴====过作平面，四面体的外接球球心在直线上，F FO ⊥CDE A CDE 'O OF 设，由，得，解得，OFt =OD OA R ='=2277(1)44x x +=+-12x =R ∴==四面体的外接球表面积为：，故正确；∴A CDE'248S R ππ==B 对于，，，C (1BC =0)(0A D '=1)-设与所成角的为，BC A D 'θ则，||3cos 4||||BC A D BC A D θ'⋅='⋅与所成角的余弦值为，故正确；BC ∴A D '34C 对于，，0，，，，D (1A B '= 1)-(2A C '= 1)-(0A D '=1)-设平面的法向量，，，A CD '(n x =y )z 则，取，得，1，200n A C x z n A D z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'' 1y =(0n = 直线与平面所成角的正弦值为：∴A B 'A CD '，故正确．||sin ||||A B n A B n θ'⋅==='⋅D 故选：．BCD三、填空题13．若为圆的弦的中点，则直线的方程为______．()2,1-()22125x y -+=AB AB 【答案】30x y --=【分析】根据条件可知，利用两直线的位置关系求直线方程.CP AB ⊥【详解】设圆的圆心， ,则，由条件可知，(1,0)C (2,1)P -10121CP k --==--CP AB ⊥则的斜率为1，AB 所以直线的方程为，即.AB (1)2y x --=-30x y --=故答案为：.30x y --=14．已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为()2,0,1a =()0,2,1b =-()2,4,c m =a b cm ______．【答案】1-【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可.,x y c x a y b →→→=+【详解】因为向量共面，,,a b c →→→所以存在实数使得，即,x y c x a y b →→→=+()()2422,m x y x y =-,,,所以，解得2224x y m x y =⎧⎪=⎨⎪=-⎩121x y m =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为:1-15．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的1F 2F 2216416x y +=1F l A B 22AF BF +最大值为______.【答案】28【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解.2232AF BF AB+=-【详解】由题意，椭圆，可得，即，2216416x y +=2264,16a b ==8,4a b ==根据椭圆的定义，可得，121216,16AF AF BF BF +=+=则，22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=所以，2232AF BF AB+=-当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，AB x AB22AF BF +此时，所以的最大值为.2221648b AB a ⨯===22AF BF +32428-=故答案为：.2816．在平面直角坐标系中，已知，为双曲线的左､右焦点，，为C 的左xOy 1F 2F 2222:1x y C a b -=1A 2A ､右顶点，C 的离心率等于2，P 为C 左支上一点，若平分，直线与的斜率分别PO 12A PF ∠1PF 1PA 为，，且，则等于___________.1k 2k ()1210k k k =->1k【分析】根据结合直线与的斜率分别为，的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定1PF 1PA 1k 2k 义，可得，又由离心率得，又在焦点三角形中用余弦定理得直线214,2PF a PF a==2c a =12PF F △倾斜角的余弦值，从而可得直线的斜率的值.1PF 1k 【详解】解：由题意得下图：则，，，，1(,0)F c -2(,0)F c 1(,0)A a -2(,0)A a 双曲线的离心率，所以，则2ce a ==2c a =1224F F c a ==又直线与的斜率分别为，，且，且在第二象限1PF 1PA 1k 2k ()1210k k k =->P 所以，则，1111PF A PA F ∠=∠11PF PA =因为平分，由角平分线定理得：，结合，PO 12A PF ∠1212PA PF A OF O=11PF PA =即可得，所以12PF PF ac =212PF PF =又在双曲线中有，所以212PF PF a-=214,2PF a PF a==则在中，12PF F △222222112212112416161cos 22244PF F F PF a a a PF FPF F F a a +-+-∠===⋅⨯⨯由题意，可得为锐角，10k >12PF F ∠所以12sin PF F ∠=则.1211212sin tan cos PF F k PF F PF F ∠=∠=∠四、解答题17．如图，在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1A C (1)求证： 平面；//EF 1ACD (2)证明：EF 与平面不垂直．11A DC 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行11AD A D G Ç=GF //EF AG的判定定理得到平面；EF 1ACD （2）建立坐标系求出点的坐标，表示出，因为，所以不垂直，则1,EF DC 120EF DC ⋅=≠ EF 1DC EF 与平面不垂直．11A DC 【详解】（1）如图，连结，连结，11AD A D G Ç=GF 因为在正方体中，面是正方形，所以，1111ABCD A B C D -11ADD A 1AG A D ^是的中点，又因为是的中点，所以且，G 1A D F 1A C //GF CD 112GF CD ==因为是的中点，所以，又，所以，E AB 112AE AB ==//AB CD //,GF AE GF AE =所以四边形是平行四边形，故，AEFG //EF AG 又面，面，所以平面；EF ⊄1ACD AG ⊂1ACD //EF 1ACD（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：D DA DC 1DD x y z则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，(0D 0)(2A 0)(0C 0)(2B 0)1(2A 2)1(0D 2)，分别为，的中点，E F AB 1A C ，1，，，1，，所以(2E ∴0)(1F 1)()=101，，EF -，而，故不垂直，()10,2,2DC =120EF DC ⋅=≠EF 1DC 则EF 与平面不垂直．11A DC18．已知圆C 以为圆心，被直线截得的弦长为()5,560x y +-=(1)求圆C 的方程；(2)若点，点P 为在圆C 上任一点，当最小时，求的值．()()4,0,0,2A B PBA ∠PB【答案】(1)()()225516x y -+-=(2)【分析】（1）求出到圆心距离，结合弦长，可得圆半径.60x y +-=（2）当且仅当PB 与圆相切时，最小.则PBA ∠222PB PC BC+=【详解】（1）直线到圆心，又弦长为60x y +-=()5,5=.故圆C 方程为：.4=()()225516x y -+-=（2）由题可得，当且仅当PB 与圆相切时，最小.PBA ∠则此时，，故PB PC ⊥PB ==19．如图，已知直线，直线，C 是夹在两直线中的动点，过点C 作1:210l x y -+=2:240l x y --=任意直线交于点A ，交于点B ，且都满足．1l 2l 32CA CB =(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知点，是否存在点C ，使得﹖若存在，求出点C 的坐标、若不存在，说明理()4,2P -3PC =由．【答案】(1)220x y --=(2)存在点C ，使得，且或.3PC =81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1C 【分析】（1）设，，由题意可得，代入消去可得动()()21,,24,A a a B b b -+(),C x y 23CA BC =,a b 点C 的轨迹方程；（2）设，，解方程即可得出答案.()22,C yy +3PC ==【详解】（1）因为分别在直线和直线上，,A B 1:210l x y -+=2:240l x y --=所以设，()()21,,24,A a a B b b -+设，因为，所以，(),C x y 32CA CB =23CA BC =而，()()21,,24,CA a x a y BC x b y b =---=---所以，即()()()()22132423a x x b a y y b ⎧--=--⎪⎨-=-⎪⎩46510010460a b x y a b +-+=⎧⎨--=⎩消去可得：.,a b 220x y --=所以动点C 的轨迹方程为：.220x y --=（2）由（1）知，在直线上，C 220x y --=可设，而，()22,C y y +()4,2P -则，则，3PC ==25410y y --=解得：或.15y =-1y =当时，，15y =-81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，.1y =()4,1C 故存在点C ，使得，且或.3PC =81,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭()4,1C20．三棱柱中已知侧面．111ABC A B C -AB ⊥1111,1,2,60BB CC AB BC BB BCC ===∠=︒(1)求证：平面ABC ；1BC ⊥(2)E 是棱上的一点，若平面与平面的夹角为，求CE 的长．1CC 1AB E 1BB E 30︒【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）由侧面，可得，在中利用余弦定理可得，然后AB ⊥11BB CC 1AB BC ⊥1CBC △1C B =利用勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；1C B BC⊥（2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴1,,AB BC BC B 1,,BC BA BC ,,x y z 建立空间直角坐标系，令，然后分别表示出平面和的法向量，再1(01)CE CC λλ=≤≤1AB E 11BB CC 由已知条件列方程可求得结果.【详解】（1）证明：因为侧面，平面，AB ⊥11BB CC 1BC ⊂11BB CC 所以，1AB BC ⊥在中，，1CBC △1111,2,60BC CC BB BCC ===∠=︒则由余弦定理得22211112cos C B BC C C BC C C BCC =+-⋅∠，2211221232=+-⨯⨯⨯=所以，1C B =所以，222221114C B BC C C +=+==所以，1C B BC ⊥因为，平面，BC AB B = ,BC AB ⊂ABC 所以平面；1C B ⊥ABC （2）解：由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为1,,AB BC BC B 1,,BC BA BC 轴建立空间直角坐标系，则,,x y z，11(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(B A C C B -所以，11((1,(1,1,0)CC AB AC =-=--=-令，则，1(01)CE CC λλ=≤≤()CE λ=- 所以，(1,)AE AC CE λ=+=--设平面的法向量为，1AB E (,,)n x y z =，1(1)00n AE x y z n AB x y λ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令，z =333,22x y λλλ-==--所以，333,22n λλλ-⎛= --⎝ 因为侧面，AB ⊥11BB CC 所以是平面的一个法向量，(0,1,0)BA =11BB CC 因为平面与平面的夹角为，1AB E 1BB E 30︒所以cos ,cos30BA n =︒=化简得，解得或（舍去），22530λλ-+=1λ=32λ=所以.12CE CC ==21．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x()2:20C y px p =>轴的上方，且点B 到F 的距离为5，且B 的纵坐标为．2p(1)求抛物线C 的标准方程与点B 的坐标；(2)设点M 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线MA 与MB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：为定值，并求出定值．HG HE⋅【答案】(1)，24y x =()4,4B (2)定值为4，证明见解析【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，代入抛物线方程解得即可；5,22p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭p （2）由（1）直线l 的方程：，联立抛物线方程可得，再设点，()413y x =-114A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24n M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得直线MA 方程，进而可得，同理，即可得定值.41n HE n +=--444n HG n -=+【详解】（1）由题意得：，因为点B 到F 的距离为5，且B 在x 轴的上方，且B 的纵坐,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭标为所以，故，即，因为得，2p 5,22p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24252p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()20p p -=0p >2p =故抛物线C 的方程为：，此时.24y x =()4,4B （2）由（1）得：，线方程，()4,4B ()1,0F 1x =-直线l 的方程：，()413y x =-由，解得或，于是得．()24134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩14x =4x =114A ⎛⎫- ⎪⎝⎭设点，又题意且，24n M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭1n ≠4n ≠-所以直线MA ：，即，令，得，即21111444n y x n ⎛⎫⎪+⎛⎫+=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭=1x -41n y n +=--.41n HE n +=--同理直线MB ：，即，()244444n y x n --=--()4444y x n -=-+令，得，=1x -444n y n -=+即，444n HG n -=+故．444414n n HG HE n n +-⋅=-⨯=-+22．如图，椭圆的下顶点为C ，右顶点为D，且()222210x y a b a b +=>>CD =，过F 且斜率为的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，交y 轴于点P ，M 为线段AB()2,0F -()0k k >的中点，直线OM 交CD 于点N ，过点P 作交x 轴于点E ．PE MN ⊥(1)求椭圆的方程和直线CD的斜率；(2)当时，求的值．MAEOMON【答案】(1)221 84x y+=【分析】（1）由题意可得，可求出，即可得椭圆的方程，即可求CD==2c=,,a b c出直线CD的斜率；（2）设，，直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，()11,A x y()22,B x y AB()2y k x=+AB结合韦达定理可求出的坐标，表示出直线的方程，可求出，再进一步表示出M PE()1,0E-的面积可求出，可求出点的坐标，即可得出的值.MAEkNOMON【详解】（1）由题意可得：()()0,,,0,C bD a CD-==，又因为，2c=2224a b c-==解得：，所以椭圆的方程为：.2a b==22184x y+=则.()()0,2,,C D-CDk==故直线CD（2）设，，因为直线l过F且斜率为，()11,A x y()22,B x y()0k k>设，()2y k x=+由得，()222184y k xx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，()2222128880k x k x k+++-=所以，，2122821kx xk-+=+21228821kx xk-=+因为M 为线段AB 的中点，所以，，22421M k x k -=+22242202121M k k y k k k ⎛⎫-=+=> ⎪++⎝⎭所以，又因为，12M OM M y k x k ==-1PE OM k k ⋅=-所以，因为在直线上，2PE k k =P ()2y k x =+令，所以，所以直线的方程为：，0,2x y k ==()0,2P k PE 22y kx k =+令，所以，0,1y x ==-()1,0E -2AB x =-==所以12AM AB==到直线的距离为：，E AB d所以的面积为：，MAE12==化简得：，则，解得：即424430k k +-=()()2221230k k -+=212k=k =所以，则直线的方程为：，M ⎛- ⎝MNy x =而则.()()0,2,,CD -CD k==所以直线的方程为：，CDy x =-联立直线的方程与的方程可得：，MN CD )1N-所以.=OM ON。

天天向上联盟联考高一年级数学学科试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1. 已知集合{N |25}A x x =∈-≤≤，{2,4,6}B =，则A B = （ ）A. {0,1,2,3,4,5,6} B. {1,2,3,4,5,6}C. {2,4} D. {|26}x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】利用自然数集N 的定义化简集合A ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{N |25}0,1,2,3,4,5A x x =∈-≤≤=，又{2,4,6}B =，所以{0,1,2,3,4,5,6}A B = .故选：A.2. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A. 01x ∃≤，2000x x -≤ B. 1x ∀>，20x x -≤C. 01x ∃>，2000x x -≤ D. 1x ∀≤，20x x -≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”为全称量词命题，其否定为：01x ∃>，2000x x -≤.故选：C3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是A. y =B. 21y x =-+C. 3y x =D. 1y x =+【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于,A y =定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，y ∴=A 错误；对于2,1B y x =-+ 是偶函数，但是(0,+∞)是减函数，选项B 错误；对于3,C y x = 是奇函数，选项C 错误；对于(),1D y f x x ==+ 的定义域为R ，满足()()f x f x -=，1y x ∴=+是偶函数，且在(0,+∞)是递增的，选项D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题.4. 给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（ ）A. :,()f A B y f x →= B. :,()f B A y f x →=C. :,()f A B x f y →= D. :,()f B A x f y →=【答案】B 【解析】【分析】ACD 选项，可举出反例；B 选项，利用函数的定义作出判断.【详解】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B5. “不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A. 12m >B. 01m << C. 14m >D. 1m >【答案】C 【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140m m ⎧⎨∆=-<⎩，解得12m >.A 选项是充要条件，不成立；B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立；C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m >可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m >，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6. 已知0,0a b >>，且121a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 1+【答案】A 【解析】【分析】由121a b+=得02ba b =>-，得到2b >，进而12012b a -=>-，所以()2112122b a b b +=-+---，由均值不等式求得最小值.【详解】因为0,0a b >>且121a b+=，所以1221b a b b -=-=，所以02ba b =>-，所以2b >，所以()22110222b b b a b b b ---=-==>---，所以12012b a -=>-，所以()21122122b a b b +=-+≥=---，当且仅当122b b -=-即3b =时，等号成立，所以2112a b +--的最小值为2，故选：A.7. 定义在(0,+∞)上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()36f =，则不等式()2f x x>的解集为（ ）A. ()3,+∞B. ()0,3C. ()0,2D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.【详解】令()()f x g x x=，因为对()120,x x ∞∀∈+、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在(0,+∞)上单调递增，又因为()36f =，所以()()3323f g ==，故()2f x x>可化为()()3g x g >，所以由()g x 的单调性可得3x >，即不等式()2f x x>的解集为3x >.故选：A.8. 已知函数()221f x x x =-+，若[)2,x ∃∈+∞对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. ()3,1-B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3-【答案】B 【解析】【分析】分析可知，()min 22f x m am <-+，可得出210am m --≤对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，由题意可得出()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，即可求得实数m 的取值范围.【详解】因为函数()221f x x x =-+，则函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，因为[)2,x ∞∃∈+对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则()2221m am f -+>=，即210am m --<对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，则()()1310110g m g m ⎧-=--<⎪⎨=-<⎪⎩，解得113m -<<，因此，实数m 的取值范围是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 若0a b >>且0c ≠，则下列不等式正确的是（ ）A. 33a b > B.11a b< C.a a cb b c+<+ D. 22ac bc >【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断ABD ，利用作差法即可判断C.【详解】对于AB ，因为0a b >>，所以33a b >，11a b<，故AB 正确；对于C ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==+++，当2,1,2a b c ===-时，()()20c a b b b c -=>+，此时a a cb b c+>+，故C 错误；对于D ，因为0c ≠，所以20c >，又0a b >>，所以22ac bc >，故D 正确.故选：ABD.10. 我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈ð且}x A ∉，类似地，对于集合,A B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫作集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则有{}{}1,2,3,6,7,8A B B A -=-=，下列解答正确的是（ ）A. 已知{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，则{}378B A -=,,B. 已知{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，则{|2A B x x -=<-或x ≥4}C. 如果A B ⊆，那么A B -=∅D. 已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则()U A B A B -= ð【答案】BCD 【解析】【分析】依题意根据A B -的定义可知，可先求出A B ⋂，再求出其以A 为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.【详解】根据差集定义B A -即为{|x x B ∈且}x A ∉，由{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，可得{}3,8B A -=，所以A 错误；由定义可得A B -即为{|x x A ∈且}x B ∉，由{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，可知{|2A B x x -=<-或x ≥4}，即B 正确；若A B ⊆，那么对于任意x A ∈，都满足x B ∈，所以{|x x A ∈且}x B ∉=∅，因此A B -=∅，所以C 正确；易知{|A B x x A -=∈且}x B ∉在图中表示的区域可表示为()A A B ð，也即()U A B ∩ð，可得()U A B A B -= ð，所以D 正确.故选：BCD11. 已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法正确的是（ ）A. ()164f =B. 关于x 的方程()()*21nf x n =∈N 有23n +个不同的解C. ()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减D. 当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立.【答案】ACD 【解析】【分析】求()6f 的值判断选项A ；当1n =时验证结论是否正确去判断选项B ；由()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上的解析式去判断选项C ；分析法证明不等式去判断选项D.详解】选项A ：()()()1111642(10)2444f f f ===-=.判断正确；选项B ：画出()f x 部分图像如下：当1n =时，由()21f x =，可得131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩或311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩由131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩，可得52x =或32x =；由311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得4x =即当1n =时，由()21f x =可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；选项C ：当*3()n k k =∈N 时，[][]2,216,61n n k k +=+，若[]2,21x n n ∈+即[]6,61x k k ∈+，则()[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(6)(16)222k k k f x f x k x k x k ---=-+=--=-++，为减函数；当31()n k k =+∈N 时，[][]2,2162,63n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]62,63x k k ∈++，则[]62,3x k -∈则()()[]33311161(62)(36)222k k k f x f x k x k x k =-=---=-++，为减函数；当32()n k k =+∈N 时，[][]2,2164,65n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]64,65x k k ∈++，则[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(64)(56)222k k k f x f x k x k x k +++=--=---=-++，为减函数；综上，()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减. 判断正确；【选项D ：当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤可化为2()f x x≤，同一坐标系内做出2y x=与()f x 的图像如下：等价于()*11222n n n -≤∈N 即()*1112n n n-≤∈N ，而()1*2n n n -≥∈N 恒成立. 判断正确.故选：ACD【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.函数()f x =的定义域为____________．【答案】[)()2,33,⋃+∞【解析】【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.【详解】()f x =20x -≥且||30x -≠，解得2x ≥且3x ≠.故答案为：[)()2,33,∞⋃+13 已知幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，则实数m =_________.【答案】2-【解析】【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解..【详解】因为幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，所以223130m m m ⎧-=⎨+-<⎩，解得2m =-故答案为：2-14. 已知()()()222f x x xxax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___.【答案】15-【解析】【分析】列方程组解得参数a 、b ，得到()f x 解析式后，即可求得()3f 的值.【详解】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩则()()()22268f x x xx x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 集合{}2620A x x x =--+>，{}2560B x x x =-+≥．（1）求A B ，()R A B ⋂ð；（2）若集合{}21C x m x m =<<-，C B ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）{3x x ≥或}2x ≤，{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）1m ≥-.【解析】【分析】（1）先求出集合A 、B ，再根据集合的交并补运算即可求解；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.【详解】解：（1）因为{}{}222162062032A x x x x x x x x ⎧⎫=--+>=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2560B x x x =-+≥={3x x ≥或}2x ≤，.12R A x x ⎧=≥⎨⎩ð或23x ⎫≤-⎬⎭，所以A B = {3x x ≥或}2x ≤，()R A B = ð{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）当C =∅时，显然C B ⊆，此时21m m ³-，即13m ≥；当C ≠∅时，由题意有2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2112m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得113m -≤<，综上，1m ≥-.16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．（1）求出当0x >时，()f x 的解析式；（2）如图，请补出函数()f x 的完整图象，根据图象直接写出函数()f x 的单调递减区间；（3）结合函数图象，求当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域．【答案】（1）()22f x x x =-+ （2）函数图象见解析，()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,-∞-+∞（3）[]1,3-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求解，（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，进而可得单调区间，（3）结合函数图象以及单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，设0x >，则0x -<，于是()22()22f x x x x x -=--=-，因为()f x 为R 上的奇函数，因此()()22f x f x x x =--=-+，所以当0x >时，()f x 的解析式()22f x x x =-+．【小问2详解】由已知及（1）得函数()f x 的图象如下：观察图象，得函数()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,∞∞--+．【小问3详解】当[]3,1x ∈-时，由（1），（2）知，函数()f x 在[]3,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，当=1x -时，()f x 有最小值()()21(1)211f -=-+⨯-=-，当3x =-时，()f x 有最大值()()23(3)233f -=-+⨯-=，而当1x =时，有()11f =，所以，当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域为[]1,3-17. 已知函数()121x a f x =+-为奇函数，其中a 为常数．（1）求()f x 的解析式和定义域；（2）若不等式()222(2)f x x f ++>成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠； （2）20x -<<【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和分式的定义求解即可；（2）根据函数单调性列不等式求解即可.【小问1详解】由分式的定义可知210x -≠即0x ≠，又因为()121x a f x =+-为奇函数，()2112112x x x a a f x --=+=+--，所以()()()1222021x x a f x f x a -+-=+=-+=-，解得2a =，所以()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠.【小问2详解】因为()2222110x x x ++=++>，当0t >时，210t y =->，且单调递增，所以()2121t f t =+-单调递减，若不等式()222(2)f x x f ++>成立，则2222x x ++<，即()20x x +<，解得20x -<<.18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q F x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，()10045,040,7120,4080.8x a x F f x x x ⎧-⋅<<⎪==⎨-+≤≤⎪⎩已知当道路密度2x =时，交通流量95F =，其中0a >．（1）求a 的值；（2）若交通流量95F >，求道路密度x 的取值范围；（3）求车辆密度q 的最大值．【答案】（1）13a =（2）()2,40（3）288007【解析】【分析】（1）由题，待定系数解方程21004595a -⋅=即可得答案；（2）根据题意，解不等式95F >即可得答案；（3）由题知2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，进而分段研究最值即可得答案；【小问1详解】解：依题意，21004595a -⋅=，即219a =，故正数13a =,所以，a 的值为13.【小问2详解】解：当4080x ≤≤时，()71208F x f x -+==单调递减，F 最大为()4085f =，故95F >的解集为空集；当040x <<时，由110045953x⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭，解得2x >，即402x >>所以，交通流量95F >，道路密度x 的取值范围为()2,40．【小问3详解】解：依题意，2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，所以，当040x <<时，1004000q x <⋅<；当4080x ≤≤时，2748028800288008777q x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，由于48040807<<，所以，当4807=x 时，q 取得最大值288007．因为2880040007>，所以车辆密度q 的最大值为288007．19. 若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数．已知函数211()1,()12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．（1）证明：函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．的【答案】（1）证明见解析（2）存在；y x=【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明结论；（2）求出(),()f x g x 的图象的交点，设y =f (x )与y =g (x )是存在隔离直线函数y kx b =+，可得1y kx k =+-，利用()f x kx b ≥+可求出k 的值，结合证明(),(0)g x x x ≤>，即可得出结论.【小问1详解】任取()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()121212111122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212211212111111222x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=-+-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，由()1212,0,,x x x x ∞∈+<，则120x x -<，120x x >，故12121102x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()()()12120,g x g x g x g x -<∴<，故函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．【小问2详解】当0x >时，y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数；令()()f x g x =，即211112x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即211022x x x x --+=，即3223102x x x -+=，即()()21210x x -+=，解得1x =或12x =-，由于0x >，故舍去12x =-；当1x =时，()()1f x g x ==，即(),()y f x y g x ==有公共点(1,1)，设y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数y kx b =+，则点(1,1)在隔离直线函数y kx b =+上，则1k b +=，即1b k =-，则1y kx k =+-；若当0x >时有()f x kx b ≥+，即()211x x kx k -+≥+-，则()210x k x k -++≥(0,)+∞上恒成立，即(1)()0x x k --≥，由于1(0,)∈+∞，故此时只有1k =时上式才成立，则10b k =-=，下面证明(),(0)g x x x ≤>，令()11111022y g x x x x ⎛⎫=-=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭，即()0y g x x =-≤，故()g x x ≤，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以1y kx k =+-，即y x =为y =f (x )与y =g (x )的隔离直线函数.在。

2022～2023学年第一学期真光中学—深圳二高教育联盟联考高一数学试卷一、单选题1. 若集合，，则（）{}|2A x x =<{|B y y ==A B = A. B. {}|12x x <<{}|02x x <<CD.{}|12x x ≤<{}|02x x ≤<2. “”是“”的（）a b ≤lg lg a b <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知曲线且过定点，若且，则11(0x y a a -=+>1)a ≠(),k b m n b +=0,0m n >>的最小值为（）.41m n +A. B. 9 C. 5D. 92524. 关于x 的不等式的解集是,则关于x 的不等式的0ax b -<{}|1x x >()(3)0ax b x +->解集是A. 或 B. {|1x x <-}3x >{}3|1x x <<C.D.或{}|13x x -<<{|1x x <}3x >5. 若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）[]:1,5p x ∀∈240ax x -->a A.B.C. D. 925a >116a ≥-5a >5a ≥6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前3个小()mg/L N 0e ktN N -=0N 时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（）A. 2.6小时B. 3小时C. 6小时D. 4小时7. 已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，R ()f x (),0∞-()0.72a f =()ln 2b f =-，则，，的大小关系为（）()3log 2c f =a b c A. B. C. D.c<a<bc b a<<a b c<<b a c<<8. 已知函数，若存在，使成()212,1,1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩1212,R,x x x x ∈≠()()12f x f x =立，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.[0,2)(,0]-∞(,0][2,)-∞⋃+∞(],0,)2(-∞⋃+∞二、多选题9. 下列命题错误的是（）A. 命题“，都有”的否定是“，使得”1x ∀<21x <1x ∃≥21x ≥B. 函数的零点有2个2()2x f x x =-C. 用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分()ln 26f x x x =+-()2,3后精确度达到0.1D. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上2()ln(1)f x x x =+-()0,∞+1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知函数则（）()21,1,1,1,x x f x x x +<-⎧=⎨-≥-⎩A. 在上单调递增()f x [)1,-+∞B. 的值域为R()f x C.的解集为()1f x >-()2,-+∞D. 若关于的方程恰有3个不同的解，则x ()f x m =()1,0m ∈-11. 下列说法正确的有（）A.的最小值为221x y x +=B. 已知，则的最小值为1x >4211y x x =+--1+C. 已知正实数满足，则的最大值为3,x y 23x y xy +=2x y +D. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数a 的范围x 2(2)2(2)40a x a x -+--<R x ∈是22a -<≤12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x 的最大整数.例如：，.已知函数[]y x =[]x []3.54-=-[]2.12=，，则下列说法中正确的是（）()e 11e 2x x f x =-+()()g x f x =⎡⎤⎣⎦A.是偶函数B.在R 上是增函数C.是偶函数 D.()f x ()f x ()g x 的值域是()g x {}1,0-三、填空题13. 函数的定义域是___________.()ln 1y x =-+14. 若函数是定义在上的偶函数，则___________.()21f x ax bx =++[]1,2a a --a b +=15. 若函数在上为减函数，则a 取值范围是___________.()log (6)a f x ax =-[0,2]16. 定义在上函数满足且当时，，R ()f x 1(2)()2f x f x +=[0,2)x ∈()21f x x =--则使得在上恒成立的m 的最小值是________．1()8f x ≤[),+∞m 四、解答题17. 化简求值（需要写出计算过程）（1）若，，求的值；1004a=1025b=2a b +（2）．23ln 213248e log log 32log 327-⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭18. 已知集合{}{}2230,2A x x x B x m x m =--<=-<<（1）若，全集，求；0m =U A B =⋃U B （2）若，求实数的取值范围.A B ⋂=∅m 19. 已知定义在上的奇函数满足: 当时，，当时，R ()f x 1x <-()()21f x x =+11x -≤≤.()f x x=（1）在平面直角坐标系中画出函数在上的图象，并写出单调递减区间;()f x R （2）求出时的解析式.1x >20. 已知定义域为的函数是奇函数．R 21()22x x f x a =-+（1）求实数a 的值；（2）判断函数的单调性，并用定义加以证明；()f x （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数m 的取值范x ∈R ()()220f x x f x m -+->围．21. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足（k 为常数，()P x ()10kP x x =+且），日销售量（单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：0k >()Q x x1015202530()Q x 5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．()Q x ax b=+()Q x a x m b=-+()xQ x a b =⋅()log b Q x a x =⋅请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与()Q x 时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．()f x ()f x 22. 对于函数，若，则称x 为的“不动点”；若，则称()f x ()f x x=()f x ()f f x x ⎡⎤=⎣⎦x 为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即()f x ()f x ，．(){}A x f x x==(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦（1）求证：；A B ⊆（2）若，函数总存在不动点，求实数c 的取值范围；R b ∀∈()21f x x bx c =+++（3）若，且，求实数a 的取值范围．()21f x ax =-A B =≠∅2022～2023学年第一学期真光中学—深圳二高教育联盟联考高一数学试卷一、单选题【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】C 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】B【答案】D二、多选题【9题答案】【答案】ABC 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】BD 【12题答案】【答案】BD三、填空题【13题答案】【答案】##()1,2{}12x x <<【14题答案】【答案】1【15题答案】【答案】()1,3【16题答案】【答案】8四、解答题【17题答案】【答案】（1）2（2）1-【18题答案】【答案】（1）{}03x x ≤<（2）(][),15,-∞-⋃+∞【19题答案】【答案】（1）图像见解析，单调递减区间为和；(),1-∞-()1,+∞（2）.()()21f x x =--【答案】（1）；1a =（2）函数在定义域内单调递增，证明见解析；（3）18⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-【21题答案】【答案】（1）选②，()Q x a x m b=-+()2060(130,N )Q x x x x *=--+≤≤∈（2）441【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）{}1c c ≤-（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()R A B = A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x << C ．{}12x x ≤< D ．{}02x x <<【答案】B【详解】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x =<<.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+< D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥【答案】C【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.【解析】全称命题与存在性命题.3．已知a b ，都是实数，那么“1122a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义结合不等式得到答案【详解】由1122a b >>0a b >≥； 由22a b >可得a b >，所以“1122a b >”是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A4．函数2x y -=-与2x y =的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y=x 对称【答案】C【解析】令()2x f x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2x f x =，则()2xf x ---=-()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称， 2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 5．下列不等式中成立的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则11a b<【答案】B【分析】A ，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误；BCD ，利用作差法比较大小分析得解. 【详解】A. 若0a b >>，则22ac bc >错误，如0c 时，22ac bc =，所以该选项错误； B. 若0a b >>，则2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以该选项正确； C. 若0a b <<，则22()0,a ab a a b a ab -=->∴>，所以该选项错误； D. 若0a b <<，则11110,b a a b ab a b--=>∴>，所以该选项错误. 故选：B6．()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =-，则0x >时，()f x =（ ） A ．22x x - B ．22x x + C ．22x x -- D ．22x x -+【答案】C【分析】根据函数的奇偶性直接求出当0x >时的函数解析式.【详解】当0x <时，2()2f x x x =-， 当0x >时，0x -<，则2()2x x f x -=+，又()f x 为R 上的奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=--. 故选：C7．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，(]()212,0x x x ∈-∞≠，有，()()21210f x f x x x -<-且()20f =，则不等式()305f x x<的解集是（ ） A ．()(),22,∞∞--⋃+ B ．()()2,00,2-⋃ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D【分析】根据已知可得函数()f x 在(],0-∞上单调递减，由()f x 为偶函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，进而可得()()220f f =-=，然后利用单调性即可求解不等式． 【详解】解：由对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，2121()()0f x f x x x -<-，可知函数()f x 在(],0-∞上单调递减，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 因为()20f =，所以()()220f f =-=，所以当<2x -或2x >时，()0f x >，当22x -<<时，()0f x <， 因为()305f x x<， 所以()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，所以<2x -或02x <<，即()(),20,2x ∈-∞-．故选：D ．8．已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a a x -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞， ①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤， 又由01a <<，从而102a <≤； ②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增， 又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤， 即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾； ③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g xB ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()f x ()g x =【答案】AC【分析】逐一判断每个选项中两函数的定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对A ， ()g x x ==，故A 正确，对B ， ()1f x x =+定义域为R ，21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠，故B 错误，对C ， 1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩，故C 正确， 对D ， 2()1f x x =-定义域为210x -≥，解得1x ≤-或1x ≥.()11g x x x =+⋅-定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，即1x ≥，故D 错误，故选：AC【点睛】本题考查的是同一函数的判断，属于基础题. 10．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．1y x =- B ．y x x = C ．3y x =D ．2y x【答案】BC【分析】CD 选项是幂函数，可以直接进行判断，A 选项从奇函数和偶函数的定义判断，B 选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R 上的增函数【详解】()1f x x -=--，故()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，所以()1f x x =-既不是奇函数也不是偶函数，2yx 是偶函数，所以排除选项AD ；因为()22,0,0x x g x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图是函数图象，当0x <时，0x ->，故()()()22g x x x g x -=-==-，所以y x x =是奇函数，且在R 上是增函数，故B 正确；因为3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确. 故选：BC.11．已知函数()||12x f x a b ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则（ ）A ．2a =-，2b =B ．()f x 的值域为[)0,2C ．若0x y <<，则()()f x f y <D ．若()()f x f y =，且x y ≠，则0x y +=【答案】ABD【分析】()f x 过原点得0a b +=，由x →∞()12f x a b b ∞⎛⎫=+→ ⎪⎝⎭，可判断A ；由(]||1012，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 得[)||122022，⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭x 可判断B ；画出()f x 的图象可判断C ；由()f x 为偶函数可判断D. 【详解】∵()f x 过原点，∴()00f =，∴0a b +=①，又∵x →∞时，||102x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，∴x →∞时，()12f x a b b ∞⎛⎫=+→ ⎪⎝⎭，由题，图象无限接近直线2y =，则2b =②，由①②知2a =-，2b =，故A 正确；所以()||1222⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x f x ，(]||1012，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，[)||122022，⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭x ，所以B 正确； 由图知，()f x 在(]0x ∞∈-，上单调递减，因为0x y <<，则()()>f x f y ， 故C 错误；∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，又∵()()f y f x =，∴()()f y f x =-，∴x y -=，∴0x y +=，故D 正确. 故选：ABD.12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数2()||af x x x =+（a R ∈）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【分析】由函数的性质按照0a =、0a >、a<0分类，结合函数图象的特征即可得解.【详解】函数2()||a f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，且()()2()||a f x x f x x -=-+=-， 所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：2(),0a f x x x x =+>，当0a =时，2()f x x =，图象为B ；当0a >时，222233222324()3x x x x a a a a a a f x x x x x =+=++≥⋅⋅=D ； 若a<0时，函数2(),0a f x x x x =+>单调递增，图象为C ；所以函数的图象可能为BCD. 故选：BCD.三、填空题 13．函数()45-=-x f x x ______. 【答案】[4,5)(5,)+∞【解析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．【详解】要使函数()45-=-x f x x则4050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥且，5x ≠±，故函数的定义域为[4,5)(5,)+∞， 故答案为：[4,5)(5,)+∞．14．已知函数2()48f x x kx =--在[5，20]上具有单调性，实数k 的取值范围是____________ 【答案】【详解】函数2()48f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，只需或，即或 ∴实数k 的取值范围为15．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4【分析】利用基本不等式可将24ab a b =++转化为ab 的不等式，求解不等式可得ab 的最小值． 【详解】0a >，0b >，，可得224ab ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120ab ab ∴≥，∴2ab 1ab -（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．【点睛】本题考查基本不等式，将24ab a b =++转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.四、双空题16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：级数 全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1 [0，36000] 3 02 (36000，144000] 10 25203 (144000，300000] 20 16924 (300000，420000] 25 31925 (420000，660000]30N小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______. 【答案】 23080 52920【分析】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出N 的值. 【详解】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数， 可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，应缴个税为 00200000201692023080⨯-=（元），当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为 0000005000003036000310800010N ⨯-=⨯+⨯ 00000015600020120000258000030+⨯+⨯+⨯，解得52920N =（元）. 故答案为：23080；52920五、解答题17．已知集合{|42}A x x =-≤≤，2{|450}B x x x =+->，{|11}C x m x m =-<<+. （1）求A B ⋃；（2）若B C =∅，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|5x x <-或4}x ≥-；（2）[]4,0-.【解析】（1）先解一元二次不等式化简集合B ，再进行并集运算即可； （2）由B C =∅列不等关系，解得参数范围即可.【详解】解：（1）由2450x x +->，得5x <-或1x >，所以{|5B x x =<-或1}x >， 所以{|5A B x x =<-或4}x ≥-；（2）若B C =∅，则需1511m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得40m m ≥-⎧⎨≤⎩，故实数m 的取值范围为[]4,0-.18．已知函数2()23(R)f x ax x a =++∈．(1)不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若0a >，求关于x 的不等式()0f x >的解集． 【答案】(1)1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)答案见解析.【分析】（1）分0a =与0a ≠两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围； （2）由0a >结合根的判别式，对a 分类讨论，求出不等式的解集. 【详解】（1）当0a =时，230x +>不恒成立，故舍去；当0a ≠时，要想2230ax x ++>恒成立，需要0Δ4120a a >⎧⎨=-<⎩，解得：13a >，综上：实数a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，当4120a ∆=-<，即13a >时，2230ax x ++>的解集为R ，当4120a ∆=-=，即13a =时，()2211233033x x x ++=+>，故解集为{}3x x ≠-， 当4120a ∆=->，即103a <<时，2230ax x ++=的两根为1x =2x =故2230ax x ++>的解集为x x ⎧⎪⎨⎪⎩或x ⎪⎭， 综上：当13a >时，解集为R ； 当13a =时，解集为{}3x x ≠-；当103a <<时，解集为x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭. 19．对于函数f （x ）＝a ()221x a R -∈+ （1）探索函数f （x ）的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f （x ）为奇函数，若存在，求出a 的取值；若不存在，说明理由？【答案】（1）不论a 为何实数，f （x ）总为增函数；（2）存在，1a =【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差，比较大小，定号即可判断；（2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解.【详解】（1）∵f （x ）的定义域为R ，设x 1＜x 2，则()()12f x f x -＝a 12222121x x a --+++ ()()1212221212x x x x -=++， ∵x 1＜x 2，∴12220x x -＜，()()1212120x x ++＞， ∴()()12f x f x -＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以不论a 为何实数f （x ）总为增函数.（2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）即a 222121x x a --=-+++， 解得：a ＝1，故存在实数a 使f （x ）为奇函数.【点睛】本题考查利用函数单调性的判断，以及利用函数奇偶性求参数的值，属基础题.20．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y 与投资x 的单位均为万元）．(1)分别求A ，B 两种产品的利润y 关于投资x 的函数解析式；(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？【答案】(1)A 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：0.25(0)y x x =≥；B 产品的利润y 关于投资x 的函数解析式为：2(0)y x x =≥.(2)①45万元；②当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；（2）①：利用代入法进行求解即可；②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为A 产品的利润y 与投资x 成正比，所以设(0)y kx k =≠，由函数图象可知，当1x =时，0.25y =，所以有0.25k =，所以0.25(0)y x x =≥；因为B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比， 所以设(0)y m x m =≠，由函数图象可知：当4x =时，4y =， 所以有442m m ==，所以(0)y x x =≥；（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，所以A 产品的利润为0.2510025⨯=，B 产品的利润为10020y ==，所以获得总利润为252045+=万元；②：设投入B 产品的资金为(0200)x x ≤≤万元，则投入A 产品的资金为(200)x -万元，设企业获得的总利润为w 万元，所以10.25(200)504w x x =-+=-+(0t t =≤≤， 所以2211()250(4)5444w f t t t t ==-++=--+， 当4t =时，即当16x =时，w 有最大值，最大值为54，所以当投入B 产品的资金为16万元，投入A 产品的资金为184万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为54万元.21．设矩形()ABCD AB AD >的周长为24cm ，把ABC ∆沿AC 向ADC ∆折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP ∆的最大面积及相应x 的值.【答案】最大面积是(2108cm -，x =【解析】由题意可得出()12AD x cm =-，设PC acm =，则()DP x a cm =-，证明出Rt ADP Rt CB P '∆≅∆，可得出AP acm =，在Rt ADP ∆中应用勾股定理得出21272x x a x-+=，由此可得出ADP ∆的面积关于x 的表达式，利用基本不等式可求出ADP ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出x 值，由此可得出结论.【详解】如图，设AB xcm =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24cm ，可知()12AD x cm =-.设PC acm =，则()DP x a cm =-，APD CPB '∠=∠，90ADP CB P '∠=∠=，AD CB '=，Rt ADP Rt CB P '∴∆≅∆，AP PC acm ∴==.在Rt ADP ∆中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即()()22212x x a a -+-=， 解得21272x x a x -+=，所以1272x DP x a x -=-=. 所以ADP ∆的面积为()211127218727212661822x x x S AD DP x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅=⋅=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.由基本不等式与不等式的性质，得726181082S x x ⎛⎫≤⨯-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当72x x =时，即当62x =ADP ∆的面积最大，面积的最大值为(21082cm -. 【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.22．设函数()y f x =与函数()()y f f x =的定义域的交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x D ∈，都有()()f f x x =”的函数()f x 组成的集合.（1）判断函数()32f x x =-，()1g x x=-是不是集合M 中的元素？并说明理由； （2）设函数()()1h x kx a k =+≠，()a x x xϕ=+，且()h x M ∈，若对任意(]1,1x ∈-∞，总存在[)21x ∈+∞,，使()()1212h x x ϕ=成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()32f x x M =-∉，()g x M ∈，理由见解析；（2）(]),3945,⎡-∞-++∞⎣.【分析】（1）由已知得()()98f f x x x =-≠，()()11g g x x x=-=-，根据定义可得结论. （2）由函数()h x M ∈，建立方程组可求得()h x x a =-+.再分1a ≤和1a >得出函数()x ϕ的单调性，建立不等式可求得实数a 的取值范围.【详解】解：（1）因为对任意x R ∈，()()()332298f f x x x x =--=-≠，所以()32f x x M =-∉. 因为对任意()(),00,x ∈-∞+∞，()()11g g x x x=-=-，所以()g x M ∈. （2）因为函数()h x M ∈，且()()1h x kx a k =+≠，所以()()()h h x k kx a a x =++=，整理得21,0k ka a ⎧=⎨+=⎩，解得1,k a R =-⎧⎨∈⎩，或1,0k a =⎧⎨=⎩(舍去)，故()h x x a =-+. 当(,1]x ∈-∞时，()[1,),a h x ∈-+∞，()11,22a h x -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 对于函数()a x x xϕ=+， 当1a ≤时，()x ϕ在[)1,+∞上单调递增，故()[)1,x a ϕ∈++∞，由题意知112a a -+≤，解得3a ≤-；当1a >时，()x ϕ在⎡⎣单调递减，在)+∞单调递增，故()x ϕϕ≥=12a -≤，解得9a ≥+综上所述，实数a 的取值范围为(]),3945,⎡-∞-++∞⎣.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的定义，运用函数的性质：单调性，奇偶性，值域得以解决.。

2022-2023学年广东省广州市高一上册期末联考数学模拟试题（含解析）一、单选题1．已知集合{}1,2A =-，下列选项正确的是（）A ．{}1A -∈B ．{}1A-⊆C ．1A-⊂D ．1A-⊆【答案】B【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A 的关系即可.【详解】由题设，{}1A -⊆且1A -∈，所以B 正确，A 、C 、D 错误.故选：B2．函数()2log f x x =的定义域为（）A ．(],2-∞B ．()0,∞+C ．[)0,2D ．(]0,2【答案】D【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可得答案．【详解】解：因为()2log f x x =，所以由020x x >⎧⎨-≥⎩，可得02x <≤，所以函数()f x 的定义域为(]0,2，故选：D.3．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案.【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x =在区间(2,2)-内有零点，但(2)(2)0f f -⋅>所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的定义，可知因变量y 与自变量x 是一一对应的，可以判断出各个选项中的图像是否是函数图像，来进行作答.【详解】由函数的定义可知，选项B 中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况.故选：B5．若“2[1,3],2x x a ∃∈-≤”为真命题，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．6D ．7【答案】B【分析】由题知22[1,7]x -∈-，再根据题意求解即可.【详解】解：当[1,3]x ∈时，2[1,9]x ∈，所以22[1,7]x -∈-.因为命题“2[1,3],2x x a ∃∈-≤”为真命题，所以1a ≥-，实数a 的最小值为1-.故选：B6．已知ln 3a =，23πsin 3b =，233c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】B【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.【详解】函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，而3e >，则ln 3ln e 1a =>=，ππsin 8sin 033b π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，函数3x y =在R 上单调递增，而203-<，则2030331-<<=，即01c <<，所以a c b >>.故选：B7．函数()1e cos 1e xxf x x -=⋅+，[]π,πx ∈-的图象形状大致是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据函数奇偶性排除AC ，再结合特殊点的函数值排除B.【详解】定义域[]π,πx ∈-，且()()()1e e cos cos 1e 1e 1x x x xf x x x f x ----=-=⋅=-++-，所以()f x 为奇函数，排除AC ；又()ππ1e cos 1e ππ>0f =-⋅+，排除B 选项.故选：D8．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，碳14的半衰期为5730年，lg0.51.1665lg0.552≈，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（）A ．3500年B ．2900年C ．2600年D ．2000年【答案】B【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过t 年后则变成0.552，列出方程，即可求解.【详解】根据题意设原来的量为1，经过t 年后则变成155.2%0.552⨯=，可得573011()0.5522t⨯=，两边取对数，可得0.5log 0.5525730t=，即0.5lg 0.5525730log 0.55257304912lg 0.5t =⨯=⨯≈，又由4912201012903-+=，所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选：B.二、多选题9．（多选）若角α是第二象限角，则2α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】AC【分析】先根据已知条件写出角α的取值范围，再计算2α的范围，并在该不等式范围中对()k k Z ∈分奇偶讨论，从而得到2α所在的象限．【详解】∵α是第二象限角，∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴422k k παπππ+<<+，Z k ∈.当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角.综上，可知A ，C 正确.【点睛】本题考查了等分角所在的象限问题，属于基础题.同时考查了学生对()k k Z ∈分奇偶讨论的思想和计算能力.10．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则2a ab <B ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则a b d c>【答案】BC【分析】利用作差法判断选项A ；利用不等式的性质判断选项B ；利用不等式的性质判断选项C ；利用列举法判断选项D ．【详解】A 项，2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以A 选项是错误的；B 项，若23,12a b -<<<<，可得：21b -<-<-，故42a b -<-<，故B 正确；C 项，若0,b a <<可得011b a>>，由0m <可得：m ma b >，故C 正确；D 项，举当1,0,1,2a b c d ===-=-时，则不成立，故D 不正确；故选：BC ．11．已知函数()log 412a y x =--（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角θ的终边经过P ，则（）A ．()4,12P -B ．12sin 13θ=-C ．5cos 13θ=-D ．π7tan 417θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】先根据对数函数的性质求出定点P ，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可【详解】令41x -=，得5x =，进而12y =-()5,12P ∴-，则12sin 13θ=-，5cos 13θ=，5t n 1a 2θ-=，12πtan 151217tan 41tan 1715θθθ+⎛⎫+===- ⎪-+-+⎝⎭.故选：BD.12．下列说法正确的是（）A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2B ．函数24x y =+的最小值为4C ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则122a b +的最小值为92D ．若正实数a ，b 满足24a b +=，则ab 的最大值为2【答案】CD【分析】A.由sin 1x =-判断；B.由指数函数的值域判断； C.利用基本不等式判断； D.利用基本不等式判断.【详解】A.因为sin 1x =-，所以=2y -，故错误；B.因为x ∈R ，则20x >所以244x y =+>，故错误；C.因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以()55921212222222b a a b a b a a b b ⎛⎫+=++≥+=+ +=⎪⎝⎭，当且仅当22b aa b=，即12,33a b ==时，等号成立，故正确；D.因为正实数a ，b 满足24a b +=，所以211222222a b ab ab +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即1,2a b ==时，等号成立，故正确.故选：CD三、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =，若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意．若1m =-，则函数为1y x=，满足题意．故答案为：1-．14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为1，则其面积为___________.【答案】32π【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为3π，弧长为1，则扇形的半径为r 133l===παπ，面积为11331222S lr ==⨯⨯=ππ．故答案为：32π．15．已知α与β都是锐角，且()1sin 3αβ-=，()cos 2αβ+=,则sin 2α=______.【答案】6【分析】由题意判断ππ0,022αβαβ<-<<+<，求得cos(),sin()αβαβ-+的值，根据()sin 2sin[()]ααβαβ=-++，利用两角和的正弦公式展开计算，可得答案.【详解】因为α与β都是锐角，故ππ,0π22αβαβ-<-<<+<，由于()1sin 3αβ-=，()cos 2αβ+=，所以ππ0,022αβαβ<-<<+<，故1cos(),sin()32αβαβ-=+=，故()sin2sin[()]sin()cos()cos()sin()ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+1132=⨯，16．已知函数()()112,03,0xa x a xf xx-⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R，则实数a的取值范围为___________.【答案】116a≤<【分析】由题意可得10123aa->⎧⎪⎨≥⎪⎩，计算不等式组即可求得结果.【详解】∵函数()()112,03,0xa x a xf xx-⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R，又当0x≥时，1133x-≥，∴10123aa->⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得116a≤<.故答案为：116a≤<.四、解答题17．（1）计算：()221212log0log334143312e⎛⎫⨯+⨯--⎪⎝⎭．（2）已知tan2α=，求()()cos2sin cos2πααπα⎛⎫+⎪⎝⎭-+-的值．【答案】（1）3；（2）2【分析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.【详解】解：（1）原式222211log3loglog232222312311313+-=⨯+-=+-=+-=；（2）原式()()cossin2sin cos2sin cosπαααπααα⎛⎫+⎪-⎝⎭==-+--+sin cos sin cos cos cos αααααα-=-+tan tan 1αα-=-+221-=-+2=.18．已知函数()223f x x ax =++，[]4,6x ∈-．(1)当2a =-时，求()f x 的最值；(2)若()f x 在区间[]4,6-上是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()min 1f x =-，()max 35f x =.(2)(][),64,-∞-+∞ 【分析】（1）利用二次函数的性质求()f x 的最值即可.（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a 的取值范围．【详解】（1）当2a =-时，()()224321f x x x x =-+=--，∴()f x 在[]4,2-上单凋递减，在[]2,6上单调递增，∴()()min 21f x f ==-，()()()()2max 4444335f x f =-=--⨯-+=.（2）()()222233f x x ax x a a =++=++-，∴要使()f x 在[]4,6-上为单调函数，只需4a -≤-或6a -≥，解得4a ≥或6a ≤-．∴实数a 的取值范围为(][),64,-∞-+∞ ．19．已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π．(1)求函数()f x 单调递增区间和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得ω，再结合sin y x =的性质即可求得所求；（2）利用整体法及sin y x =的单调性即可求得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【详解】（1）因为()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期π，所以2ππω=，得2ω=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，由π2π,Z 6x k k +=∈得ππ,Z 122k x k =-+∈，所以()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()12f x -≤≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.【详解】（1）解：10000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ，当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+，综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩.（2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时，()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，10000()61006100900W x x x =--+≤-=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.21．已知函数2()(0)21x f x a a =->+的图象在直线1y =的下方且无限接近直线1y =.(1)判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并用定义证明；(3)求函数()f x 的值域.【答案】(1)函数2()2+1x f x a =-在R 上单调递增，2()12+1x f x =-(2)奇函数，证明见解析(3)(1,1)-【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；（2）根据奇偶性的定义直接判断；（3）由奇偶性直接判断值域.【详解】（1）因为随着x 增大，22+1x减小，即22+1x -增大，故()f x 随x 增大而增大，所以函数2()2+1x f x a =-在R 上单调递增.由()f x 的图象在直线1y =下方，且无限接近直线1y =，得1a =，所以函数的解析式2()12+1xf x =-.（2）由（1）得2()12+1x f x =-，整理得21()2+1x x f x -=，函数()f x 定义域R 关于原点对称，211221()()211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++，所以函数()f x 是奇函数.（3）方法一：由（1）知()1f x <，由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故()1f x >-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-.方法二：由x R ∈，得20x >，得211x +>，得10121x <<+，得22021x --<<+，得211121x --<+<+，所以函数()f x 的值域为(1,1)-.22．已知函数()g x ax b =+，2()1h x x =+，()()()g x f x h x =．若不等式()()30h x g x --≤的解集为[]1,2-(1)求,a b 的值及()f x ；(2)判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并利用定义证明你的结论．(3)已知()12,0,,x x ∀∈+∞且12x x <，若()()12f x f x =.试证：122x x +>.【答案】(1)1,0a b ==；()21xf x x =+(2)函数()f x 在区间()0,1上的单调递增，证明见解析(3)见解析【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设12x x <，若()()12f x f x <，则单调递增，若()()12f x f x >，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大【详解】（1）()()30h x g x --≤，即220x ax b ---≤，因为不等式解集为[]1,2-，所以1204220a b a b +--=⎧⎨---=⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩，所以()21x f x x =+（2）函数()f x 在区间()0,1上的单调递增，证明如下：假设12x x <，则120x x -<()()()()()()()()22121212121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为()12,0,1x x ∈，所以1210x x ->，所以()()()()()()12121222121011x x x x f x f x x x ---=<++，即当12x x <时，()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间()0,1上的单调递增（3）由（2）可得：函数()f x 在区间()0,1上的单调递增，在区间()1,+¥上的单调递减，因为()()12f x f x =，且()12,0,x x ∈+∞，12x x <，所以()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞证明122x x +>，即证明212x x >-，即证明()()212f x f x <-，因为()()12f x f x =，所以即证明()()112f x f x <-，代入解析式得：()()1122112121x x x x -<+-+，即()()11221120121x x x x --<+-+，令()()()()222,0,1121x x x x x x ϕ-=-∈+-+，因为()21x f x x =+在区间()0,1上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，()()2221x x --+在区间()0,1上的单调递减，所以()()()()222,0,1121x x x x x x ϕ-=-∈+-+单调递增，即()()max 10x ϕϕ==，所以()0x ϕ<在区间()0,1上恒成立，即()()1122112121x x x x -<+-+，得证：122x x +>【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若()()212f x f x <-，且()f x 单减，则212x x >-；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数。

广州市四校联考2022-2023学年度第一学期期中考试（B ）高二数学本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）()3,122(1)(2)4x y -+-=A ．B ．3450x y --=34130x y +-=C ．或D ．或34130x y +-=3x =3450x y --=3x =2．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为{}n a n n S ()2114n n S a =+263n n S a ++（ ）A ．B ．4C ．3D ．23．已知过点的动直线l 与圆C ：交于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的(2216xy +=切线，两切线交于点N ．若动点，则的最小值为（ ）()()cos ,sin 02M θθθπ≤<MNA ．6B ．7C ．8D ．94．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的O xyz -()000,,P x y z (),,n a b c =平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知α()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=平面的方程为，直线是两平面与的交线，则α3570x y z -+-=370x y -+=4210y z ++=直线与平面所成角的正弦值为（ ）αA B C D 5．在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）{}n a 20200a >20212024a a >20222023a a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若，椭圆C ：与椭圆D ：的离心率分别为，，则28m <<2212x y m +=2218x y m +=1e 2e （ ）A ．．的最小值为C ．D ．的最大12e e ⋅12e e ⋅1212e e ⋅12e e ⋅值为127．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P C 的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）I 12PF F △12322IF IF PI += C A ．B ．CD13258．已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且()222210x y a b a b +=>>1F 2F P ，若的内切圆的半径满足，则21212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12F PF △1123sin PPF r F F =∠（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）2217a eb +C A BC D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）():0R l kx y k +=∈22:40C x y x +-=A ．存在实数，使得直线与圆相切B ．若直线与圆交于，两点，则k C C A B 的最大值为4ABC ．对于，圆上有4个点到直线的距离为1k =C 12D ．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点1k =-R λ∈()22:40E x y x y λλ+-++=C 10．如图，在直三棱柱中，，，为的中111ABC A B C -90ACB ∠=12AC BC CC ===E 11B C 点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（ ）AE 1BB 11A C F G A ．存在点，使得F 1A F AE ⊥B ．线段长度的取值范围是1C G []0,1C ．当点与点重合时，四棱锥的体积为F B C AFEG-2D ．设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为FEG AEG △AEF △1S 2S 3S 2123S S S 11．已知椭圆C ：的离心率为，短轴长为P 为C 上任意一点，()222210x y a b a b +=>>12、分别为C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）1F 2FA ．存在点P ，使得的长度为B ．1PF 1212PF F △C ．C 上存在4个不同的点P ，使得是直角三角形12PF F △D ．12PF F △12．已知数列满足，，记数列的前n 项和为，{}n a 1a a =121n n na a a +=+-{}2na -n S 对恒成立，则下列说法正确的有（ ）n S λ>N n *∈A ．若，则数列为递减数列B ，则数列为递0a >{}2na-2a <<{}n a 增数列C ．若a ＝3，则的可能取值为D ．若a ＝3，则λ3512155232n n S -≥-⋅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC 中，已知，则其外接圆的直径为______.4sin sin sin a b cA B C +-=+-14．对于数列定义：，，，…，{}n a (1)1n n n a a +∆=-(2)(1)(1)1n n n +∆=∆-∆(3)(2)(2)1n n n +∆=∆-∆（其中），称数列为数列的阶差分数列.如果()(1)(1)1k k k n n n--+∆=∆-∆*N n ∈{}()k n∆{}na k （常数）（），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是2阶等差数()k n d ∆=*N n ∈{}n a k {}n a 列，且，，，则数列的通项公式为_________.14a =27a =312a ={}n a 15．在棱长为的正方体中，是底面内动点，且平面，1111ABCD A B C D -M 1111D C B A //BM 1AD C 当最大时，三棱锥的体积为______．1D MD ∠1M AD C -16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F P C点，点.在点的运动过程中，(),A a b -(),B a b P 12PF F △成立的点有且只有个.当点在轴的下方运动时，记cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠P P x 的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最大值为________，的外接圆12PF F △RrR PAB 面积的取值范围为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．设{a n }是公比为正数的等比数列a 1=2，a 3=a 2+4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n 项和S n ．18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，D 为边BC 上一点，若．AB DBAC DC =(1)证明：①AD 平分∠BAC ，②；2AD AB AC DB DC =⋅-⋅(2)若，求的最大值．() 1sin sin c (os 1c )os B BAC B BAC +∠=+∠+a bc 19．已知两定点，，动点P 满足，直线()4,0A -()1,0B -2PA PB=:l ．()()211530m x m y m +++--=(1)求动点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；(2)记动点P 的轨迹为曲线E ，把曲线E 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线被曲线截得的最短的弦长；E 'E '(3)已知点M 的坐标为，点N 在曲线上运动，求线段MN 的中点H 的轨迹方程．()5,3E '20．如图，在四棱锥中，平面平面，P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====是的平分线，且.BD ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.P AB D --60PBD PCD 21．已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆C 2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =31,2⎛⎫⎪⎝⎭12,F F 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交1F 12,l l 2,,A B l 1x =于点P ．若，且点Q 满足，求面积的最小值．11AF F B λ= QA QB λ= 1PQF △22．已知椭圆,的离心率相同.点在椭221:1164x y E +=()22222:10,4x y E a b a a b +=>><()00,P x y 圆上，、在椭圆上.1E ()11,A x y ()22,B x y 2E(1)若求点的轨迹方程；2OP OQ =Q (2)设的右顶点和上顶点分别为、，直线、分别是椭圆的切线，、1E 1A 1B 1A C 1B D 2E C 为切点，直线、的斜率分别是、，求的值；D 1A C 1B D 1k 2k 2212k k ⋅(3)设直线、分别与椭圆相交于、两点，且若是中点，PA PB 2E E F ()AB tEF t =∈RMAB 求证：、、三点共线（为坐标原点）.P O M O参考答案：1．D 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为，()1,2()31y k x =-+则，可得，所以，即；斜率不存在时，2d 34k =()3314y x =-+3450x y --=，显然与圆相切，3x =综上，切线方程为或．3450x y --=3x =2．D 【分析】由结合求出，从而求得，由此求出()2114n n S a =+1n n n a S S --=n a n S 的表达式，利用基本不等式即可求得答案．263n n S a ++【详解】各项为正的数列，，时，{},0n n a a >()2114n nS a =+ 2n ∴ ，()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+即，化为：，，()221120n n n n a a a a ----+=()()1120n n n n a a a a --+--=10n n a a -+> ，12n n a a -∴-=又，解得，数列是等差数列，首项为1，公差为2．()211114a a =+11a =∴{}n a ，()12121n a n n ∴=+-=-，221(211)4n S n n ∴=-+=，当且仅当时取等222626341222321311n n S n n n a n n n +++∴===++-=+-+++ 1n =号，的最小值为2．263nn S a +∴+3．B 【分析】先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得,,,N A C B NC 方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆AB (AB N 160x +-=M上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解.221x y +=MN 【详解】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则(0,0)C ,CA CB ,CA NA CB NB ⊥⊥四点在以为直径的圆上，,,,N A C B NC 设，则该圆的圆心为，圆的方程为00(,)N x y 00(,)22x y ，又该圆和圆的交点弦即为，22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C AB 故，整理得，又点在直2222220000:16224x y x y AB x y x y +⎛⎫⎛⎫+----=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0016x xy y +=(线上，AB 故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小0016x =N 160x -=M 221x y +=MN值为圆心到直线的距离减去半径1.()0,0160x -=17=4．A 【分析】求出直线的方向向量，平面的法向量，再根据空间向量法求出线面角的α正弦值，即可得解．【详解】平面的方程为，平面的法向量可取α3570x y z -+-=∴α()3,5,1m =-平面的法向量为，平面的法向量为，370x y -+=()1,3,0a =-4210y z ++=()0,4,2b =设两平面的交线的方向向量为，(,,)n x y z =由，令，则，，所以，30420n a x y n b y z ⋅=-=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 3x =1y =2z =-()3,1,2n=- 则直线与平面所成角的大小为，αθsin cos m θ=5．A 【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.【详解】∵公比，∴，∴，0q ≠20212024a a >420212020a q a q >∴，∴，∴，∴，∴，4q q >()310q q ->()()2110q q q q -++>()10q q ->01q <<又∵，∴，∴，∴，∴且，20222023a a >2320202020>a q a q 23q q >()210q q ->1q <0q ≠∴且，即“”是“”的充分不必要条件．011q q <<⇒<0q ≠20212024a a >20222023a a >6．D 【分析】根据，求得两个椭圆的离心率，然后利用基本不等式求解.28m <<【详解】解：因为，所以28m <<1e=2e =所以，当且仅当时，1212e e ⋅===4m =等号成立，故的最大值为，无最小值．12e e ⋅1212e e ⋅7．B 【分析】取中点，由及得到三点共2PF M 22IP IF IM += 12322IF IF PI +=1,,F I M ∴线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解143F I IM =112Rt Rt F IN F F M △△a c 、出离心率.设是的中点，连接，如图，则，由，得M 2PF IM 22IP IF IM += 12322IF IF PI +=三点共线，.由既是121322340,IF IF IP IF IM ++=+= 1,,F I M ∴134,IF MI = 143F I IM ∴=1F M 的平分线，又是边上的中线，得12PF F ∠2PF 12112,2,F M PF PF F F c ⊥==.作轴于点，，且，2222,PF a c MF a c∴=-=-IN x ⊥N 112Rt Rt F IN F F M △△IN IM =.1112242,3F I F I F F cINIMMF ac ∴====-25ce a ∴==8．B 【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得121cos 2F PF ∠=，根据等面积法可得2124||||3PF PF b =r 标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，故，1211212222cos PF PF PF PF F PF PF PF ⋅=⋅∠=⋅ 121cos 2F PF ∠=又，则，12[0,π)F PF ∠∈12π3F PF ∠=由余弦定理知：222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==，12122224()41=11||||||22||2PF PF P a c b F PF --=-=所以，而，2124||||3PF PF b =1221212|||12|sin F PF PF PF PF S F ∠== 因为的内切圆的半径，故，12F PF △1212121(||||||)()2F PF PF PF F F rS c r a ++=+= 所以，则()a c r +2=r =由，即，1123sin P PF r F F =∠121121||2sin sin 3πsin 3PF rF PF F F F cPF =∠∠==且，所以，=2743(73)(1)0ee e e +-=-+=01e <<37e =时等号成立，2217a eb +==≥=3a =.9．BCD 【分析】根据切线的斜率是否存在，判断A ；根据弦长的最大值是直径，判断B ；首先计算圆心到直线的距离，再利用数形结合判断C ；根据圆系方程判断D.【详解】由，则圆心且半径为，2222:40(2)4C x y x x y +-=⇒-+=(2,0)C 2r =A ：因为直线过定点，若直线与圆相切，则直线的斜率不存在，即:0l kx y+=()0,0C ，故不正确；0y =B ：当直线经过圆心时，取最大值即圆的直径，故正确；AB224⨯=C ：因为圆心到直线的距离，所以，所以圆上有4个点C d ==122r d -=>C 到直线的距离为，故正确；12D ：当时直线，曲线，即1k =-:0l x y -=()22:40E x y x y λλ+-++=一定过直线与圆的交点，故正确．()2240x y x x y λ+---=:0l x y -=22:40C x y x +-=10．BC 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空C CA CB 1CC x y 间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直()0,2,F a (),0,2G b 02a ≤≤02b ≤≤的坐标表示可判断A 选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选b a 项；利用锥体和台体的体积公式可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为平面1CC ⊥，，以点ABC AC BC ⊥为坐标原点，C 、、所在直线CA CB 1CC 分别为、、轴建立如x y 下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,0C ()12,0,2A ()10,2,2B ()10,0,2C ()0,1,2E 设点、，其中，.()0,2,F a (),0,2G b 02a ≤≤02b ≤≤对于A 选项，若存在点，使得，且，，F 1A F AE ⊥()12,2,2A F a =--()2,1,2AE =- ，解得，不合乎题意，A 错；()142220A F AE a ⋅=++-=1a =-对于B 选项，设，其中、，AG mAE nAF =+ m n ∈R 即，即，可得，()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-2222022m n b m n m an --=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩424b a =+-，则，所以，，B 对；02a ≤≤ 442a -≤-≤-[]420,14b a =+∈-对于C 选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所F B 0a =1b =G 11A C示：在直三棱柱中，四边形为矩形，则且，111ABC A B C -11AA B B 11//AB A B 11A B AB =、分别为、的中点，则且，E G 11B C 11A C 11//EG A B 1112EG A B =所以，且，同理且，且，//EG AB 12EG AB =1//C G AC 112C G AC =1//C E BC 112C E BC =所以，，故几何体为三棱台，1112C E C G EG AB BCAC ===1ABC GEC -，，122ABC S AC BC =⋅=△1111122C EG S C E C G =⋅=△，(111117723323ABC GEC ABC GEC V S S CC -=+⋅=⨯⨯=，因此，，C 对；111111123323C GEC GEC V S CC -=⋅=⨯⨯=△112C AEFG ABC GEC C GEC V V V ---=-=对于D 选项，，，()2,1,2AE =- ()2,2,AF a =-则点到直线的距离为，FAE 1d =的距离为()2,0,2AG b =-2d==所以，，故223124S d S d a ==-，()222331223233224222442S S S S S a S S S S S S a +-==++=++≥+=-当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D 错.2a =2123S S S 4【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．BCD 【分析】对于A ，根据椭圆焦点弦的范围，即可判断，[],a c a c -+对于B, 根据，当高最大时，面积最大，即可判断，12122PF F S c y c y=⨯= 对于C ，根据顶角最大为最大为，故不存在点P ，使．但当或12F PF ∠3π122F PF π∠=2PF 垂直于x 轴时，有四个不同的直角三角形，即可判断，1PF 对于D, 根据，即面积最大时，内切圆半径的最大，即可求解.12PF F S =△()3a c r r+⨯=【详解】由题意得，解得，解得，则椭圆C的方程为，222122c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=选项A ：P 为C上任意一点，则，故不正确，113PF ≤≤选项B ：面积为．当点P 落在短轴端点时，面积最12PF F △12122PF F S c y c y =⨯= 12PF F △选项C ：点P 在椭圆上，则，，所以124PF PF +=122F F =()222221212121212121212121212216426cos 1222PF PF F F PF PF PF PF F F PF PF F PF PF PF PF PF PF PF PF PF +--+---∠====-，因为，当且仅当时等号成立，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫= ⎪⎝⎭≤12PF PF =，所以最大为．故不存在点P ，使．当12126cos 1F PF PF PF ∠=-12≥12F PF ∠3π122F PF π∠=或垂直于x 轴时，有四个不同的直角三角形，故正确；2PF 1PF 选项D ：设的内切圆半径为r ，的面积12PF F △12PF F△()121212F F PF PF r =++⨯=，若r 最大，需的面积最大，选项B 可知，当点P 落在短轴端点时，()3a c rr +⨯=12PF F △12PF F △r =12．BCD 【分析】对于A ，取特殊情况，可得答案；对于B ，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；对于C 、D ，同B ，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【详解】对于A ，令，解得，即数列的不动点为2，所以当121n n nna a a a +=+-=2n a ={}n a a ＝2时，，此时为常数列，A 错误；2n a ={}2na -对于B ，作出函数与函数y ＝x 的图像如图：由图可知B 正确；21y x x =+-对于C ，作出函数与函数y ＝x 的图像如图：21y x x =+-由图可知：，∴，∴123n n a a +<<≤11132n a ≤<1221112n n n n na a a a a +⎛=-+=- ⎝，即，又∵，∴，189n n na a a +≤<1221n n n n n a a a a a +--=-=()12n n n n a a a a +-=-一方面，由得，189n n a a +≥1179n n na a a ++≥∴，，()1917n n n a a a +≤+()()21219217n n n n n n a a a a a a ++-=-≤-∴()()()()()()()2222222121223119922291717n n n n n S a a a a a a a a a a ++=-+-++-≤-+-+⎡+-=-⎤⎣⎦ ∵，且当n →＋∞，，∴，∵，12n a +>12n a +→()945941717n S <-=35451217>∴另一方面，由，，得()()212132223n n n n n n n n n a a a a a a a a a +---+-=+-==23n a <≤，，12112n n n a a a +-=--112123n a <-≤又∵，，，且，∴121a -=2223a -=35212a -=()11222n n a a +->-⋅，()()()3121225151552221312122122232n n n n S a a a --⎛⎫=-+-++-≥+++⋅++⋅=-⎪⋅⎝⎭ 13．4 【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解.ABC R 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理可得：，ABC R 2sin sin sin a b cRA B C ===所以，所以外接圆直径为，24sin sin sin 222a b c a b cR a b c A B C R R R +-+-===+-+-ABC 414． 【分析】计算，，，确定，再23n a n =+)1(13∆=)2(15∆=(1)21n n =+∆121n n a a n +-=+利用累加法计算得到答案.【详解】根据题意：，，，(2)(1)(1)1n n n d +=∆-∆=∆12(1)13a a =-=∆23(1)25a a =-=∆故，故，，(2)(1)(12)11532∆∆=∆-==-()(1)(1)1121n n d n ∆=+-=+∆121n n a a n +-=+故.()()()21122112123343n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=-+-+++=+ 15． 【分析】根据面面平行的判定可证得平面平面，由此可得点轨迹1611//A BC 1AD C M 为线段；根据，可知当时，最大；利用体积桥11A C 111tan DD D MD D M ∠=111D M A C ⊥1D MD ∠，结合棱锥体积公式可求得结果.11M AD C D ACMV V --=【详解】，平面，平面，平面，11//A B CD 1A B ⊄1AD C 1CD ⊂1AD C 1//A B ∴1AD C 同理可得：平面，又，平面，平面平11//A C 1AD C 1111A B A C A = 111,A B A C ⊂11A BC ∴11//A BC 面，1AD C 平面平面，点轨迹为线段， 11A BC ⋂111111A B C D AC=M ∴11A C 平面，平面，，1DD ⊥ 1111D C B A 1D M ⊂1111D C B A 11DD D M ∴⊥，则当最小时，最大；11111tan DD D MD D M D M ∴∠==1D M 1D MD ∠四边形为正方形，当，即为中点时， 1111D C B A ∴111D M A C ⊥M 11A C 最小；1D M 当为中点时，最大，∴M 11A C 1D MD ∠平面，平面， ，1CC ⊥ 1111D C B A 1D M ⊂1111D C B A 11CC D M ∴⊥，平面，1111A C CC C = 111,A C CC ⊂11A C CA ⊥11A C CA1111122ACM A C CA S S ==⨯= 1D M =.111111336M AD C D ACM ACM V V S D M --∴==⋅==16．(4,162ππ⎡⎤⎣⎦【解析】若成立，分别讨论和时矛盾，可cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠2APB π∠<2APB π∠>得，则得出，由三角形面积最大值得2APB π∠=2a b =12PF F 122c b ⨯⨯=，由余弦定理可得，由三角形2,1,a b c ===12F PF θ∠=1221cos PF PF θ⋅=+面积得最大值；设的外接圆的圆心，12PF F r =r R PAB ()0,D m 设,其中，由，可得，令，()2cos ,sin P αα(),2αππ∈DA DP =()23sin 121sin m αα+=-1sin t α=-则，利用导数求出，，即可求出.(]1,2t ∈3,1m ⎡⎤∈⎣⎦【详解】若成立，cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB ∠∠+=∠∠显然当在左右顶点时，等式不成立，则和为锐角，P ∠PAB PBA ∠若，则，即，2APB π∠<2PAB PBA π∠+∠>2-PAB PBAπ∠>∠则，即，则，sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠>∠ ⎪⎝⎭sin cos PAB PBA ∠>∠cos 1sin PBA PAB ∠<∠同理，，则，则，与已知矛盾；sin cos PBA PAB ∠>∠cos 1sin PAB PBA ∠<∠cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB ∠∠+<∠∠若，则，即，2APB π∠>2PAB PBA π∠+∠<2-PAB PBAπ∠<∠则，即，则，sin sin 2-PAB PBA π⎛⎫∠<∠ ⎪⎝⎭sin cos PAB PBA ∠<∠cos 1sin PBA PAB ∠>∠同理，，则，则，与已矛盾，sin cos PBA PAB ∠<∠cos 1sin PAB PBA ∠>∠cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB ∠∠+>∠∠综上，若成立，，cos cos 2sin sin PAB PBA PBA PAB ∠∠+=∠∠2APB π∠=点在以AB 为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点∴P 为椭圆的下顶点，，2a b ∴=，，可解得，12PF F △122c b ∴⨯⨯=222a b c =+ 2,1,a b c ===设，在中，由余弦定理可得，12F PF θ∠=12PF F △2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅⋅，则可得，1224PF PF a +== 1221cos PF PF θ⋅=+，12121sin sin 21cos PF F S PF PF θθθ∴=⋅⋅=+ 又，，则()(121212122PF F S r PF PF F F r =++= (sin 21cos rθθ∴=+r=由正弦定理可得，则122sin F F Rθ=R =，)1cos r Rθ∴=-==当在下顶点时，最小，此时，P cos θ23πθ=rR 可得的外接圆的圆心在轴上，设圆心为，PAB y ()0,D m 设,其中，则，即()2cos ,sin P αα(),2αππ∈DA DP=，可得，()()()2222212cos sin m m αα+-=+-()23sin 121sin m αα+=-令，则，则令，则1sin t α=-(]1,2t ∈236432322t t m t t t -+==+-()3232f t t t =+-，()222323422t f t t t -'=-=当时，，单调递减，t ⎛∈⎝()0f t '<()f t ，单调递增，2t ⎤∈⎥⎦()0f t '>()f t ，，，，()min 3f t f∴==()112f = ()21f =，()max 1fx ∴=3,1m ⎡⎤∴∈⎣⎦则，则的外接圆()(22414,162DA m ⎡⎤=+-∈⎣⎦PAB 面积.(24,162DA πππ⎡⎤⋅∈⎣⎦.(4,162ππ⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查椭圆综合问题，解题的关键是判断出若成立，cos cos 2sin sin PAB PBAPBA PAB ∠∠+=∠∠，从而求出.2APB π∠=,,a b c 17．（Ⅰ）a n =2×2n ﹣1=2n （Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n 2=2n+1+n 2﹣2【详解】试题分析：（Ⅰ）由{a n }是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a 1=2，a 3=a 2+4可求得q ，即可求得{a n }的通项公式（Ⅱ）由{b n }是首项为1，公差为2的等差数列 可求得b n =1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n 项和公式即可求得数列{a n +b n }的前n 项和S n ．解：（Ⅰ）∵设{a n }是公比为正数的等比数列∴设其公比为q ，q ＞0∵a 3=a 2+4，a 1=2∴2×q 2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1∵q ＞0∴q="2" ∴{a n }的通项公式为a n =2×2n ﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n }是首项为1，公差为2的等差数列∴b n =1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n +b n }的前n 项和S n =+=2n+1﹣2+n 2=2n+1+n 2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n 项和公式时注意辨析q 是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．18．(1)①证明见解析 ；②证明见解析【详解】（1）①设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，在△ABD 中，由正弦定理得：，即，sin sin AB BD BDA α=∠sin sin AB BDABD α∠=在△ACD 中，由正弦定理得：，即sin sin CD AC CDA β=∠sin sin AC CDACD β∠=由题意可得：，则AB AC BD CD =sin sin sin sin BDA CDA αβ∠∠=∵，则∴， πBDA CDA ∠+∠=sin sin BDA CDA ∠=∠sin sin αβ=又因为，所以α=β，即所以AD 平分∠BAC ，π02αβ＜、＜BAD CAD ∠=∠②由题意可得：，即cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22222222AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC +-+-+=⋅⋅整理得：∵，222DC BD BD DC BD DC BD AD B DC A AC =+-⋅++AB DBAC DC =∴即证222AC ABBD DC AB AC AB AC AD AB AC AB AC DB DC==+-⋅⋅+-⋅+（2）因为，即()1+sin sin =cos (1+cos )B BAC B BAC ∠∠sin cos 1cos 1sin BAC BBAC B∠=+∠+又∵2sin sin 22sin cos tan 1cos 1cos 212cos 1BAC BAC αααααα∠===+∠++-222cos sin cos sin cos sin cos sin 1tan cos π222222222tan 1sin 4212sin cos cos sin 1tan cos sin 2222222B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=====- ⎪+⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭所以，即所以，则∴π42B α=-π22B α+=π2BAC B ∠+∠=222a b c +=，当且仅当时等号成立所以()()()()222222222a b a b a b a b c a b +++=≤=++=a b +a bc19．(1)动点P 的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆；(2)224x y +=(3)．()()22321x y -+-=【详解】（1）设点，由得，化简得(),P x y 2PA PB==，224x y +=∴动点 P 的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆；224x y +=（2）∵曲线E 的方程为，∴曲线的方程为，圆心为224x y+=E '()()22114x y -+-=在，半径为2，()1,1E '又∵直线可化为，由，可得，∴直线恒过定()2530x y m x y +-++-=25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩21x y =⎧⎨=⎩点，()2,1D 由平面几何知识可知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，∵，半径为2，∴最E D '1E D '=短弦长为；=（3）设，，又点M 的坐标为，所以，∴，(),H x y ()00,N x y ()5,3005232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩002523x x y y =-⎧⎨=-⎩∵点 N 在圆：上运动，∴，E '()()22114x y -+-=()()2200114x y -+-=所以，即，∴点 H 的轨迹方程是()()222512314x y --+--=()()22321x y -+-=．()()22321x y -+-=20．(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接，在中，是的平分线，,CB DA F PF CDF BD ADC ∠且，BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，又是的中点，，∴CDF B CF E PC BE PF ∴∥又平面平面，直线平面.PF ⊂,PAD BE ⊄PAD ∴BE PAD （2）在中，ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，由已知得90BAD∠=BA AD ⊥，60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，所以，又，所以PAD ∠P AB D --60PAD ∠=2PA AD ==为正三角形，PAD 取的中点为，连，则平面AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=-设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，所以.00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y =)1n =- 3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ 则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．（1）；（2）6. 【分析】（1）根据椭圆的离心率为，可得，22143x y +=12e =2234b a =再将点代入椭圆方程可得，解出可得答案.31,2⎛⎫⎪⎝⎭221914a b +=22,a b （2）设直线，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出点坐标，求出1:1l x my =-Q 的长度，得出直线的方程为：与直线求出点坐标，得出长度，1Q F 2l 11x y m =--1x =P 1PF 从而表示三角形面积，得出最值.【详解】解析：（1）由题意，得，解得：，所以椭圆的方程222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩224,3a b ==为．22143x y +=（2）由（1）可得,若直线的斜率为0，则的方程为：与直线无交点，()11,0F -2l=1x -1x =不满足条件.设直线，若，则则不满足，所以1:1l x my =-0m =1λ=QA QB λ=m ≠设，()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y 由，得：，2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩()2234690m y my +--=，12122269,3434m y y y y m m +==-++因为，即11AF F B QA QB λλ⎧=⎨=⎩()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩则，12y y λ-=()1020y y y y λ-=-所以，解得．101220y y y y y y λ-=-=-1201223yy y y y m ==-+直线的方程为：2l11x y m=--联立，解得，所以111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩(12)P m -，1PF =所以，()12113111362PQF m S F Q F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当时，．1m =±()1min6PQF S= 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出，进而求出点的坐标，得到的长度，从而表1201223y y y y y m ==-+1QF 示出三角形的面积，属于中档题.22．(1)(2)(3)证明见解析2214x y +=116 【分析】（1）设点，可得出，由已知可得出，将代入(),Q x y 0022x x y y =⎧⎨=⎩22001164x y +=0022x x y y =⎧⎨=⎩等式化简可得出点的轨迹方程；22001164x y +=Q （2）分写可得出，写出直线、的方程，将这两条直线的方程分别与椭圆2ab =1A C 1B D 的方程联立，由判别式方程可得出、的表达式，即可求得的值；2E 21k 22k 2212k k ⋅（3）不妨设、，且，，可得出()33,E x y ()44,F x y AE AP λ= ()01BF BP λλ=<<，代入椭圆的方程，可得出()()31013101x x x x y y y y λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩2E ，同理可得出()()()22220101214116x x y y a a λλλλ-+=-+-，两式作差，结合点差法证明出，()()()2222020*******x x y y a aλλλλ-+=-+-OM OP k k =即可证得结论成立.【详解】（1）解：设点，由，可得，(),Q x y 2OP OQ = 0022x xy y =⎧⎨=⎩因为点在椭圆上，则，即，即.P 1E 2201164x y+=()()22221164x y +=2214x y +=因此，点的轨迹方程为.Q 2214x y +=（2）解：易知点、，直线的方程为，()14,0A ()10,2B 1A C ()14y k x =-直线的方程为，1B D 22y k x =+因为椭圆与椭圆的离心率相等，且椭圆的离心率为1E 2E1E 1e ==椭圆的离心率为，2E 2e =2ab =所以，椭圆的方程为，即，2E 222241x y a a +=2224x y a +=联立可得，()122244y k x x y a ⎧=-⎨+=⎩()222221114132640k x k x k a +-+-=，可得，()()24222111132441640k k k a ∆=-+-=2212644a k a =-联立可得，222224y k x x y a =+⎧⎨+=⎩()222224116160k x k x a +++-=，可得，()()222222256441160k k a ∆=-+-=2222164a k a -=因为，则.04a <<()222212221614416a a k k aa -⋅=⋅=-（3）证明：，则，则，()AB tEF t =∈R //EF AB AE BFAP BP=不妨设、，且，，()33,E x y ()44,F x y AE AP λ= ()01BF BP λλ=<<所以，，所以，，()()31310101,,x x y y x x y y λ--=--()()31013101x x x x y y y y λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩代入椭圆的方程可得，2E 222334x y a +=即，()()2221011014x x x y y y a λλ+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为，，222114x y a +=2200416x y +=所以，，①()()()2222010*******x x y y a a λλλλ-+=-+-同理可得，②()()()2222020*******x x y y a a λλλλ-+=-+-①②可得，所以，，-()()01201240x x x y y y -+-=()0120124OP y x xk x y y -==--因为，这两个等式作差可得，222112222244x y a x y a ⎧+=⎨+=⎩()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=所以，，故、、三点共线.()121212124OM OPy y x xk k x x y y +-==-=+-P O M 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。

2022-2023学年广东省广州市附属江门学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列关系式中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．0N ∉{}(){}212⊆,πQ∈{}1,2,3∅⊆【答案】D【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系进行判断即可.【详解】，所以A 错误；0N ∈集合是点集，集合{2}数集，没有包含关系，故B 错误；{(1,2)}是有理数集，，所以C 错误；Q πQ ∉空集是任何集合的子集，所以D 正确.故选：D.2．若集合，，则（ ）{}1,2A =-{}1,2,5B =A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}2{}1,1,2,5-{}1,2,5-{}1,2,5【答案】B【分析】利用并集的定义即可求解【详解】因为，，所以，{}1,2A =-{}1,2,5B ={}1,1,2,5A B ⋃=-故选：B3．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为{}260A x x x =+-=∣{}10B x mx =+=∣B A ⊆m （ ）A ．B ．C ．D ．110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】先解出集合A ，根据，分类讨论求出实数.B A ⊆m 【详解】.{}{}2603,2A x x x =+-==-∣因为，所以，，.B A ⊆B =∅{}3B =-{}2B =当时，关于x 的方程无解，所以；B =∅10mx +=0m =当时，是关于x 的方程的根，所以；{}3B =-3x =-10mx +=13m =当时，是关于x 的方程的根，所以.{}2B ==2x 10mx +=12m =-故实数的取值构成的集合为.m 110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故选：D 4．函数的最小值为（ ）()911y x x x =+>-A ．8B ．7C ．6D ．2【答案】B【分析】结合基本不等式求得最小值.【详解】，1,10x x >->，99111711x x x x +=-++≥+=--当且仅当时等号成立.91,41x x x -==-故选：B5．函数，，则（ ）221y x x =++[]2,2x ∈-A ．函数有最小值，最大值B ．函数有最小值，最大值0925C ．函数有最小值，最大值D ．函数有最小值，最大值2905【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，判断在区间上的单调性，进而可得最值.[]22-,【详解】对称轴为，开口向上，()22211y x x x =++=+=1x -所以在上单调递减，在上单调递增，221y x x =++[]2,1--[]1,2-所以当时，，=1x -min 1210y =-+=当时，，2x =2max 22219y =+⨯+=所以函数有最小值，最大值，09故选：A.6．不等式的解集为，则的解集为 （ ）220ax bx ++>{}12x x -<<220x bx a ++<A ．B ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-12x ⎫>⎬⎭C ．或D ．{2x x ≤12x ⎫>⎬⎭112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】由不等式的解集得到对应方程的根，结合韦达定理，求出，再代入所求的一元二次不,a b 等式，即可求解.【详解】因为不等式的解集为，220ax bx ++>{}12x x -<<所以和是方程的两根，1-2220ax bx ++=则，解得，12212b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩11a b =-⎧⎨=⎩所以不等式即化为，所以，220x bx a ++<2210x x +-<(21)(1)0x x -+<解得.112x -<<故选：A7．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，R a A ．B ．C ．D ．213⎛⎤⎥⎝⎦，215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，223⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可.()f x R a 【详解】由题意得， 解得； 解得；当时1a -≤1a ≥-230,a -<23a >1x =122231,a a --+≤-+解得.2a ≤综上得实数的取值范围为.a 223a <≤故选：D.8．下列说法正确的是（ ）A ．不等式的解集为()()2110x x --<1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．若实数满足，则,,a b c 22ac bc >a b>C ．若，则函数2R x ∈y D ．当时，不等式恒成立，则的取值范围是R x ∈210kx kx -+>k ()04，【答案】B【分析】直接解一元二次不等式即可判断A ；根据不等式的性质判断B ；根据基本不等式求最值即可判断C ；根据不等式恒成立的解法求出k 的范围，即可判断D.【详解】对A ，由解得或，故A 错误；(21)(1)0x x --<12x <1x >对B ，由于，对两边同除，得到，故B 正确；20c >22ac bc >2c a b >对C ，利用基本不等式知，故C 错误；2≥2y >对D ，①当时，不等式为，恒成立；②当时，若要使不等式恒成立，=0k 10>0k ≠2+1>00kx kx k -⎧⎨>⎩则，解得，所以当时，不等式恒成立，则k 的取值范围是，故D04k <<R x ∈210kx kx -+>[0,4)错误；故选：B二、多选题9．函数是定义在R 上的奇函数，下列说法中正确的是（ ）()f x A ．(0)0f =B ．若在上有最小值－1，则在上有最大值1()f x [)0,∞+()f x (],0-∞C ．若在上为增函数，则在上为减函数()f x [)1,+∞()f x (],1-∞-D ．，使R x ∃∈()()f x f x -≠-【答案】AB【分析】利用奇函数定义，使，结合奇函数与单调性的结论处理判断．R x ∀∈()()f x f x -=-【详解】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则，使R x ∀∈()()f x f x -=-D 不正确；令，则，即0x =(0)(0)f f =-(0)0f =A 正确；若在上有最小值－1，即对，，使得()f x [)0,∞+[)0,x ∞∀∈+[)00,x ∃∈+∞()()01f x f x ≥=-当时，，即在上有最大值1(],0x ∈-∞()()()01f x f x f x =--≤-=()f x (],0-∞B 正确；根据奇函数在对称区间单调性相同可知C 不正确；故选：AB ．10．下列命题中，真命题的是（ ）A ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件B ．“”是“”的充要条件1x =21x =C ．命题“∃x 0∈R ，使得”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+x +1≥0”20010x x ++<D ．命题“∀x ∈R ，x 2+x +1≠0”的否定是“∃x 0∈R ，”20010x x ++=【答案】ACD【分析】利用充分性与必要性判断AB 的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD 的正确性.【详解】对于A ，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，故1a >1b >1ab >1ab >1a >1b >，是的充分不必要条件，故A 正确；1a >1b >1ab >对于B ，“”是“”的充要条件，故B 错误；1x =±21x =对于C, 命题“∃x 0∈R ，使得”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+x +1≥0”,故C 正确；20010x x ++<对于D ，命题“∀x ∈R ，x 2+x +1≠0”的否定是“∃x∈R ，”，故D 正确.20010x x ++=故选：ACD 11．已知幂函数，则（ ）()()2mf x m x =-A ．B ．定义域为3m =[)0,∞+C ．D ( 1.5)( 1.4)m m-<-2=【答案】AC 【分析】根据为幂函数得可判断A ；根据幂函数的解析式可判断B ；利用单调性可判断()f x m C ；D.【详解】为幂函数，，得，A 对；()f x 21m ∴-=()33,=∴=m f x x 函数的定义域为，B 错误；()f x R 由于在上为增函数，，C 对；()f x R 331.5 1.4,( 1.5)( 1.4)-<-∴-<-，D 错误，()3228f == =故选：AC.12．已知集合，，则使成立的实数m 的取值范{|06}A x x =≤<{}141B x m x m =-≤≤+A B A ⋃=围可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2 3m <-23m ≤-514m ≤<514m ≤≤【答案】AC【分析】先根据题意得出A ，然后对集合B 是空集和不是空集两种情况进行讨论，进而得到答B ⊆案.【详解】，A .A B A = B ∴⊆若B 不为空集，则，解得，141m m -≤+23m ≥-，，{|06}A x x =≤< {|141}B x m x m =-≤≤+且，解得．10m \-³416m +<514m ≤<此时．514m ≤<若B 为空集，则，解得，符合题意．141m m ->+23m <-综上，实数m 满足或．23m <-514m ≤<故选：AC.三、填空题13．函数的定义域为________．1()f x x =【答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.x 【详解】由题要使得有意义，则，()f x 200x x -≥⎧⎨≠⎩故且，2x ≤0x ≠从而的定义域为，()f x (,0)(0,2]-∞ 故答案为：.(,0)(0,2]-∞ 14．设，，则_______．()21f x x =+()245g x x =+()2g f =⎡⎤⎣⎦【答案】105【分析】先求，再求(2)f ()2g f ⎡⎤⎣⎦【详解】解：因为，()21f x x =+()245g x x =+所以，()22215f =⨯+=所以，()()225455105g f g ==⨯+=⎡⎤⎣⎦故答案为：10515．已知正实数x ，y 满足，则最小值为______．111x y +=4x y +【答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】正数，满足：，x y 111x y +=，∴()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即，时 “”成立，4y x x y =2x y =233x y ==，=故答案为：.916．关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________．x 220ax ax +-<R a 【答案】(8,0]-【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可=0a 0a ≠0a ≠x 【详解】若,得,符合题意1︒=0a 20-<若,由题知,解得2︒0a ≠2<0Δ=+8<0a a a ⎧⎨⎩80a -<<综上实数的取值范围是a (8,0]-故答案为：(8,0]-四、解答题17．设全集为R ，集合或，，|3{A x x =≤9}x ≥{}29|B x x =-≤≤(1)求，.A B ⋂A B ⋃(2)求()U B A【答案】(1)或，；{|23A B x x ⋂=-≤≤9}x =A B ⋃=R (2){|39}x x <<【分析】按定义进行交集、并集、补集运算即可【详解】（1）或，；{|23A B x x ⋂=-≤≤9}x =A B ⋃=R （2），{|39}U B x x =<< {|39}()U B A x x ⋂=<< 18．（1）已知，求的最大值；01x <<()33y x x =-（2）已知，，若，求的最小值．0x >0y >2xy =2x y +【答案】（1）；（2）434【分析】（1）由题意可得，再将函数变形为，然后利用基本不等式10x ->()()3331y x x x x =-=-求出其最大值，（2）利用基本不等式结合题意可得结果.【详解】（1）∵，∴，01x <<10x ->因此；()()2133331324x x y x x x x +-⎛⎫=-=-≤⋅= ⎪⎝⎭当且仅当，即，y 有最大值；1x x =-1=2x 34（2）∵，且，0x >0y >2xy =∴；24x y +≥=当且仅当，即，时，有最小值4．2x y ==1x =2y 2x y +19．已知函数()32f x x=+(1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；()f x ()0,∞+(2)若，求函数的最大值和最小值.[]2,7x ∈【答案】(1)减函数，证明见解析(2)，72177【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可求解；（2）根据（1）中的单调性求解最值即可.【详解】（1）任取，， 且1x 2x 120x x <<则-()()()21121212123333322x x f x f x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪⎝⎭因为，所以，120x x <<210x x ->120x x >所以，即，()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在区间上是减函数．3()=2f x x +()0,∞+（2）因为函数在区间上是减函数，3()=2f x x +[]2,7所以，.()max 7()=22f x f =()min 17()=77f x f =20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．()f x R 0x ≥()(1)f x x x =-+(1)当时，求的解析式；0x <()f x (2)若，求的值．()2f x =-x 【答案】(1)当时，；0x <()(1)f x x x =-(2)或.=1x -1x =【分析】（1）设时，，则，再根据偶函数性质即可得时，求0x <>0x -()()1f x x x -=-0x <的解析式；()f x （2）分和两类，分别解不等式即可得答案.0x >0x <【详解】（1）解：（1）当时，，所以，0x <>0x -()()()()11f x x x x x -=---=-又是偶函数，∴，()f x ()()f x f x -=∴，()()()()()11f x x x x f x x -=--==--所以当时，；0x <()(1)f x x x =-（2）解：当时，()2f x =-当时，，即，解得（舍去），0x <()(1)2f x x x =-=-220x x --==1x -2x =当时，，∴. （舍去），0x >()(1)2f x x x =-+=-1x =2x =-综上，或.=1x -1x =21．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x 万盒，需投入成本h （x ）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时()180100h x x =+，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以()2603500h x x x =++全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.【答案】(1)；220300,0501403700,50x x y x x x -≤≤⎧=⎨-+->⎩(2)产量为70万盒，最大利润为1200万元.【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.【详解】（1）依题意，当时，，050x ≤≤200200(180100)20300y x x x =--+=-当时，，50x >22200200(603500)1403700y x x x x x =--++=-+-所以销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为：.220300,0501403700,50x x y x x x -≤≤⎧=⎨-+->⎩（2）当 时，单调递增，，当且仅当时取等号；050x ≤≤20300y x =-2050300700y ≤⨯-=50x =当 时，，当且仅当时取等号，而，50x >2(70)12001200y x =--+≤70x =7001200<因此当时，，70x =max 1200y =所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.22．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.()f x 0x ()00f x x =0x ()f x 已知函数.()()()2110f x ax b x b a =+++-≠(1)当，时，求函数的不动点；1a =2b =-()f x (2)若对任意的实数b ，函数恒有两个不动点，求实数a 的取值范围；()f x(3)在（2）的条件下，若图象上两个点A 、B 的横坐标是函数的不动点，且线段AB ()y f x =()f x 的中点C 在函数的图象上，求实数b 的最小值.()2541a g x x a a =-+-+【答案】(1)和31-(2)01a <<(3)1-【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；（2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即()2410b a b ∆=-->b 可；（3）求出点C 坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小()g x 12b x x a +=-22541a b a a =--+值即可.【详解】（1）当，时，由，解得或，1a =2b =-()23f x x x =--23x x x --=3x ==1x -故所求的不动点为和3.1-（2）令，则①()f x x =210ax bx b ++-=由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，()2410b a b ∆=-->即对任意的恒成立，2440b ab a -+>b ∈R 则，∴.216160a a '∆=-<01a <<（3）依题意设，，则AB 中点C 的坐标为，()11,A x x ()()2212,B x x x x ≠1212,22x x x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭又AB 的中点在直线上，()2541a g x x a a =-+-+∴，∴，1212222541x x x x a a a ++=-+-+122541a x x a a +=-+又，是方程①的两个根，∴，即，1x 2x 12b x x a +=-2541b a a a a -=-+∴，2222115411114521a b a a a a a =-=-=--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，∴.所以时，b 的最小值为.01a <<11a >12a =1-。

2022-2023学年广东省广州二中高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，则（ ）{0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={2,3,4}B =()U B A ⋂=A ．B ．C ．D ．{2,4}{3,4}{2,3}{4}【答案】A【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.【详解】全集，集合，则，而，{0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={2,4,5}U A ={2,3,4}B =所以.(){2,4}UA B ⋂= 故选：A2．已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是()y f x =()()f x f x -=(,0)-∞()y f x =（ ）A ．B ．C ．D ．1()f x x=-2()f x x=-()e ex xf x -=+1()ln1x f x x-=+【答案】C【分析】求出各个选项中函数的定义域，再判断该函数是否同时满足两个条件作答.【详解】对于A ，函数的定义域是，，A 不是；1()f x x =-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x -==-对于B ，函数的定义域是R ，而在上单调递增，B 不是；2()f x x =-()f x (,0)-∞对于C ，函数的定义域是R ，，，()e e x x f x -=+()e e ()x xf x f x -=-=+1212,(,0),x x x x ∀∈-∞<，因，则，1122121212()()e e e e e e e 1()()1e (x x x x x x x x f x f x ---==-⋅++--120x x <<120<e e 1x x <<有，即有，因此，在上单调递减，121210,e e e 10e x x x x -<-<⋅12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (,0)-∞C 正确；对于D ，函数的定义域是，，D 不是.1()ln1xf x x -=+(1,1)-1()ln ()1x f x f x x +-==--故选：C3．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）x 20x x m ++=()1,2m A ．B ．C ．D ．[6,2]--(6,2)--(,6][2,)-∞-⋃-+∞(,6)(2,)-∞--+∞ 【答案】B【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次2m x x =--()1,2()2f x x x =--()1,2x ∈函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围.()f x 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根，x 20x x m ++=()1,2所以在区间内有实根，2m x x =--()1,2令，，所以在上单调递减，()2f x x x=--()1,2x ∈()f x ()1,2所以，即，()()()21f f x f <<()()6,2f x ∈--依题意与在内有交点，y m =()y f x =()1,2所以.()6,2m ∈--故选：B4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）1137x ≥+A ．B ．C ．D ．(3,0)-[3,4]-(3,4]-[)3,4-【答案】A【分析】根据分式不等式求解，再分析充分不必要条件即可.1137x ≥+【详解】因为，故，所以，解得，其充分不必要条件范围11037x ≥>+30x +>037x <+≤34x -<£要为的真子集，选项中仅符合.(3,4]-(3,0)-故选：A5．已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．π23π43π53π【答案】A【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系，再利用圆锥侧面展开图的特征求解作答.【详解】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r ，有，令圆锥母线长为，有，21r π=l 2π3r rl π+=因此，12r l =显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l ，2C r π=所以圆锥侧面展开图的圆心角为.2πC r l l πα===6．已知函数在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）221()log 3f x x ax a =-+(2,)+∞A ．B ．C ．D ．(,4]-∞[4,)-+∞[4,4]-(4,4]-【答案】C【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列出不等式组，求解作答.【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增，221()log 3f x x ax a =-+(2,)+∞2log y u =(0,)+∞则函数在上单调递减，且，，213u x ax a =-+(2,)+∞(2,)x ∀∈+∞2103x ax a >-+因此函数在上单调递增，且，，2()3g x x ax a =-+(2,)+∞(2,)x ∀∈+∞230x ax a -+>于是得，解得，22(2)40a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+≥⎩44a -≤≤所以实数a 的取值范围是.[4,4]-故选：C7．甲、乙、丙、丁四位同学分别为四个函数画图象，甲同学画函数的图象，图1； 乙同学画函数的图象，图2；211yx =-21xy =-丙同学画函数的图象，图3； 丁同学画函数的图象，图4.)lny x=-22221x x y x x -=-+画图正确的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【分析】通过代入特殊值可以检验ABC 图像的正误，对D 选项通过二次函数图像的变换即可判断.【详解】对A ，令，无解，而图像上与轴有交点，故错误，2101y x ==-x 对B ，令，则，此时，而，无实数解，故直线应与函数图211x y =-=211x-=1x =211x -=-1y =像只有一个交点，故B 错误，对C ，令，则，故C 错误；1x =)ln10y =-<对D ，根据，根据分母不为0，则，()222110x x x -+=-≥1x ≠，根据得，2222112121x x y x x x x -==--+-+2210x x -+>21021x x >-+则，则，故图中上边界正确，21021x x -<-+211121x x -+<-+首先，，易知其关于直线对称，且在上单调递减，在()221211y x x x =-+=-1x ≠1x =(),1x ∈-∞上单调递增，则，的图像也关于直线对称，且在上单()1,x ∈+∞22121y x x =-+1x ≠1x =(),1x ∈-∞调递增，在 上单调递减，再将其图像关于轴对称，得到，其图像关于()1,x ∈+∞x 32121y x x =--+直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，最后将其向上平移1个单1x =(),1x ∈-∞()1,x ∈+∞位，则得到图中图像，且当时，，故D 正确，0x =0y =故选：D.8．已知函数，若，且，则的()(]()ln ,0,e 2ln ,e,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()()()123f x f x f x ==123x x x <<2213x x x +⋅取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()20,1e +)22e,1e ⎡+⎣22e,e ⎡⎤⎣⎦)22e ,1e ⎡+⎣【答案】B【分析】首先画出函数图象，结合图象可得、、的取值范围与关系，将转化为关1x 2x 3x 2213x x x +⋅于的函数，再结合对勾函数的性质计算可得.2x 【详解】解：因为，所以函数图像如下所示：()(]()ln ,0,e 2ln ,e,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩因为，且，()()()123f x f x f x ==123x x x <<所以，，，且，所以，111e x <<21e x <<23e e x <<12ln ln 0x x +=121=x x 所以，121x x =，即，所以，所以，23ln 2ln x x =-23ln ln 2x x +=223e x x =232e x x =所以，222132222e x x x x x ++⋅=因为，所以，令，则，21e x <<2221e x <<22t x =21e t <<令，，因为在上单调递减，在上单调递增，且，()2e g t t t =+()21,e t ∈()g t ()1,e ()2e,e ()e 2e g =，，()211e g =+()22e e 1g =+所以，即.())22e,1e g t ⎡∈+⎣)221322e,1e x x x ⎡∈++⋅⎣故选：B二、多选题9．下列运算中，正确的是（ ）A ．2213log 427228⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B ．若114a a +=4=C ．若，则77log 3,log 4a b ==71log 4212ba =++D ．若，则469abc==112a c b +=【答案】AB【分析】利用指数运算及指数式与对数式互化计算判断A ；利用根式运算计算判断B ；利用换底公式计算判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ，，A 正确；221log 342331319[(]42272()8442=-=--=-对于B ，因，则，B 正确；114a a +=4===对于C ，因，则，C 77log 3,log 4a b ==7777771log 42log 7log 3log 21log 3log 4122ba =++=++=++不正确；对于D ，当时，成立，但无意义，D 不正确.0a b c ===469a b c==112a cb +=故选：AB10．已知a 、b 大于0，且不等于1，满足，则一定有（ ）1log aa b b <<A ．B ．C ．D ．1b >1a <a b <1a b ab +<+【答案】BD【分析】先根据判断出，再分和两种情况，分别根据分析1a b <01b <<1a >01a <<1log aa b b <<的范围，再逐个选项判断即可.b 【详解】因为，且，故.1a b b <=0a >01b <<当时，因为，即，故，与矛盾；1a >1log a b <log log a a a b <1b a >>01b <<当时，因为，即，则，故；01a <<1log a b <log log a a a b <a b >01b a <<<此时，即，，故AC 错误，BD 正确；()()110a b -->10a b ab --+>1a b ab +<+故选：BD11．设函数，则下列说法正确的是（ ）2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩A ．B ．当时，(9)36f =(0,3]x ∈2()(3)f x x =-C ．方程只有一个实数根D ．方程有7个不等的实数根()9f x =3-()f x x=【答案】BC【分析】对A ，根据分段函数解析式求解即可；对B ，根据分段函数的定义域求解即可；对CD ，根据分段函数解析式作出函数图象，数形结合分析即可.【详解】对A ，，故A 错误；()()()()2963000f f f f =====对B ，当时，，故，故B 正确；(0,3]x ∈(]33,0x -∈-()()()233f x f x x =-=-对CD ，由解析式可得当时，周期为3；当时，，，故0x >()f x 0x ≤()2f x x =()()39,00f f -==可作图：易得当时，且，解得，故C 正确；()9f x =29x =0x <3x =-又当时，，故方程有8个不等的实数根，故D 错9x =()21,24x ==()f x x=误；故选：BC12．已知函数，以下说法正确的有（ ）232()log 1ax bx cf x x ++=+A ．若的定义域是，则B ．若的定义域是R ，则()y f x =(1,3)-0a >()y f x =0a >C ．若在R 上的值域是，则D ．的值域不可能是R ()y f x =[0,2]10a c +=()y f x =【答案】CD【分析】对AB ，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C ，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D ，根据的值域()y f x =为R 则的值域包含，结合二次函数的性质求解即可.221ax bx cx +++()0,∞+【详解】对A ，的定义域是，即，232()log 1ax bx c f x x ++=+2201ax bx cx ++>+20ax bx c ++>若的定义域是，则开口向下，，故A 错误；()y f x =(1,3)-2y ax bx c =++a<0对B ，若，则，其定义域为R ，故B 错误.0,0a b c ==>32()log 1cf x x =+对C ，因为的值域是，232()log 1ax bx cf x x ++=+[0,2]则的值域为，221ax bx cy x ++=+[1,9]整理可得，221ax bx c y x ++=+()20a y x bx c y -++-=则且是关于的判别式的解，而也19y ≤≤y a ≠()20a y x bx c y -++-=()()240b a y c y ---≥y a =符合该不等式，所以是方程，即的两根，1,9()()240b a y c y ---=()224440y a c y ac b -++-=此时由韦达定理，即，故C 正确；()4194a c ++=10a c +=对D ，当的值域为R 则函数的值域包含，则同C ，()y f x =221ax bx cy x ++=+()0,∞+，即的解集包含.()()240b a yc y ---≥()224440y a c y ac b -++-≤()0,∞+但其关于的二次函数开口向上，解集不可能包括，y ()0,∞+故函数的值域不包含，故D 正确；221ax bx c y x ++=+()0,∞+故选：CD三、填空题13．函数的定义域为________________；()f x =【答案】##10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1|02x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【分析】根据对数的真数大于零且偶次根式的被开方数非负得到不等式组，再根据对数函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以，解得，()f x =()ln 120120x x ⎧--≥⎨->⎩102x ≤<所以函数的定义域为.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14．角的终边在直线上，则_________；α2y x =223sin 2cos αα-=【答案】2【分析】依题意得，由即可求解．tan 2α=22223tan 23sin 2cos tan 1αααα--=+【详解】依题意得tan 2α=由22222222223sin 2cos 3tan 23223sin 2cos 2sin cos tan 121αααααααα--⨯--====+++故答案为：215．已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，，则使得()y f x =0x >21()f x x =成立的实数a 的取值集合是______________；(21)(1)f a f a -<+【答案】()11,2,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.【详解】由题意，当时，为减函数且，又是定义在R 上的奇函数，0x >21()f x x =()0f x >()y f x =故当时，为减函数且.0x <()f x ()0f x <故则或或，解得或无解或(21)(1)f a f a -<+2110a a ->+>1210a a +<-<2101a a -<<+2a >.112a -<<综上有实数a 的取值集合是.()11,2,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭故答案为：()11,2,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭16．已知，设集合，集合，若，则实数2()f x x mx =+{}()A x f x x =={}(())B x f f x x ==B A ⊆的取值范围是_______________．m 【答案】[]1,3-【分析】先求解，根据二次方程的两根关系讨论与两种情况，当(){}10A x x x m =+-=1m =1m ≠时，化简可得，结合可得1m ≠(())f f x x =()()21110x x m x m x m ⎡⎤+-++++=⎣⎦B A ⊆无解或解包含两根，再分类讨论求解即可.()2110x m x m ++++=0,1m -【详解】.{}{}(){}2()10A x f x x x x mx x x x x m ===+==+-=①当时，，此时，1m ={}0A =2()f x x x =+，满足题意；()(){}(){}{}22222200B x x x x x x x x x x =+++==++==②当时，，且，故.1m ≠{}0,1A m =-()()()000f f f ==0B ∈又，讨论，即{}()(){}222(())B x f f x x x x mx m x mx x===+++=()()222x mx m x mx x +++=()()222210xmxmx mx +++-=即，()()2210x x x m mx m ⎡⎤+++-=⎣⎦即，()()3222210x x mx m m x m ⎡⎤++++-=⎣⎦即，方程必有两根，()()21110x x m x m x m ⎡⎤+-++++=⎣⎦120,1x x m ==-因为，故，则无解或解包含.B A ⊆{}0,1B m =-()2110x m x m ++++=12,x x i ）当为的解时，代入可得，此时满足条件；10x =()2110x m x m ++++=1m =-{}0,2A B ==ii ）当为的解时，代入可得，此时满足条件；21x m =-()2110x m x m ++++=3m ={}0,2A B ==-iii ）当无解时，，，解得，()2110x m x m ++++=()()21410m m +-+<()()310m m -+<13m -<<综上有，且.13m -≤≤1m ≠综合①②可得.13m -≤≤故答案为：[]1,3-四、解答题17．已知函数经过点，___________．()y f x =(2,4)①若是幂函数，求函数的最小值；()y f x =11(),(1,1)2()1()g x x f x f x =+∈--+②若是指数函数，求函数的最大值；()y f x =1()(2)(1)g x f x f x =-++③若是对数函数，求函数的值域．()y f x =1(),(0,)g x f x x x ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭请从三个选项中选一个填在横线，并解决相应的问题．【答案】选①：；选②；选③：43[)4,+∞【分析】选①：根据幂函数的形式可得，进而得到，再结合()2f x x=423(),(1,1)2g x x x x =∈--++二次函数的最值求解即可；选②：根据指数函数的形式可得，进而得到，再根据基本不等式求解最()2xf x =211()22x x g x -+=+大值即可；选③：根据对数函数的形式可得，再根据基本不等式结合对数函数的单调性求解2()4log y f x x ==值域即可.【详解】选①：设，则，解得，故，()a y f x x ==42a =2a =()2f x x =则，()()2222422211123(),(1,1)21221x x g x x x x x x x x++-=+==∈--+-++-+由可得，则当时，取得最大值(1,1)x ∈-()()22210xx -+>()211212x =-=⨯-422x x -++，1192424-++=此时取得最小值，即的最小值为.423()2g x x x =-++34934=()g x 43选②：设，则，解得，故，()x y f x a ==24a =2a =()2x f x =则，即时取等号；211()22xx g x -+=≤==+2122x x -+=12x =选③：设，则，解得，故，()log a y f x x ==4log 2a =142a =1422()log 4log y f x x x===则，由基本不等式，当且仅当，即时取21()4log ,(0,)g x x x x ∞⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭12x x +≥=1x x =1x =等号，故，即的值域为.221()4log 4log 24g x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭()g x [)4,+∞18．为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧48a (0)a >面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x 为多少时，总价最低．【答案】当时，时，时总价最低01a <≤x =1a >8x =【分析】根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数()768001200,08ay x x x =+<≤的性质分类讨论分析即可.【详解】由题意，正面长为米，故总造价，即48a x 48400421504ay xx =⨯⨯+⨯⨯.()768001200,08ay x x x =+<≤由基本不等式有，当且仅当，即768001200a y x x =+≥768001200ax x =x =取等号.故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，8≤1a ≤x=8>1a >时总价最低；8x =综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.01a <≤x =1a >8x =19．已知函数是偶函数，当时，，设．()y f x =0x ≤()lg(1)f x x =-+()()g x f x =(1)求函数的解析式，并判断的单调性；()y g x =()yg x =(2)当时，总有，求实数a 的取值范围．[1,2]x ∈(1)3g ax +≤【答案】(1)，单调递增；()()lg 1g x x =+(2).1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据为偶函数得到当时的解析式，即可得到的解析式，然后利()f x 0x ≥()f x ()g x 用定义法判断单调性即可；（2）根据和的单调性得到，然后转化为，最后求最()93g =()g x 019ax ≤+≤max min 18a x x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值即可得到的取值范围.a 【详解】（1）因为，则，()()g x f x =0x ≥当时，，则，所以，x ≥0x -≤()()()lg 1f x f x x -==+()()lg 1g x x +当时，，当时，，0x =()0g x =0x >()0g x >设，则，所以，所以在120x x >>()()()()()2111122lg 1log 11lg 1x g x x x g x x ++==+>+()()12g x g x >()g x上单调递增.[)0,∞+（2）原不等式可整理为，因为所以在上单调递增，所以当时，()()19g ax g +≤()g x [)0,∞+[]1,2x ∈总有，整理得，即，所以.019ax ≤+≤18a xx -≤≤max min 18a x x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,42a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦20．已知函数．2()4|1|f x x x =--(1)作出函数的图象，并指出其单调区间；()y f x =(2)设集合，若集合A 有4个子集，求实数m 的取值范围．(){}1A x f x mx m ==-+【答案】(1)图象见解析，在和上单调递减，在和上调递增；()f x (2)-∞-(1,2)(2,1)-(2,)+∞(2).(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）先对函数化简，再根据解析式画出函数图象，然后由图象可求出函数的单调区间；（2）由题意可得集合A 中有两个元素，则有且仅有两个实根，而是方2411x x mx m --=-+1x =程的一个根，然后分和解方程讨论可.1x >1x <【详解】（1），22244,1()4144,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=--=⎨+-<⎩当时，，1x ≥22()44(2)f x x x x =-+=-其图象的顶点为，对称轴为，开口向上的抛物线位于直线及其右侧部分，(2,0)2x =1x =当时，，1x <22()44(2)8f x x x x =+-=+-其图象的顶点为，对称轴为，开口向上的抛物线位于直线左侧部分，(2,8)--2x =-1x =所以的图象如图所示，()f x 由图象可知，在和上单调递减，在和上调递增；()f x (2)-∞-(1,2)(2,1)-(2,)+∞（2）因为集合A 有4个子集，所以集合A 中有两个元素，所以方程有且仅有两个实根，()1f x mx m =-+即有且仅有两个实根，2411x x mx m --=-+满足方程，1x =2411x x mx m --=-+当时，，，1x >24(1)1x x mx m --=-+214(1)(1)x x m x ---=-，(1)(3)0x x m ---=解得（舍去）或，1x =3x m =+当时，，，1x <214(1)(1)0x x m x -+---=(1)(5)0x x m -+-=解得（舍去）或，1x =5x m =-因为方程有两个实根，2411x x mx m --=-+所以或，3151m m +>⎧⎨-≥⎩3151m m +≤⎧⎨-<⎩解得或，6m ≥2m ≤-即实数m 的取值范围为.(,2][6,)-∞-+∞ 21．已知关于对称．3()(0)1nx f x m mx -=≠-1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)计算和的值；1202220232023f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)设，若对任意，存在使得()()ln ,N g x f x k +=∈N s +∈N t +∈．求k 的值．120s s s t g g g s k s k s k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 参考结论：函数关于点中心对称的充要条件是恒成立．()y h x =(,)P a b ()(2)2h x h a x b +-=【答案】(1)，2-2022-(2)1或2【分析】（1）根据参考结论对称性求解即可；（2）根据对称性确定的解析式，然后确定()f x 的对称中心，进而求解.()g x【详解】（1）因为关于对称，结合参考结论，3()(0)1nx f x m mx -=≠-1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，()(1)2f x f x +-=-令，所以，12023x =12022220232023f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理，2021202010122202320232023202322310102320123f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以.122022210112022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）因为，213333()1111n m n n x nx nx n m mmf x mx mx m x m x m m ⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭====-+--+⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为的图象是由反比例函数23()1m nn m f x m x m -=-+-23m n m y x -=向右平移个单位（平移过程为正表示右移，为负表示左移），1m 1m 向下平移个单位得到（平移过程为正表示下移，为负表示上移），n m nm 而反比例函数的对称中心为，23m nmy x -=(0,0)的对称中心，所以解得.3()(0)1nx f x m mx -=≠-1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭1121m n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,2m n ==所以，23()12x f x x -=-所以，所以即，解得.23()ln12x g x x -=-23012x x ->-()()23120x x -->1322x <<,所以的图象关于对称，2312()(2)ln ln ln101232x xg x g x x x --+-=+==--+()g x (1,0)因为若对任意，存在使得．N s +∈N t +∈120s s s t g g g s k s k s k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，即，解得，12s s t s k s k +++=++212s t s k ++=+21k t =+又因为函数的定义域为，23()ln12x g x x -=-13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，解得，所以的值为1或2.1112312s s k s t s k +⎧<≤⎪⎪+⎨+⎪≤<⎪+⎩13k ≤<k 22．已知当，总有，当且仅当时，“=”成立．设．x ∈R e 1x x ≥+0x =()e xf x =(1)当时，总有，求实数m 的取值范围；0x ≥()f x x m ≥+(2)当时，证明：存在，使得．a b <(,)a b ξ∈()()e f a f b a bξ-=-【答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析【分析】（1）令，由题意可得当时总有，要使在上恒()e x h x x=-0x ≥()1h x ≥()f x x m≥+0x ≥成立转化为在上恒成立，求得可得答案；()()≤-=m x x f h x 0x ≥()minh x （2）令，利用导数判断出在时单调递减，()()()()e =---x G x f x f a x a ()G x x a ≥当时，可得，则恒成立，x a >()()0<=G x G a ()()e -<-xf x f a x a()()e -<-bf b f a b a令，利用导数判断出在上单调递减，()()()()e =---xT x f b f x b x ()T x (),b -∞当时，，可得，则恒成立，根据(),x b ∈-∞()()0>=T x T b ()()e ->-xf b f x b x ()()e e -<<-ba fb f a b a的单调性，可得存在，使得，可得答案．()exf x =(,)a b ξ∈()()e e e ξ-<=<-ba fb f a b a【详解】（1）令，其中，由题意可得，当时，总有，当且仅当()e x h x x=-0x ≥0x ≥()1h x ≥时等号成立，则，要使在上恒成立，0x =()min 1h x =()f x x m ≥+0x ≥即在上恒成立，()()≤-=m x x f h x 0x ≥则，所以实数m 的取值范围；()min 1≤=m h x (],1-∞（2）令，其中，()()()()()e e e e =---=---x x a xG x f x f a x a x a x a ≥，当且仅当时等号成立，则在时单调递减，()()e 0'=-≤x G x a x x a =()G x x a ≥当时，即在上恒成立，即x a >()()0<=G x G a ()()()()e 0=---<x G x f x f a x a (),x a ∈+∞在上恒成立，()()e -<-xf x f a x a(),x a ∈+∞由于，则恒成立，a b <()()e -<-bf b f a b a令，()()()()()e e e e =---=---x b x xT x f b f x b x b x 其中，，当且仅当时等号成立，(],∈-∞x b ()()e 0'=-≤x T x x b x b =则在上单调递减，()T x (),b -∞当时，，即在上恒成立，即(),x b ∈-∞()()0>=T x T b ()()e e e 0=--->b x x T x b x (),x b ∈-∞在上恒成立，()()e ->-xf b f x b x(),x b ∈-∞由于，则恒成立，a b <()()e e-<<-ba fb f a b a 函数在上单调递增，()e xf x =x ∈R 则存在，使得，由于，则存在(,)a b ξ∈()()e e e ξ-<=<-ba fb f a b a ()()()()--=--f a f b f b f a a bb a，使得．(,)a b ξ∈()()ef a f b a b ξ-=-【点睛】关键点点睛：在第二问中，令，利用导数判断出在()()()()e =---xG x f x f a x a ()G x 时的单调性，令，利用导数判断出在上的单调性是x a ≥()()()()e =---xT x f b f x b x ()T x (),b -∞关键，本题考查了学生的思维推理能力、运算能力.。

2022-2023学年广东省广州市番禺区南村中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合，，则（ ）{}2A x x =>{}23B x x =-≤≤A B = A ．B ．C ．D ．()2,3(]2,3[]2,3[]2,3-【答案】B【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】因为，，{}2A x x =>{}23B x x =-≤≤所以．{}{}{}(]223232,3A B x x x x x x ⋂=>⋂-≤≤=<≤=故选：B.2．下列函数中与是同一个函数的是（ ）y x =A ．B ．2y =v u=C ．D ．y =2n m n =【答案】B【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.【详解】对于A ，的定义域为，与的定义域为不同，故A 不正确；2y =[0,)+∞y x =R 对于B ，与是同一函数，故B 正确；v u =y x =对于C ，与的对应关系不同，故C 不正确；y =||x =y x =对于D ，与的定义域不同，故D 不正确.2n m n =(0)n n =≠y x =故选：B3．关于的不等式的解集为，则（ ）x 210ax bx +-<11<<2x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭+=a b A ．3B ．C ．2D ．3223【答案】A【分析】由题意知方程的两个根分别为，根据根与系数的关系，即可得解.2+1ax bx -11,2-【详解】由的解集为，可知：是的两个根，210ax bx +-<11<<2x x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,2-210ax bx +-=由韦达定理可得：，解得，即11=1+=22111=(1)×=22b a a ------⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2,1a b ==3a b +=故选：A.4．下列满足在上单调递增的函数是（ ）[)2+∞，A ．B ．C ．D ．()1f x x =-+()2f x =3()f x x=2()23f x x x =--【答案】D【分析】利用基本初等函数的单调性直接判断.【详解】对于A ：在上单调递减.故A 错误；()1f x x =-+[)2+∞，对于B ：在上为常值函数.故B 错误；()2f x =[)2+∞，对于C ：在上单调递减.故C 错误；3()f x x =[)2+∞，对于D ：为二次函数，开口向上，对称轴为，所以在上2()23f x x x =--1x =()1f x x =-+[)2+∞，单调递增.故D 正确.故选：D.5．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）()222f x x ax =-+-()3,+∞a A ．B ．C ．D ．(],3-∞(),1-∞[)3,+∞(),3-∞【答案】A【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数单调性，从而可得【详解】解：函数为二次函数，对称轴为直线，且二次函数开口向下，()222f x x ax =-+-=x a 则的增区间为，减区间为；()f x (),a -∞(),a +∞故若函数在上是减函数()222f x x ax =-+-()3,+∞则.3a ≤故选：A.6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（ ）每户每月用水量水价不超过的部分312m 3元3/m 超过但不超过的部分312m 318m 6元3/m 超过的部分318m 9元3/mA ．B ．C ．D ．313m314m315m316m【答案】B【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可.【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，312m 318m 则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用312m 312m 318m 水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，318m 312m 318m 所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为312m 312m 318m 6元，所以为，故本月用水量为.3/m 32m 214m 故选：B 7．函数的图象是（ ）||()x f x x x =+A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.()f x 【详解】依题意，原函数化为：，其定义域为，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩{R |0}x x ∈≠显然当时，图象是经过点的直线在y 轴右侧部分，0x >(0,1)1y x =+当时，图象是是经过点的直线在y 轴左侧部分，0x <(0,1)-1y x =-根据一次函数图象知，符合条件的只有选项C.故选：C8．若两个正实数x ，y 满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围141x y +=234y x m m+<-（ ）A ．B ．()1,4-()(),14,-∞-⋃+∞C ．D ．()4,1-()(),03,-∞+∞ 【答案】B【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等2min34y x m m⎛⎫+<- ⎪⎝⎭min 44y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭式的解法即得．【详解】∵不等式有解，234yx m m +<-∴，2min34y x m m⎛⎫+<- ⎪⎝⎭∵，，且，0x >0y >141x y +=∴，144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，时取“＝”，44x yy x =2x =8 y =∴，min44y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故，即，234m m ->()()140m m +->解得或，1m <-4m >∴实数 m 的取值范围是．()(),14,-∞-⋃+∞故选：B ．二、多选题9．已知集合，若，则的取值可以是（ ）{}{}1,4,,1,2,3A a B =={}1,2,3,4A B = a A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得 ，即可得到的取值；{}1,4,a {}1,2,3,4a 【详解】解：因为，所以 ，所以或；{}1,2,3,4A B = {}1,4,a {}1,2,3,42a =3a =故选：AB10．下列函数中，哪些函数的图象关于轴对称（ ）y A ．B ．1y x x=+221y x =+C ．D ．y 1y x x=-【答案】BC【分析】逐一判断函数的奇偶性即可得解.【详解】解：对于A ，函数的定义域为，()1y f x x x ==+{}0x x ≠因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A 不符题意；()()1f x x f x x -=--=-对于B ，函数的定义域为，()221y f x x ==+R 因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B 符合题意；()()221f x f x x -==+y对于C ，函数，()y f x =R因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故C 符合题意；()()f x f x -y 对于D ，函数函数的定义域为，()1y f x x x ==-{}0x x ≠因为，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故D 不符题意.()()1f x x f x x -=-+=-故选：BC.11．下列命题中，真命题的是（ ）A ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件B ．“”是“”的充要条件1x =21x =C ．命题“∃x 0∈R ，使得”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+x +1≥0”20010x x ++<D ．命题“∀x ∈R ，x 2+x +1≠0”的否定是“∃x 0∈R ，”20010x x ++=【答案】ACD【分析】利用充分性与必要性判断AB 的正确性，根据全称命题与存在命题的关系判断CD 的正确性.【详解】对于A ，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，故1a >1b >1ab >1ab >1a >1b >，是的充分不必要条件，故A 正确；1a >1b >1ab >对于B ，“”是“”的充要条件，故B 错误；1x =±21x =对于C, 命题“∃x 0∈R ，使得”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+x +1≥0”,故C 正确；20010x x ++<对于D ，命题“∀x ∈R ，x 2+x +1≠0”的否定是“∃x∈R ，”，故D 正确.20010x x ++=故选：ACD12．下列命题正确的有（ ）A ．若，则；0,0a b m >>>b m ba m a +>+B ．若，则的最小值为3；2x >12x x +-C ．若且，则的最小值为4；0,0a b >>+=1a b 11a b +D ．若.则.()(4),(04)f x x x x =⋅-<<max ()4f x =【答案】ACD【分析】由作差法可判断A ，由基本不等式可判断BCD.【详解】，0,0a b m >>> ，()()()0()()b m b a b m b a m m a b a m a a a m a a m ++-+-∴-==>+++，A 正确；∴b m ba m a +>+，，2,20x x >∴-> 11222422x x x x ∴+=-++≥=--当且仅当，即时，122x x -=-=3x 有最小值，B 错误；12x x +-4，1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当，即时，有最小值为4，C 正确；b aa b ==a b 11a b +，2(4)()(4)44x x f x x x +-=⋅-≤=当且仅当，即时，，D 正确.4x x =-=2x max ()4f x =故选：ACD三、填空题13．已知幂函数的图象经过点，则的值为__________.()y f x =()4,2()2f【解析】设幂函数的解析式为，代入点，求得的()()f x x R αα=∈()4,2()f x =()2f 值，得到答案.【详解】设幂函数的解析式为，()()f x x R αα=∈因为幂函数的图象经过点，()y f x =()4,2可得，解得，即42α=12α=()f x =所以()2f =.14．已知函数，则＝_________.()3,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩()2f f ⎡⎤⎣⎦【答案】1-【分析】根据分段函数的函数解析式代入求值即可.【详解】解：由题意得：，()2121f =-=-()()32(1)11f f f =-=-=-⎡⎤⎣⎦故答案为：1-15．函数为上的奇函数，且当时，，则___________.()f x R 0x >()32f x x =-()1f -=【答案】1【分析】利用奇函数的定义即可求解.【详解】由于函数为上的奇函数，()f x R 所以.()()()21111f f -=-=--=故答案为：1.16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），2m 则其一边长x （单位m ）的取值范围是___________.【答案】[10，30]【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x ，y 的关系，再根据矩形的面积公式建立不y 等式，解之可求得答案.【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，y 404040x y-=0,0,40,40x y x y >><<所以，又矩形的面积，所以，解得，40x y =+300xy ≥()40300x x -≥1030x ≤≤所以其一边长x （单位m ）的取值范围是[10，30].故答案为：[10，30].四、解答题17．已知集合{|25},{|121}A x xB x m x m =-<<=+≤≤-（1）当时，求；3m =()R A B （2）若，求实数的取值范围.A B A ⋃=m 【答案】（1）；（2）.(){}5R A B = 3m <【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由得，然后分类和求解．A B A ⋃=B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）当时，中不等式为，即，3m =B 45x ≤≤{}|45B x x =≤≤∴或，则{|2R A x x =≤- 5}x ³(){}5R A B = （2）∵，∴，A B A ⋃=B A ⊆①当时，，即，此时；B =∅121m m +>-2m <B A ⊆②当时，，即，此时.B ≠∅12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩23m ≤<B A ⊆综上的取值范围为.m 3m <18．若不等式的解集是，20x ax b -+<{}|23x x <<(1)求的值；+a b (2)求不等式的解集；210bx ax -+>【答案】(1)11(2)或1{|3x x <1}2x >【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，得一元二次方程的两实根，结合韦达定理，从而可求的值，即可得的值；,a b +a b （2）由（1）可知解即可得解集.26105x x -+>【详解】（1）解：∵不等式的解集是，20x ax b -+<{}|23x x <<∴，是方程的两个根，12x =2=3x 20x ax b -+=∴,即，，所以.2+3=2×3=a b ⎧⎨⎩=5a 6b =11a b +=（2）解:由(1)得不等式为26105x x -+>∴()()31210x x -->∴不等式的解集为：或1{|3x x <1}2x >19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求的最小值．12x y +【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小(2)．310【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（）•（x +2y ）＝512x y +22y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 24，=当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x +2y ＝30，又∵（）•（x +2y ）＝59，12x y +22y x x y ++≥=∴，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立．12310x y +≥∴的最小值是．12x y +31020．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当时，.0x ≤2()2f x x x =--(1)求函数f （x ）（x ∈R ）的解析式；(2)作出函数f （x ）（x ∈R ）的图象，并根据图象写出函数f （x ）的单调增区间和减区间.【答案】(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩(2)图象见解析，的单调增区间是，，单调减区间是，()f x (),1-∞-()0,1()1,0-()1,+∞【分析】(1)根据函数的奇偶性即可求出时的解析式，由此可得出的解析式；0x <()f x ()(R)f x x ∈(2)偶函数的图象关于轴对称，结合二次函数的解析式即可得作出函数的图象，再根据函数的y ()f x 图象即可得出函数的单调区间.【详解】（1）设，则，0x >0x -<∴()()()2222f x x x x x -=----=-+∵是偶函数，∴()f x ()()f x f x -=∴()22f x x x=-+∴.()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩（2）图象如下所示：由图可知的单调增区间是，；()f x (),1-∞-()0,1单调减区间是，.()1,0-()1,+∞21．已知函数是定义在上的奇函数，且．()24ax b f x x +=+()2,2-12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()f x (2)证明：函数在区间上单调递增；()f x ()2,2-(3)若，求实数的取值范围．()()1120f a f a ++->a 【答案】(1)()24xf x x =+(2)证明见解析(3)1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的()()f x f x -=-b 12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()f x 解析式；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，()()121f a f a +>-f 去掉时要注意定义域的范围.f 【详解】（1）由题意可知，()()f x f x -=-，即，2244ax b ax b x x -++∴=-++ax b ax b -+=--，，0b ∴=()24ax f x x ∴=+又，即，12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 212217142a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，.1a ∴=()24x f x x ∴=+（2），且，有()12,2,2x x ∀∈-12x x <，()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，1222x x -<<< ，21120,40x x x x ∴->-<，即，()()120f x f x ∴-<()()12f x f x <所以函数在区间上单调递增.()f x ()2,2-（3）因为为奇函数，()f x 所以由，得，()()1120f a f a ++->()()()11221f a f a f a +>--=-又因为函数在区间上单调递增，()f x ()2,2-所以，解得，故，2122212121a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩3113222a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩112a -<<所以实数的取值范围是a 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值()f x ()0f x <()05，()f x []14-，为12．（1）求的解析式；()f x （2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．()f x []1t t +，()g t ()g t ()g t 【答案】（1）．（2）.最小值()()2210f x x x x R =-∈()2232682253522252102t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，252-【分析】(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间()f x ()0f x <()05，()f x 上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.[]14-，(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分()()()225210f x x x x x x R -∈＝＝-情况进行讨论即可.【详解】（1）是二次函数，且的解集是，()f x ()0f x <()05，∴可设，()()()50f x ax x a ->＝可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．()f x 512⎡-⎤⎢⎣⎦，452⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∵，，，()16f a -＝()44f a ＝-()()14f f >-∴在区间上的最大值是，得．()f x []14-，()1612f a -＝＝2a ＝因此，函数的表达式为．()()()225210f x x x x x x R -∈＝＝-（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，()2525222f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝52x =①当时，即时，在上单调递减，512t +≤32t ≤()f x []1t t +，此时的最小值；()f x ()()()()22121101268g t f t t t t t +++＝＝﹣＝--②当时，在上单调递增，52t ≥()f x []1t t +，此时的最小值；()f x ()()2210g t f t t t ＝＝-③当时，函数在对称轴处取得最小值，3522t <<()y f x ＝此时，，()52522g t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝综上所述，得的表达式为，()g t ()2232682253522252102t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，，当，取最小值3522t ≤≤()g t 252-【点睛】本题主要考查二次函数的性质.遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系,分别为对称轴在区间左侧,右侧与对称轴在区间内即可.。