2018-2019学年广东省深圳第七高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={0,1,2,3,4,5,6}，集合A ={0,2,4,6}，B ={1,4,5,6}，则(∁U A)∩B =( )A. {1,3,5}B. {1,5}C. {1,2,4,5,6}D. ⌀2. 下列各组函数表示相同函数的是( )A. f(x)=1与g(x)=x 0B. f(x)=√x 2与g(x)=|x|C. f(x)=x +1与g(x)=x 2−1x−1 D. f(x)=x 2与g(x)=(x +1)2 3. 若a <12，则化简√(2a −1)24的结果是( )A. √2a −1B. −√2a −1C. √1−2aD. −√1−2a4. 若函数f(x)=x 2+(2m −1)x +1为偶函数，则m 为( )A. 1B. 12C. −1D. −12 5. 设f(x)={1−√x,x ≥0,2x ,x <0,则f[f(−2)]=( ) A. −1 B. 14 C. 12 D. 32 6. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A. y =x +1B. y =−x 2C. y =1xD. y =x|x|7. 设集合A ={1,2}，B ={0,1,2,3,4}，则满足A ⊆M ⊆B 的集合M 的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 88. 已知f(x)=(x −a)(x −b)(其中a >b)，若f(x)的图像如图所示，则g(x)=a x +b 的图像是( )A.B.C.D.9.已知函数f(2x+1)=3x+2，且f(a)=2，则实数a等于()A. 0B. −1C. 1D. 210.已知f(x)=x2+(k−1)x+3在(2,+∞)上单调递增，则k的取值范围为()A. (−∞,−3)B. (−∞,−3]C. (−3,+∞)D. [−3,+∞)11.设f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意x1，x2∈[0,+∞)都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是()A. f(−π)<f(−2)<f(3)B. f(−2)<f(3)<f(−π)C. f(−π)<f(3)<f(−2)D. f(3)<f(−2)<f(−π)12.定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，且f(1)=2，则f(−3)=()A. 6B. 7C. 8D. 9二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=√4−|x|，则f(x)的定义域为______．3，c=0.20.1，则a，b，c的大小关系是______．14.已知a=20.1，b=log1215.已知集合A={a,b}，B={0,a2}，若A=B，则2a+b=______．)x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______．16.若不等式3x2−2ax>(13三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C={x|a<x<a+1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合．18. 计算下列式子：(1)(23)−2+(1−√2)0−(338)23+√(3−π)2；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+lg 22.19. 已知函数f(x)=x 2+a x ，且函数f(x)的图像经过(4,20)．(1)求a ，并证明f(x)在[2,+∞)上单调递增；(2)求f(x)在[8,16]的最大值与最小值．20. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f(x)=x 2+2x ．(1)现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图像，如图所示，请补全函数f(x)的图像，并根据图像直接写出函数f(x)(x ∈R)的单调区间，以及x ∈[−3,2]的值域．(2)求函数f(x)(x ∈R)的解析式．(注：第(2)问要有解答过程)21.已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)(其中a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域，判定f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求关于x的不等式f(x)>log a3的解集．22.给定函数f(x)，若对于定义域中的任意x，都有f(x)≥x恒成立，则称函数f(x)为“爬坡函数”．(1)证明：函数f(x)=x2+1是爬坡函数；(2)若函数f(x)=4x+m⋅2x+1+x+2m2−4是爬坡函数，求实数m的取值范围；(3)若对任意的实数b，函数f(x)=x2+bx+c−b都不是爬坡函数，求实数c的取4值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U={0,1,2,3,4,5,6}，A={0,2,4,6}，∴(∁U A)={1,3,5}．又∵B={1,4,5,6}，∴(∁U A)∩B={1,5}．故选：B．根据补集的定义和交集的运算法则，可以解答本题．本题考查了补集的概念和集合的运算，属于集合运算中的基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A，f(x)=1(x∈R)，g(x)=x0即g(x)=1(x≠0)，它们的定义域不同，故不为相同函数；对于B，f(x)=√x2即f(x)=|x|(x∈R)，g(x)=|x|(x∈R)，它们的定义域和对应法则都相同，故为相同函数；即g(x)=x+1(x≠1)，它们的定义域不同，对于C，f(x)=x+1(x∈R)，g(x)=x2−1x−1故不为相同函数；对于D，f(x)=x2(x∈R)，g(x)=(x+1)2(x∈R)，它们的对应法则不相同，故不为相同函数．故选：B．分别求得各个选项函数的定义域和对应法则，由只有定义域和对应法则完全一样，才是相同函数，可得结论．本题考查相同函数的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．3.【答案】C，∴1−2a>0．【解析】解：∵a<124=√1−2a．则√(2a−1)2故选：C ．利用根式的运算性质即可得出．本题考查了根式的运算性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=x 2+(2m −1)x +1为二次函数，其对称轴为x =1−2m 2，若f(x)为偶函数，其对称轴为y 轴，则有1−2m 2=0，即m =12． 故选：B ．根据题意，由二次函数的性质求出f(x)的对称轴，结合偶函数的定义可得1−2m 2=0，解可得m 的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意二次函数的性质，属于基础题． 5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用，先求f (−2)，然后再求f [f(−2)]．【解答】解：∵f (x )={1−√x,x ≥0,2x ,x <0,∴f(−2)=2−2=14>0，所以f[f(−2)]=f(14)=1−√14=12． 故选C ．6.【答案】D【解析】解：A.y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B.y=−x2是偶函数，不满足条件．C.y=1是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．xD.设f(x)=x|x|，则f(−x)=−x|x|=−f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=−x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．7.【答案】D【解析】解：集合A={1,2}，B={0,1,2,3,4}，因为A⊆M⊆B，故M有元素1，2，且可能有元素0，3，4，故满足A⊆M⊆B的集合M的个数为23=8，故选：D．结合集合A，B，由A⊆M⊆B即可求出集合M的个数．本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为f(x)=(x−a)(x−b)(其中a>b)，结合图象可得，b<−1且0<a<1，因为0<a<1，则函数g(x)=a x+b为单调递减函数，故选项C错误，选项D错误；又b<−1，则函数g(x)=a x+b的图象与y轴的交点在x轴的下方，故选项A正确，选项B错误．故选：A．先利用已知的函数的图象，确定a和b的取值范围，然后由单调性判断选项C，D，由函数与y轴的交点判断选项A，B，即可得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(2x+1)=3x+2=32(2x+1)+12，故f(x)=32x+12，若f(a)=2，则32a+12=2，解可得a=1；故选：C．根据题意，求出函数的解析式，由函数的解析式计算可得答案．本题考查函数解析式的求法，涉及函数值的计算，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f(x)=x2+(k−1)x+3在(2,+∞)上单调递增，∴对称轴x=−k−12≤2，解得k≥−3，即k的取值范围是[−3,+∞)．故选：D．根据二次函数的性质建立不等式关系即可．本题主要考查二次函数的性质，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：∵对于任意的x1，x2∈[0,+∞)，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0(x1≠x2)，故f(x)在[0,+∞)上为增函数，故f(2)<f(3)<f(π)，又由f(x)是R上的偶函数得：f(−2)<f(3)<f(−π)，故选：B．由已知可得f(x)在[0,+∞)上为增函数，结合函数f(x)是R上的偶函数，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数奇偶性的定义，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)对任意的实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，令x=y=1，则f(1+1)=f(1)+f(1)+2，又∵f(1)=2，∴f(2)=6．再令x=2，y=1，则f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1，∴f(3)=12，令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)+0，∴f(0)=0，令x=3，y=−3，则f(3−3)=f(3)+f(−3)+2×3×(−3)，∴f(−3)=6，故选：A．通过赋值法，令x=y=1，求出f(2)=4，再令x=2，y=1，继而求出f(3)，进而求解结论．本题考查了抽象函数的问题，赋值法求是这类题的关键，理解能力要求比较高，属于基础题．13.【答案】[−4,4]【解析】解：∵4−|x|≥0∴|x|≤4∴−4≤x≤4．故答案：[−4,4]．根据函数的定义域结合本题那就是被开方数大于等于0，从而得解．本题考查了函数的三要素中的定义域，属于易做题．14.【答案】a >c >b【解析】解：∵20.1>20=1，b =log 123<0，0<0.20.1<0.20=1， ∴a >c >b ，故答案为：a >c >b ．借助指数函数、对数函数的单调性及特值0，1依次判断a 、b 、c 与0，1的大小关系即可． 本题考查了指数函数、对数函数的单调性及特值法的应用，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：集合A ={a,b}，B ={0,a 2}，若A =B ，则{a =a 2b =0或{a =0b =a 2， 解得{a =0b =0或{a =1b =0或a =b =0， ∵集合元素的互异性，故只有{a =1b =0成立， ∴2a +b =2，故答案为：2．利用集合元素的互异性，分情况讨论，建立条件关系即可求实数a ，b 的值． 本题主要考查集合的包含关系以及集合元素的互异性，是基础题．16.【答案】−12<a <32【解析】解：由3x 2−2ax >(13)x+1=3−x−1恒成立 又y =3x 为R 上的单调递增函数∴x 2−2ax >−x −1恒成立，即x 2+(1−2a)x +1>0恒成立∴△=(1−2a)2−4<0∴4a 2−4a −3<0∴−12<a <32故答案为−12<a <32由3x 2−2ax >(13)x+1恒成立可得x 2−2ax >−x −1恒成立，结合二次函数的性质可求本题主要考查了指数函数的单调性的应用，二次函数的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活应用二次函数的性质17.【答案】解：(1)因为集合A ={x|3≤x <6}，B ={x|2<x <9}．所以A ∩B ={x|3≤x <6}又∁R B ={x|x ≤2或x ≥9}，∴(∁R B)∪A ={x|x ≤2或3≤x <6或x ≥9}，(2)因为C ⊆B ，所以{a ≥2a +1≤9，解得：2≤a ≤8， 故实数a 的取值构成的集合是：{a|2≤a ≤8}．【解析】本题主要考查集合的交、并、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．(1)根据集合交、并、补集运算进行求解即可．(2)利用C ⊆B ，建立关于a 的不等式组，求解即可得到a 的取值范围．18.【答案】解：(1)原式=94+1−(32)3×23+(π−3)=94+1−94+π−3=π−2． (2)原式=2lg5+2lg2+lg5(lg2+1)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5lg2+lg5+(lg2)2=2+lg2(lg5+lg2)+lg5=2+lg2+lg5=2+1=3．【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质．(2)利用对数的运算性质．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．19.【答案】解：(1)由函数f(x)图像经过(4,20)，20=16+a 4，则a =16， 所以f(x)=x 2+16x ，证明：对∀x 1，x 2∈[2,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 12+16x 1−x 22−16x 2=(x 1−x 2)[(x 1+x 2)x 1x 2−16]x 1x 2，由x 1≥2，x 2>2，所以x 1−x 2<0，(x 1+x 2)x 1x 2−16>0，所以f(x 1)−f(x 2)<0，所以f(x 1)<f(x 2)，因此，f(x)在[2,+∞)上单调递增；(2)由(1)可知，f(x)在区间[8,16]上单调递增，所以，当x=8时，f(x)取最小值，f(8)=64+2=66，当x=16时，f(x)取最大值，最大值为f(16)=256+1=257，所以，f(x)在[8,16]的最大值为257，最小值为66．【解析】(1)将点(4,20)代入函数，即可求得a的值，利用函数单调性的定义，即可证明f(x)在[2,+∞)上单调递增；(2)由(1)可知，利用单调性即可求得f(x)在[8,16]的最大值与最小值．本题考查函数的性质，函数单调性的判断，函数的最值，考查转化思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)根据偶函数的图像关于y轴对称，作出函数在R上的图像，结合图像可得函数的单调递增区间为(−1,0)，(1,+∞)，单调递减区间为(−∞,−1)，(0,1)．当x∈[−3,2]时，f(x)min=−1，f(x)max=f(−3)=3，所以x∈[−3,2]的值域为[−1,3]．(2)当x>0时，−x<0，再根据x≤0时，f(x)=x2+2x，可得f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x．因为函数f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，所以当x>0时，f(x)=x2−2x，综上可得，f(x)={x2+2x,x≤0 x2−2x,x>0．【解析】(1)根据偶函数的图像关于y轴对称，能作出函数在R上的图像，结合图象可得函数的单调区间，及x∈[−3,2]的值域；(2)当x>0时，−x<0，再根据x≤0时，f(x)=x2+2x，可得f(−x)=(−x)2+2(−x)= x2−2x.再根据函数f(x)为偶函数，可得f(x)=x2−2x，由此能求出函数f(x)(x∈R)的解析式．本题考查函数的图像的作法，考查函数的单调区间的求法，考查函数的值域、函数解析式的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=log a (x +1)−log a (1−x)，所以x +1>0且1−x >0，解得−1<x <1，所以函数f(x)的定义域为(−1,1)；因为f(−x)=log a (−x +1)−log a (1+x)=−[log a (x +1)−log a (1−x)]=−f(x)， 所以f(x)为奇函数；(2)不等式f(x)>log a 3，即log a (x +1)−log a (1−x)>log a 3，即log a x+11−x >log a 3，当0<a <1时，不等式即为x+11−x <3且−1<x <1，解得−1<x <12；当a >1时，不等式即为x+11−x >3且−1<x <1，解得12<x <1．综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x|−1<x <12}当a >1时，不等式的解集为{x|12<x <1}.【解析】(1)利用对数的定义列式求解定义域；利用奇偶函数的定义判断f(x)的奇偶性即可；(2)将不等式等价变形为log a x+11−x >log a 3且−1<x <1，然后分0<a <1和a >1两种情况，利用对数函数的单调性结合分式不等式的解法求解即可．本题考查了函数定义域的求解，函数奇偶性的判断，对数函数单调性的应用以及对数不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)−x =x 2−x +1=(x −12)2+34>0，∴f(x)≥x 恒成立，即得函数f(x)=x 2+1是爬坡函数；…(3分)(2)由题意可知，4x +m ⋅2x+1+x +2m 2−4≥x 恒成立，∴4x +m ⋅2x+1+2m 2−4≥0恒成立．设2x =t ，则t >0，上式变为t 2+2mt +2m 2−4≥0，设g(t)=t 2+2mt +2m 2−4=(t +m)2+m 2−4(t >0)①若−m >0，则g(t)min =m 2−4≥0，解得m ≤−2；②若−m ≤0，则g(0)=2m 2−4≥0，解得m ≥√2；综上所述，m 的取值范围是m ≤−2或m ≥√2；…(9分)(3)由题意，对任意的实数b ，存在x ，使得f(x)=x 2+bx +c −b 4<x ，<0，即x2+(b−1)x+c−b4)>0，即b2−b+1−4c>0对任意的实数b恒成立，故△1=(b−1)2−4(c−b4.…(14分)∴△2=12−4(1−4c)<0，解得c<316【解析】(1)利用定义直接判断f(x)−≥0恒成立即可；(2)由题意可知，4x+m⋅2x+1+2m2−4≥0恒成立，利用换元思想，设2x=t，则t>0，上式变为t2+2mt+2m2−4≥0，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；<x，相当于f(x)−(3)由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得f(x)=x2+bx+c−b4)>0，即b2−b+1−4c>0对x=0有两不相等的实根，得出△1=(b−1)2−4(c−b4任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知△2=12−4(1−4c)<0．考查了新定义类型的解题方法，应紧扣定义，用到了二次函数对称轴的讨论和最值问题的转换．。
