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《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 北师大版中考数学方程部分知识点总结第二章方程一、基础知识点 1、一元一次方程（1）概念：只含有一个（即次方程。
（2）标准形式：是 ax+b=0（a，项；bx 叫做；c 叫做。
（3）求根公式：x= ??? 2、一元二次方程（1）概念：只含有一个未知数（2）标准形式：是 ax+bx+c=0（3）求根公式：x ????? ? ???（4）一元二次方程有四种解法（5）直接开平方法适用于一次（6）配方法的方法一般不唯一（7）公式法即用求根公式求解程都可以用。
（8）因式分解法有两种情况：化为 x（ax+b）?0；二是方【（9）一元二次方程根的判别式当时，方程有的实数根；当时，方程有的实数当时，方程实数根。
（10）韦达定理? ? ? ? ? ? ??? ，程（组）和不等式（第一节整式方程元），并且未知数的为 1（即次）的，b 为常数，x 为未知数，且 a0）。
其中数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程0（a，b，c 为常数，x 为未知数，且 a0??? ：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式次项系数为零的情况。
1 / 11一，要具体问题具体分析，看题找到最合理，公式法适用范围广，只要有解（? ? ? 4a一是常数项为零的情况，此时方程a? ? ?方程各项系数都不为零的情况，此时方】将方程分解因式。
式（△=b-4ac）判断方程的根的情况：根； ? ? ? ? ??? （其中? ? 、? ? 为方程的两个实数（组）的整式方程叫做一元一ax2 叫做，a 叫做二次程叫做一元二次方程。
0）。
式法；4、因式分解法。
理的配法。
ac ? 0）的一元二次方bx ? 0（a ? 0），可方程要用十字相乘法数根） 3、方程的解（根）的意义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解（即能使方程等式成立的未知数的值）。
实 用 文 档 1 第7讲 分式方程
一、 知识清单梳理 知识点一：分式方程及其解法 关键点拨及对应举例
1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 例：在下列方程中，①210x +=；②
4x y +=-；③11
x x =-，其中是分式方程的是③.
2.解分式方
程 基本思路：分式方程 整式
方程
例：将方程12211x x
+=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x －1).
解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程；
(2)解所得的整式方程；
(3) 检验：把所求得的x 的值代入最简公分母
中，若最简公分母为0，则应舍去．
3.增根 使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程101
x =-有增根，则增根方程两边同乘以
最简公分母
约去分母。
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
北师大版数学分式知识点总结
北师大版数学分式知识点主要包括以下内容：
1. 分式的定义：分子和分母都是代数式，并且分母不为零。
2. 分式的化简：
- 化简分式的基本原则是分子分母同时约去所有的公因式，使得分子和分母都不能再约去任何公因式。
- 这样化简后的分式称为最简分式。
3. 分式的运算：
- 加法和减法：分子相加或相减，分母保持不变。
- 乘法：分子相乘，分母相乘。
- 除法：分子乘以被除数的倒数，分母乘以除数的倒数。
- 乘方：将分子或分母进行乘方运算。
4. 分式方程的解法：
- 将分式方程的分式化简为整式方程，然后解整式方程即可。
- 注意要排除使分母为零的解。
5. 分式的应用：
- 分式在比例、相似、三角函数等方面具有广泛的应用。
- 分式可以用来求解实际问题中的比例关系、分配问题等。
这些知识点基本上涵盖了北师大版数学中关于分式的内容。
当然，具体的知识点还需根据不同的教材版本来确定。
中考总复习7 分式方程1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 答案：D【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m mx x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ． 答案：m<6且m ≠22：分式方程的解法1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根． 【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--． 解：分式两边乘以公分母x （x-3），得3-x=x （x-3） 解得， x=-1或x=3将x=-1代入x （x-3）=4≠0，所以x=-1为原方程的根 将x=3代入x （x-3）=0，所以x=3为原方程的增根，不是原方程的根；故，原方程的根为;x=-1归纳 3：分式方程的应用1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． 2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度为x ，得6024x 45240x 240=- 解得，x=120将x=120，代入公分母x=120≠0，所以x=120是原方程的根 答：汽车出发后第1小时内的行驶速度为120km/h1、能解可化为一元一次方程的分式方程。
![初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版(新2019)](https://img.taocdn.com/s1/m/649c6724a8114431b90dd8ca.png)
分式方程与分式不等式分式方程与分式不等式是高中数学中的重要内容，它们在代数方程与不等式的研究中起着重要的作用。
本文将介绍分式方程与分式不等式的基本概念、解法以及应用。
一、分式方程分式方程是一个含有分式的方程，它的解是使得方程两边的分式取相同值的数。
分式方程的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}=c$其中，P(x)和Q(x)为多项式，c为常数。
解分式方程的关键是求出使得方程成立的x值。
解分式方程的步骤如下：1. 将分式方程中的所有分式转化为通分形式，即找到它们的最小公倍数，并将各个分式乘以使分母相同的因子。
2. 化简方程，合并同类项。
3. 将方程转化为多项式方程，通过去分母的操作，可以用等式的形式表示。
4. 求解多项式方程，得到方程的解。
需要注意的是，解分式方程时，要注意验证所得的解是否满足原始方程。
二、分式不等式分式不等式是一个含有分式的不等式，它的解是使得不等式成立的x值。
分式不等式的基本形式为：$\frac{P(x)}{Q(x)}>a$或$\frac{P(x)}{Q(x)}<a$其中，P(x)和Q(x)为多项式，a为常数。
解分式不等式的关键是求出使得不等式成立的x值所在的区间。
解分式不等式的步骤如下：1. 将分式不等式中的所有分式转化为通分形式，方法与解分式方程类似。
2. 化简不等式，合并同类项。
3. 将不等式转化为多项式不等式。
4. 求解多项式不等式，得到x所在的区间。
需要注意的是，解分式不等式时，要注意分母的正负情况，以及不等式中的临界点。
三、应用举例分式方程与分式不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面分别举例说明。
例1：企业利润分配某企业盈利纳入员工利益分享计划，根据企业盈利比例，公司将利润的30%分配给员工。
其中，员工A分得的利润为整个利润的1/4，员工B分得的利润是员工A分得利润的2/3。
求员工A和员工B分得的利润。
解：设整个利润为x，员工A分得的利润为$\frac{1}{4}$ *$\frac{3}{10}$ * x = $\frac{3}{40}$ * x员工B分得的利润为$\frac{2}{3}$ * $\frac{3}{40}$ * x =$\frac{1}{20}$ * x所以，员工A和员工B分得的利润分别为$\frac{3}{40}$x和$\frac{1}{20}$x。
九年级数学方程与不等式北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：方程与不等式二. 教学目标：通过对方程与不等式基础知识的复习，解决中考中常见的问题。
三. 教学重点、难点：熟练地解决方程与不等式相关的问题 四. 课堂教学：中考导航一等式及其性质一、八计一元一次方程定义、方程的解 一兀一次万程I 一元一次方程的解法 一元一次方程的应用中考大纲要求一二兀一次方程（组）定 』解二元一次方程组简单的三元一次方程组 列二元一次方程组解应中考大纲要求中考导航二义及其解的解法 用题中考导航三不等式的性质一元一次不等式（组）的概念一元一次不等式和一元一次不等式组』一元一次不等式（组）解集的含义一元一次不等式（组）的解法一元一次不等式（组）的应用中考大纲要求三中考导航四—元二次方程的定义一一、宀、工口一元二次方程的解法一兀二次方程I可化为一元二次方程的分式方程一元二次方程及分式方程的应用中考大纲要求四考点考纲要求知识与技能目标了解理解掌握灵活 应用元 二次 方程了解一兀二次方程的定义及双重性掌握一兀二次方程的四种解法，并能 灵活运用V V 掌握一兀二次方程根的判别式，并能 运用它解相应问题VV掌握可化为一兀二次方程的分式方程 的解法并会验根V会解一兀二次方程及分式方程应用题V【典型例题】例1.若关于x 的一元一次方程 空k—x 3k=1的解是x = -1，则k 的值是（ ）3 22 13 A.B. 1C.D. 0711答案：B例2. 一元二次方程x 2 -2x -3=0的两个根分别为（）答案：B2x —4 王0例4.把不等式组*的解集表示在数轴上，正确的是（— x >3A. x 1 =1， X 2=3 C. x 1 - -1， x 2 =3 答案：C B. x 1 = 1， x 2 - -3 D. X 1 = —1 ， X 2 = _3例3.如图所示, 论错误的是（A. a - b 0O 是原点，实数 ）B. ab ：： 0a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ,则下列结C. a b ：： 0D. b （a - c ） 00 12 3答案：A例5.某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告。
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![初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版](https://img.taocdn.com/s1/m/18a499a719e8b8f67c1cb96b.png)
中考总复习：方程与不等式综合复习一知识讲解（基础）【考纲要求】1会从定义上判断方程（组）的类型，并能根据定义的双重性解方程 （组）和研究分式方程的增根情况；2 •掌握解方程（组）的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3 •理解不等式的性质，一元一次不等式 （组）的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4 •列方程（组）、列不等式（组）解决社会关注的热点问题；5.解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是中考的难点和热点.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1. 方程含有未知数的等式叫做方程 •2. 方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解3. 等式的性质整武方崔| 一兀二次方程「■方程一1去分母 换元 1分武方程一 1元二次方程细一消元H二元一次方程组上法- L 代入消元加减消元法方程m>与不等式ffl} C _(一列方程（组〕解应用题Ll 不等式的定文T 不等式的解呃一数轴表示法不」等_ 式一不等式的性质解法-£一元一次不等式的解法•元i 次不等式组及其解法」（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式4. 一兀一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax b =0(x 为未知数，a =0)叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项.5. 一元一次方程解法的一般步骤整理方程 一一 去分母一一 去括号一一 移项一一 合并同类项一一系数化为 1――(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1) 读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程•(2) 画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使 图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最 后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础 • 要点诠释：列方程解应用题的常用公式:⑸商品价格问题：售价=定价•折•丄，利润=售价-成本， 利润率二售价一成本100% ；10成本2(6)周长、面积、体积问题： C 圆=2n R, S 圆=n R ， C 长方形=2(a+b) ， S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，2223 盘 S 正方形=a ， S 环形=n长方体=abh ， V 正方体=a ， V 圆柱=n Rh ， 考点二、一兀二次方程1. 一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 .2. 一元二次方程的一般形式2ax • bx • c = 0(a =0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项3. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法(1) 行程问题：距离=速度X 时间(2) 工程问题：工作量=工效X 工时⑶ 比率问题：部分=全体X 比率速度 工效 ⑷顺逆流问题: 距离 时间工作量 工时比率罟顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度 时间工时全体距离 速度工作量 工效部分 比率=静水速度-水流速度;I 2V 圆锥=一 n Rh.3利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(x a)2 =b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b_0时, x • a = - b，x = -a - b，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用•配方法的理论根据是完全平方公式a2 _2ab b2=（a _b）2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2 _2bx b2 =（x_b）2.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程ax2 +bx+ c =0（a式0）的求根公式：论,2 = ―b——（b2—4ac^0）（4）因式分解法2a因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4. 一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2 bx c = 0（a = 0）中，b2 - 4ac叫做一元二次方程ax2 +bx+c=0（a^0）的根的判别式，通常用“也”来表示，即A =b2-4ac.5. 一元二次方程根与系数的关系2 b c如果方程ax 5x7=02=0）的两个实数根是％，x2，那么x1x2，x1x2.也就a a是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.考点三、分式方程1. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程•2. 解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根•3. 分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根考点四、二元一次方程（组）1. 二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c（a 丰 0，b丰0）.2. 二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解3. 二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4. 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解5. 二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法•6. 三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.考点五、不等式（组）1. 不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2. 不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3. 一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4. 一元一次不等式组（1 ）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组•当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集 (2) —元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.要点诠释：用符号“v”“>”“w”“》”“工”表示不等关系的式子，叫做不等式【典型例题】类型一、方程的综合运用y =ax b1 •如图所示，已知函数y= ax+b和y= kx的图象交于点P,则根据图象可得，关于，y = kx的二元一次方程组的解是________________ •【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解•x _ -4【答案】,y = ~2【解析】由图象可知y = ax+b与y = kx的交点P的坐标为(-4,-2),y = ax+b x = —4所以二元一次方程组的解为'』= kx y = -2.【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考. 举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2-：；：m -1 x ■ m - 3 = 0 .(1)求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2)若直线y二m-1 x • 3与函数y =x2• m的图象的一个交点的横坐标为2,求关于x的一元次方程x27：m -1 x • m - 3 = 0的解.【答案】(1)证明：厶-L m -1 2 - 4 m - 3二m2 -2m 1 -4m 12 二m2 -6m 13=(m _3 f +4•••不论m取何值时，(m —3 2H 0••• (m —3 丫+4 A0，即A >0•••不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根..(2)将x = 2代入方程x2 - m -1 x ・m-3=0 ,得m = 3再将m = 3代入，原方程化为x2 _2x =0，解得X i = 0, x2 =2.2. 已知：关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc (c丰0)的图象与x轴一个交点的横坐标为 1.(1 )若方程①的根为正整数，求整数k的值；(2 )求代数式(kc)匚逆的值；akc2(3)求证:关于x的一元二次方程ax -bx+c=0②必有两个不相等的实数根.【思路点拨】(1)根据一元一次方程及根的条件，求k的值；2)把交点坐标代入二次函数的解析式求出值；(3)根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x有两不相等的实数根.【答案与解析】(1)解：由kx=x+2，得(k-1) x=2.依题意k-1丰0.2… x .k -1•/方程的根为正整数，k为整数，•k-1=1 或k-仁2.k1= 2, k2=3.(2)解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1, 0),•0 =a-b+kc, kc = b-a .(kc)2-b2ab (b -a)2_b2ab b2_2ab a2_b2ab _ a2_ab d2 = 2 = 一1.akc a(b-a) ab-a ab-a(3)证明：方程②的判别式为△ =(-b) 2-4ac= b 2-4ac.由a M 0, c丰0,得ac丰0.2 ____________________________________(i ) 若ac<0,则-4ac>0.故厶=b -4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.(ii ) 证法一：若ac>0,由⑵ 知a-b+kc =0, 故b=a+kc.2 2 2 2 2 2△ =b -4ac= (a+kc) -4ac=a +2kac+(kc) -4ac = a -2kac+(kc) +4kac-4ac=(a-kc) 2+4ac(k-1).•••方程kx=x+2的根为正实数，•方程(k-1) x=2 的根为正实数.由x>0, 2>0, 得k-1>0.•4ac(k-1)>0.2••• (a-kc) _0,•△ =(a-kc) 2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.证法二: 若ac>0,T 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点，2 2△ 1=(-b) -4akc =b -4akc _0.2 2(b -4ac)-( b -4akc)=4ac(k-1).由证法一知k-1>0,2 2/• b -4ac> b -4akc _0.••• △ = b 2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根综上，方程②有两个不相等的实数根【总结升华】方程与函数综合题.中考所考知识点的综合与相互渗透.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程X2 _2(m • 2) =0.(1)若x= —2是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；(2)求证：对于任意实数m这个方程都有两个不相等的实数根.【答案】(1)解：把x= —2代入方程，得4 -2(m -1) (-2) -m(m 2^0 ,2即m -2 m = 0.解得0=0 , m2 = 2.当m=0时，原方程为X2,2X=0 ,则方程的另一个根为x = 0. 当m=2时，原方程为X2-2X，8=0 ,则方程的另一个根为x = 4.(2)证明：I- 2(m -1) 2 -4 L m(m 2)丨-8m2 4 ,•••对于任意实数m, m2 _0 , ••• 8m2 4 0.•对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根.类型二、解不等式(组)3. (2015?江西样卷)解不等式组* 2 ，并把解集在数轴上表示出来.1 _ 3 (y _ 1) <8 - x【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.【答案与解析】f V- 3解:宁①,1 - 3(K _1 ) <区- X②X. ~•••解不等式①得：x <1 ,解不等式②得：x >- 2,•••不等式组的解集为：-2 v x 在数轴上表示不等式组的解集为：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤，在数轴上表示不等式组时，能根据不等式的解集找出不等式组的解集.举一反三：【变式】(2014?泗县校级模拟)求不等式组【答案】⑵+5>1・■■①解：-：玫］0…②，r2x+5>l3s - 8^10的整数解，并在数轴上表示出来.由①得：X >— 2, 由②得：x w 6,•••不等式组的解集是：- 2 v x w 6. •••整数解是：-1 , 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6. 在数轴上表示出来为：-1 012 3 4 5 6 7>类型二、方程（组）与不等式（组）的综合应用4 .如果关于x 的方程1—二厶尘的解也是不等式组2—x x-4求m 的取值范围. 【思路点拨】解方程求出x 的值（是用含有 m 的式子表示的），再解不等式组求出 x 的取值范围，最后方程的 解与不等式组的解结合起来求 m 的取值范围. 【答案与解析】解方程 1—二 ~2^，得 x = -m-2 .2-x x-4因为 x 2「4 二 m （m 4）, 所以m^ -4且m^ 0时，有x 2 -4^ 0 . 所以方程1 =―竺的解为x = -m-2 .2-x x-4 其中m^ -4且m^ 0.1 -x 解不等式组2' 得x w -2.2（x -3）乞 x -8,由题意，得-m-2 w -2，解得m> 0. 所以m 的取值范围是m >0.【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一.举一反三：2 a ' 2的解集是0 w x 1，那么a b 的值为2x -b ：：31 - x x - 2,2的一个解,2(x-3) _ x-8【变式】如果不等式组【答案】解不等式组得: 4-2 a 乞x v ，2 a ' 2的解集是0 w x ：：： 1，所以2x-b ：： 34-2 a 二 0b 312解得a 「2所以a，b=1.lb = -1某采摘农场计划种植 A 、B 两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题:(2) 若要求种植 A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多 ？【思路点拨】(1 )根据等量关系：总收入 =A 地的亩数x 年亩产量x 采摘价格 +B 地的亩数x 年亩产量x 采摘价格， 列方程求解； (2)这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数 y 随x 的变化求出最大利润. 【答案与解析】设该农场种植 A 种草莓x 亩，B 种草莓(6-x)亩 依题意，得：60 1200x 40 2000(6 -x) =460000 解得：x=2.5 ,6-x=3.51(2)由 x (6 - x)，解得 x _ 2 2设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则：y =60 1200x 40 2000(6 -x)二-8000x 480000•••当x =2时，y 有最大值为464000 答：(l)A 种草莓种植2.5亩,B 种草莓种植3.5亩.(2) 若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场 每年草莓全部被采摘的总收入最多.【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题. 注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值.举一反三：【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果•公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载.已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车.(1) 设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车 装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关 系式，并写 出自变量x 的取值范围； (2) 若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：设此次运输的利润为W (万元)，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润.(1)若该农场每年的总收入为460000元，那么A 、B 两种草莓各种多少亩 ？草莓全部被采摘【答案】(1)T 8x 10y 11(10_x_y) =100,••• y与x之间的函数关系式为y =_3x 10 .•/ y> 1,解得x w3.•/ x > 1, 10_x_y > 1,且x 是正整数，•自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3 .(2) W =8x 0.22 10y 0.21 11(10_x_y) 0.2 = _0.14x 21 .因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，此时W =20.86 (万元).获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果.类型四、用不等式(组)解决决策性问题6.为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；综合上述信息，解答下列问题：(1) 符合题意的搭配方案有哪儿种？(2) 若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1) 中哪种方案成本最低？【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案.【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得90x 40(50 - x)乞3600, —解得30 w x w 32.30x 100(50—x)乞2900,所以x的正整数解为30, 31, 32.所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个.(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30 X 1000+20 X 1200= 54000;第二种办案：31 X 1000+19 X 1200= 53800;第三种方案：32 X 1000+18 X 1200= 53600.所以第三种方案成本最低.【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题.举一反三：【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：类别 冰箱 彩电进价(元/台》 2320 1900 售价(元/台) 2420 1980(1)按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴•若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？ (2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共 40台，且冰箱的数量不少于彩电数量 的5. 6① 请你帮助该商场设计相应的进货方案； ② 用哪种方案商场获得利润最大？(利润=售价-进价)，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2420+1980)X 13% =572 (元)(2) ①设冰箱采购x 台，则彩电采购(40-x )台，232OX +1900 (40-x)^ 85000方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，方案二：冰箱购买 20台，彩电购买20台， 方案一：冰箱购买 21台，彩电购买19台. ②设商场获得总利润为 y 元，贝U y =(2420-2320) x +(1980-1900)(40- x )=20x +3200 ••• 20> 0,「. y 随x 的增大而增大，•••当 x =21 时，y 最大=20X 21+3200=3620(元). 解不等式组得18 —乞x 乞21?，因为11 一 一 7 x 为整数，所以x =19、20、21,。
第五讲 分式方程与不等式1.分式方程【知识点】一、分式方程的概念中含有 的方程叫做分式方程. 二、分式方程的解法1.解分式方程的步骤:① ② ③2.增根必须同时满足的两个条件:①是原分式方程去分母后所得整式方程的根 ②使原分式方程的分母为零 三、分式方程的应用1.用方程的方法解决实际问题的核心是寻找实际问题中的等量关系式.其中一个等量关系设未知数，另一个等量关系列方程2.常见类型题及等量关系（1）航行问题：③顺水速度=船的静水速度+水速；③逆水速度=船的静水速度－水速。
（2）工程问题：③工作总量=工作效率×工作时间。
(注意：工程问题中常把总工程看做单位1来求解，工作效率可以相加，比如甲单独做一份工作要4小时，乙单独做一份工作要3小时，那么甲的工作效率就是41，乙的工作效率是31，甲、乙的工作效率之和是1273141=+)。
（3）增长率问题：增长后的量=原来的量×(1+增长率)。
（4）位数问题：四位数=千位数字×1000+百位数字×100+十位数字×10+个数数字。
（5）销售问题：③成本利润利润率=；③售价=成本×(1+利润率)；③总利润=单利×销售量。
（6）打折问题：一件商品如果打n 折，售价=标价×10n 。
【基础检测】 1.在下列方程1322=x 、 1-22=x π、 x x =32、 2-x 132-x 1-=+x 、 01=x中，分式方程的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.分式112+-x x 的值为0.则( ).A. x = -1B. x =±1C. x =1D. x =03. 将分式方程221-=x x 去分母后得到的整式方程，正确的是( ). A. x -2=2x B. x 2-2x = 2x C. x -2=x D. x =2x -44.关于x 的分式方程112=+-x ax 的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.a >1 B.a >1且a ≠2 C.a <-1 D.a <-1且a ≠25.方程233-2=-++xm x x 有增根，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．3 D ．0或36.炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装60台空调，乙安装队为B 小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台. 设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是( ) A.B.C.D.7.A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道。
已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务。
如果设甲工程队每周铺设管道x 公里，那么可得方程为( )A.311818=+-x x B.318118=-+xx C.118318=-+xx D.131818=+-x x 8. 小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱。
且在距离学校60米的地方追上了他，已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度.若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程是 .9.运动会上，某班买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比 乙种雪糕多20根. 乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x 元，根据题意可列方程10.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程 。
【典型例题】例1.解方程:(1)x x x 4231122-=+--(2)=1.例2.（1）已知关于x 的方程322=-+x mx 无解，则m 的值为 ． （2）一变：已知关于x 的方程322=-+x mx 的解为x ＝3，则m 的值为 ．（3）二变：已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围是 ．例3.某县为创建省级文明卫生城市，计划将城市道路两旁的人行道进行改造。
经调查知:若该工程由甲工程队单独 做恰好可在规定时间内完成:若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是规定时间的2倍.如果甲，乙两工程队合做6天后，那么余下的工程由甲工程队单独来做还需3天才能完成. (1)问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天?(2)已知甲工程队做一天需付给工资 5万元，乙工程队做一天需付给工资3万元.现该工程由甲、乙两工程队合 做来完成，该县准备了工程工资款65万元，请问该县准备的工程工资款是否够用?【综合提高】1. 已知a 2+3ab +b 2=0(a ≠0，b ≠0)，则代数式baa b +的值等于 。
2. 某项工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成.⑴ 求乙工程队单独做需要多少天？⑵将工程分为两部分，甲做其中一部分用了x 天，乙做另一部分用了y 天， 其中x 、y 均为正整数， 且x <15， y <70， 求x 、y .【课堂检测】1. 某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型 包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个. 设B 型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程式为( ) A.=+12B.=﹣12C.=﹣12D.=+122. 两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度比第二组快1米/分，他们比第二组早15分到达顶峰，则第一组的攀登速度是（ ）A ．6米/分B ．5.5米/分C ．5米/分D ．4米/分 3.223-=--x mx x 有增根， 则m 的值为 . 4.解方程(1) 32121---=-x xx(2)2441231412--+=-+x x x x5.扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，则原计划每天栽树多少棵？【课后作业】1.在下列方程中:①3232=-x x ②132=-x x ③3=-b x a x ④211=++x x .关于x 的分式方程的是( ) A.①②③ B.②③④C.②④D.①②③④2. 方程132+=x x 的解为（ ）A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 3. 把分式方程87871=----xx x 的两边同时乘)7(-x ， 约去分母， 得（ ） A. 8)8(1=--x B. 8)8(1=-+x C. )7(8)8(1-=--x x D. )7(8)8(1-=-+x x 4. 某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000m 的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时“…”，设实际每天铺设管道xm ，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为( )A. 每天比原计划多铺设10m ，结果延期15天才完成 B ．每天比原计划少铺设10m ，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10m ，结果提前15天完成D ．每天比原计划少铺设10m ，结果提前15天完成6. 杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为8. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000k g 和15000k g ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000k g ，若设第一块试验田每公顷的产量为xk g ，根据题意，可得方程 .9.解方程：⑴431222-=-+-x x x ； ⑵21312=-++x x x10. 某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况： ①九（1）班班长说：“我们班捐款总数为1200元，我们班人数比你们班多8人．”②九（2）班班长说：“我们班捐款总数也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．” 请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．2.不等式【知识点】一、不等式及不等式的性质1.一般的，用符号“<"(或“≤"),“>”(或“≥")，“≠”连接的式子叫做不等式.2.不等式的性质:性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向.性质2;不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向，性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向。
注意：“0”是很特殊的一个数,因此,解答不等式的问题时,应密切关注“0”存在与否,以防掉进“0”的陷阱.二、不等式的解、解集、解集的表示方法1.能使不等式成立的，叫做不等式的解.2.一个含有未知数的不等式的，组成这个不等式的解集.3. 在数轴上表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号的用实心圆点，没等号的用空心圆圈。
a>0 a≥0 a<0 a≤0三、一元一次不等式及其解法1.不等式的左右两边都是，只含未知数，并且未知数的最高次数是，这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的步骤：、、、、。
四、一元一次不等式组的解集1. 概念：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
【基础检测】1.下列不等式变形正确的是()A. 由a＞b得ac＞bcB. 由a＞b得﹣2a＞﹣2bC. 由a＞b得﹣a＜﹣bD. 由a＞b得a﹣2＜b﹣22.下列说法正确的是( )，A.不等式x +1>0的解是2B.不等式2x -3≤0的解集为x ≥32. C.不等式x <3的解有: 1和2两个D. x >2是不等式3-x <1的解集3.若关于x 的方程3x +3a =2的解是正数， 则a 的取值范围是（ ）A. 32>a B ．32<a C ．0>a D ．0<a4.如图，直线y 1=k 1x +a 与y 2=k 2x +b 的交点坐标为(1，2)，则使y 2＜y 1的取值范围为( )A. x ＞1B. x ＞2C. x ＜1D. x ＜2(4题) (5题)5.一次函数y 1=kx +b 与y 2=x +a 的图象如图所示，则下列结论：①k ＜0；②a ＜0，b ＜0；③当x =3时，y 1=y 2；④不等 式kx +b ＞x +a 的解集是x ＜3，其中正确的结论个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 36.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对 多少道题？如果设小明答对x 道题，则他答错或不答的题数为20﹣x .根据题意得( ) A. 10x ﹣5(20﹣x )≥120 B. 10x ﹣5(20﹣x )≤120C. 10x ﹣5(20﹣x )＞120D. 10x ﹣5(20﹣x )＜1207.下列不等式组：①，②，③，④，⑤.其中一元一次不等组的个数是( ) A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.9.某种服装进价80元，售价120元，但销量较小．为了促销，商场决定打折销售，若保证利润率不低于20%，那么至多可打 折销售.10.汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380 吨.设购买A种型号的污水处理设备x台，可列不等式组.【典型例题】例1.解下列不等式组(1)；(2)， (3) ，并求其整数解.例2.每年3月12日是植树节,某学校组织若干人植树,若每人植4棵,则余20棵没人植；若每人植8棵,则有一人比其他人植的少(但有树植),问该校一共有多少人去植树？共有多少棵树？例3.“保护好环境，拒绝冒黑烟”. 某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次. 若该公司购买A型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？例4.“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择．(1)考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，且A型车不超过60辆．已知A型的进价为500元/辆，B型车进价为700元/辆，设购进A型车m辆，求出m的取值范围；(2)已知A型车每月产生的利润是100元/辆，B型车每月产生的利润是90元/辆，在（1）的条件下，求公司每月的最大利润．【综合提高】1.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是()A. ﹣＜a≤﹣B. ﹣≤a≤﹣C. ﹣≤a＜﹣D. ﹣＜a＜﹣2.A市和B市库存某种机器分别为12台和6台，现决定支援C市10台和D市8台，已知从A市调运一台机器到C 市和D市的运费分别为400元和800元，从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元.(1)设B市运往C市的机器x台，求总运费W( 元)与x的函数式.(2)若要求总运费不超过9000元，问：共有几种调运方案.(3)请选择最佳调运方案，使总运费最少，并求出最少总运费.【课堂检测】1．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（）A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜02．用若干辆载重量为6千克的货车运一批货物，若每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物；若每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克．若设有x 辆货车，则x 应满足的不等式组是( )A ．B ．C ．D ． 3. 若111-=--x x ， 则x 的取值范围是 .4.不等式组⎩⎨⎧≤-->84354x x 的最小整数解为 . 5.如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)当x 时，kx +b ≥mx ﹣n ；(2)不等式kx +b ＜0的解集是 ；(3)交点P 的坐标( 1，1)是一元二次方程组： 的解；(4)若直线l 1分别交x 轴、y 轴于点M 、A ，直线l 2分别交x 轴、y 轴于点B 、N ，求点M 的坐标和四边形OMPN 的面积.6.某大型企业为了保护环境，准备购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元.(1)求出A 型、B 型污水处理设备的单价；(2)经核实，一台A 型设备一个月可处理污水220吨，一台B 型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.【课后作业】1.下列说法中，正确的是( )．A. 不等式x ＋3＜3的解集是x ＜1 B ．不等式2x ＋m ＞2x －m 一定成立C ．关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是D ．若关于x 的方程3x ＋2k ＝2的解是正数，则k ＜1 2.已知关于x 的不等式2x +m ＞﹣5的解集如图所示，则m 的值为( )A. 1B. 0C. ﹣1D. ﹣23.若不等式组有解，则a 的取值范围是( )A. a ≤3 B. a ＜3 C. a ＜2 D. a ≤24.某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上(包括2块)，商场推出两种优惠销售办法．第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售．你在购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买( )块肥皂．A ．5B ．2C ．3D ．45.把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到的苹果不超过2个，则学生人数是( )A. 3B. 4C. 5D. 66.直线l 1：y =k 1x +b 与直线l 2：y =k 2x +c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式k 1x +b ＜k 2x +c 的解集为（6题） （8题）7.商店买进一批总价为1530元的衣服，第一天以每件20元的价格销售16件，以后以22.5元的价格出售，至少要再卖 件才能获利.8.已知不等式组⎩⎨⎧<-≥+3212b x a x 的解集如图所示， 则a -b 的值为 .9.解不等式组⑴ ⎪⎩⎪⎨⎧->-≤--253124)2(3x x x x ； ⑵⎪⎩⎪⎨⎧<+<-x x x 321052; ⑶⎩⎨⎧-≤+<--74215x x x10.某商场购进甲、乙两种服装，每件甲种服装比每件乙种服装贵25元，该商场用2000元购进甲种服装，用750元购进乙种服装，所购进的甲种服装的件数是所购进的乙种服装的件数的2倍．（1）分别求每件甲种服装和每件乙种服装的进价；（2）若每件甲种服装售价130元，将购进的两种服装全部售出后，使得所获利润不少于750元，问每件乙种服装售价至少是多少元？。
