第二章第4节 连续型随机变量及其概率密度

第 1节 随机变量 第2节 离散型随机变量及其分布律 第3节 随机变量的分布函数第4节 连续型随机变量及其概率密度(1)第5节 随机变量的函数的分布北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它离散型随机变量：所取的可能值是有限多个或可列无限多个。

分布律：P{ X xk } pk , k 1, 2,北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可回顾：随机变量的分类随机变量离散型 非离散型连续型其它连续型随机变量：所取的可能值可以连续地充满某个区间。

对于这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那 样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式。

北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可定义对于随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数 x有x ,Fxxft dtPXx则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数， 简称为概率密度、密度函数（probability density function，常缩写为pdf）。

注记1：连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数。

注记2：但分布函数在R上连续的随机变量不一定都是连续型的（课外阅读介绍的Cantor分布就是例子）。

北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。

f (x) 0 非负可积函数F(-∞)=0，F(x)不减 2。

f (x)dx 1 F(+∞)=1【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的f(x)概率密度的充要条件面积为1北京邮电大学x0仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。

f (x) 0 2。

f (x)dx 1 3 对于任意实数 P{ x1 X x2 } x2 f ( x)dxx1， 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率北京邮电大学仅供课堂教学使用·请勿外传黄煜可概率密度的性质1。

第四节 连续型随机变量及其概率密度内容分布图示★ 连续型随机变量及其概率密度 ★ 连续型随机变量分布函数的性质 ★ 例1★ 例2★ 例3★ 均匀分布 ★ 例4 ★ 指数分布 ★ 例5★ 正态分布 ★ 标准正态分布 ★ 例6 ★ 3准则★ 例7★ 例8★ 例9★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题2-4内容要点：一、 连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量X 的分布函数)(x F ,存在非负可积函数)(x f ,使得对于任意实数x 有.)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.关于概率密度的说明1. 对一个连续型随机变量X ,若已知其密度函数)(x f ,则根据定义,可求得其分布函数)(x F , 同时, 还可求得X 的取值落在任意区间],(b a 上的概率:⎰=-=≤<ba dx x f a Fb F b X a P )()()(}{2. 连续型随机变量X 取任一指定值)(R a a ∈的概率为0.3. 若)(x f 在点x 处连续, 则)()(x f x F =' (1)二、常用连续型分布 均匀分布定义 若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f 则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布, 记为),(~b a U X .指数分布定义 若随机变量X 的概率密度为0.,0,0,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ其它x e x f x则称X 服从参数为λ的指数分布.简记为).(~λe X正态分布定义 若随机变量X 的概率密度为.,21)(222)(∞<<∞-=--x e x f x σμσπ其中μ和)0(>σσ都是常数, 则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布. 记为).,(~2σμN X注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布.一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0==σμ时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用)(x ϕ和)(x Φ表示:,21)(22x e x -=πϕ ⎰∞--=Φxt dt e x 2221)(π标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理 设),,(~2σμN X 则).1,0(~N X Y σμ-=标准正态分布表的使用：（1）表中给出了0>x 时)(x Φ的数值, 当0<x 时, 利用正态分布的对称性, 易见有);(1)(x x Φ-=-Φ（2） 若),1,0(~N X 则);()(}{a b b X a P Φ-Φ=≤<（3）若),(~2σμN X , 则),1,0(~N X Y σμ-=故X 的分布函数;}{)(⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=σμσμσμx x X P x X P x F ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤<-=≤<σμσμb Y a P b X a P }{.⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμσμa b例题选讲：连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π求其分布函数)(x F . 解 ⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )(}{)(当,1-<x ;0)(=x F 当,11≤≤-x ⎰⎰--∞--+⋅=xdt t dt x F 121120)(π21arcsin 112++-=x x xππ当,1>x ,1)(=x F 故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-++--<=.1,111,21arcsin 111,0)(2x x x x x x x F ππ例2设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数 解 (1) 由⎰+∞∞-=,1)(dx x f 得,122433=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎰⎰dx x kxdx 解得,6/1=k 于是X 的概率密度为.,043,2230,6)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它x x x xx f(2) X 的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰4,143,22630,60,03030x x dt t dt t x dt t x x x .4,143,4/2330,12/0,022⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=x x x x x x x (3) ⎰=≤<2/71)(}2/71{dx x f X P ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2/73312261dx x xdx 2/73231242121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ,4841= 或)1()2/7(}2/71{F F X P -=≤<.48/41=例3（讲义例1）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,0)(2求 (1) 概率}7.03.0{<<X P ; (2) X 的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有(1) )3.0()7.0(}7.03.0{F F X P -=<<;4.03.07.022=-= (2) X 的密度函数为)()(x F x f '=⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤=x x x x 1,010,20,0.,010,2⎩⎨⎧<<=其它x x常用连续型分布均匀分布例4 （讲义例2）某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解 以7:00为起点0, 以分为单位, 依题意~X ),30,0(U ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0300,301)(x x f 为使候车时间X 少于5分钟, 乘客必须在7:10到7:15之间, 或在7:25到7:30之间到达车站, 故所求概率为}3025{}1510{<<+<<X P X P 3130130130251510=+=⎰⎰dx dx 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3. 指数分布例5（讲义例3）某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其参数10001=λ，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.解 由题设知, X 的分布函数为.0,00,1)(1000⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-x x e x F x由此得到}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则).1,3(~1--e b Y所求概率为}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(13310103----=--=e e e C 正态分布例6（讲义例4）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 解 这里,1=μ,2=σ 故⎩⎨⎧≤-=≤=21}5{)5(X P X P F ⎭⎬⎫-215)2(215Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=查表得 , ⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<210216.1}6.10{X P )5.0()3.0(-Φ-Φ=)]5.0(1[6179.0Φ--=;3094.0)6915.01(6179.0=--=}31{}2|1{|≤≤-=≤-X P X P ⎩⎨⎧-≤-=211X P 2⎭⎬⎫≤1 1)1(2)1()1(-Φ=-Φ-Φ=.6826.018413.02=-⨯=例7 设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少解 设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x)(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=x即,9.010650=⎪⎭⎫⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78分.例8（讲义例5）假设某地区成年男性的身高(单位:厘米)),69.7,170(2N X -求该地区成年男性的身高超过175厘米的概率.解 根据假设),69.7,170(2N X -且}175{>X 表示该地区成年男性的身高超过175厘米,可得}175{1}175{}175{≤-=∞<<=>X P X P X P)65.0(169.71701751ΦΦ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= .2578.07422.01=-=即该地区成年男性身高超过175厘米的概率为.例9在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β. 解 引入事件=1A {电压不超过 200 伏},=2A {电压不超过 200~240 伏},=3A {电压超过240伏};=B {电子元件损坏}.由条件知),25,220(~2N X 因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=2522020025220}200{)(1X P X P A P ;212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ=}240200{)(2≤≤=X P A P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=8.0252208.0X P .576.01)8.0(2=-Φ= }240{1}240{)(3≤-=>=X P X P A P .212.0)8.0(1=Φ-=(1) 由题设条件,,1.0)|(1=A B P ,001.0)|(2=A B P 2.0)|(3=A B P于是由全概率公式, 有.0642.0)|()()(31===∑=i iiA B P A P B P α(2) 由贝叶斯公式, 有.009.0)()|()()|(222≈==B P A B P A P B A P β例10（讲义例6）已知某台机器生产的螺栓长度X (单位:厘米)服从参数,05.10=μ06.0=σ的正态分布. 规定螺栓长度在12.005.10±内为合格品, 试求螺栓为合格品的概率.解 根据假设),06.0,05.10(~2N X记,12.005.10-=a ,12.005.10+=b 则}{b X a ≤≤表示螺栓为合格品. 于是}{b X a P ≤≤⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b )2()2(-Φ-Φ=)]2(1[)2(Φ--Φ=1)2(2-Φ=19772.02-⨯=.9544.0=即螺栓为合格品的概率等于.课堂练习1.已知)5.0,8(~2N X ，求 (1) );7(),9(F F(2) }105.7{≤≤X P ; (3) };1|8{|≤-X P(4) }.5.0|9{|<-X P2.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于, x 至少为多少。