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乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚. 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x ∈N|x ≤6}, B={x ∈R|x 2-3x > 0|}，则A ∩B=A. {3, 4, 5}B. {4, 5, 6}C. {x|3 < x ≤6}D. {x|3≤x <6} 2.复数i1-i在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.设函数122,0(),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若f (x ) > 1，则x 的取值范围是A.（-1，1）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）∪（1，+ ∞）D.（-∞，-2）∪(0, + ∞) 4.已知sin2α = - 2425，且α∈( 3π4, π)，则sin α =A. 35B. 45C. - 35D. - 455.执行如图的程序框图，若输出的S = 3132，则输入的整数p 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66.在△ABC 中，AC ·cosA = 3BC ·cosB ，且cosC =55，则A= A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 7.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为 A.203 B. 403C. 20D. 40 8.若f(x) = 3sinx - 4cosx 的一条对称轴方程为x = a ，则a 的取值 范围可以是A. ( 0, π4 )B. ( π4, π2 )C. ( π2, 3π4 )D. ( 3π4, π )9.已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于 ( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是A. f(-x) = f(x)B. f(x -2) = f(x + 6)C. f(-2 + x) + f(-2 -x) = 0D. f(3 + x) + f(3 - x)=0侧视图俯视图10.函数f(x) = - 1b e ax (a>0, b>0)的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切，则a+b 的最大值是A. 4B. 2 2C. 2D. 211.A, B, C, D 在球O 的表面上，且AB = BC=2，AC = 22，若四面体ABCD 的体积的最大值为43，则球O 的表面积为A.16π3B. 8πC. 9πD. 12π 12.已知双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1 (a>0, b>0)的中心为O ，过其右焦点F 的直线与两条渐近线交于A ，B 两点，→FA 与→BF 同向，且FA ⊥OA ，若|OA|+|OB|=2|AB|，则此双曲线的离心率为 A.32 B. 52C. 3D. 5 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.82x ⎫⎪⎭二项展开式中的常数项为 ；14.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 1和C 2的方程分别为 x 24 + y 2= 1和 y 216 + x 24 = 1，射线OA 与C 1和C 2分别交于点A 和点B ，且→OB = 2→OA ，则射线OA 的斜率为 ； 15.定义在R 上的函数f(x)单调递增，且对任意x ∈(0, + ∞)，恒有f(f(x)-log 2x) = 1，则函数f(x)的零点为 ；16.已知直线l 与函数y=x 2的图象交于A ，B 两点，且线段AB 与函数y = x 2的图象围成的图形面积为43，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是 .三、解答题第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , a 1=3, 且3S 1 , 2S 2 , S 3成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求T n =b 1b 2 - b 2b 3 + b 3b 4 - b 4b 5 + … + b 2n-1b 2n - b 2n b 2n+118.（本题满分12分）已知正三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB = 2，AA 1 = 6. 点F ，E 分别是边A 1C 1和侧棱BB 1的中点. （Ⅰ）证明：FB ⊥平面AEC ；（Ⅱ）求二面角F -AE -C 的余弦值.19.（本题满分12分） 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立. （Ⅰ）求某应聘人员被录用的概率；（Ⅱ）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线y 2 = 2px (p > 0)的交点为F ，过H （- p2 , 0）引直线l 交此抛物线于A ，B 两点.（Ⅰ）若直线AF 的斜率为2，求直线BF 的斜率；（Ⅱ）若p=2，点M 在抛物线上，且→FA + →FB = t →FM ，求t 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数f(x) = 1-ln(x +1) , g(x) = ax 2 - x + 1. （Ⅰ）求证：1-x ≤ f(x) ≤11+x； （Ⅱ）当0≤x ≤1时，若f(x) ≥ g(x)恒成立，求a 的取值范围.A B C A 1B 1C 1 EF请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑，满分10分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点分别为B ，C ，ADE 是圆的一条割线，连接CD, BD, BE, CE 。
2014年山东省济南市山师附中高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|2＜x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1≤x≤3}【答案】A【解析】解：∵B={x|x＞2}，∴C U B={x|x≤2}∵A={x|1＜x≤3}∴A∩C U B={x|1＜x≤2}故选A利用补集的定义求出集合B的补集；利用交集的定义求出A∩C U B．本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补集的混合运算．2.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若a12-a10=4，则S2012的值等于（）A.-2010B.-2011C.-2012D.-2013【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=-2012，a12-a10=2d=4；∴公差d=2，又其前n项和为S n=na1+n（n-1）d=-2012n+n（n-1）=n2-2013n，∴S2012=20122-2013×2012=2012×（2012-2013）=-2012；故选：C．由a12-a10=4求出等差数列{a n}的公差d，写出前n项和S n，计算S2012即可．本题考查了等差数列的前n项和公式的应用问题，是基础题．3.函数y=sinxsin的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【答案】B【解析】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解本题主要考查了诱导公式、二倍角的正弦公式及周期公式的简单应用，属于基础试题4.R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2012）=（）A.-2B.2C.D.【答案】A【解析】解：∵R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=f（3-1）=f（-1）=-f（1）=-2．故选A．由R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），知f（2012）=-f（1），再由0＜x≤1时，f（x）=2x，能够求出结果．本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C（-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD==-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选C．圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．6.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A.k2+1B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【答案】B【解析】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．7.若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若a、b为实数，ab＜1，令a=-1，b=1，ab=-1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜ab＜1，⇒ab＜1，∴ab＜1”是“必要不充分条件，故选B．令a=-1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断；此题以不等式为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，利用了特殊值法进行判断，特殊值法是高考做选择题和填空题常用的方法，此题是一道基础题．8.已知a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由f（x）=（x-a）（x-b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，故选B．由a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象得到a ＞1＞b＞0是关键，属于基础题．9.设，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞c＞bB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.b＞a＞c【答案】D【解析】解：∵a＞0，b＞0，，，∴a4＜b4，∴a＜b．又∵c=log50.3＜log51=0，∴c＜a．综上可知：c＜a＜b．故选D．考查幂函数y=x4，对数函数y=log5x在区间（0，+∞）上的单调性即可得出答案．掌握幂函数和对数函数的单调性是解题的关键．另外要注意适当的变形．10.二项式的展开式中的常数项为（）A.120B.-120C.160D.-160【答案】D【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•26-r••（-1）r•=（-1）r ••26-r•．令6-2r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为-•23=-160，故选D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A.4B.C.1D.2【答案】A【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，-），P （c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ-μ）），∴λ+μ=1，λ-μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.函数f（x）=x3-x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于______ ．【答案】【解析】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3-x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2-2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y-2=2（x-1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB-S=4-=．故答案为：．由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g （x）=x2围成的图形的面积．本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点（1，2）处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．14.将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有______ 种．（用数值作答）【答案】12【解析】解：∵由题意知要求每行、每列都没有重复数字，∴先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，同理最左上方的格子下面的格子有2种结果，再下面的只有一种结果，根据分步计数原理知共有3×2×2=12种结果，故答案为：12先从方格的最左上角填起，这个表格有3种填法，它右边的一个格子有2种结果，右边的第三个格子的数字在前两个数字确定以后是一个确定的数字，在最左边一列里也是这种情况，根据分步计数原理得到结果．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题．15.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则= ______ ．【答案】【解析】解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵R t△ABC中，，∴BC==2，可得斜边上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案为：根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值．着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题．16.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；（4）f（2012）=f（0）其中所有正确命题的序号为______ ．【答案】①②④【解析】解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立当x=-2，可得f（-2）=0，又∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴f（-2）=f（2）=0，又由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，∴函数在区间[0，2]单调递减故函数f（x）的简图如下图所示：由图可知：①正确，②正确，③错误，④正确故答案：①②④．由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，我们易得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．（1）求t关于x的函数关系式；（2）求y的最值，并写出取得最值得条件．【答案】解：（1）由已知得，∴t=；（2）由题意，y===，∵，∴1≤x≤2，∴，当且仅当，即x=时等号成立，∴x=时，y min=；当x=1或2时，y max=．【解析】（1）利用线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，建立方程，即可求t关于x的函数关系式；（2）利用余弦定理，确定函数解析式，确定x的范围，利用基本不等式，即可得出结论．本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sin C+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2-2abcos C∴a2+b2-ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sin C+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sin A cos A，∴sin B cos A=2sin A cos A当cos A=0时，，，，，求得此时当cos A≠0时，得sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积【解析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b 的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π-（A+B）及二倍角公式及sin C+sin（B-A）=2sin2A，求出∴sin B cos A=2sin A cos A．当cos A=0时求出a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积；当cos A≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．19.已知．（1）求f（x）的值域；（2）若∃x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范围；（3）对∀x1∈（0，2），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）=g（x2），求a的取值范围．【答案】解：（1）当x∈（0，2）时，∈[2，+∞），故．（2）原问题等价于方程有解．令，则，故μ（x）在[1，2]上单调递增．∵，∴，故．（3）令A={y|y=f（x），x∈（0，2）}，B={y|y=g（x），x∈[1，2]}则原问题等价于A⊆B．由（1）（2）可知，∴，解得∴．【解析】（1）中只需要分子分母同除以x，再利用基本不等式即可，注意到x的取值范围．（2）题目中的问题可以转化为g（x）=0在[1，2]上有解去解决．（3）分析题意，可知f（x）的值域是g（x）值域的子集，然后画数轴求解．在本题的三小问中．第（1）（3）中，都是求函数的值域，常用的方法有换元法，图象法，不等式法，利用单调性求解，△判别式法等等（2）的解题思路是转化成方程的问题，再利用数形结合即可解决．在高中阶段，对于“∀”的考查比较多，通过讲练，学生也较易掌握，但对于“∃”的理解，需要更多的分析和思考，才能准确的把握题意．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n+1-1，①若数列的前n项和为；②求数列{a n b n}的前n项和为M n．【答案】（1）解：∵a n+1=S n+1，∴当n≥2时，a n=S n-1+1，∴a n+1-a n=S n-S n-1，∴a n+1-a n=a n，∴a n+1=2a n，∵a1=1，∴数列{a n}为等比数列，且其首项a1=1，公比为2，则a n=2n-1；（2）①证明：由（1）可得：a n=2n-1，则b n=2log2a n+1-1=2log22n-1=2n-1，即b n=2n-1．∴==，∴T n=+…+]=＜；②a n•b n=（2n-1）•2n-1，∴M n=1+3×2+5×22+…+（2n-1）•2n-1，∴2M n=1×2+3×22+5×23…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，两式相减得-M n=1+2（2+22+23+…+2n-1）-（2n-1）•2n=1+2•2n-4-（2n-1）•2n，∴M n=（2n-3）•2n+3．【解析】（1）利用n≥2时，a n=S n-S n-1可得数列{a n}为等比数列，且其首项a1=1，公比为2，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得：a n=2n-1，将其代入b n=2log2a n+1-1中，再用裂项法求和，即可得出结论；（3）先求出数列{a n b n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由题意，c=1∵点（-1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（-，0），则=-，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=-，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty-1=0，∴y1+y2=-，y1y2=-∴=（x1-，y1）•（x2-，y2）=（ty1-）（ty2-）+y1y2=（t2+1）y1y2-t（y1+y2）+=+=-综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．【解析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，解题的关键的先猜后证，有一定的难度．22.已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），（1）求g（x）的单调区间；（2）当a=1时，①比较的大小；②是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵，g（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，即增区间是，减区间是．（2），∴①当x=1时，μ（x）=0，此时②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．（3）⇔⇔∵lnx∈（-∞，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．故x0不存在．【解析】（1）求导计算g（x）的单调区间，注意对参数a的讨论，分a＞0和a≤0两种情况；（2）①作差g（x），对差函数进行求导研究；②将不等式化为，从lnx的取值入手研究．本题是对导数常用知识的考查，包括求单调区间，用导数研究函数的性质等等，也是高考中经常出现的题型，值得注意的是：在求含参数的单调区间时，一定要结合着函数的定义域，分类讨论是经常考察到的思想．。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 十一、数列（逐题详解）第I 部分1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】设{}n a 公比为q ，因为336936,a aq q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，选择D2.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【解析】由题意可得S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12，解得a 2=4，∴公差d=a 2﹣a 1=4﹣2=2，∴a 6=a 1+5d=2+5×2=12，故选：C ．3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1﹣a n =d ，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a 1d ＜0．故选：C4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C第II 部分5.【2014年上海卷（理08）】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .【答案】q =【解析】：22311110112a a q a q q q q q -±==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =6.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。
俯视图侧视图正视图2014年1月甘肃省河西五地市普通高中高三第一次联考数学试卷(理科)命题学校：嘉峪关市酒钢三中 命题人：一、选择题：（每小题5分,共60分） 1．下列推断错误的是( )A. 命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B. 命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x R ∈，都有210x x ++≥ C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D. “1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 2. 设i 为虚数单位，则复数ii43-等于（ ） A ．i 34+B ．4－3iC ．－4＋3iD ．－4－3i3.已知(3,2),(1,0)a b =-=-，向量2a b a b λ+-与垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17-B.17C.16- D.164．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A.5. 已知F 是双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.),1(+∞B.（1,2）C. )21,1(+D. )21,2(+6. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ） A.AC BE ⊥ B.//EF ABCD 平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln e S xdx =⎰，2017S =，则30S 为（ ）A.33B.46C.48D.508. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=9．若不等式2229t t a t t+≤≤+在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 10、一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）A ．16π-B.112π-C.6πD.12π11．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ， 若12012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ） A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--12. 已知函数⎩⎨⎧≥+-<-=,0,46,0|,)lg(|)(3x x x x x x f 若关于x 的函数1)()(2+-=x bf x f y 有8个不同的零点， 则实数b 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞B ．),2[+∞C ．)417,2( D ．]417,2( 二、填空题（每小题5分，共20分）13.若n展开式中二项式系数之和为16，则展开式常数项为 .14．一束光线从点A(－1, 1)出发经x 轴反射，到达圆C ：222)(3)1x y -+-=（上一点的最短路程是 . 15．如图:程序框图中，若输入6,4n m ==，那么输出的p = .16．已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y R ∈、 ，都有()()()f xy xf y yf x =+成立．数列{}n a 满足*(2)(n )n n a f N =∈，且12a =.则数列的通项公式为n a = . 二、解答题（6道大题，共70分）17．已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．已知函数2()2cos cos()23xf x x ωπω=++（其中)0>ω的最小正周期为π．（1）求ω的值，并求函数)(x f 的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若,3,21)(=-=c A fABC ∆的面积为36，求a ．20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π.21已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点. （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点为A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围. 22．已知函数2()2ln ,f x x x =-+ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点. (1)求函数()f x 的最大值； (2) 求实数a 的值；(3)若∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，3，不等式12()()1f x g x k --≤1恒成立，求实数k 的取值范围．高三第一次联考数学试卷(理科) 参考答案一、选择题：（每小题5分,共60分）1．C 2. D 3.A 4．B. 5. B 6. D 7.C 8. D 9．B 10.B 11．D. 12. D二、填空题（每小题5分，共20分）13.24 14．4 15．60 16．n ·2n二、解答题（6道大题，共70分）17．解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ， 由26,7753=+=a a a ，解得2,31==d a ． 由于2)(,)1(11n n n a a n S d n a a +=-+=，所以n n S n a n n 2,122+=+=． （2）因为12+=n a n ，所以)1(412+=-n n a n ，因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n ．故)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=--++-+-=+++=n nn n n b b b T n n ，所以数列}{n b 的前n 项和=n T )1(4+n n．18．解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ，∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=， ∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+= （2）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ========5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）由已知得213()2cos cos()1cos cos 1cos 123223xf x x x x x x x x ωππωωωωωωω⎛⎫=++=++=+=- ⎪⎝⎭，于是22,ωππω==．()f x ∴的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．20.常规方法（略）向量法：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C（1）1111,(1,0,1),(1,,1)0,.DA D E x DA D E =-=⊥因为所以 （2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而1(1,1,1),(1,2,0)D E A C =-=-， 1(1,0,1)AD =-，设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c =，则10,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩也即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a ba c=⎧⎨=⎩，从而(2,1,2)n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||2121.33||D E n h n ⋅+-=== （3）设平面1D EC 的法向量(,,)n a b c =，∴11(1,2,0),(0,2,1),(0,0,1),CE x D C DD =-=-=由10,20(2)0.0,n D C b c a b x n CE ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ 令1,2,2b c a x =∴==-，∴(2,1,2).n x=- 依题意11||2cos 4||||nDD n DD π⋅===⋅∴12x =（不合，舍去），22x =∴2AE =1D EC D --的大小为4π. 21解：（1）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （2）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即②)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设222229(1)()2(1)21337.31A B A B k x x x x k k k k -=+++=+⋅-+=-.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----22．解 (1)f ′(x )＝－2x ＋2x＝－2(1)(1)x x x-+ (x >0)，由'()00f x x ⎧>⎨>⎩得0<x <1；由'()00f x x ⎧<⎨>⎩得x >1. ∴f (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴函数f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵g (x )＝x ＋a x ，∴g ′(x )＝1－a x2.由(1)知，x ＝1是函数f (x )的极值点．又∵函数f (x )与g (x )＝x ＋a x有相同极值点， ∴x ＝1是函数g (x )的极值点．∴g ′(1)＝1－a ＝0，解得a ＝1. 经检验，当a ＝1时，函数g (x )取到极小值，符合题意 (3)∵f (1e )＝－1e 2－2，f (1)＝－1，f (3)＝－9＋2ln3，∵－9＋2ln3<－1e 2－2<－1，即f (3)<f (1e)<f (1)，∴∀x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，3， f (x 1)min ＝f (3)＝－9＋2ln3，f (x 1)max ＝f (1)＝－1. 由①知g (x )＝x ＋1x ，∴g ′(x )＝1－1x2.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3]时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上为减函数，在(1,3]上为增函数． ∵g (1e )＝e ＋1e ，g (1)＝2，g (3)＝3＋13＝103，而2<e ＋1e <103，∴g (1)<g (1e )<g (3)．∴∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，g (x 2)min ＝g (1)＝2，g (x 2)max ＝g (3)＝103.当k －1>0，即k >1时，对于∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，不等式12()()1f xg x k --≤1恒成立⇔k －1≥[f (x 1)－g (x 2)]max ⇔k ≥[f (x 1)－g (x 2)]max ＋1.∵f (x 1)－g (x 2)≤f (1)－g (1)＝－1－2＝－3，∴k ≥－3＋1＝－2，又∵k >1，∴k >1.当k －1<0，即k <1时，对于∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，不等式12()()1f xg x k --≤1恒成立 ⇔k －1≤[f (x 1)－g (x 2)]min ⇔k ≤[f (x 1)－g (x 2)]min ＋1. ∵f (x 1)－g (x 2)≥f (3)－g (3)＝－9＋2ln3－103＝－373＋2ln3，∴k ≤－343＋2ln3.又∵k <1，∴k ≤－343＋2ln3.综上，所求的实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－343＋2ln3∪(1，＋∞)．。
2014年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设复数z=（1-i）2（i为虚数单位），则的虚部（）A.2iB.-2iC.2D.-2【答案】C【解析】解：∵z=（1-i）2=1-2i+i2=1-2i-1=-2i．∴．∴的虚部是2．故选：C．直接利用平方运算展开化简，然后求出，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知cosα=-，α是第三象限角，则tanα=（）A.2B.-2C.D.-【答案】A【解析】解：∵cosα=-，α是第三象限角，∴sinα=-=-，则tanα==2．故选：A．由cosα的值及α是第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B根据已知中条件p：a＜0，条件q：a2＞a，我们可以判断出条件p与条件q之间的充要关系，然后再根据四种命题之间充要性的相互关系，即可得到答案．本题考查的知识点是充要条件，其中根据已知条件判断出条件p是条件q的充分不必要条件是解答本题的关键．4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足=9，则公比q=（）A. B.± C.2 D.±2【答案】C【解析】解：===9，∴q6-9q3+8=0，∴q3=1或q3=8，即q=1或q=2，当q=1时，S6=6a1，S3=3a1，=2，不符合题意，故舍去，故q=2．故选：C．利用等比数列的求和公式分别表示出S6和S3，化简整理即可求得q．本题主要考查了等比数列的求和公式．注重了对等比数列基础的考查．5.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）离心率为3，直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，则双曲线C的方程是（）A.2x2-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1【答案】B【解析】解：y=2时，-=1，∴x=±，∵直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，∴2•=，∴2a2（b2+4）=3b2，∵离心率为3，∴=9，∴b2=8a2，∴a2=1，b2=8，∴双曲线C的方程是x2-=1．故选：B．利用直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为，可得2a2（b2+4）=3b2，根据离心率为3，可得b2=8a2，求出a2=1，b2=8，即可得到双曲线C的方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6.王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设送奶员到达的时间为Y，王明离开家去上学的时间为X，记王明离开家之前能取到牛奶为事件A；以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示王明离家时间，建立平面直角坐标系，王明离开家之前不能取到牛奶的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点不落到阴影部分，就表示王明离开家之前能取到牛奶，即事件A发生，所以P（A）=，故选：A．根据题意，设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来．7.如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别是（）A.f（a）f（m）＜0；a=m；是；否B.f（b）f（m）＜0；b=m；是；否C.f（b）f（m）＜0；m=b；是；否D.f（b）f（m）＜0；b=m；否；是【答案】B【解析】解：因为框图是“二分法”解方程的流程图．所以判断框的内容是根的存在性定理的应用，所以填f（b）f（m）＜0；是则直接进行验证精度，否则，在赋值框中实现b=m的交换，验证精度，满足精度输出结果结束程序，所以③处填：是，④处为：否；在①～④处应填写的内容分别是：f（b）f（m）＜0；b=m；是；否．故选：B．通过题意，即可判定判断框的内容，然后在赋值框中实现b=m的交换，满足精度输出结果判断③④的结果即可．本题考查框图的应用，明确题目的含义是解题的关键，考查函数的零点与方程的根的应用，考查分析问题解决问题的能力．8.设x，y∈R，a＞0，且|x|+|y|≤a，2x+y+1最大值小于2，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（0，）C.[，1）D.（0，1]【答案】B【解析】解：作出不等式组|x|+|y|≤a对应的平面区域如图：设z=2x+y+1，即y=-2x-1+z，则y=-2x-1+z的截距最大，z最大，要使2x+y+1最大值小于2，即2x+y+1＜2，即2x+y＜1，则只需要A（a，0）满足2x+y＜1即可，即2a＜1，解得0＜a＜，故实数a的取值范围为（0，），故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.已知△ABC中，||=2，A=，则|+|有（）A.最大值B.最大值2C.最小值D.最小值2【答案】B【解析】解：由余弦定理可得，4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号．∴|+|===．∴|+|有最大值．故选：B．利用余弦定理和数量积的性质、基本不等式即可得出．本题考查了余弦定理和数量积的性质、基本不等式，属于中档题．10.在△ABC中，AC=，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，将△ABC 沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，三棱锥S-MNP外接球的表面积为（）A.10πB.8πC.5πD.π【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AC=，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，故SM=NP=，SN=MP=，SP=MN=1，故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则a2+b2=，b2+c2=，a2+c2=1．即a2+b2+c2=，即长方体的外接球半径R满足：（2R）2=4R2=，故三棱锥S-MNP外接球的表面积S=4πR2=，故选：D由已知可得将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，相对的棱长相等，故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，求出球的半径后，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．11.已知A，B是抛物线y2=4x上异于顶点O的两个点，直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，△AOF，△BOF的面积为S1，S2，则S12+S22的最小值为（）A.8B.6C.4D.2【答案】D【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，∴=-4，∴y1y2=-4，∵△AOF，△BOF的面积为S1，S2，∴S12+S22=（y12+y22）≥•2|y1y2|=2，当且仅当|y1|=|y2|时取等号，故选：D．利用直线OA与直线OB的斜率之积为定值-4，可得y1y2=-4，由S12+S22=（y12+y22），利用基本不等式，可得结论．本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．12.函数a的范围是（）＞在[-2，2]上的最大值为2，则A.，B.，C.（- ，0]D. ，【答案】D【解析】解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数＞在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a ，故选D．先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数x=2时，e2a的值必须小＞在[-2，2]上的最大值为2，则当于等于2，从而解得a的范围．本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设（1+2x）20=（a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10）•（1+x）10+b0+b1x+b2x2+…+b9x9，则b0-b1+b2-b3+…+b8-b9= ______ ．【答案】1【解析】解：（1+2x）10=（a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10）•（1+x）10+b0+b1x+b2x2+…+b9x9令x=-1，得b0-b1+b2-b3+…-b9=1故答案为：1．通过对等式中的x赋值-1得到各项系数和；．本题考查通过赋值求展开式的系数和．14.某几何体的三视图如图所示（x=1），则该几何体的体积为______ ．【答案】16【解析】解：由三视图知：几何体是直三棱柱挖去一个小直三棱柱，两个三棱柱的侧棱长都是4，大三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为4+1=5，小三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为1，∴几何体的体积V=×2×5×4-×2×1×4=16．故答案为：16．几何体是直三棱柱挖去一个小直三棱柱，判断两个三棱柱的侧棱长和底面三角形的相关几何量的数据，把数据代入棱柱的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．15.利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：______①相关系数r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．【答案】①③④【解析】解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；由残差图的定义可③正确；在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．故答案：①③④利用由r、R2、残差图的意义以及利用回归方程进行预报的特点进行分析．这部分内容属于了解内容，所以只要记住了r、R2、残差图等的相关概念及性质就可以正确解答．16.数列{a n}的通项为a n=（-1）n（2n-1）•cos+1前n项和为S n，则S60= ______ ．【答案】120【解析】解：由函数f（n）=cos的周期性可得a1=a3=…=a59=1，a2+a4=a6+a8=…=a58+a60=6，∴S60=1×30+6×15=120．故答案为：120．利用余弦函数的周期性找出规律即可求得．本题考查了余弦函数的周期性及数列分组求和知识，属基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知向量=（sin，-1），=（cos，cos2），记f（x）=•，（Ⅰ）求f（x）的值域和单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cos B=bcos C，若f（A）=-，a=2，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=•=sin cos-cos2=sin-=sin（-）-，故函数的值域为[-，]．令2kπ-≤-≤2kπ+，k∈z，求得4kπ-≤x≤4kπ+，k∈z，故函数的单调递增区间为[4kπ-，4kπ+]，k∈z．（Ⅱ）在△ABC中，∵（2a-c）cos B=bcos C，由正弦定理可得2sin A cos B-sin C cos B=sin B cos C，即2sin A cos B=sin A，∴cos B=，B=．∵f（A）=sin（-）-=-，∴sin（-）=0，∴-=0，∴A=，∴C=π-A-B=，∴A=B=C，∴△ABC为等边三角形，再根据a=2，可得△ABC的面积S=×2×2sin=．【解析】（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式可得f（x）=sin（-）-，由此可得函数的值域．令2kπ-≤-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得cos B的值可得B的值．由f（A）=-，求得A=，可得C=π-A-B的值，从而得到△ABC为等边三角形，再根据a=2，求得△ABC的面积S．本题主要考查两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式、正弦函数的单调性、正弦定理的应用，属于中档题．18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为．（Ⅰ）求证：直线AC∥平面EFB；（Ⅱ）求二面角F-BE-A的余弦值．【答案】（I）证明：设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，在△BDE中，，∴，即四边形FAOG是平行四边形，∴FG∥AO，又AO⊄平面EFB，FG⊂平面EFB，∴直线AC∥平面EFB．…（5分）（II）解：分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz由题意知：B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），A（2，0，0），∴，，，=（-2，-2，2），，，，，，，设平面AEB的法向量，，，则，∴，取x=1，得=（1，0，1），设平面FBE的法向量，，，则，取y1=1，得，，，设二面角F-BE-A的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴二面角F-BE-A的大小为．【解析】（I）设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，由已知条件推导出四边形FAOG 是平行四边形，由此能证明直线AC∥平面EFB．（II）分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-BE-A的大小．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（I）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．（II）设从这两组数据各取两个数据，至少有2个满分（60分）为事件A，则P（A）==；（III）～，（人）…（12分）【解析】（I）根据数据计算两组数据的平均数；（Ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；（Ⅲ）～，，求出其概率，可得X的分布列及数学期望．本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，考查茎叶图的定义和应用，古典概型以及平均数的概念，考查学生的运算能力．20.f（x）=axe kx-1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+ ）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx-1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+ ）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤-，∴k≤-1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥-，∴k≥-1；综上所述：k=-1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe kx-lnx-kx-1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx-），设u（x）=ae kx-，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx-＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx-）＜0，∴h（x）在（0，+ ）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，′＞，则在（0，+ ）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+ ），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=-lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+ ）上是增函数，=1-1-lnx0-kx0=-lnx0-kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+ ）．【解析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx-1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe kx-lnx-kx-1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．21.平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）P、A、B为椭圆上的点，△AOB的面积为，M为AB中点，判断|PQ|2+2|OM|2是否为定值，并求|OP|+|OQ|的最大值．【答案】解：（I）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆上的点到点Q（1，0）的距离的最大值为3，∴==，∴，∴3x2+4y2=3a2，设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，记，当a≥4时，|PQ|max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2（舍）；当0＜a＜4时，|PQ|max=f（-a）=3，解得a=-4（舍）或a=2．∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB垂直x轴时，由可得|x1y1|=，与联立可求得|x1|=，|y1|=，当A（，）时，M（，0），2|OM|2=4，而P为动点，Q为定点，则|PQ|2为变量，∴|PQ|2+2|OM|2不为定值．由椭圆的性质知，|OP|+|OQ|的最大值为a+c=2+1=3．【解析】（Ⅰ）由椭圆离心率可化简椭圆方程为3x2+4y2=3a2，设椭圆上任意一点P（x0，y0），由两点间距离公式可表示|PQ|为x0的函数，利用二次函数的性质可求得函数的最大值，令其为3可求a；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB垂直x轴时，求出M点坐标可判断|PQ|2+2|OM|2是否为定值，由椭圆性质可求|OP|+|OQ|的最大值；该题考查椭圆的方程性质、考查直线与椭圆的位置关系、三角形的面积等知识，考查学生分析解决问题的能力．22.如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：（1）若∠DBA=∠CBA，则DF=CE；（2）若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．【答案】证明：连接AC，AD，AE，AF，则∵ADEB是圆内接四边形，∴∠AEC=∠D，同理∠C=∠AFD，从而∠DAF=∠CAF（1）∵∠DBA=∠CBA，∴AD=AE，AF=AC，∴△ADF≌△AEC，∴DF=CE；（2）∵DF=CE，∴△ADF≌△AEC，∴AD=AE，∴∠DBA=∠CBA．【解析】连接AC，AD，AE，AF，利用圆内接四边形，证明∠DAF=∠CAF（1）证明△ADF≌△AEC，可得DF=CE；（2）证明△ADF≌△AEC，可得AD=AE，即可证明∠DBA=∠CBA．本题考查圆内接四边形的性质，考查三角形全等的证明，正确运用圆内接四边形的性质是关键．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系x O y中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C的极坐标方程分别为ρ2=4ρsin（θ-）-6（Ⅰ）求直线l与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设A（-1，2），P，Q为直线l与圆C的两个交点，求|PA|+|AQ|．【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得x-y+3=0；圆C的极坐标方程分别为ρ2=4ρsin（θ-）-6=4ρsinθ-4ρcosθ-6，∴x2+y2=4y-4x-6，即（x+2）2+（y-2）2=2；（II）易知A在直线l上，|PA|+|AQ|=|PQ|圆心C到直线l的距离，圆C半径，∴，解得…（10分）【解析】（Ⅰ）消去参数，可得直线l的普通方程；ρ2=4ρsin（θ-）-6=4ρsinθ-4ρcosθ-6，可得圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理，可求|PA|+|AQ|．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．24.设函数f（x）=|x-a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4-|x-1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【答案】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4-|x-1|即为|x-2|≥4-|x-1|，①当x≤1时，原不等式化为2-x≥4+（x-1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2-x≥4-（x-1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为 ，∪，．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【解析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。
2014年哈师大附中第一次高考模拟考试理 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 - 4iC ．4 - 2iD ．4 + 2i3．在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为A ．10B ．-10C ．5D ．-54．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =5．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。
2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
注意事项 :1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 座位号，再用2B 铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。
2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]生物部分答题卷第1页（共4页）2014学年第一学期113中学八年级期中考答题卡(数学科) 学校 班级 姓名 座位号______选择 题1 [A] [B] [C] [D]2 [A] [B] [C] [D]3 [A] [B] [C] [D]4 [A] [B] [C] [D]5 [A] [B] [C] [D]6 [A] [B] [C] [D]7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题 题号11 12 13 1415 16 答案17．（1）． （2） 解： 解：18．解：(1)(2) A 1 ____________；B 1 ____________ ； C 1 ____________.20．解：21．解：CEB FDA19．证明：注意事项 : 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、座位号，再用2B 铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。
