2021年高考数学(理)12月模拟评估卷(一)(全国1卷)(答题卡)

（全国I 卷）2021届高三数学12月教育教学质量监测考试试题 理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5273i i i --=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R MN =A.[1,)+∞B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝35，S 3＝2120，则a 4＝ A.340-或8140 B.－8140或340 C.8140 D.3404.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题： 命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”； 则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.记抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =，且N(2，2)，则抛物线C 的准线方程为A.x ＝－1B.x ＝－2C.x ＝－3D.x ＝－46.函数3sin 2()xx x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。

”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填A.i>4B.i>5C.i>6D.i>78.2021年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。

2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修4­2：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。

2021年高考数学模拟试卷（全国卷1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−x>1}，B={x|3−3x>0}，则()A. A∩B={x|x>1}B. A∪B={x|x>2}C. A∪B=RD. A∩(∁R B)={x|1≤x<2}2.设(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|=()A. 6B. 5C. 4D. 33.函数f(x)=ln|x||x|的图象是()A. B.C. D.4.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是()A. 该次课外知识测试及格率为90%B. 该次课外知识测试得满分的同学有30名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−3)，则a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为()A. 13√22B. −13√22C. 13√8989D. −13√89896.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=√3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为()A. √32B. 2√55C. √77D. 2√777.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为()A. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)C. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为()A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{a n}满足a1=a2= 1，a n+2=a n+a n+1(n∈N+)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有()A. 333项B. 334项C. 666项D. 667项10.已知抛物线C：y2=4x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率之积为()A. −8B. −4C. −2D. −111.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，则数列{a n}的前40项和S40=()A. 321+1972B. 320+1972C. 910+98D. 920+9812. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f′(x)+f(x)x=1x 2，且f(e)=2e ，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式f(x)x−x −ax +2≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [e+2e,+∞) D. [−e 3+2e 2+2e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =3x −y 的最小值为______ ．14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在其右支上，△F 1PF 2的内切圆为⊙I ，F 2M ⊥PI ，垂足为点M ，O 为坐标原点，则|OM|= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，当x ≥0时，f(x)=x 2.若不等式14f(ax 2)+f(3−x)≥0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcosA =c −√32a ．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，求b ，c ．18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． (1)当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；(2)当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分.用随机变量X 表示这个射击小组的总得分，求X 的分布列及数学期望．19. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且AB =3AM ，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将△ADE ，△BEF ，△CDF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2． (1)证明：PF ⊥DM ．(2)求二面角P −DM −F 的余弦值．20. 已知动点P 到点(−√6,0)的距离与到直线x =−4√63的距离之比为√32．(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程．(2)过点A(−4,0)的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点B(−2,−1)，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F.试问在x 轴上是否存在一点G ，使得BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+3)−x．(1)求函数f(x)的最大值．(2)若关于x的方程ae x+ln ax+3=3(a>0)有两个不等实数根x1，x2，证明：e x1+e x2>2a．22.在极坐标系中，点A(1,π6)，B(1,π2)，曲线C：ρ=2sin(θ+π3).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.(1)已知a+b+c=1，证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥49．3(2)若对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3−x>1}={x|x<2}，B={x|3−3x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|x<1}，A∪B={x|x<2}，∁R B={x|x≥1}，∴A∩(∁R B)={x|1≤x<2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，∁R B，A∩(∁R B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，∴−x+2xi=y−1−6i，∴{−x=y−12x=−6，解得x=−3，y=4，∴|x−yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5．故选：B．推导出−x+2xi=y−1−6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=−3，y= 4，由此能求出|x−yi|．本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．3.【答案】A是偶函数，排除B，C选项．【解析】解：函数f(x)=ln|x||x|当0<x<1时，y=ln|x|<0，<0．∴y=ln|x||x|故选：A．根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由测试成绩百分比分布图知：对于A，该次课外知识测试及格率为1−8%=92%，故A错误；对于B，该次课外知识测试得满分的同学有：200×(1−8%−32%−48%)=24名，故B错误；对于C，该次测试成绩的中位数为80分，该次测试成绩的平均数为：40×8%+60×32%+80×48%+100×(1−8%−32%−48%)=71.6(分)，∴该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故C正确；对于D，该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000×(1−8%−32%)=1800(名)，故D错误．故选：C．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗−2b⃗ =(−5,8)，a⃗+b⃗ =(1,−1)，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=−5−8=−13，|a⃗+b⃗ |=√2，∴a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为：(a⃗ −2b⃗)⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=√2=−13√22．故选：B．根据条件可求出向量a⃗−2b⃗ 和a⃗+b⃗ 的坐标，然后即可求出(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )和|a⃗+b⃗ |的值，根据投影的计算公式即可求出a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影．本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为平面ABC//平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角，即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，因为BB1⊥平面平面A1B1C1，所以∠DCB即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，设其大小为θ，则tanθ=B1DB1C1=√321=√32，所以cosθ=1√1+tan2θ=2√77．故选：D．根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断．本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，可得y=cos(2x−π6+φ)的图象，所得图象与函数g(x)=sin2x的图象重合，∴−π6+φ=−π2，∴φ=−π3，f(x)=cos(2x−π3).令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半径为1的14的球和一个底面半径为1，高为1的半圆柱组成．故该几何体的表面积为：S 表=14⋅4⋅π⋅12+2×12⋅π⋅12+π⋅1⋅1+2×1=3π+2．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，1000=3×333+1，所以前1000项中，为偶数的项共有333项，则为奇数的项共有1000−333=667项．故选：D．该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项的项数．本题考查了数列递推式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k OA=y1x1,k OB=y2x2，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2，设直线AB的方程为：x=my+2，并代入抛物线方程消去x可得：y2−4my−8=0，所以y1y2=−8，则x1x2=(y1y2)216=4，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−84=−2，故选：C．设出点A，B的坐标，由此即可求出直线OA，OB的斜率之积，再由已知设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，∴a2n+1+a2n−1=6，a 2n+2+a 2n −(a 2n+1+a 2n−1)=a 2n+2−a 2n+1+a 2n −a 2n−1=3n+1−1+3n −1=4×3n −2，∴a 2n+2+a 2n =4×3n +4，∴(a 1+a 3)+⋯…+(a 37+a 39)=6×10=60．(a 2+a 4)+⋯…+(a 38+a 40)=4×(3+33+⋯…+319)+4×10=4×3(1−910)1−9+40=321−32+40．则数列{a n }的前40项和S 40=60+321−32+40=321+1972．故选：A ．数列{a n }满足a 2n −a 2n−1=3n −1，a 2n+1+a 2n =3n +5(n ∈N +)，可得a 2n+1+a 2n−1=6，又可得a 2n+2+a 2n =4×3n +4，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令F(x)=xf(x)，则F′(x)=f(x)+xf′(x)， 而f′(x)+f(x)x=1x 2，故F ′(x)=1x ，故F (x)=lnx +c ，由F(e)=ef(e)=2=lne +c =2，解得：c =1， 故F (x)=lnx +1，故f(x)=lnx+1x，若关于x 的不等式f(x)x−x −a x +2≤0恒成立，则a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立， 令g(x)=lnx+1x −x 2+2x ，x ∈(0,+∞)， 则g′(x)=−lnx x 2−2(x −1)，x ∈(0,1)时，lnx <0，x −1<0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增， x ∈(1,+∞)时，lnx >0，x −1>0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减， 故g(x)max =g(1)=2，故a ≥2，即a 的取值范围是[2,+∞)， 故选：B ．令F(x)=xf(x)，根据题意得到f(x)=lnx+1x，问题转化为a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x−x2+2x，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线x+y=1与y轴交于A(0,1)，化z=3x−y为y=3x−z，由图可知，y=3x−z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z取得最小值−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】56【解析】解：小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+C52=30，则他至少选择1个沿海城市的概率P=mn =3036=56．故答案为：56．基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+ C52=30，由此能求出他至少选择1个沿海城市的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．15.【答案】a【解析】解：设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|，|F2K|=|F2L|，|PF1|−|PF2|=2a=|F1Q|−|F2L|=|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|=2c，解得|F2K|=c−a，则K(a,0)，即I的横坐标为a，即I在直线x=a上，延长F2M交PF1于N，可得PM为NF2的垂直平分线，可得|PN|=|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|=|NF1|=2a，可得|OM|=a，故答案为：a．设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|=c−a，延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，求解OM即可．本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】16【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)=x2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，又14f(ax2)+f(3−x)≥0，即f(12ax2)≥f(x−3)，所以12ax2≥x−3对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式等价于a ≥(2x−6x 2)max ， 令g(x)=2x−6x 2，g′(x)=2x 2−2x(2x−6)x 4=2x(6−x)x 4，令g′(x)>0，可得0<x <6，令g′(x)<0，可得x <0或x >6， 所以g(x)在(0,6)上单调递增，在(−∞,0)，(6,+∞)上单调递减， 当x ∈(−∞,0)时，g(x)<0， 所以g(x)max =g(6)=16， 所以a ≥16，所以a 的最小值为16． 故答案为：16．判断函数f(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为12ax 2≥x −3对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式成立，当x ≠0时，分离参数可得a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ， 所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ， 可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得cos B 的值，结合B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)在Rt △ABH 中，由已知利用三角函数的定义可求c ，利用勾股定理可求BH 的值，进而根据三角形的面积公式可求HC 的值，从而可得a ，在△ABC 中，由余弦定理即可求得b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． 当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P =C 44(23)4C 20(23)2+C 43(23)3(13)C 21(13)(23)+C 42(23)2(13)2C 22(13)2=827．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100， P(X =−50)=13×13=19，P(X =10)=C 21(23)(13)(23)=827，P(X =60)=C 21(23)(13)(13)+(23)2(23)=1227，P(X =100)=(23)2(13)=427，∴X 的分布列为：数学期望E(X)=−50×19+10×827+60×1227+100×427=3509．【解析】(1)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意知PE 、PF 、PD 两两垂直， 所以PF ⊥平面PED ，又因为DM ⊂平面PED ， 所以PF ⊥DM ．(2)解：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形边长为6，则各点坐标如下：D(0,0，6)，E(0,3，0)，F(3,0，0)，M(0,2，0)，P(0,0，0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)， 设平面DMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +6z =0MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −2y =0，令y =3，m⃗⃗⃗ =(2,3，1)， 平面PMD 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 设二面角P −DM −F 的大小为θ，由图可知θ为锐角， 所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√14⋅1=√147． 故二面角P −DM −F 的余弦值√147．【解析】(1)证明直线垂直另一直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，两边平方得x 2+2√6x +6+y 2=34(x 2+8√63x +323)，整理得14x 2+y 2=2，即x 28+y 22=1．(2)①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x =my −4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my −4x 2+4y 2=8，得(n 2+4)y 2−8ny +8=0， 所以△=64n 2−32(n 2+4)=32(n 2−4)>0，解得n <−2或n >2， y 1+y 2=8n n 2+4，y 1y 2=8n 2+4，所以直线BM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2(x +2)，令y =0得x =(n−2)y 1−4y 1+1，即E((n−2)y 1−4y 1+1,0)，同理可得F 坐标((n−2)y 2−4y 2+1,0)，设存在满足题意的点G(t,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1+2,1)=(ny 1−2y 1+1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1+2,1)=(ny 2−2y 2+1,1)， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1−t,0)=((n−t−2)y 1−t−4y 1+1,0)，GF⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1−t,0)=((n−t−2)y 2−t−4y 2+1,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ny 1−2)[(n−t−2)y 2−t−4](y 1+1)(y 2+1)+(ny 2−2)[(n−t−2)y 1−t−4](y 1+1)(y 2+1)=0， 所以(ny 1−2)[(n −t −2)y 2−t −4]+(ny 2−2)[(n −t −2)y 1−t −4]=0， 所以(2n 2−2nt −4n)y 1y 2−(nt +6n −2t −4)(y 1+y 2)+4t +16=0， 所以(2n 2−2nt −4n)8n 2+4−(nt +6n −2t −4)(8nn 2+4)+4t +16=0， 整理得−4n 2−n 2t +4t +16=0，即−n 2(t +4)+4(t +4)=0，得(4−n 2)(t +4)=0， 因为n <−2或n >2， 所以4−n 2≠0， 所以t =−4，②当直线l 与x 轴重合时，M ，N 为C 的左右两个顶点， 设M(−2√2,0)，N(2√2,0)， 则E 与M 重合，F 与N 重合， 所以E(−2√2,0)，F(2√2,0)， 取t =−4，则G(−4,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+2√2,1)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2√2,0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3√2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2)(4+2√2)+(2+3√2)(4−2√2)=0，满足题意， 综上存在满足题意的定点G(−4,0)．【解析】(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，化简即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线l 与x 轴不重合时，②当直线l 与x 轴重合时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=ln(x +3)−x ，定义域是(−3,+∞)，f′(x)=1x+3−1=−x−2x+3，令f′(x)=0，解得：x =−2，令f′(x)>0，解得：−3<x <−2，令f′(x)<0，解得：x >−2， 故f(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 则f(x)的最大值是f(−2)=2；(2)证明：方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，在(−∞,+∞)上单调递增， 又g(x +lna)=g(ln(x +3))，所以有x +lna =ln(x +3)，即方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2， 由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2， 所以a 的取值范围为(0,e 2)，因为方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2， 所以{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，则(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即ae x 1+ae x 2>2，所以ae x 1+ae x 2=e x 1+lna +e x 2+lna =e ln(x 1+3)+e ln(x 2+3)=x 1+x 2+6， 需要证明x 1+3+x 2+3>2，需要证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，不妨设−3<x 1<x 2，令t =x 1+3x 2+3，则0<t <1，即要证lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)， 设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(0,1)上的单调递增， 所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 即lnt <2(t−1)t+1成立，故原式成立．【解析】(1)f(x)的定义域是(−3,+∞)，求导得f′(x)=−x−2x+3，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，即可得出答案．(2)方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，分析单调性，进而可得方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，解得a 的取值范围，由方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，得{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，进而可得(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化能力的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)点A(1,π6)，B(1,π2)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角纵坐标为A(√32,12)，B(0.1)．曲线C ：ρ=2sin(θ+π3)，整理得ρ2=ρsinθ+√3ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为(x −√32)2+(y −12)2=1，转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)．(2)把曲线C 的直角坐标方程转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)，设点P(√32+cosα,12+sinα)，所以|PA|2+|PB|2的=3+√3cosα−sinα=3+2cos(α+π6)， 由于cos(α+π6)∈[−1,1]， 故3+2cos(α+π6)∈[1,5]．故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1,5]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(12+12+12)[(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2]≥(a+2+b+2+c+2)2=72=49，即为(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥493(当且仅当a=b=c=13取得等号)；(2)对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥32恒成立，即为32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由|x−a|+|2x+1|=|x−a|+|x+12|+|x+12|≥|x−a−x−12|+|−12+12|=|a+1 2|(当且仅当x=−12时取得等号)，所以|x−a|+|2x+1|的最小值为|a+12|，则|a+12|≥32，解得a≥1或a≤−2．则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2021年高三第一次模拟诊断（12月）数学（理）试题含答案数学试题卷共2页。

考试时间120分钟。

第1至12题为选择题，60分；第13至23题为非选择题，90分。

满分150分。

注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答第1至12题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第13至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）则（）A、 B、 C、 D、2．在中，“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．已知是虚数单位，复数=（）A、B、C、D、4．已知等比数列中，若那么（）A、B、C、D、5．执行如右图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A、 B、 C、 D、6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部门安排他们去其中任意3个部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A、B、C、D、7．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A、 B、 C、 D、8.设，变量满足条件，若的最小值为3，则的值为（）A、1B、2C、3D、49．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A、B、C、D、11．设点Ｍ（,1），若在圆O:上存在点Ｎ，使得，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、12．已知，函数在处与直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（）A、有最小值B、有最小值C、有最大值D、有最大值第Ⅱ卷本卷包括必做题和选作题两部分，第13-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

2021年高三新高考数学12月模拟评估卷（一）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1. 设集合A ={x|1⩽x ⩽3}，B ={x|2<x <4}，则A ∪B =( )A. {x|2<x ⩽3}B. {x|2⩽x ⩽3}C. {x|1⩽x <4}D. {x|1<x <4.}2. 在四边形ABCD 中，若DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则这个四边形是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形3. (1+i)(2+i)=( )A. 1−iB. 1+3iC. 3+iD. 3+3i4. 下列命题中为假命题．．．的是 A. 垂直于同一直线的两个平面平行 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行D. 平行于同一平面的两条直线平行5.某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 167.已知函数f(x)=2a x+3log a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为3log a2+12,则a的值为()A. 12B. 13C. 2D. 38.函数y=x2+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列说法中正确的是()A. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,8)，其线性回归方程是ŷ=13x+â，且x1+x2+x3+...+x8=2(y1+y2+y3+...+y8)=6，则实数â的值是18B. 正态分布N(1,9)在区间(−1,0)和(2,3)上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D. 若一组数据1，a，2，3的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是210.以下四个命题表述正确的是()A. x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆;B. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3);C. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+√2=0的距离都等于1;D. 圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2−4x−8y+4=0恰有三条公切线．11.对于函数f(x)=2sin(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是()A. f(x)图像关于直线x=−π6对称B. 将f(x)图像的横坐标伸长2倍，纵坐标不变，得到y=2sin(2x−π6)的图像C. f(x)在(π6,π2)上单调递增D. f(x)的表达式可改写成y=2cos(2x+π3)12.已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A. +B. >C. a+b−2D. +三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=√3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=__________．14.O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4√2x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4√2，则△POF的面积为．15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则∑1S k n k=1=______． 16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan∠ODC =35，BH//DG ，EF =12cm ，DE =2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________cm 2．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35． (Ⅰ)求b 和sin A 的值； (Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．18. 等比数列{a n }的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 32． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an+1(1−a n )(1−a n+1)，n ∈N∗，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣.但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程.某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中m的值；(2)求本次调查中续驶里程在[200,300]的车辆数；(3)若从续驶里程在[200,300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在[200,250]的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B−PD−A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．,已知A是抛21.设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为1．2(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ，求直线AP的方程．与x轴相交于点D，若△APD的面积为√6222.设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．。

2021年高三12月月考数学理试卷含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C. D．3.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A.或B.或C.或D.或5.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．06.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）.A. B. C. D.7.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到馆，则不同的分配方案有( )种A.36B.30C.24D.208.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9.设四边形为平行四边形，．若点满足，则=（）.A. 6 B. 9 C. 15 D. 2010.一个正三棱柱的主（正）视图是长为,宽为2的矩形,则它的外接球的表面积等于( )A.B. C. D.11.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．与的取值有关12.定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（）.A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13.若,则=___________.14.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则= .15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，，，.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和. 18．(本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.⑴求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；⑵以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．⑴证明：；⑵若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足(为坐标原点)，当时，求实数取值范围21．（本小题满分12分）已知函数⑴讨论函数的单调性；⑵证明：若，则对任意，，有．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题纸上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点. ⑴求证：平分；⑵求的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的直角坐标方程；⑵求直线被曲线所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知，且，若恒成立，⑴求的最小值；⑵若对任意的恒成立，求实数的取值范围.唐山市开滦二中xx年高三年级12月月考理科数学参考答案一、二.选择题、填空题：CABDB ACDBC BA （13），（14），（15），（16）或三、解答题：17. 解⑴,，………2分，，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，………4分.………………6分⑵，①132212232232121+-+-+++=∴n n n n n T ，② 由①－②得1113221221121412212122222222121+++--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--+++=n n n n n n n T ，………………10分是的中点，,,,平面,平面,,,平面,. ………………5分⑵解：由⑴平面于点，平面，是在平面的射影，是与平面所成的角，且当最短即时，,此时，,…………7分以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,23,0,1,3,0,0,3,0,0,0F C E A ,,设平面的法向量为，则，，令，解得，平面的一个法向量为，同理平面的一个法向量为，…………9分，…………11分二面角的余弦值为……………………12分.20解:(1)由题意知：所以又故所求椭圆的方程为 ……………………………… 4分(2) 由题意知直线的斜率存在.设其方程为：，由得.，设，，，∴，. (6分)∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴( 8分)∵＜，∴，∴即∴ 得： ∴ ………10分又∴或 ,故实数的取值范围是…12分21⑴解：函数的定义域为，，①当时，，由，解得，由，解得或；②当时，，在恒成立；③当时，，由，解得，由，解得或.……… 4分综上可得，当时，函数在上单调递减，在，单调递增；当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在，单调递增……………………… 5分⑵证明：令()()()()()+∞∈-+--=+=,0,ln 11212x x a x a x x x f x F ， 则()()()()()+∞∈-+--=-+--=,0,11112'x xa x a x x a a x x F ， ()()()()051141,512<--=---=∆∴<<a a a a a ， 在恒成立，在上单调递增，………………… 9分①当时，，即，；②当时，，即，； 综上可得，若，则对任意，，有.… 12分22⑴证明：连结， 2分为半圆的切线，，又，，，，平分．……………………5分⑵解：由⑴知，………………………………………… 6分连结，四点共圆，，，……… 8分，所以．…………………… 10分.23解：解：(1) 由得：两边同乘以得： -------------3分。

2021年高考数学12月模拟试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足z•i=xx﹣i，i为虚数单位，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．4．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣66．（5分）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（）A．B．2 C．4 D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣158．（5分）设a=log，b=log，c=（）0.3则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c9．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．B．C．1 D．410．（5分）已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点（0，）B．f（x）的图象在上递减C．f（x）的最大值为AD．f（x）的一个对称中心是点（，0）12．（5分）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021届高考理科数学模拟卷一、选择题 1.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N x x n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.523.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小为( )。

A.π3或2π3 B.π6 C.π6或5π6 D.5π64.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14 B.35C.34D.45 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )6.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A.y x =-B.2y x =-+C.y x =D.2y x =+7.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 208.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. ππ26k x =-(Z)k ∈B. ππ26k x =+(Z)k ∈C. ππ212k x =-(Z)k ∈D. ππ212k x =+(Z)k ∈10.已知四棱锥P ABCD -的体积是,底面ABCD 是正方形,PAB 是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A. D.11.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．12.函数π()cos lnπxf x x x-=+的图象大致为( ) A. B.C. D.二、填空题13.已知0,0x y >>,且41x y +=,则14x x y++的最小值为_____________. 14.已知向量()()()1,2,2,2,1,λ==-=a b c .若()2+c a b ,则λ=_________________.15.已知12,F F 分别是双曲线22233(0)x y a a -=>的左、右焦点，P 是抛物线28y ax =与双曲线的一个交点.若1212PF PF +=，则抛物线的准线方程为_________. 16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

2021年高三12月模拟考试数学（理）试题 含答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}0,2,3,|,,,A B x x ab a b A a b ===∈≠，则B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 152.已知复数，则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象3.下列命题错误的是( )A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为则” B. 若命题，则C. 中，是的充要条件D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.5.函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数是（ ） A.值域为［0,2］的奇函数 B.值域为［0,1］的奇函数 C.值域为［0,2］的偶函数 D.值域为［0,1］的偶函数6.已知，若的必要条件是，则之间的关系是( ) A. B. C. D.7.如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是( )A ．DC 1⊥D 1PB ．平面D 1A 1P⊥平面A 1APC ．∠APD 1的最大值为90° D ．AP+PD 1的最小值为8.在的展开式中，记项的系数为,则 的值为（ ） A ． 45 B ． 60 C ． 120 D ． 2109.某宾馆安排A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A 、 B 不能住同一房间, 则不同的安排方法有（ ）种A. 24B. 48C. 96D. 114 10.在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为，O 为坐标原点，动点P 满足，则的最小值是( )（第4题（第7题图）A ．B ．C ．D ．11.若两个正实数 满足，且不等式有解，则实数的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．12.对于三次函数，给出定义：设 是函数 的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数则( ) A .xx B.2 014 C.2 015 D.2 016第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 的取值范围是_______. 14.已知椭圆的离心率，则的取值范围为 __________． 15.若△ABC 的内角满足，则的最小值是________． 16.若函数的图像关于直线对称，则的最大值为___． 三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且成等比数列． （I ）求数列的通项公式；（II ）设为数列的前项和，若 对任意的正整数恒成立，求实数的最大值．18.(本小题满分12分)已知正棱锥S-ABC 的侧棱SA,SB,SC 两两互相垂直，D,E,F 分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点两两相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定X=0）.（I ）求事件“X=0”的概率；（II ）求随机变量X 的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中，平面平面，与都是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上． （I ）求证：平面；（II ）求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，过点F 且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O 为坐标原点． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）如图所示，设直线与圆、椭圆C 同时相切，切点分别为A ，B ，求|AB|的最大值．（第13题图） （第19题图）21. (本小题满分12分) 设函数，、 （I ）当时，求函数的单调区间； （II ）令()()(2103)2aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图像上任意一点处切线的斜率 为 ，若 恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，方程在区间[]内有唯一实数解，求实数的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．（第22题xx—1模拟考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一题号 1 2 3 4 5 6答案 A B D B D A题号7 8 9 10 11 12答案 C C D C B B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. [－3,4] 14. 15. 6－2416．36.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）18.（本小题满分12分）……5分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，， (2)分又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，∴，易求得，…………4分∴四边形是平行四边形，∴，∴平面…………6分（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．…………9分中，，，．∴．即二面角的余弦值为.………12分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为 则，可求得．………………9分 所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．…12分20．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设F （C ，0），则，知a=，过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x=c ，代入椭圆方程有222221,222c y y b a b +==±=解得，于是，解得b ＝1， 又，所以椭圆C 的方程为……4分（Ⅱ）依题意直线l 的斜线存在，设直线l ：y ＝kx ＋m 将22222(12)422022y kx mk x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+=⎩联立得，令△＝0，22222222164(22)(12)0,2(1)(12)0k m m k k m m k --+=--+=…………………6分2222222222(14)14B 1212(12)12km m k m k OB k k k k -++∴∴==++++切点（,）,2222222(1)1m l x y r r m r k k +===++直线与圆相切，即由22222222222122(1)111212(1)2111k k m k k r k r k k k ++-=+∴+=+∴===-+++…………8分 又22222222222222222421412(14)(1)(12)121(12)(1)(12)(1)231k k k k k k k AB OB r k k k k k k k k ++++-+∴=-=-===++++++++＝当且仅当时取等号…………………12分 21．(本题满分12分)请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……………………2分又∵,∴, ∴,∴∽，∴，∴…………4分又∵，∴．……………………5分（Ⅱ）∵, ∴ ，∵ ∴由（1）可知：，解得.……………………7分 ∴． ∵是⊙的切线，∴∴，解得．……………………10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由，得所以曲线C 的直角坐标方程为.……………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入，得. 设、两点对应的参数分别为、，则，，∴，当时，的最小值为4. ……………………10分 24．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>6)32()12(23216)32()12(23x x x x x x 或或 解得：.即不等式的解集为． ……………………5分（Ⅱ）不等式等价于，因为4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ，所以的最小值为4， 于是即所以或．…10分。

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．13．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√657．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23)C ．(13，23)D ．(−∞，23)8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√15169．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（ ）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=πA ．3B ．2C ．1D ．010．（5分）点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ，则P A 1的长度范围为（ ） A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√24，32]D ．[1，32]11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ ．14．（5分）若（2a 2+b 3）n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝ ．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为 ．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，3a 3是a 4和a 5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n (a n +1)(a n+1+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜12．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点． （1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X ，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（3，﹣2π3），点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜e}，N＝{x|x≤﹣2或x≥2}，U＝R，∴∁U N＝{x|﹣2＜x＜2}，M∩（∁U N）＝（0，2）．故选：D．2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．1【解答】解：1+i+i2+…+i15=1×(1−i16)1−i=1−141−i=0．故选：A．3．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，l1⊥l2⇔a×1+2×（3﹣a）＝0⇔a＝6．故“a＝6”是“l1⊥l2”的充分必要条件，故选：C．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【解答】解：回归直线y =6.3x +a ，不一定经过任何一个样本点，故A 错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点(x ，y)一定在回归直线y =6.3x +a 上，故B 错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C 错； x =15(2+3+4+5+6)=4，y =15(19+25+34+38+44)=32， 将（4，32）代入y =6.3x +a ，可得a =6.8，则回归方程为y =6.3x +6.8， x ＝7时，y =6.3×7+6.8=50.9，故D 正确． 故选：D ．5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a【解答】解：∵a ＜b ＜0，∴|a |＞|b |，a ab＜bab ，即1b ＜1a ，a 2＞b 2，因此A ，B ，C 正确． 对于D ：∵0＞a ﹣b ＞a ，∴a−b a(a−b)＞aa(a−b)，即1a ＞1a−b，因此D 不正确．故选：D ．6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√65【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中设棱长为2，则B （2，2，0），M （0，1，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0）， BM →=（﹣2，﹣1，0），A 1C →=（﹣2，2，﹣2），cos ＜BM →，A 1C →＞=BM →⋅A 1C→|BM →|⋅|A 1C →|=2√5⋅√12=√1515， 则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为1−(√1515)2=√21015．故选：A ．7．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23) C ．(13，23) D ．(−∞，23)【解答】解：函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数， 则3a ﹣1＞1， 解得a ＞23；所以实数a 的取值范围是（23，+∞）．故选：A ．8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√1516【解答】解：因为√15bcosA =asinB ， 所以由正弦定理可得√15sinBcosA =sinAsinB ， 因为sin B ≠0，所以√15cosA =sinA ，即tanA =√15， 则sinA =√154，cosA =14．由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即9=b2+c2−12bc≥2bc−12bc=32bc，则bc≤6，故△ABC的面积S=12bcsinA≤12×6×√154=3√154．故选：B．9．（5分）若函数f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x的最大值为G（θ），最小值为g（θ），则以下结论正确的个数为（）（1）∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝π（2）∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝π（3）∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝π（4）∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=πA．3B．2C．1D．0【解答】解：f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x＝cos2x cosθ﹣sin2x sinθ+12（1﹣cos2x）＝﹣sinθsin2x+（cosθ−12）cos2x+12=√sin2θ+(cosθ−12)2sin（2x+φ）+12，∴G（θ）=√sin2θ+(cosθ−12)2+12=√54−cosθ+12，g（θ）=−√54−cosθ+12，所以G（θ）+g（θ）＝1，G（θ）g（θ）＝cosθ﹣1∈[﹣2，0]，G（θ）﹣g（θ）＝2√54−cosθ∈[1，3]，当g（θ）≠0时，|G(θ0)g(θ0)|=√54−cosθ+12√54−cosθ−12=1√54−cosθ−12∈[2，+∞），所以（1）（2）（3）错误，（4）正确．故选：C．10．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．[1，√52]B．[3√24，√52]C．[3√24，32]D．[1，32]【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A 1O ，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ， ∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值：A 1O =(√52)2+(√24)2=3√24， 当P 与E （或F ）重合时，P A 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴P A 1的长度范围为[3√24，√52]． 故选：B ．11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y 2＝4x ，则F （1，0），准线为l 为x ＝﹣1， 不妨设P （1，2）， ∴Q （﹣1，2），设准线为l 与x 轴交点为A ，则A （﹣1，0），可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ 的垂直平分线，经过点P ， 故选：B ．12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16【解答】解：D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →， 设AC 的中点为M ，又因为BA →+BC →=2BM →，所以BP →=23BM →， 可得B ，P ，M 三点共线，且P 为三角形ABC 的重心， 由重心性质可得：S △ABP S ABC=13．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ 2 ．【解答】解：由sin2α1−cos2α=13，得2sinαcosα2sin 2α=13，即tan α＝3．又tan （β﹣2α）＝1，∴tan （α﹣β）＝tan[﹣α﹣（β﹣2α）]＝﹣tan[α+（β﹣2α）] =−tanα+tan(β−2α)1−tanαtan(β−2α)=−3+11−3×1=2． 故答案为：2．14．（5分）若（2a 2+b 3）n的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝154．【解答】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4， 所以m =C 6422=60．故答案为：60．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为3√24．【解答】解：如图：连接AC ，BD ；设双曲线的焦距AD ＝2c ；实轴长为2a ；则BD ﹣AB＝AC ﹣CD ＝2a ；设AB ＝m ，则CD ＝7m ，BD ＝2a +m ，AC ＝2a +7m ，依题意，∠BAD ＝45°，∠ADC ＝135°， 在△ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +m ）2＝m 2+4c 2﹣2√2mc ； 在△ACD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +7m ）2＝49m 2+4c 2+14√2mc ； 整理得：√2（c 2﹣a 2）＝m （√2a +c ）； √2（c 2﹣a 2）＝7m （ √2a ﹣c ）； 两式相结合得：√2a +c ＝7（√2a ﹣c ）⇒6 √2a ＝8c ； ∴双曲线Γ的离心率为e =ca =3√24； 故答案为：3√24．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 （3，4） ．【解答】解：g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1＝0， 即[f （x ）﹣（m +1）][f （x ）﹣（m ﹣1）]＝0， 解得f （x ）＝m ﹣1或f （x ）＝m +1． 由f （x ）的图象， 可得{2＜m −1＜52＜1+m ＜5，解得3＜m ＜4，即m 的取值范围是（3，4）． 故答案为：（3，4）．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，3a3是a4和a5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n(a n+1)(a n+1+1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜12．【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a3＝q2，a4＝q3，a5＝q4，∵3a3是a4和a5的等差中项，∴6a3＝a4+a5，即6q2＝q3+q4，化简整理，得q2+q﹣6＝0，解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，∴a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得b n=a n(a n+1)(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n+1)=12n−1+1−12n+1，∴T n＝b1+b2+…+b n=11+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1=12−12n+1＜1 2，∴T n＜1 2．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1CB⊥平面A1ABB1，AB1＝A1B，O为AB1与AB的交点．（1）求证：AB1⊥CO；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴A 1B ⊥AB 1，∵平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴A 1B ⊥平面A 1CB ，∵CO ⊂平面A 1CB ，∴AB 1⊥CO ．（2）解：∵AB 1＝A 1B ，∴菱形A 1ABB 1为正方形， 在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （√2，0，0），A 1（0，−√2，0），C （0，0，√2），B （0，√2，0）， AA 1→=（−√2，−√2，0），AC →=（−√2，0，√2），AB →=（−√2，√2，0）， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0，取x ＝1，n →=（1，﹣1，1）， 设平面ABC 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=（1，1，1）， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13，∴平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d【解答】解：（I）由10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）＝1，得a＝0.035，所以第1，2，3组的人数分别为20，30，70，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2，3，7，记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A，则P(A)=1−C53C123=2122，（II ）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为45，X ＝0，1，2，3，X ～B （3，45），P(X =0)=C 30(1−45)3=1125，P(X =1)=C 3145(1−45)2=12125， P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125，P(X =3)=C 33(45)3=64125所以X 的分布列为：X 0123P 1125121254812564125E(X)=3×45=125； （III ）由题意得2×2列联表如下：关注网约车安全不关注网约车安全合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计16040200K 2=200×(90×10−70×30)2160×40×80×120=7516=4.6875＜6.635，所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关．20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），若P 为原点，则M ，N 都为原点O ，|OM |＝|ON |＝0，不合题意， 所以P 不为原点，由题设y =12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y M =y 0−12x 0， 再由y =−12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y N =y 0+12x 0，又|OM |2+|ON |2＝8，即(y 0−12x 0)2+(y 0+12x 0)2=8 化简整理得：x 0216+y 024=1，所以点P 的轨迹C 方程x 216+y 24=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，A ，B ，O 在一条直线上，不合题意，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， {y =kx +1x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8kx −12=0，则x 1+x 2=−8k4k 2+1，x 1⋅x 2=−124k 2+1，从而|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√256k 2+484k 2+1，又S △AOB=12|OQ|⋅|x 1−x 2|=12×1×√256k 2+484k 2+1=3√72， 所以k 2=14⇒k =±12， 故直线l 的方程为y =±12x +1． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 【解答】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝e x ﹣1﹣lnx ﹣1，f ″（x ）＝e x ﹣1−1x ，∵f ″（x ）在（0，+∞）递增，且f ″（1）＝0， 故x ∈（0，1）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）递减， 当x ∈（1，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（x ）递增，从而当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）≥f ′（1）＝0，f （x ）递增， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间；（2）h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1＝e x ﹣1﹣xlnx ﹣ax ﹣1，x ＞0，令h （x ）＝0，得a =e x−1x −lnx −1x ，令g （x ）=e x−1x −lnx −1x ，则函数h （x ）在x ∈[1，+∞）的零点个数即直线y ＝a 和函数g （x ）的图象在[1，+∞）上的交点个数， 又g ′（x ）=(ex−1−1)(x−1)x 2，故当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 故g （x ）在[1，+∞）的最小值是g （1）＝0， 又∵当x →+∞时，g （x ）→+∞，故①a ≥0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上有1个交点， ②当a ＜0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上没有交点， 综上，当a ≥0时，函数h （x ）在[1，+∞）上有1个零点， 当a ＜0时，函数h （x ）在[1，+∞）上没有零点． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点A 的极坐标为（3，﹣2π3），点B 在曲线C 上运动，求△OAB 面积的最大值以及此时点B 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数），转换为直角坐标方程为(x −√3)2+(y +1)2=4， 整理得x 2+y 2−2√3x +2y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0，化简为：ρ=4cos(θ+π6)．（2）设B （ρ，θ），A 的极坐标为（3，﹣2π3），所以OA 和OB 的夹角为θ+2π3，所以S △OAB =12×3×ρ×sin(θ+2π3)=32×4×cos(θ+π6)×sin(θ+2π3)，=6cos2(θ+π6)，当θ+π6=0时，S△OAB的最大值为6，即B（4，−π6）．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．【解答】（1）方法一（分析法）：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，即需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立，又因a+b＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，即需证a2﹣ab+b2＞0 成立，即需证（a﹣b）2＞0 成立，而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0 显然成立，由此命题得证；方法二（综合法）：a≠b⇔a﹣b≠0⇔（a﹣b）2＞0⇔a2﹣2ab+b2＞0⇔a2﹣ab+b2＞ab，注意到a，b∈（0，+∞），a+b＞0，由上式即得（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），所以a3+b3＞a2b+ab2；（2）解：∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，∴1a +1b+1c=bc+ca+ab，又bc+ca≥2√bc⋅√ca=2√c，ca+ab≥2√ca⋅√ab=2√a，ab+bc≥2√ab⋅√bc=2√b，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，∴2bc+2ca+2ab＞2√c+2√a+2√b，即bc+ca+ab＞√c+√b+√a，故1a+1b+1c＞√a+√b+√c．。