学案：3.4基本不等式(2)

[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件：(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有() A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案(1)D(2)－2(3)3解析(1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝⎛⎭⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 422 ＝12·⎝⎛⎭⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1(1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是() A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________． 答案(1)D(2)3＋2 2解析(1)a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立． 题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案C 解析由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ln y ， ∴ln x ln y ＝14， ∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1，∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， ∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15， ∴a ≥15. 反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2(1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为() A ．2B ．4C ．1D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________．答案(1)B(2)18解析(1)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． (2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)，代入得－2m －n ＋1＝0，∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝18， 当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立． 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ×40b＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm 2. 反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是() A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案C解析A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于() A ．1＋2B ．2C ．3D ．4答案B解析y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m答案C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．答案2解析①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________． 答案1解析∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。

3.4.2《基本不等式的应用》教学案教学教法分析●三维目标 1.知识与技能(1)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题； (2)进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；(3)审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题． 2.过程与方法整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行．3．情感、态度与价值观(1)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；(2)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性． ●重点、难点重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值．突破重点的关键是对基本不等式的理解．难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”.教学方案设计●教学建议本节课是基本不等式应用举例，是上节基本不等式的证明的延伸．整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行，列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一．要对学生强调，解实际问题时首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．对例题的处理可先由学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤．提醒学生注意：(1)使用基本不等式的条件是一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小；(2)求最值常用的不等式：a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b2)2，a 2＋b 2≥2ab .●教学流程 ⇒引导学生结合所提问题利用基本不等式推导各种常用变形形式.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握基本不等式的变形应用.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用基本不等式求字母参数的取值范围的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握利用基本不等式解实际应用题的方法与步骤.⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学已知a ≥(1)和a ＋b 一定时，积ab 有最大值； (2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值；(3)取等号的条件(当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b2)．若a ＞0，b ＞0，则ab 、(a ＋b2)2、a 2＋b 22的大小关系如何？【提示】 由基本不等式ab ≤a ＋b2，∴ab ≤(a ＋b 2)2(两边平方)，由2ab ≤a 2＋b 2，∴(a ＋b2)2＝a 2＋b 2＋2ab4≤a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22.1．若a ∈R ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 2．若a >0，b >0则ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立．3．若a >0，b >0，则ab ≤ a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立.课堂互动探究例1 【思路探究】 由(1－x )2＋(1＋x )2＝2(定值)，利用基本不等式的变形：ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，可求．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1＋x ≥0，知定义域为x ∈[－1，1]．又(1－x )2＋(1＋x )2＝1－x ＋1＋x ＝2(定值)， ∴y ＝1－x ＋1＋x ≤1－x2＋1＋x2]＝4＝2，当且仅当1－x ＝1＋x 即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝2.规律方法1．本例中，由于(1－x )2＋(1＋x )2＝2(定值)，因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式a ＋b2≤a 2＋b 22.2．对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式．变式训练长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m ，y m ，当x ，y 分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？【解】 由题意，x ＋y ＝504＝252，设面积和为S ，则S ＝x 2＋y 2≥2(x ＋y 2)2＝2(254)2＝6258，当且仅当x ＝y ＝254时等号成立．∴当x ＝y ＝254m 时，S min ＝6258m 2.例2 【思路探究】 思路一：将b ＝a ＋3a －1代入消元；思路二：利用基本不等式ab ≤a ＋b2得关于ab 的不等式．【自主解答】 法一 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1. 由b ＞0，得a ＋3a －1＞0.∵a ＞0，∴a ＞1. ∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝a －＋1]2＋a －＋1]a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥2a －4a －1＋5＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号，此时b ＝3. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二 由于a 、b 为正数，∴a ＋b ≥2ab .∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0.∴ab ≥3，故ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．规律方法1．本题中，要求ab 的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不等式的应用．2．利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式．互动探究若题中条件不变，如何求a ＋b 的取值范围．【解】 法一 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(a ＞1)，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2×2＋2＝6，当a ＝b ＝3时等号成立．∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)法二 ∵ab ≤(a ＋b2)2，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2即a ＋b24－(a ＋b )－3≥0，解之得a ＋b≥6或a ＋b ≤－2(舍去)，∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞).例x 台(x∈N *)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不包括运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？【思路探究】 首先建立总费用y 与每批进货量x 之间的函数关系，再由基本不等式求总费用y 的最小值，与所给24 000元比较．【自主解答】 设每批购买x 台电视机，共需运输和保管的总费用为y 元．由题意可得保管费为k ·2 000x (k ＞0)元，总运输费为400·3 600x 元．由题意得43 600－400×9＝k ×400×2 000，所以k ＝120，所以y ＝120×2 000x ＋400×3 600x ＝100(x ＋14 400x )≥100×214 400＝24 000.当且仅当x ＝144 00x ，即x ＝120时，等号成立． 所以安排每批购买120台电视机，可以使资金够用．规律方法1．本题中的函数模型属于“y ＝ax ＋b x ”型．一般地，y ＝ax ＋bx (x ≠0，a ，b 为常数且a＞0，b ＞0)的最值(或值域)可分以下几种情况：(1)若x ∈(0，＋∞)，则由基本不等式，可知当x ＝ba 时，y 取得最小值2ab ；若x ∈(－∞，0)，则由基本不等式，可知当x ＝－ba 时，y 取得最大值－2ab ；若x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则函数的值域为(－∞，－2ab )∪[2ab ，＋∞)；(2)若±ba 不在函数定义域内，则需要根据函数的单调性求最值及值域．2．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．变式训练某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 【解】 (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋12x (x ＋1)·16万元． ∴y ＝4[100x －200－12x (x ＋1)·16]＝16(－2x 2＋23x －50)(x ∈N *)．(2)年平均利润为y x ＝16(23－2x －50x )＝16[23－2(x ＋25x )]． 又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时等号成立，此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大.易错易误辨析多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误典例已知实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，则ax ＋by 的最大值是多少？【错解】 ∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，∴ax ＋by ≤a 2＋x 22＋b 2＋y 22＝a 2＋b 2＋x 2＋y 22＝1＋32＝2.【错因分析】 在解题的过程中，两次应用了基本不等式，若最大值要取到2，则必须满足两个不等式同时取到等号，即a ＝x ，b ＝y 同时成立，由条件知显然不能同时成立，所以最大值取不到2.【防范措施】 在同一个题目中，若需要多次使用基本不等式，则必须使等号成立的条件相同．【正解】 设a ＝sin θ，b ＝cos θ，x ＝3sin β，y ＝3cos β，∴ax ＋by ＝3sin θ·sin β＋3cos θ·cos β＝3cos (θ－β)≤ 3.当且仅当cos (θ－β)＝1时取等号，此时ax ＋by 的最大值为 3.1．基础知识： (1)基本不等式与最值； (2)基本不等式的常见变形． 2．基本技能：(1)基本不等式的变形应用； (2)求字母参数的取值范围； (3)利用基本不等式解实际应用题． 3．思想方法： (1)函数思想； (2)转化与化归思想．当堂双基达标1．下列各式：①lg (x 2＋1)≥lg 2x ；②x 2＋1＞2x ；③1x 2＋1≤1；④x ＋1x ≥2.其中对任意实数x 都成立的是________．(填序号)【解析】 ①x 不能取0和负数；②x ＝1时不成立；③∵x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1，∴对任意实数x 都成立；④x 不能取0.【答案】 ③2．已知x ，y 都是正数，且2x ＋1y ＝1，则x ＋y 的最小值等于________．【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋1y )＝3＋2y x ＋xy ≥3＋22，当且仅当x ＝2＋2时，等号成立．【答案】 3＋2 23．若点(a ，b )在直线x ＋3y －1＝0上，则2a ＋8b 的最小值为________．【解析】 ∵(a ，b )在直线x ＋3y －1＝0上，∴a ＋3b ＝1.∴2a ＋8b ＝2a ＋23b≥22a ·23b＝22a ＋3b ＝2 2.【答案】 2 24．用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【解】 设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81， 当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，当这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积是81 m 2.课后知能检测一、填空题1．若x 、y ∈R ＋，x ＋9y ＝12，则xy 有最大值为________．【解析】 ∵9xy ≤(x ＋9y2)2＝36，∴xy ≤4，当且仅当x ＝9y ＝6，即x ＝6，y ＝23时等号成立． 【答案】 42．(2013·无锡检测)设lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是________． 【解析】 由lg x ＋lg y ＝2，知x ＞0，y ＞0，xy ＝100. 1x ＋1y ≥21xy ＝21100＝15，等号可取．所以1x ＋1y 的最小值为15. 【答案】 153．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且t ＝2＋x －14y ，则当t 取最大值时x 的值为________． 【解析】 t ＝2＋x －1－x ＝3－(1－x )－1－x＝3－[(1－x )＋1－x ]≤3－2×12＝2. 当且仅当1－x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．【答案】 124．(2013·德州高二检测)设点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值为________．【解析】 由题意知m ＋n ＝1且m ＞0，n ＞0，则log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 2(m ＋n2)2＝log 214＝－2.当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．【答案】 －25．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．【解析】 每年购买次数为400x 次， 所以总费用＝400x ·4＋4x ≥2 6 400＝160， 当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 【答案】 206．设a ＞0，b ＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】 ∵3是3a 与3b 的等比中项，∴3＝3a ·3b，∴a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋ab )≥4. 【答案】 47．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．【解析】 设仓库离车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x .当x ＝10时，由y 1＝2，y 2＝8，可得y 1＝20x ，y 2＝45x .则总费用y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．【答案】 58．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC ，B C 的距离的乘积的最大值是________．【解析】 设点P 到AC ，BC 的距离分别为x ，y ，则由题意得x 3＝4－y4，所以4x ＋3y ＝12，而4x ＋3y ≥212xy ，所以xy ≤3，当且仅当4x ＝3y ，且4x ＋3y ＝12，即x ＝32，y ＝2时取“＝”．【答案】 3 二、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， (1)求8x ＋2y 的最小值；(2)求2x ＋1＋2y ＋1的最大值．【解】 (1)8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18，当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时有最小值18. (2)2x ＋1＋2y ＋1≤x ＋1＋2y ＋＝22，当且仅当2x ＋1＝2y ＋1，即x ＝y ＝12时取最大值2 2. 10.图3－4－1某单位用木料制作如图3－4－1所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：米)的矩形，上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．(1)求x ，y 的关系式，并求x 的取值范围；(2)问x ，y 分别为多少时用料最省？【解】 (1)由题意得x ·y ＋12x ·x 2＝8(x ＞0，y ＞0)，∴y ＝8x －x 4＞0，0＜x ＜4 2.(2)设框架用料长度为l ，则l ＝2x ＋2y ＋2x ＝(32＋2)x ＋16x≥46＋42＝8＋4 2.当且仅当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42，满足0＜x ＜42时，取得最小值，此时y ＝2 2.11．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)依题意，y ＝9203＋v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)．(2)由条件得920v v 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．教师备课资源备选例题已知函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，AB →＝2i ＋2j (i ，j 分别是与x 轴、y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g (x )＝x 2－x －6.(1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数g x ＋1f x 的最小值．【思路探究】 (1)写出点A ，B 的坐标，由向量相等求出k 和b 的值．(2)对于已知的两个函数f (x )，g (x )，解不等式f (x )＞g (x )，把f (x )，g (x )代入g x ＋1f x ，用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由已知得点A (－b k ，0)，点B (0，b )，则AB →＝(b k ，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧b k ＝2，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝2. (2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，解得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0.∴g x ＋1f x ＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－5≥－3.当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时等号成立，∴函数g x ＋1f x 的最小值是－3.规律方法1．基本不等式主要用于求最值问题和证明不等式，所以要把基本不等式和函数结合起来，同时在解析几何、平面几何、数列等很多知识中都要用到基本不等式，所以要全面地掌握基本不等式的性质，理解并掌握其蕴涵着的思想方法．2．本题将向量、函数以及不等式有机结合在一起，题目新颖但求解并不困难，考查基础知识和基本方法，同时考查灵活应用知识的能力．备选变式若一个直角三角形的周长为定值l (l ＞0)，求该三角形面积的最大值．【解】 设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝l .∵a ＋b ≥2ab ，a2＋b2≥2ab.∴l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab.当且仅当a＝b时等号成立．∴ab≤l2＋2，∴S＝12ab≤12(l2＋2)2＝3－224l2.∴S max＝3－224l2，此时三角形为等腰直角三角形．拓展等与不等关系是中学数学中最基本的关系．数学中的等与不等关系等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质．如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式将发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异．如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性问题即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，多以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系．许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性．等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系．数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是其深刻而生动的体现．不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？。

3.4 基本不等式 ab ≤2b a + [教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。

2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。

3. 能利用基本不等式进行简单的应用。

4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。

5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。

[重 点]： 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2b a ab +≤。

[难 点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

[教学方法]：启发、引导、讲解。

[教学准备]：Z+Z 课件[教学过程]：一、 导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。

）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？ 答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。

（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。

）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。

为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。

答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则 ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。

问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。

[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab b a 2≥+二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2b a ab +≤，当且仅当b a =时取等号。

《基本不等式》学案【学习目标】1.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广;2.初步掌握不等式证明和应用【问题导学】默写重要不等式与基本不等式在应用基本不等式时要注意什么?类比重要不等式， 假如,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立.思考：你能否举反例说明c b a ,,R ∈是不准确的？自己动手证明：类比基本不等式，假如,,a b c R +∈, 那么 .当且仅当 时, 等号成立.自己动手证明：结论 假如,,a b c R +∈, 那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 用语言表达： 。

上式为三个正数的算术-几何平均不等式。

这个不等式同样可推广到n 个正数的情形。

设n a a a ,...,,21为n 个正数，则我们可得到怎样的不等式？推论 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的 即 当且仅当a b c ==时, 等号成立.【问题探究】例1已知,,x y z R +∈, 求证：（1）3()27x y z xyz ++≥;（2）()()9x y z y z x y z x x y z++++≥;（3）222()()9x y z x y z xyz ++++≥．例2用一块边长为a 的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，理应剪去多大的小正方形？例 3 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法.解一:3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y . ∴3min 43=y ． 解二:x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时,633min 3242123221262==⋅=y ． 正解：【课堂训练】1.（5分）若1,0,0=+>>b a b a ，则)11)(11(22--b a 的最小值是2.（5分）若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为3.（5分）函数)(,422+∈+=R x xx y 的最小值为4.（5分）已知1273,023++=-+y x y x 则的最小值是5、（5分）0>x 时, 求x x y 362+=的最小值．6、（5分）设]27,91[∈x ，求)3(log 27log 33x x y ⋅=的最大值．7、（5分）若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值．8、（5分）若0>>b a ，求)(1b a b a -+的最小值为.9（5分）制作一个容积为316m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）（选做题）若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 【课时小结】。

3.4基本不等式(2)一、课前预习新知（一）、预习目标：2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题（二）、预习内容：阅读教材填空：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤__________，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥__________，等号当且仅当a ＝b 时成立.二、课内探究新知（一）、学习目标12a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

2a b +≤的应用2a b +≤求最大值、最小值。

（二）、学习过程1．核对预习学案中的答案2．思考下列问题如何应用基本不等式和重要不等式解决实际问题中最值呢？3 例题精讲例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?变式训练1例2判断下列推理是否正确：（小组讨论）1、 ()f a =aa 1+的最小值为2. （）2、 123(3)y x x x=+≥的最小值为12（）3、()f x =的最小值为2（）4、 ()22(0)f x x x x =+>的最小值是例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？变式训练2．课本第113页的练习1、2、3、44 、 课堂小结用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行;（三）当堂检测1设x ，y 为正实数，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy 的最大值.2 .已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 三、课后练习巩固新知1 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. 2 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值. 答案：1、32 2、 32。

3.4 基本不等式学案预习案（限时20分钟） 学习目标：1.探索、理解不等式的证明过程，会应用不等式求某些函数的最值；2.应用不等式解决一些简单的实际问题. 学习重点，难点： 利用基本不等式求最值.预习指导：预习课本P87-911. 重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b a b +，当且仅当________时，等号成立.2. 基本不等式：设0,0a b >>，则_____2a ba b +，当且仅当____时，不等式取等号.3. 小组合作学习：（1）两个结论的形成过程；（2）对于基本不等式，还可以变形为哪些形式？ 预习检测1.已知x ＞0，则y ＝x +16x 的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．102.已知0x >，当81x x +取值最小时x 为（ ） A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．163.若log 2x +log 2y ＝1，则2x +y 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．44.已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是 .5.已知3x >，当x =_____时，1()3f x x x =+-的最小值为 _______ .6.已知x ＞0，y ＞0，且2x +3y ＝1，则11x y +的最小值为 ．巩固练习1.若mn ＝1，其中m ＞0，则m +3n 的最小值等于（） A ．22 B ．2 C ．3 D ．522.当x ＞4时，不等式x +44x -≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤8 B ．m ＜8 C ．m ≥8 D ．m ＞83．若a ，b 都是正数，且a +b ＝1，则（a +1）（b +1）的最大值为（ ） A ．32 B ．2 C ．94 D ．44..若0x <，则9()4f x x x =+的最_____值为__________.5.已知实数x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝xy ，则x +y 的最小值是 ．6.已知直线mx+ny﹣3＝0经过函数g（x）＝log a x+1（a＞0且a≠1）的定点，其中mn＞0，则11m n+的最小值为．7.已知x，y∈R*，且231 x y+=．（1）求xy的最小值；（2）求4x+6y的最小值．8.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．。

3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。

课题： 3.4
2
a b +≤
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标 1
2a b
+≤；会应用此不等式求某
些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2
2a b
+≤，
并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

2a b
+≤的应用
2a b
+≤求最大值、最小值。

教学方法：探究，讨论
二．研讨互动，问题生成
1．重要不等式：
2.算术平均数、几何平均数？
ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件？
三．合作探究，问题解决
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽
各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、
宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如
果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
练习
1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281
x 的值最小?最小值是多少?
自我评价 同伴评价 小组长评价。