29基本不等式学案

基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。

（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。

基本不等式教案
教案：基本不等式
一、教学目标：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法；
3. 能够解决基本不等式的求解问题。

二、教学重点：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法。

三、教学难点：
能够解决基本不等式的求解问题。

四、教学步骤：
1. 导入新知识：
与学生进行一段对话，了解学生对不等式的认识程度，并引出本节课的主题。

2. 概念解释：
通过例子及图示，简单明了地向学生解释什么是不等式，以及不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。

3. 基本不等式的求解方法：
介绍几个基本不等式的求解方法，并通过具体的例子进行讲解，如将不等式转化为方程、利用数轴图解法等。

4. 练习与巩固：
通过对一些简单的不等式进行练习，让学生逐步掌握基本不等式的求
解方法，并在解题过程中注意注意解题步骤和思路。

5. 拓展应用：
给学生一些有挑战性的不等式问题，让他们进一步巩固和应用所学的
求解方法，并在解答过程中培养他们的综合运用能力和创新思维。

6. 归纳总结：
对本节课的内容进行归纳总结，梳理基本不等式的求解方法，并强调
解题时的注意事项。

7. 课堂作业：
布置一些不等式的练习题，让学生独立完成并交作业。

五、教学资源：
教学课件、练习题。

六、教学评估：
通过课堂练习及作业的完成情况，评估学生对基本不等式的掌握情况。

七、教学反思：
根据学生的学习情况及问题反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。

基本不等式学案(含答案)一 :基础演练1.若x>0，则x ＋2x 的最小值为________．答案：22解析：∵ x>0，∴ x ＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x ＝2时等号成立． 2. 设x<0，则y ＝3－3x －4x 的最小值为________．答案：3＋43解析：∵ x<0，∴ y ＝3－3x －4x ＝3＋(－3x)＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥3＋2（－3x ）·⎝⎛⎭⎫－4x ＝3＋43，当且仅当x ＝－233时等号成立，故所求最小值为3＋4 3.3. 若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x ＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3.4. 设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是________．答案：183解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时等号成立．5. (必修5P 88例2改编)已知函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．答案：6解析：∵ 函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，即7＝3＋a ，∴ a ＝4.∵ x －2>0，∴ f(x)＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x ＝4时等号成立，故此函数的最小值是6. 二:典型例题例1 (1) 已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2) 已知x>0，y>0且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1) x<54，∴ 4x －5<0.∴ y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x)＋1（5－4x ）]＋3≤－2（5－4x ）1（5－4x ）＋3＝1，y max ＝1.(2) ∵ x>0，y>0且1x ＋9y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋yx ≥10＋29x y ·yx＝16，即x ＋y 的最小值为16.例2已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1) 由a ＝4，∴f(x)＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2≥6，当x ＝2时，取得等号．即当x ＝2时，f(x)min ＝6.(2) x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x ∈[1，＋∞)，x 2＋2x ＋a>0恒成立．等价于a>－x 2－2x ，当x ∈[1，＋∞)时恒成立，令g(x)＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)， ∴a>g(x)max ＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a 的取值范围是()－3，＋∞. 例3 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：原不等式等价于(x ＋y)2≥4xy ，即(x －y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．证明：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y.原不等式等价于1x ＋1y ≥4x ＋y ，由作差法可证该不等式成立，故原不等式成立．(2) 由(1)可知，1a －b ＋1b －c ≥4a －c 恒成立，而1a －b ＋1b －c ≥ka －c ，k 的最大值为4.例4 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间．一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1) 现有可围成36m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2) 若使每间虎笼的面积为24m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1) 设每间虎笼长为xm ，宽为ym ，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝36，x>0，y>0，面积S ＝xy.由于2x ＋3y ≥22x·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时取等号．则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y 2x ＋3y ＝18⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，所以每间虎笼长、宽分别为4.5m 、3m 时，可使面积最大．(2) 设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm ，则l ＝4x ＋6y ，且xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥2×22x·3y ＝46xy ＝4×6×24＝48(m)，当且仅当2x ＝3y 时取等号．⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝242x ＝3y⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长、宽分别为6m 、4m 时，可使钢筋网的总长最小为48m.例5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m 2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162xm.总造价为f(x)＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2·162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋1 2960≥1 296×2x·100x ＋12 960＝38 880元．当且仅当x ＝100x(x>0)，即x ＝10时取等号．∴ 当长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴ 1018≤x ≤16.设g(x)＋x ＋100x ⎝⎛⎭⎫∴ 1018≤x ≤16，由函数性质易知g(x)在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数，∴ 当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882(元)．∴ 当长为16 m ，宽为1018 m 时，总造价最低，为38 882元．三:能力提僧升1. (2013·上海)设常数a>0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：9x ＋a 2x≥29x·a 2x ＝6a ，所以6a ≥a ＋1，即a ≥15. 2. 已知正实数x 、y 、z 满足2x(x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z 的最小值为________． 答案：2解析：∵ 2x ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，∴ 1y ＋1z ＝yz2x －x ， ∴ ⎝⎛⎭⎫x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋1z ＝x 2＋x ⎝⎛⎭⎫1y ＋1z ＋1yz ＝yz 2＋1yz≥ 2.3. 已知P 是△ABC 的边BC 上的任一点，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，x 、y ∈R ，则1x ＋4y 的最小值是________．答案：9解析：因为B 、C 、P 三点共线且AP →＝xAB →＋yAC →，故x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y)＝5＋y x ＋4x y≥9. 4. 若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x 、y 恒成立，则整数k 的最大值为________．答案：3解析：原不等式可化为4x y ＋9y x ≥2k 而4x y ＋9yx ≥12，∴ 2k ≤12，则整数k 的最大值为3.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.。

基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。

基本不等式教案教案标题：基本不等式教案教学目标：1. 理解和运用基本不等式的概念；2. 掌握基本不等式的性质及解题方法；3. 提升对不等式问题的分析和解决能力。

教学准备：1. 教师：白板、标志笔、多媒体设备；2. 学生：教科书、练习册、笔、纸。

教学过程：步骤一：导入（5分钟）利用一些简单的实例向学生介绍不等式的概念，并引发对不等式的思考，例如：3 > 2、4 ≠ 5。

步骤二：教学（30分钟）1. 解释基本不等式的定义和性质，包括大于、小于、大于等于、小于等于等概念。

2. 介绍不等式的运算规则，如相加、相减、相乘等，以及这些运算对不等式的影响。

3. 演示并分析如何解决一步骤的基本不等式方程，引导学生理解解不等式方程的思路和方法。

4. 提供一些具体的例子，让学生通过实际操作来练习解决不等式方程的能力。

步骤三：巩固（15分钟）1. 设计一些巩固练习，让学生独立或合作完成，检测他们对基本不等式的理解和应用。

2. 在学生完成练习后，逐个检查答案，并解释如何得出正确答案。

步骤四：拓展（10分钟）1. 提出一些扩展问题，要求学生运用基本不等式的知识，解决更复杂的不等式问题。

2. 引导学生思考应用不等式解决实际问题时可能遇到的困难，并讨论如何克服这些困难。

步骤五：总结（5分钟）总结基本不等式的概念、性质和解题方法，并鼓励学生运用这些知识解决更多的不等式问题。

教学扩展：1. 鼓励学生品尝到不同类型不等式的实例，如一元一次不等式、绝对值不等式等，扩展他们对不等式的理解和应用。

2. 提供更多的练习和挑战题，提高学生解决不等式问题的技巧和速度。

3. 引导学生进行小组或个人项目，研究不等式在实际生活中的应用，如经济学、生物学等领域。

衡量评估：1. 教师观察学生在课堂上的互动和参与度；2. 学生完成的练习和作业的准确性和完整性；3. 学生通过小组或个人项目展示的能力和创造性。

注意事项：1. 教师应根据学生的实际情况和学习进度，调整教学步骤和难度，确保教学效果；2. 鼓励学生积极参与互动，提出问题并解答；3. 考虑学生的不同学习特点和能力，利用多种教学方法和资源，提供个性化的教学指导。

基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

基本不等式课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握基本不等式的概念、性质和应用，能够运用基本不等式解决一些简单的问题。

具体目标如下：1.了解基本不等式的定义和性质。

2.掌握基本不等式的证明方法。

3.理解基本不等式在实际问题中的应用。

4.能够运用基本不等式解决一些简单的问题。

5.能够运用基本不等式进行不等式的证明。

情感态度价值观目标：1.培养学生的逻辑思维能力。

2.培养学生的数学美感。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括基本不等式的定义、性质和应用。

具体内容如下：1.基本不等式的定义：介绍基本不等式的定义，解释其含义和作用。

2.基本不等式的性质：讲解基本不等式的性质，包括对称性、单调性等。

3.基本不等式的应用：介绍基本不等式在实际问题中的应用，如求最值、证明不等式等。

三、教学方法为了激发学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法：1.讲授法：教师通过讲解基本不等式的定义、性质和应用，引导学生理解并掌握知识。

2.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生通过互动交流，加深对基本不等式的理解。

3.案例分析法：教师通过举例子，让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固知识。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：为学生提供《数学课本》等相关教材，作为学习的基本依据。

2.参考书：提供一些数学参考书，供学生课后拓展学习。

3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，帮助学生直观理解基本不等式的性质和应用。

4.实验设备：准备一些实验设备，如白板、黑板等，方便教师进行演示和讲解。

五、教学评估为了全面、客观、公正地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等表现，评估学生的学习态度和理解程度。

2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生对基本不等式的掌握情况和应用能力。

3.考试：安排一次考试，测试学生对基本不等式的概念、性质和应用的掌握程度。

基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。

（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。

2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。

（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。

（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。

2、教学难点（1）基本不等式的证明。

（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。

三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。

基本不等式教案一、引言基本不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题和证明数学定理中起到了重要的作用。

本教案将介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生掌握基本不等式的运用技巧。

二、基本概念1. 不等式定义不等式是具有不等关系的数学式子。

基本不等式是指在解决问题时常用到的一些基本不等式，如以下几种：- 两个正数的和大于任意一个正数，即对于任意的a和b，都有a +b > a或a + b > b- 两个正数的积大于任意一个正数，即对于任意的a和b，都有ab > a或ab > b- 平方大于或等于0，即对于任意的实数x，都有x^2 >= 02. 基本性质- 不等式在两边同时加减同一个数，不等号的方向不变，即若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c- 不等式在两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变，即若a > b且c > 0，则ac > bc，a/c > b/c- 不等式在两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变，即若a > b且c < 0，则ac < bc，a/c < b/c三、解题方法1. 加减法原则当两个不等式相加或相减时，可以将它们的左边和右边分别相加或相减，得到一个新的不等式。

例如，已知a > b且c > d，那么可以得到a + c > b + d的结果。

2. 乘法原则当两个不等式相乘时，可以将它们的左边和右边分别相乘，得到一个新的不等式。

例如，已知a > b且c > d，那么可以得到ac > bd的结果。

3. 合并原则当多个不等式中的变量相同且不等关系一致时，可以将它们合并成一个不等式。

例如，已知a > b，b > c，c > d，那么可以得到a > d的结果。

四、例题演练1. 解不等式：2x - 5 < 3x + 4解答：首先将不等式中的x合并到一边，得到2x - 3x < 4 + 5，化简得到-x < 9，再将不等式两边乘以-1，不等号方向改变，得到x > -9。

《基本不等式》同步学案情境导入我校第二教学楼在建造过程中,需建一座长方体形的净水处理池,该处理池的底面积为200m2,深度为5m,如图,该处理池由左右两部分组成,中间是一条间隔的墙壁,池的外围周壁建造单价为400元/m2,中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/m2,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.请帮忙决策,如何设计才能使总造价最低呢?自主学习自学导引1.重要不等式.当a,b是任意实数时,有a2+b2⩾_________,当且仅当_________时,等号成立. 2.基本不等式.(1)有关概念:当a,b均为_________时,把_______叫做正数a,b的算术平均数,把_________叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即_________,当且仅当________时,等号成立.(3)变形:ab⩽________,a+b⩾________(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立).3.已知x,y都是正数,则(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_________;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值__________.答案1.2ab a=b2.(1)正数a+b2√ab(2)√ab⩽a+b2a=b(3)(a+b2)22√ab3.(1)2√P (2)14S2预习测评1.已知x≠0,则y=x2+1x2有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值12.已知x,y都是正数,如果xy=15,则x+y的最小值是___________.3.已知x,y都是正数,如果x+y=15,则xy的最大值是___________.4.学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示),则当游泳池的长为_______m、宽为_______m时,占地面积最小.答案:1.A解析:y=x2+1x2⩾2√x2⋅1x2=2,当且仅当x2=1x2即x=±1时取等号.2.2√15解析:x +y ⩾2√xy =2√15,即x +y 的最小值是2√15,当且仅当x =y =√15时x +y 取最小值.3.2254解析:xy ⩽(x+y 2)2=(152)2=2254,即xy 的最大值是2254,当且仅当x =y =152时xy 取最大值. 4.2814解析:设游泳池的长为xm ,则游泳池的宽为392xm ,又设占地面积为ym 2,依题意,得y =(x +8)⋅(392x+4)=424+4(x +784x)⩾424+224=648,当且仅当x =784x,即x =28时,取“=”,此时392x=14.新知探究探究点1基本不等式 知识详解如果a >0,b >0,那么√ab ⩽a+b 2,当且仅当a =b 时,等号成立.其中,a+b 2叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数.因此,基本不等式可以叙述为:当a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数. 特别提示(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.①若a <0,b <0,如a =−2,b =−4,会出现√(−2)×(−4)⩽(−2)+(−4)2的错误结论;②若a,b 中有一个小于0,如a =−2,b =4,则 √(−2)×4无意义;③若a 或b 等于0,虽然该不等式成立,但没有研究的意义和必要. (2)基本不等式的常见变形式:a +b ⩾2√ab ,ab ⩽(a+b 2)2.(3)事实上,当a>0,b>0时,我们分别用√a,√b代替重要不等式a2+b2⩾2ab中的a,b,可得a+b⩾2√ab,变形可得√ab⩽a+b2.典例探究例1已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是( )A.a2+b2>2abB.a+b⩾2√abC.1a +1b>2√abD.ba +ab⩾2解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B ,C ,ab>0只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以ba >0,ab>0,所以ba+ab⩾2√ba⋅ab=2,即ba+ab⩾2成立.答案:D友情提示由基本不等式,可以得到一个常用结论:ba +ab⩾2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.变式训练1已知0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b答案:B解析:0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<√ab<b,0<a<b⇒2a<a+b<2b⇒a<a+b2<b,又√ab<a+b2,所以a<√ab<a+b2<b.探究点2最值定理知识详解已知x,y都是正数,则:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2√P;S2.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14最值定理简记:和定积最大,积定和最小.特别提示(1)最值定理是求最值时应用极广的定理之一.(2)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等.①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.(3)应用基本不等式求最值的关键:依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.典例探究例2下列结论正确的是( )⩾2A.当x>0且x≠1时,x+1x⩾2B.当x>0时,√x+√xC.当x≠0时,x+1的最小值为2xD.当x>0时,x+1的最小值为2x2解析:选项A不满足“取等号时条件”,故不正确;选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;选项D不满足“积为定值”,故不正确.答案:B思路点拨:利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,此类题型能提升逻辑推理素养.变式训练2给出下面三个推导过程:(1)∵ab>0,∴ab +ba⩾2√ab⋅ba=2;(2)∵a∈R,a≠0,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4;(3)∵x,y∈R,xy<0,∴xy +yx=−[(−xy)+(−yx)]⩽−2√(−xy)(−yx)=−2.其中正确的推导为________.答案:①③解析:①∵ab>0,∴ab >0,ba>0,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②由a∈R,不符合基本不等式的“各项必须为正”条件,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4是错误的;③由xy<0,得yx ,xy均为负数,但在推导过程中,将整体xy+yx提出负号后,(−xy ),(−yx)均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.探究点3利用基本不等式解应用题知识详解在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.典例探究例3如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有可围36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?解析:问题转化为:每间虎笼的长的4倍与宽的6倍之间满足和为定值,长和宽多大时面积最大?答案:设每间虎笼长为xm ,宽为ym ,则由条件得4x +6y =36,即2x +3y =18. 设每间虎笼面积为Sm 2,则S =xy . 由于2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy , ∴2√6xy ⩽18,得xy ⩽272,即S ⩽272,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由{2x +3y =18,2x =3y,解得{x =4.5,y =3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m 时,可使面积最大.变式训练3例3中其他条件不变,若使每间虎符面积为24m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 答案:法一:由条件知S =xy =24,设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y∵2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy =24,∴l =4x +6y =2(2x +3y )⩾48, 当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由{2x =3y,xy =24,解得{x =6,y =4.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小. 法二:由xy =24,得x =24y.∴l =4x +6y =96y+6y =6(16y +y)⩾6×2√16y ⋅y =48,当且仅当16y =y ,即y =4时,等号成立.此时x =6.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小.解析:问题转化为:每间虎符的长和宽之积为定值,长和宽多大时,长的4倍与宽的6倍和最小？易错易混解读例 若x >0,y >0,且x +2y =1,求1x +1y 的最小值.错解:因为x >0,y >0,所以1=x +2y ⩾2√2xy ,即8xy ⩽1,即xy ⩽18,故1xy ⩾8.因为1x +1y⩾2√1xy,所以1x+1y⩾2√8=4√2.故1x+1y的最小值为4√2.错因分析:在求解过程中两次使用了基本不等式:x+2y⩾2√2xy,1x +1y⩾2√1xy,但这两次取等号分别需满足x=2y与x=y,互相矛盾,所以“=”不能同时取到,从而导致错误.正解:因为x+2y=1,x>0,y>0,所以1x +1y=(1x+1y)(x+2y)=3+xy+2yx⩾3+2√2,当且仅当xy =2yx即x=√2y,即x=√2−1,y=1−√22时取等号,从而1x+1y的最小值为3+2√2.纠错心得:连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立.课堂检测1.函数y=4x+25x(x>0)的最小值为( )A.20B.30C.40D.502.下列不等式中正确的是( )A.a+4a⩾4B.a2+b2⩾4abC.√ab⩾a+b2D.x2+3x2⩾2√33.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为_______.4.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为_________.答案:1.A解析:因为x >0,所以y =4x +25x⩾2√4x ⋅25x=20,当且仅当4x =25x,即x =52时取等号. 2.D解析:若a <0,则a +4a ⩾4不成立,故选项A 错;如:a =1,b =1,a 2+b 2<4ab ,故选项B 错;如:a =4,b =16,则√ab <a+b 2,故选项C 错;由基本不等式可知选项D正确. 3.3解析:因为x,y 为正实数,所以4x +3y =12⩾2√4x ⋅3y =2√12xy ,所以xy ⩽3,当且仅当4x =3y ,即x =32,y =2时取等号. 4.14解析:设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b ,则a +b +√a 2+b 2=√2+1.又a +b ⩾2√ab,a 2+b 2⩾2ab ,所以√2+1⩾2√ab +√2ab =(2+√2)√ab ,解得ab ⩽12,当且仅当a =b =√22时取“=”,所以直角三角形的面积S =12ab ⩽14,即S的最大值为14.课堂小结。

基本不等式教案基本不等式教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质和解法。

2. 过程与方法：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，培养学生的数学兴趣。

二、教学重难点：1. 教学重点：理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的性质和解法。

2. 教学难点：应用基本不等式解决实际问题。

三、教学过程：1. 创设情境，引入话题老师可以从学生日常生活中的情境出发，引入基本不等式的话题。

比如，在购物时，我们经常会遇到打折活动，我们可以通过基本不等式来帮助我们选择打折的商品。

2. 提出问题，引导探究老师提出以下问题：如果我们知道一个商品原价为X元，现在打8折，那么能否通过基本不等式确定它的折后价？请同学们思考这个问题，并尝试通过数学的方法来解决。

3. 分组讨论，解答问题将学生分成小组，让他们用已学的不等式知识来解答这个问题。

鼓励学生提出自己的解法，并进行讨论和交流。

4. 总结规律，归纳性质根据学生的讨论和解法，引导学生总结出基本不等式的性质和解法。

比如，原价为X元，打8折后的折后价为0.8X元，可以表示为X > 0.8X，即X > X/5。

5. 练习巩固，拓展应用让学生在课堂上完成一些基本不等式的练习题，巩固所学的知识。

同时，老师也可以引入一些拓展应用的问题，让学生将基本不等式应用到更复杂的实际问题中，培养学生的解决问题的能力。

6. 作业布置布置一些巩固练习题作为课后作业，让学生复习所学的知识。

四、教学反思：本节课通过情境引入的方式，将抽象的数学知识和实际问题相结合，让学生更容易理解和掌握基本不等式的概念和解法。

同时，通过讨论和交流，培养学生的合作和思考能力。

在设计练习题时，要注意题目的难易程度和问题的实际应用性，引导学生理解基本不等式在实际生活中的意义和作用。

基本不等式教案一、教学目标1. 让学生理解基本不等式的概念和性质。

2. 培养学生运用基本不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学逻辑思维和推理能力的培养。

二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质2. 基本不等式的证明方法3. 基本不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 基本不等式的概念和性质的理解2. 基本不等式的证明方法的掌握3. 基本不等式在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解基本不等式的概念和性质。

2. 采用证明法，培养学生掌握基本不等式的证明方法。

3. 采用案例分析法，让学生学会运用基本不等式解决实际问题。

五、教学准备1. 教学PPT2. 教学案例及练习题3. 笔记本和文具【课堂导入】（教师通过引入实际问题或生活实例，引发学生对基本不等式的兴趣，激发学生的学习动机。

）【新课讲解】1. 基本不等式的定义与性质（1）教师讲解基本不等式的定义，解释其意义。

（2）引导学生理解基本不等式的性质，并通过示例进行说明。

2. 基本不等式的证明方法（1）教师讲解基本不等式的证明方法，如综合法、分析法等。

（2）引导学生通过示例掌握基本不等式的证明过程。

【案例分析】1. 教师呈现案例，引导学生运用基本不等式解决实际问题。

2. 学生分组讨论，分享解题思路和答案。

【课堂练习】1. 教师布置练习题，学生独立完成。

2. 教师选取部分学生答案进行点评和讲解。

2. 学生分享自己的学习收获和感悟。

【课后作业】1. 教师布置课后作业，巩固课堂所学知识。

2. 学生独立完成作业，巩固知识点。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、案例分析和课后作业，评估学生对基本不等式的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其逻辑思维和推理能力。

3. 收集学生反馈意见，了解教学效果，以便进行教学改进。

七、教学拓展1. 引导学生进一步学习其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 探讨基本不等式在数学竞赛和实际应用中的重要作用。

基本不等式（导学案）预 习 案一、预习内容如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。

在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。

你知道这其中含有哪些相等关系或不等关系吗？设小直角三角形的两条直角边为、a b （a b ≠），则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。

4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 ,(4正方形三角形S S ⨯=) ⇒ 。

教学案一、学习目标（1）学会推导不等式2a bab +≤，理解基本不等式的几何意义。

（2）知道算术平均数、几何平均数的概念（3）会用基本不等式求一些简单的最值问题二、学习难点理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。

三、学生学习活动过程1．学生预习成果展示概念: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。

我们通常把上式写成2a bab +≤(00a ,b >>)第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?证明过程: 要证 2a bab +≥ ①只需证 ≥ ② (同时平方)要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧)要证③只需证 2(__________)0-≥ ④显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立.2．小组合作学习-研讨概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。

若两个数a,b , 且00a ,b >>,2a b +是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数， ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项 ，特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。

3. 当堂训练习题一：若0a >，则1a a+≥ 若0ab >，则a b b a+≥ 习题二：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ， 由2a b ab +≥ 可得x y +≥ ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y ==（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ， 由2a b ab +≥可得xy ≤ ， 当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y ==总结：两个实数0,0,a b >>若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。

基本不等式教案
主题：基本不等式
目标：
1. 理解基本不等式的概念和性质。

2. 掌握基本不等式的解法和应用。

3. 能够运用基本不等式解决实际问题。

教学步骤：
引入（5分钟）：
教师简要介绍基本不等式的概念，并与学生讨论不等式在日常生活中的应用。

教学（30分钟）：
1. 解释“大于等于”和“小于等于”的概念，以及它们在数轴上的
表示。

2. 介绍基本不等式的性质和解法，例如当a>b时，有a+c>b+c、ac>bc（其中c为正数）。

3. 解释绝对值不等式的性质和解法，例如当|a|>b时，有a>b
或a<-b。

4. 给出一些简单的示例，让学生应用基本不等式进行求解。

实践（15分钟）：
1. 提供一些实际问题，要求学生运用基本不等式进行求解，例如：
a）某学生的数学成绩大于等于80分，语文成绩大于等于85
分，求该学生的总分最小值；
b）某商品原价200元，现在打7折，求最低的折扣价。

2. 学生在小组内讨论并解答问题，教师给予指导和帮助。

总结（5分钟）：
教师总结基本不等式的重要性和应用，并复习基本不等式的解法和性质。

拓展：
教师可以提供更复杂的问题，让学生进一步运用基本不等式进行求解，并引导学生在日常生活中寻找更多的不等式应用。

基本不等式教案.doc【导言】基本不等式是初中数学学习过程中，最基础、最重要的不等式之一，也是初步奠定高中不等式学习基础的一个必修知识点。

本节课通过对相关知识的讲解和多种经典例题的讲解，让学生深刻理解基本不等式的意义及使用方法，并在实践中培养学生的基本不等式运用能力。

【学习目标】1.了解不等式的概念，掌握不等式的基本运算规则；3.通过多种实例练习，准确掌握基本不等式的运用方法和问题解决能力。

【教学重点】1.基本不等式的概念及证明；2.掌握基本不等式运用技巧。

如何通过实例练习提高学生的基本不等式运用技能。

讲述法、举例法、实践法。

本课程时间预计为2学时，具体难度和学生学习时间可以进行适当调整。

一、不等式的概念不等式是指两个数或两个代数式之间用不同于等于符号的关系式，数学中常用的不等于符号“<”、“>”及“≤”、“≥”。

二、不等式的基本运算规则1.当不等式两边同时乘或除以一个相同的正数时，不等号方向不变；举例：4x > 12，两边同除以一个正数4，则得到不等式x>3。

对于任意正整数n，有：（1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+1)其中e≈2.718281828，这个数称为自然常数。

（1）证明左边不等式的方法：首先，我们要用数学归纳法证明引理k<(1+1/n)^n，k是正整数。

假设k<(1+1/n)^n成立，要证明(k+1)<(1+1/n)^(n+1)也成立。

①(1+1/n)^n<k+(1+1/n)接下来，我们用归纳法证明原命题（1+1/n)^n < e。

当n=1时显然成立，假设当n=k 时原命题成立，要证明当n=k+1时原命题也成立。

(1+1/n)^nе > (1+1/(n+1))^nе = (1+1/n) *[ (1+1/(n+1))^n ] < (1+1/n)е由于k<(1+1/n)^n，所以(1+1/n)^nе > kе，即(1+1/n)^n > k。

§3.4基本不等式：2b a ab +≤ 一、教学目标1. 使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明.2. 感知与基本不等式相近的一些不等式的证明和几何背景.3. 初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力.二、教学重点，难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义.难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式，关键是对基本不等式的理解与掌握.三、问题导学问题1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形，设直角三角形边长为a ，b ，则正方形的边长为_____________面积为_____________. 问题2：那四个直角三角形的面积和为_____________.问题3：根据四个三角形的面积和正方形的面积，可得到一个不等式：22b a +_____ab 2， 什么时候这两部分面积相等呢？问题4：证明不等式：22b a +≥ab 2.问题5：特别地，如果a>0, b>0, 则b a +≥ab 2 ，2b a ab +≤，其中2b a +叫正数a, b 的算术平均数，ab 叫正数a, b 的几何平均数.问题6：课本98P 探究给出基本不等式的几何解释.四、探究交流（基本不等式的应用）已知x, y 都是正数，求证：① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2.② 如果和x+y 是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值241S . 证明：总结：“和定积最大，积定和最小”.注：应用基本不等式须注意三点：① 各项或各因式为正.② 和或积为定值.③ 各因式或各项能取得相等的值，必要时作适当变形，以适应上述前提.即：一正 二定 三相等.五、例题例1：x>0, 当x 取什么值时，xx 1+的值最小？最小是多少？例2：一段长30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例3：x>1, 当x 取什么值时，11-+x x 的值最小？最小是多少？例4：已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：① 411≥+b a . ②9)11)(11(22≥--b a .课堂反馈：选择题1．已知R b a ab ∈≠,,0，则下列式子总能成立的是（） A.b aa b+2≥ B.b aa b+2-≥ C.b aa b+2-≤ D.b aa b+2≥2．已知y>x>0, 且x + y=1,那么（ ） A. x<2yx +<y<2xy B.2xy <x<2yx +<yC. x<2y x +<2xy<yD.x<2xy<2yx +<y3.设+∈R b a ,，且4=+b a ，则有（ ） A.211≥ab B.111≥+b a C. 2≥ab D.41122≥+b a4．下列不等式在+∈R b a ,时一定成立的是（ ）A. b a ab +2≤ab ≤2b a +≤222b a +B. ab ≤b a ab +2≤2b a +≤222b a +C. ab ≤2b a +≤b a ab+2≤222b a +D. ab ≤b a ab +2≤222b a +≤2ba +5．若2lg ),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+==>>，则（ ） A ．R<P<Q B. P < Q < R C. Q < P < R D. P < R < Q6．若+∈R y x ,，则下列不等式中等号不成立的是（ ） A.2111≥+++x x x x B.4)1)(1(≥++y y x x C.4)11)((≥++y x y x D.2lg lg )2lg lg (22y x y x +≤+ 7．某民营企业的一种电子产品，2007年的产品在2006年基础上增长率是a ，2008年又在2007年的基础上增长率为b ，（a, b>0）, 若这两年的平均增长率为q ，则（ ） A.2b a q +=B.2b a q +≥ C.2b a q +≤ D.大小关系不确定 二：填空题1． 当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 2． 当10,1<<>b a 时，a b b a log log +的范围是_____________.3． 设,0>>b a 把2b a +，ab ，a ，b 按从小到大的顺序排列起来为_____________. 4． 若不等式ba ab +>2成立，实数a ，b 满足的条件是_____________. 5． 若实数a ，b 满足a +b =2，则b a 33+的最小值是_____________.三：证明已知：a, b, c 都是正数，且a + b + c=1, 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.思考题：若0<x , 求xx 1+的最大值.。

《基本不等式（第一课时）学案》姓名：________ 班级：_________ 组别：________ 组名：_____________ 【学习目标】1．能从几何图形中抽象出基本不等式，知道基本不等式的几何背景；2．通过小组合作，会从代数和几何的不同角度证明基本不等式，提高逻辑推理论证能力；3．通过探究例题，学会用基本不等式解决简单的最值问题，并学会运用基本不等式2的三个限制条件在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．【重点难点】重点：应用数形结合的思想领会基本不等式，并从不同角度探索其证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式．≡≡预习案阅读课本97-99页及阅读材料（一）、（二）完成下面问题：，1.基本不等式1 : _____________________________________________________________. 基本不等式2 : ______________________________________________________________.2. 利用函数性质画出1y xx=+的图像.3.到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．【我的疑惑】（将预习中未能解决的问题记下来，等待课堂上和老师同学探究解决）≡≡探究案【图形引入】这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：这张“弦图”中含有怎样的几何图形？你能否通过动手操作找出一些相等关系和不等关系？特别的，当a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，此时有______________________________.探究二：如右图ABCD 为正方形，其中两个小正方形EBFM 和HMGD 的边长分别为,a b ，考察阴影与非阴影部分的面积，你能发现什么呢？特别的，当a b =时，M 位于正方形ABCD 的中心，此时有 ____________________________________________________.探究三：对于不等式ab b a 222≥+,a b ,a b 会得到什么样的不等式呢?【代数证明】根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若0,0a b >>，则ab b a 222≥+； 若0,0a b >>，则2ba ab +≤． 探究四：请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 若0,0a b >>，则ab b a 222≥+； 若0,0a b >>，则2ba ab +≤. 证明：（比较法） 证明：要证 2a b ab +≥ ①只要证 2___a b +≥， ② 要证②，只要证_____0a b +-≥， ③要证③，只要证2(___________)0≥， ④显然，④是成立的.所以,原式成立. 得出结论：（基本不等式）若___________，则_____________（当且仅当_________时，等号成立）. 若___________，则_____________（当且仅当_________时，等号成立）.CD FGMH深化认识：称ab 为,a b 的几何平均数；称2a b+为,a b 的算术平均数 基本不等式2ba ab +≤又可叙述为：_________________________________________.【几何证明】探究五：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．你能借助右图再次证明基本不等式2ba ab +≤吗？几何解释：_____________________________________. 【应用实例】探究六：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？对于0,0x y >>，（1）若p xy =（定值），则当且仅当x y =时，y x +有最小值________；（2）若s y x =+（定值），则当且仅当x y =时，xy 有最大值_________．探究七：判断以下解题过程的正误.AB（1） 已知0x <，求1x x +的最值. （2）已知12x ≥时，求21x +的最小值.解：12x x +≥= 解：212x x +≥= ∴原式有最小值2 当且仅当21x =即x=1时2+12x x =有最小值2 (3)已知3x ≥，求4x x+的最小值.解：44x x +≥=，∴原式有最小值4 基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件:________________________________________ _______________________________________________________________________. 【反馈练习】 1．若01x <<，求(1)x x -的最大值． 2. 设正数a 使220a a +->成立，t ＞0，比较1log 2a t 与1log 2at +的大小.【归纳小结】本节课我的收获是：___________________________________________________________. 我还存在的疑惑是：__________________________________________________________. 【拓展延伸】3D 技术展示：若将算术平均数记为21yx z +=，几何平均数记为xy z =2，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面21yx z +=在曲面xy z =2的上方. 【课后作业】（1）基本作业：课本P100习题A 组1、2题（2）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．。