人教版高中数学必修五学案6：3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2(一)

[学习目标]1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件：(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有() A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案(1)D(2)－2(3)3解析(1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝⎛⎭⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 422 ＝12·⎝⎛⎭⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1(1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是() A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________． 答案(1)D(2)3＋2 2解析(1)a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立． 题型二基本不等式的综合应用例2(1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy () A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案C 解析由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ln y ， ∴ln x ln y ＝14， ∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1，∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， ∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15， ∴a ≥15. 反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2(1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为() A ．2B ．4C ．1D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________．答案(1)B(2)18解析(1)由题意得，3a ·3b ＝(3)2，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立． (2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)，代入得－2m －n ＋1＝0，∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝18， 当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立． 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ×40b＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm 2. 反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练3一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．答案8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立， 此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是() A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案C解析A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于() A ．1＋2B ．2C ．3D ．4答案B解析y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A ．6.5mB ．6.8mC ．7mD ．7.2m答案C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．答案2解析①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎡⎦⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________． 答案1解析∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x(p >0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)；3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题(难点).知识点 基本不等式求最值 1.理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2.基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正. (2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可. (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值.( ) 提示 (1)当x ＞0时，x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时等号成立).当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2(当且仅当x ＝－1时等号成立).(2)不一定，应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：sin x 与4sin x ，x ∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值.但是由于0＜sin x ≤1知sin x ≠2，所以sin x ＋4sin x ＞2sin x ·4sin x ＝4，等号不成立，取不到最小值.答案 (1)× (2)×题型一 利用基本不等式求函数的最值【例1】 (1)若x ＜0，求f (x )＝12x ＋3x 的最大值； (2)若x ＞2，求f (x )＝1x －2＋x 的最小值； (3)已知0＜x ＜12，求f (x )＝12x (1－2x )的最大值； (4)已知x ＞1，求函数y ＝x 2＋2x －1的最小值.解 (1)因为x ＜0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以f (x )的最大值为－12. (2)因为x ＞2，所以x －2＞0，f (x )＝1x －2＋x －2＋2≥ 2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以f (x )的最小值为4.(3)因为0＜x ＜12，所以1－2x ＞0，f (x )＝12x (1－2x )＝14·2x (1－2x )≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时等号成立，所以f (x )的最大值为116.(4)因为x ＞1，所以x －1＞0.设t ＝x －1(t ＞0)，则x ＝t ＋1，所以y ＝x 2＋2x －1＝（t＋1）2＋2t ＝t＋3t＋2≥2t·3t＋2＝23＋2，当且仅当t＝3t，即t＝3，x＝3＋1时等号成立，所以f(x)的最小值为23＋2. 规律方法利用基本不等式求最值的策略【训练1】下列各函数中，最小值为2的是()A.y＝x＋1 xB.y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.y＝x2＋3 x2＋2D.y＝x＋1 x解析对于A，∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2x1x＝2，当且仅当x＝1时取等号.选项B，C中等号取不到，选项D中，x<0时，没有最小值，故选A.答案 A题型二利用基本不等式解决实际应用问题【例2】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x(x＞1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1). (2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.【探究1】 已知x ＞0，y ＞0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析 法一 (1的代换)：因为1x ＋9y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x ＞0，y ＞0，所以y x ＋9x y ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞9.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y ＞9，所以y －9＞0，所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4， 所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1， 所以x ＞1，y ＞9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xy ⇒xy －9x －y ＋9－9＝0⇒(x －1)(y －9)＝9(定值). 所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】 已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析 因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋b ＞0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B【探究3】 已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则x ＋yxy 的最小值是________. 解析 x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，可得x ＋3y ＝1.x ＋y xy ＝（x ＋y ）（x ＋3y ）xy ＝x 2＋3y 2＋4xy xy ＝x 2＋3y 2xy ＋4≥2x 2·3y 2xy ＋4＝23＋4.当且仅当x ＝3y ，x ＋3y ＝1，即y ＝13＋3＝3－36，x ＝33＋3＝3－12时取等号.x ＋yxy 的最小值是23＋4. 答案 23＋4【探究4】 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94， 当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94.答案 94规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的一元二次不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.课堂达标1.下列函数中，最小值为4的函数是( ) A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 答案 C2.函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A.1＋ 2B.2C.3D.4解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1 ≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.答案 C4.若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.解析由已知得1a＋2b＝1，又∵a>0，b>0，∴(2a＋b)＝(2a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋2b＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8(当且仅当a＝2，b＝4时等号成立)，∴2a＋b的最小值为8.答案8课堂小结1.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.基础过关1.已知x＞1，y＞1且lg x＋lg y＝4，则lg x lg y的最大值是()A.4B.2C.1D.1 4解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号. 答案 A2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A.2 2 B.4 2 C.16D.不存在解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立. 答案 B3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( )A.－3B.3C.4D.－4解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6 ≥2（x －1）·1x －1＋6＝8.∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B4.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________.解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案 145.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 306.已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围.解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立.所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的取值范围是(0，18].7.已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a 时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升8.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12B.－12C.1D.－1解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立.答案 A9.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B.12C.2D.4 解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立.答案 D10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立.答案 511.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a 2＝2b 2＝22时取等号. 答案 412.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x (x ∈N *，x ≤16)年末可以以(80－5x )万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x 年末所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值；(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由.解 (1)y ＝22x ＋(80－5x )－100－(2＋4＋…＋2x )＝－20＋17x －12x (2＋2x )＝－x 2＋16x －20＝－(x －8)2＋44(x ≤16，x ∈N *)，由二次函数的性质可得，当x ＝8时，y max ＝44，即有总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为y x ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，设f (x )＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，x ＞0， 由x ＋20x ≥2x ·20x ＝45，当x ＝25时，取得等号.由于x 为整数，且4＜25＜5，f (4)＝16－(4＋5)＝7，f (5)＝7， 即有x ＝4或5时，f (x )取得最大值，且为7万元.故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.创新突破13.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值.解 (1)∵a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22≥21ab (a ＝b 时等号成立). 即ab ≥12(a ＝b 时等号成立).∵a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(a ＝b 时等号成立).∴a 2＋b 2的最小值为1.(2)∵1a ＋1b ＝22，∴a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2≥4(ab )3，∴(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3.即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，∵a ，b 为正实数，∴ab ＝1.。

3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

3．4．1基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。

系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=结论：（板书）一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 222222(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b >>+≥、可得,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演): 要证:(0,0)2a bab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③ 要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究：课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。

3.4 基本不等式：2a b ab +≤ 学习目标：1．理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件．2．能利用基本不等式求代数式的最值．学习过程：基础知识梳理：1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．归纳总结：(1)公式中a ，b 的取值是任意的，a 和b 代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明．(2)公式中a 2＋b 2≥2ab 常变形为ab ≤a 2＋b 22或a 2＋b 2＋2ab ≥4ab 或2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2等形式，要注意灵活掌握．做一做1：x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12B ．1C ．2D ．42．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)几何意义：半弦不大于半径．如图所示，AC =a ，CB =b ，则OD =a ＋b 2，DC =ab =12DE ，则DC ≤OD .(4)变形：22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，a +b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a =b 时等号成立)． 名师点拨：从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．做一做2：已知ab ＝16，a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的最小值为__________．重难点突破：1．应用基本不等式ab ≤a ＋b 2求最值的条件 剖析：应用基本不等式ab ≤a ＋b 2求最值的条件是一正二定三相等，具体如下： 一正：a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误的答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，那么显然这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用基本不等式求f (x )＝x ＋1x的最值．因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋⎝⎛⎭⎫1－x ≥2(－x )×⎝⎛⎭⎫1－x ＝2，此时有f (x )≤－2.由此看，所求最值的代数式中的各项不都是正数时，要利用变形，先转化为各项都是正数的代数式，再求最值．二定：ab 与a ＋b 有一个是定值．即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误的答案，陷入困境．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2x x －1是一个与x 有关的代数式，显然这是一个错误的答案．其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝⎣⎡⎦⎤(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.由此看，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．三相等：等号能够成立，即存在正数a ，b 使基本不等式两边相等．也就是存在正数a ，b ，使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误的答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是基本不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x是增函数，所以函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52. 2．与基本不等式有关的常用结论剖析：(1)已知x ，y ∈R ，①若x 2＋y 2＝S (平方和为定值)，则xy ≤S 2，当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2； ②若xy ＝P (积为定值)，则x 2＋y 2≥2P ，当且仅当x ＝y 时，平方和x 2＋y 2取得最小值2P .(2)已知x ＞0，y ＞0，①若x ＋y ＝S (和为定值)，则xy ≤S 24，当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24； ②若xy ＝P (积为定值)，则x ＋y ≥2P ，当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P . 典型例题：题型一 比较大小例1：当a ，b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( )A ．a ＋b 2B ．abC ．a 2＋b 22D ．2ab a ＋b 反思：在比较n 个数的大小时，若从中确定一个最小(大)者，则可以把n 个数分组，在每一组中确定一个最小(大)者，再将这些最小(大)者进行比较．由此题的讨论可以看到2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b 大于0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．) 题型二 利用基本不等式求最值 例2：已知a ＞3，求43a ＋a 的最小值．例3：已知x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．题型三 求函数值域例4：求函数y ＝x ＋1x的值域．随堂练习：1．若x ＞0，则4x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．22D ．4 2．已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b +的最小值是( ) A ．22B ．322-C ．322+D ．32+3．若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]4．若a ＞b ＞1，lg lg P a b =，lg lg 2a b Q +=，lg 2a b R +=，则下列结论正确的是( ) A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q5．设x ＋3y －2＝0，则函数z ＝3x ＋27y ＋3的最小值是( )A ．233B ．322+C ．6D ．9参考答案基础知识梳理：做一做1： C做一做2： 8典型例题：例1：D【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ≠b ，∴a ＋b 2＞ab ， ∵a 2＋b 2＞2ab ，∴a 2＋b 22＞ab ， ∴选项A ，B ，C 中，ab 最小． 又a ＋b ＞2ab ＞0，∴2ab a ＋b＜1， 由于ab ＞0，两边同乘以ab ， 得2ab a ＋b·ab ＜ab ， ∴2ab a ＋b ＜ab ，∴2ab a ＋b最小． 例2：解：∵a ＞3，∴a －3＞0.由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3 ≥2·4a －3·(a －3)＋3＝2×4＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号． ∴4a －3＋a 的最小值是7. 例3：解：∵x ，y 均为正数，且1x ＋9y＝1，显然x ＞1， ∴y ＝9x x －1. ∴x ＋y ＝x ＋9x x －1＝x 2＋8x x －1＝(x －1)2＋10(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋10≥2×3＋10＝16. 当且仅当x ＝4时取等号，即(x ＋y ) min ＝16.例4：解：函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x ＞0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立；当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x ). ∵－x ＞0，∴(－x )＋1(－x )≥2， 当且仅当x ＝－1时，等号成立，∴y ＝x ＋1x≤－2. 综上可知，函数y ＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 随堂练习：1．D2．C3．A4．B5．D。

3.4 基本不等式：√ab ≤（a+b ）2（一）[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 重要不等式及证明如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”．知识点二 基本不等式1．内容： ab ≤a ＋b 2，其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b＝(a －b )2≥0.∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab ，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a ＝b 时，等号成立．知识点三 基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．题型一 利用基本不等式比较大小例1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2 D.ab <a <a ＋b 2<b答案 B 解析 方法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b 2<b ，排除A ，C 两项．又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B. 方法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a ＞0，b ＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练1 若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 对于A ，应该为a 2＋b 2≥2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，但a ＋b ＜2ab ，故B 不成立；对于C ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，故C 不成立；对于D ，∵ab ＞0，则b a ＞0且a b ＞0，∴b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，取“＝”，故D 正确．题型二 用基本不等式证明不等式例2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，∴a ＋b 最大．故选D.2．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2. 3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________．答案 a ＝2解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2.4．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则它们的大小关系是________．答案 R ＞Q ＞P解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴Q ＞P ，又Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg ab ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R ， ∴R ＞Q ＞P .1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 前者a ，b ∈R ，后者a ，b ∈R ＋；另外它们都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．在应用基本不等式比较大小或证明不等式时，要熟练运用基本不等式的几类变形，同时注意等号成立的条件．。

3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2（一） 学习目标理解基本不等式及证明；熟练运用基本不等式来比较大小；能运用基本不等式证明简单的不等式． 预习篇1．如果a ，b ∈R ，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”)．2．若a ，b 都为数，那么a ＋b 2ab(当且仅当ab 时，等号成立)，称上述不等式为不等式，其中称为a ，b 的算术平均数，称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥；当x<0时，x ＋1x ≤. (3)当ab>0时，b a ＋a b ≥；当ab<0时，b a ＋a b≤.(4)a2＋b2＋c2ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)． 4．当a>0，b>0且a≠b 时，a ＋b 2，ab ，21a ＋1b ，a2＋b22按从小到大的顺序排列为. 课堂篇探究点一 基本不等式的证明问题1 利用作差法证明：a ∈R ，b ∈R ，a2＋b2≥2ab.问题2 当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab.探究 下面是基本不等式ab ≤a ＋b 2的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD.由射影定理可知，CD ＝，而OD ＝，因为ODCD ，所以 a ＋b 2ab,当且仅当C 与O ，即时,等号成立．探究点二 当a>0，b>0时，21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22这是一条重要的基本不等式链，请证明．典型例题例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a2＋b2，其中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2ab D ．a ＋b例2 设a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.例3 a>b>c ，n ∈M 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值巩固篇1．若0<a<b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a>a ＋b 2>ab>bB ．b>ab>a ＋b2>aC ．b>a ＋b 2>ab>a D ．b>a>a ＋b 2>ab2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．26D ．83．若不等式x2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围是________．4．a ，b ，c ∈R ，求证：a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca.。

《基本不等式：2a b +≤》第1课时教学设计教学分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学5必修本（A 版）》的第三章3.4“基2a b +”（第1课时）。

不等关系是普遍存在的，而基本不等式是其中的一个重要且应用广泛的不等关系。

运用基本不等式可以证明不等式，也可以求解一些最值问题。

第1课时的教学主要是通过几何中的不等关系导出基本不等式，然后从代数角度对其进行证明，并运用基本不等式证明其它的一些较简单的不等式。

通过此前的学习，学生已体会到现实世界和日常生活中的不等关系是普遍存在的，并能理解不等式的基本性质。

在此基础上，我们要让学生通过几何图形中比较直观的不等关系抽象出基本不等式，并探讨该不等式的证明。

由于学生尚未形成不等式证明的一般思路，因此在证明基本不等式以及用基本不等式证明其它不等式的时候都存在一些困难。

实际上，不等式的证明就是用一个已知的不等关系去得到一个新的不等关系。

关键在于，我们如何运用不等式的性质将要证的不等关系转化为已知的不等关系。

1、教学目标1.1 使学生了解基本不等式的几何背景，通过对赵爽“弦图”和国际数学家大会的介绍，激 发学生的民族自豪感以及学习数学的兴趣；能够从代数角度证明基本不等式。

1.2 能够运用类比的方法，从几何中的不等关系得出与基本不等式相近的几个不等式，并探讨其代数证明。

1.3 初步了解证明不等式的常用方法，并运用这些方法结合基本不等式证明一些简单的不等式；在此过程中，使学生分析问题的能力和逻辑思维能力得到进一步的提高。

2、教学重、难点重点：了解基本不等式的几何背景，理解基本不等式的内容并作简单应用。

难点：基本不等式的证明。

教学设计一、介绍背景，创设情景（开头语）通过前面几节课的学习，我们已经理解了不等式的概念及性质，并掌握了一元二次不等式和二元一次不等式组这两类特殊的不等关系。

今天这节课，我们将学习一个新的不等关系。

请大家一起看下面的一段资料。

（幻灯片展示，同时教师朗读如下内容）国际数学家大会由国际数学联盟（IMU ）主办，每四年举行一次，该会设立菲尔茨奖，用以奖励取得杰出成就的40岁以下的数学家。

基本不等式高考要求掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

三维目标1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重点教学难点及 解决措施重点：从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、 创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。

在此基础上，引导学生认识基本不等式。

同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示， 让学生更直观的抽象、归纳出以下结论： 二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。

你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？ 【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。

三、理解升华：1、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2学习目标：1．理解并掌握基本不等式及变形应用．2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．学习重难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化．(难点)学习过程：知识梳理1．一个常用的基本不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．基本不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用基本不等式求最值的法则基本不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．例如：求函数f (x )＝sin 2x ＋5sin 2x，x ∈(0，π)的最小值． 解：令t ＝sin 2x ，x ∈(0，π)，g (t )＝t ＋5t. t ∈(0,1]，易知g (t )在(0,1]上为单调递减函数，所以当t ＝1时，g (t )min ＝6.即sin x ＝1，x ＝π2时，f (x )min ＝6. 例题讲解：一、利用基本不等式求最值方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． 例1：求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立⇔a>[f(x)]max，a<f(x)恒成立⇔a<[f(x)]min.例2：已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是() A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)三、利用基本不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a>2，求证：log a(a－1)·log a(a＋1)<1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．求f(x)＝2＋log2x＋5log2x(0<x<1)的最值．2．已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．3．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．4．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案例题讲解：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t ＝24. 当且仅当2t ＝1t， 即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ， 而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：证明：因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1. 所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1.例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．解：∵0<x <1，∴(－log 2 x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0. ∴(－log 2 x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2(－log 2 x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2 x ＋5log 2 x≤2－2 5.当且仅当log 2 x ＝5log 2 x时，即x ＝2 ∴f (x )max ＝2－2 5.2．解：∵m 2＋n 2＝a ，∴设,m n αα== (α∈[0,2π))，∵x 2＋y 2＝b ，∴设,x y ββ==(β∈[0,2π))∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．3．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 4．解：方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1.∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3，b ＝3时，取“＝”．方法二 利用基本不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有()121220,30,340.x x ab x x ab ab ab ⎧⋅=>⎪+=->⎨⎪∆=--≥⎩其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1. ∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a＝b＝3时取“＝”．。

第一课时 3.4基本不等式（一）2a b +≤教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点的证明2a b +≤过程；教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵教学过程：一、复习准备：1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。

2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课：1. 教学：基本不等式2a b+≤①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为。

由22a b +于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

222a b ab +≥当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有。

（教师提问学生思考师生总结）222a b ab +=→→②思考：证明一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得，a b +≥(a>0,b>0)2a b +≤：2a b +≤用分析法证明：要证 (1)， 只要证 a+b (2)， 要证（2），只要证 2a b +≥≥a+b- 0（3）要证（3）， 只要证（ - ）（4）， 显然，（4）是成立的。

≥2当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）y x x y +≥８x 3y 3.⑥探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把看作是正数a 、b 的等差中项，2b a +看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于ab 它们的等比中项.）2. 小结：①两正数a 、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。

《基本不等式》教学设计浑源中学数学组刘娟利一、[教材依据]人教A版必修5 第三章不等式基本不等式（1）二、[设计思想]“基本不等式”是必修5第3章第四节的重点内容，在课本封面上就体现出来了它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究,在今后不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用因此在知识体系中起了承上启下的作用同时本节知识又渗透了数形结合、转化化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

教学中采用问题引领的模式，让学生先阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流，再师生互动，精讲点拨。

教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

三、[教学目标]（1）知识与技能：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力（2）过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明、应用等过程，培养观察、分析、归纳、总结的能力（3）情感态度与价值观：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质四、 [教学重点、难点]重点:应用数形结合的思想理解基本不等式，并从多角度探索基本不等式的证明过程及应用难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值五、 [教学方法]本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。

以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

六、 [教学过程]教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。

这种安排注重过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：（1）创设情景，提出问题；设计意图:从实际问题出发，激发学生学习兴趣，从而在感性上认识不等式。