广东省佛山市第一中学高三数学上学期第一次月考试题文

广东省佛山市第一中学2019届高三上学期第一次月考考试理数试题本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。

满分为150分，考试时间为120分钟。

考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。

考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知全集U = R ，集合{1,2,3,4,5}A =，{∈=x B R │x ≥}3，下图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{1,2,3} （D ）{0,1,2}【答案】B考点：集合的运算，文氏图．（2）若复数z 满足()12i z i +=-，则z =（A ）12（B 10 （C ）2 （D 2 【答案】B【解析】 试题分析：由题意21i z i -=+，则222222(1)2101111i i z i i -+--====+++．故选B ． UBA考点：复数的运算，复数的模．（3）下列四个命题：111 :(0,),23x xp x⎛⎫⎛⎫∃∈+∞<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21123:(0,1),log logp x x x∃∈>；3121:(0,),log2xp x x⎛⎫∀∈+∞>⎪⎝⎭；41311:(0,),log32xp x x⎛⎫∀∈<⎪⎝⎭.其中的真命题是（A）13,p p（B）14,p p（C）24,p p（D）23,p p【答案】C假，故只有C可选．考点：命题的真假判断，指数函数、对数函数的性质．（4）函数22xy x-=的图象大致是(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】试题分析：当1x<-时，22x x<，即220x x-<，排除C、D，当3x=时，322310y=-=-<，排除B，故选A．考点：函数的图象．【名师点睛】由函数解析式选择函数的图象，可以通过研究函数的性质，如单调性，奇偶性，对称性，函数的特殊值，图象的特殊点（如与坐标轴的交点，图象的极值点，顶点等），函数值的正负，函数值变化趋势等，对选择题可通过研究性质采取排除法选择正确结论．。

广东省佛山市高明一中2019届高三第一学期第一次月考数学（文）试卷注意事项：1、不准使用计算器；2、所有试题答案必须写在答题卡上，否则一律不计分；3、必须用黑色或蓝色的水笔或圆珠笔作答，不准用铅笔作答；4、要求格式工整、规范，不准随意涂画。

5、全卷满分为150分，答题时间为2小时。

一、选择题（共10个小题，每小题5分，满分50分；下列各小题的四个答案中只有一个是正确的，请把唯一正确答案的代号填在答题卡的相应表格中） 1．已知i 为虚数单位，则()()133i i +-=A ．0B ．3C ．6iD ．6 2.已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ，函数1y x=的定义域为N ，则M N = A. {}10x x x <≠且 B. {}10x x x ≤≠且 C. {}1x x > D. {}1x x ≤3．首项为1，公比为2的等比数列的前10项和10S =A ．1022B ．1023C ．1024D ．1025 4．已知向量(),1a x =，()3,6b =，a b ⊥ ，则实数x 的值为A ．2-B ．21-C ．2D ．125．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则(2)f -=A ．14 B ．4- C ．41- D ．4 6．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是A ．4B ．3C ．2D ．17．要得到函数sin(21)y x =+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象A ． 向左平移1个单位B ． 向右平移1个单位C ． 向左平移12个单位 D ． 向右平移12个单位 8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是A ．16 B ．13 C ．12 D9. 已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补．记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A. 必要而不充分的条件B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件二、填空题（满分20分；把答案填在答题卡中相应的空格中）11.在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，若00105,45,A B b ∠=∠==则c =***************.12.右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果 是***************.13．曲线x y e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为***************.★（请考生在以下两个小题中任选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是***************. 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则DAC ∠=***************.主视图侧视图俯视图三、解答题（本大题共6小题,满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. (本小题满分12分)已知函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是2π，其中0ω>． （Ⅰ）求()0f 、ω； （Ⅱ）若24()42413f απ-=，α是第二象限的角，求sin 2α． 17．（本小题满分14分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （I ）两数之和为5的概率；（II ）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y 在区域Ω：0020x y x y >⎧⎪>⎨⎪-->⎩内的概率． 18．（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥=（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.（III ）设平面PBC 和平面PAD 的交线为直线l ，试判定直线l 与平面ABCD 的位置关系，并证明你的结论。

2021-2022学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8小题每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]2．（5分）若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|3．（5分）已知向量，满足||＝1，＝（﹣1，），且⊥（﹣），则与（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（5分）函数f（x）＝2的图象如图所示，则（）A．a＞0，0＜b＜1B．a＞0，﹣1＜b＜0C．a＜0，﹣1＜b＜0D．a＜0，0＜b＜1 5．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.66．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．（5分）若点M（sin，cos）在角α的终边上，则cos2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）形如y＝（c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1），则当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝log a|x|的图象交点个数为（）个．A．1B．2C．4D．6二、多项选择题（本大题共4小题每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）．9．（5分）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形10．（5分）下列说法正确的是（）A．x＞0时，≤B．a＞0，b＞0，且a+b＞4，则a2+b2≥8C．函数y＝x+的值域为[2，+∞）D．函数y＝的最小值是211．（5分）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，转盘直径为120米，设置若干个座舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t ＝15时，正确的为（）A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝﹣60cos（t）+68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30D．ヨt1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）存在两个不同的零点B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）．13．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增（﹣2）＝3．则满足f（2x﹣3）＜3的x的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示（x）图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC、DE与x轴垂直，则f（x）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈（0，，则实数a所有取值为．16．（5分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德费马（1601﹣1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°的点P即为费马点．已知点P为△ABC的费马点，且AC⊥BC，则实数λ的最小值为．四．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积S＝b2，求的值．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，M，N分别是线段AD，BD的中点，AB＝BD＝，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的正弦值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若a＝3，求△ABC周长L的取值范围．20．（12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本（x）＝+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）＝（单位：件），问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝l（a＞b＞0），离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP 斜率之和为定值．22．（12分）函数，f'（x）是f（x）（1）若m＝1，x∈R，求函数g（x）（x）+f（﹣x）的最小值．（2）对∀x∈（e，+∞），且m＞1，证明：2021-2022学年广东省佛山一中高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]【解答】解：由A中的不等式变形得：2x＞1＝80，得到x＞0，∴A＝（3，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]，∵B＝[﹣1，2]，∴（∁U A）∩B＝[﹣1，0]．故选：C．2．（5分）若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则ln（a﹣b）＝ln6＝0，排除A；，排除B；a3＝33＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；|a|＝8＜|﹣1|＝1＝b，排除D．故选：C．3．（5分）已知向量，满足||＝1，＝（﹣1，），且⊥（﹣），则与（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：向量，满足|，＝（﹣1，），且﹣），∴＝＝1﹣1•8cos＜，∴cos＜＞＝，∴与的夹角为60°．故选：B．4．（5分）函数f（x）＝2的图象如图所示，则（）A．a＞0，0＜b＜1B．a＞0，﹣1＜b＜0C．a＜0，﹣1＜b＜0D．a＜0，0＜b＜1【解答】解：由图可知，，故，故a＜0；又函数关于x＝b对称，由图象可知．故选：D．5．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.4，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣2.1＝＝＝≈0.5，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．故选：C．6．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝＞21＝5，b＝＜，∴a＞b，∵163＞55，∴＞，∴＞，∴b＞c，∴a＞b＞c，故选：A．7．（5分）若点M（sin，cos）在角α的终边上，则cos2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵点M（sin，cos，）在角α的终边上，∴r＝|OM|＝4，∴sinα＝．∴cos7α＝．故选：B．8．（5分）形如y＝（c＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数（a＞0，a≠1），则当c＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝log a|x|的图象交点个数为（）个．A．1B．2C．4D．6【解答】解：由题意y＝（c＞0，此函数是偶函数，当c＝b＝1时，则y＝，如图绿色的曲线，∵（a＞0，又∵x2+x+2＞0∴a＞1，再画出函数y＝log a|x|的图象（黑色的曲线），当c＝7，b＝1时的“囧函数”与函数y＝log a|x|的图象交点个数为4个．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）．9．（5分）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形【解答】解：因为三角形中，A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin（π﹣B﹣C）＝sin（B+C），所以A正确；cos A＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C），所以B不正确；在△ABC中，若A＞B，即有2R sin A＞2R sin B，所以C正确；sin8A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，三角形为等腰三角形或直角三角形；故选：AC．10．（5分）下列说法正确的是（）A．x＞0时，≤B．a＞0，b＞0，且a+b＞4，则a2+b2≥8C．函数y＝x+的值域为[2，+∞）D．函数y＝的最小值是2【解答】解：当x＞0时，，当且仅当x＝，即x＝，A成立，∵a＞0，b＞0，又∵，则a2+b2≥＞8，函数y＝x+的值域为（﹣∞，+∞），函数y＝≥7，当且仅当时等号成立，但，所以D不成立，故选：AB．11．（5分）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，转盘直径为120米，设置若干个座舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t ＝15时，正确的为（）A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝﹣60cos（t）+68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30D．ヨt1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【解答】解：对于A，最高点离地面高度128米，所以摩天轮离地面最近的距离为128﹣120＝8（米），选项A错误；对于B，以轴心Q为原点，建立直角坐标系，设t＝0分钟时，游客位于点P（3，以OP为终边的角为﹣，t＝15分钟时，旋转角度为π，角速度为ω＝＝，在转动一周的过程中，高度h关于时间t的函数解析式是：h＝60sin（ωt﹣）+68＝﹣60cos（，选项B正确；对于C，在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等2＜30，t2＜30时恒成立，t1+t2的最小值是30，选项C正确；对于D，h＝﹣60cos（，令0≤，令π≤，则h（t）在t∈[0，15]上单调递增，20]上单调递减，当t＝8时，h＝8，h max＝128，当t＝20时，故h＝90在[0，20]只有一个解．故选：BC．12．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）存在两个不同的零点B．函数f（x）既存在极大值又存在极小值C．当﹣e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根D．若x∈[t，+∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2【解答】解：，令f′（x）＝7，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜5，﹣1），+∞）上单调递减，f′（x）＞0，7）上单调递增，且函数f（x）有极小值f（﹣1）＝﹣e，有极大值，f（x）→+∞，f（x）→0，故作函数草图如下，由图可知，选项ABC正确．故选：ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）．13．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增（﹣2）＝3．则满足f（2x﹣3）＜3的x的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，f（﹣2）＝f（2）＝3，又由f（x）在[7，+∞）上单调递增，则f（2x﹣3）＜8⇒f（|2x﹣3|）＜f（2）⇒|5x﹣3|＜2，解可得＜x＜．故答案为：（，）．14．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示（x）图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC、DE与x轴垂直，则f（x）＝2sin（x+）．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣）的部分图象，可得A＝2，，可得，∴，，有，又由，得，故有．故答案为：8sin（x+）．15．（5分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈（0，，则实数a所有取值为（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，当x∈（0，，f（x）的最小值为a，即&nbsp;恒成立，即a（1﹣cos x）≤sin x，当&nbsp;x∈（8，，a≤＝＝，又∵x∈（0，]时的最大值是，∴&nbsp;的最小值是3，∴实数a所有取值组成的集合为（﹣∞，5]．故答案为：（﹣∞，3]．16．（5分）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔•德费马（1601﹣1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，则使得∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°的点P即为费马点．已知点P为△ABC的费马点，且AC⊥BC，则实数λ的最小值为2+2．【解答】解：设|P A|＝m|PC|，|PB|＝n|PC|，其中m＞0，x＞0，由余弦定理可得|AC|3＝x2+m2x7﹣2mx2cos120°＝（m2+m+1）x2，|BC|3＝x2+n2x3﹣2nx2cos120°＝（n5+n+1）x2，|AB|5＝m2x2+n8x2﹣2mnx7cos120°，因为|AB|2＝|CA|2+|CB|7，所以（m2+n2+mn）x3＝（m2+m+1）x4+（n2+n+1）x8，即m+n+2＝mn，因为m＞0，n＞5，即m+n+7≤，当且仅当m＝n＝2+时．因为|P A|+|PB|＝λ|PC|，所以m+n＝λ，所以λ+2≤，解得λ≥2+6（舍去），当且仅当m＝n＝8+时，取得等号．所以λ的最小值为2+6．故答案为：2+3．四．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c a cos B＝b sin A．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积S＝b2，求的值．【解答】解：（1）∵a cos B＝b sin A．∴由正弦定理可得：sin A cos B＝sin B sin A．∵A∈（8，π），∴解得：cos B＝sin B，∵B∈（2，π），∴B＝．（2）∵B＝，△ABC的面积S＝b2＝ac sin B＝，∴b7＝ac，又∵由余弦定理可得：b2＝a2+c7﹣2ac cos B＝a2+c3﹣ac，可得：2ac＝a2+c5，∴（）2﹣2×+2＝0＝1．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，M，N分别是线段AD，BD的中点，AB＝BD＝，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点BD＝．∵M、N分别是AD，∴MN∥AB AB＝，又MC＝2，∴MN2+NC2＝MC3，即MN⊥NC．∵AB⊥BD，MN∥AB，∵BD∩NC＝N，BD，∴MN⊥平面BCD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．（2）解：由（1）知，MN⊥平面BCD，∴AB⊥BC．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，∴BC＝BN＝CN＝，CD＝．以B为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，6，0），），A（6，，C（，0，N（，0，），，），∴＝（，，），，3，），＝（4，．设平面MNC的法向量＝（x，y，则，即，令x＝，则y＝0，∴＝（，0，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝|＝，∵θ∈[0，]，∴cosθ＝＝．故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，请指出这三个条件，并说明理由；（2）若a＝3，求△ABC周长L的取值范围．【解答】解：因为，所以sin A cos B+sin A cos C＝sin B cos A+sin C cos A，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C cos A﹣sin A cos C，所以sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），因为A，B，C∈（0，所以A﹣B＝C﹣A即2A＝B+C，故A＝，（1）△ABC同时满足①③④，理由如下：若△ABC同时满足①②，由正弦定理可得＝＞1；若△ABC同时满足③④，故S△ABC＝＝＝10，故b＝5与②矛盾，故只能是①③④，（2）△ABC中，由正弦定理可得，，所以b＝2sin B sin C＝2），所以L＝a+b+c＝2[sin B+sin（，＝2（）+3，＝3sin（B+）+3，∵，∴，sin（B+），∴求△ABC周长L的取值范围（6，5]20．（12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本（x）＝+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）＝（单位：件），问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时【解答】解：（1）由总成本，可得：每台机器人的平均成本，当且仅当，即x＝300时，∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当6≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）＝﹣160m2+9600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000；当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144000，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120﹣30＝90（人）．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝l（a＞b＞0），离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP斜率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+＝l&nbsp;，焦点在x轴上，c＝1，椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2﹣c2＝6，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y5），Q（x2，y2），A（，由题意PQ的方程：y＝k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x8﹣（4k6+4k）x+4k2+8k+6＝0，由韦达定理可知：x1+x3＝，x8x2＝，则y2+y2＝k（x1+x6）﹣2k﹣3＝，则k AP+k AQ＝+＝，由y1x2+y5x1＝[k（x1﹣）﹣2+[k（x2﹣）﹣7＝2kx1x3﹣（k+2+x2）＝﹣，k AP+k AQ＝＝＝6，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．22．（12分）函数，f'（x）是f（x）（1）若m＝1，x∈R，求函数g（x）（x）+f（﹣x）的最小值．（2）对∀x∈（e，+∞），且m＞1，证明：【解答】解：（1）证明：，当m＝1时x﹣x，令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝e x+e﹣x﹣x3，则g'（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，g''（x）＝e x+e﹣x﹣2≥6，所以g'（x）在[0，+∞）单调递增，所以g'（x）≥g'（0）＝0，g（x）在[4．所以x∈[0，+∞）时，因为g（﹣x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，即x∈R时，g（x）≥2．（2）⇔（mx）6﹣6mx+2（e mx﹣x）≥（lnx﹣4）⋅lnx⇔（mx）2﹣6mx+6e mx≥（lnx）2﹣6lnx+5x⇔（mx）2﹣6mx+5e mx≥（lnx）2﹣6lnx+3e lnx①，令h（x）＝x2﹣6x+5e x，则①式等价于h（mx）≥h（lnx），h'（x）＝2x﹣6+7e x＝2（x﹣3+e x），当x＞2时，h'（x）＝2（x﹣3+e x）＞6（1﹣3+e）＞5，又因为m＞1，x∈（e，所以mx＞1，所以，令，则，所以ϕ（x）在x∈（e，+∞）上单调递减，所以，故．综上所述，对∀x∈（e，且m＞1，恒成立．。

佛山一中2020届高三年级十月考试题数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角的顶点与原点O 重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点()()P 20a a a ≠，，则tan 2θ4π⎛⎫+⎪⎝⎭= A.B ．17-C ．17D ．2.已知命题p ：22x y <，命题q ：22log log x y <，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3已知ABC ∆，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足()sin ()(sin sin )b a A b c B C -=-+,则角C 等于（ ）A.3π B.6π C.4πD.23π4. 若αβ,为锐角，且2cos 63sin ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．αβ3π+=B ．αβ6π+=C ．αβ3π-=D ．αβ6π-=5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ，B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．3C ．43D ．4336.函数()21f x x lnx =+-的值域为A.B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31 222ln ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，D.31222ln ∞⎛⎤-+⎥⎝⎦， 7.将()22221f x sin x cos x =-+的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的 图像，则下列关于函数的说法错误的是A ．函数的最小正周期是B ．函数的一条对称轴是8x π=C.函数的一个零点是38πD ．函数在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 8.函数()()()23ln 442x x f x x -+=-的图象可能是A ．B ． C.D ．9.已知对任意不等式2ax e x >恒成立(其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是A ．2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，B ．1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，C ．1,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．24e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，10.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈- 时，2()f x x =，若在区间 []1,3-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有 4 个零点，则实数a的取值范围是 A ．B ．C.D ．11.已知f ()()x x xe x R -=∈，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则与2的关系为A. B. C.D.大小不确定12.已知函数()ln ,()(a )2f x x g x e x b ==-+，若不等式()()f x g x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2ba的最小值是 A ．12e -B ．1e- C. e - D ．e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知曲线与的图象所围成的阴影部分面积为_________.14.已知定义在R 上的函数满足，当时，，则____________.15.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是，且成等差数列，则角B 的取值范围是___________.16.关于()3sin(2)4f x x π=+有以下命题：①若12()()f x f x =，则12()x x k k Z π-=∈。

佛山一中2019-2020学年上学期高三期中考试试题数学（文科）本试题卷共4页，23题。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 ，则A.B.C.D.2. 若复数 是纯虚数，其中m 是实数，则z1( )． A.B. iC. 2iD.3. 已知 , 表示两个不同的平面,m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知, 则( )A.B.C.D.5. 已知函数 ，则其在区间 上的大致图象是( )A. B. C. D.6. 曲线 上的点到直线 的距离最大值为a ，最小值为b ，则 的值是A. B. 2 C.D.7. 已知等差数列 的前n 项和为 ， ,则19S 的值为 A. 38B. C. D. 198. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．8πD ．17π9. 已知定义在 上的函数m x x f +=2)(，x x x g 4ln 6)(-=，设两曲线 与)(x g y =在公共点处的切线相同，则m 值等于( )A. 5B. 3C.D.10. 若函数bx x bx x f 2)21(31)(23++-=在区间[]1,3-上不是单调函数，则函数 在R 上的极小值为A. 342-bB. 3223-bC. 0D. 3261b b -11. 如图所示,在棱长为a 的正方体 中， E 是棱 的中点，F 是侧面 上的动点， 且BE A F B 11//面, 则F 在侧面 上的轨迹的长度是( )A. aB. 2aC. a 2D.22a 12. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为1F ,2F ，P 是椭圆上一点, 且321π=∠PF F , 若的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，当 时，椭圆的离心率为( )A.54B.32 C.21 D. 51第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线 ： 和 ： ，若21//l l ，则=a . 14. 已知函数x x x f -=ln )(， 若01)(≤+-m x f 恒成立，则m 的取值范围为______ ．15. 设等比数列 满足 ， ，则n a a a 21的最大值为______． 16. 已知函数)0(21)6sin()(>++=ωπωx x f ，点P ，Q ，R 是直线)0(>=m m y 与函数 的图象自左至右的某三个相邻交点，且322π==QR PQ ，则=+m ω______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） （一）必考题：60分.17. （本小题满分12分）已知 为数列 的前n 项和，且 是非零常数 ．（1）求{}n a 的通项公式（答案含λ）；（2）设 ，当 时，求数列 的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分）如图，在 中，点P 在BC 边上， ， ， ． Ⅰ 求 ；Ⅱ 若 的面积是，求 ．19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，且 BAP ＝ CDP ＝90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若 ，且四棱锥的侧面积为 ，求该四棱锥P ﹣ABCD 的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1F ,2F , 离心率为21, 过 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且 的周长为8． 求椭圆C 的方程；若直线AB 与椭圆C 分别交于A ,B 两点，且 ，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数)0(ln )(>+=a xax x f ． Ⅰ 若函数 有零点,求实数a 的取值范围； Ⅱ 证明：当e a 2≥，1>b 时，bb f 1)(ln >．（二）选考题：共10分。

2014级高三上学期第一次月考数学(理科)试题本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。

满分为150分，考试时间为120分钟。

考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。

考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知全集U = R ，集合{1,2,3,4,5}A =，{∈=x B R│x ≥}3，下图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{1,2,3} （D ）{0,1,2} （2）若复数z 满足()12i z i +=-，则z =（A ）12 （B ）102 （C ）2 （D ）22（3）下列四个命题：111:(0,),23x xp x ⎛⎫⎛⎫∃∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21123:(0,1),log log p x x x ∃∈>；3121:(0,),log 2xp x x ⎛⎫∀∈+∞> ⎪⎝⎭； 41311:(0,),log 32xp x x ⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭.其中的真命题是（A ）13,p p （B ）14,p p （C ）24,p p （D ）23,p p （4） 函数22x y x -=的图象大致是(A) (B) (C) (D)UBA（5）已知实数,x y 满足条件34y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，且2z x y =-+则z 的最小值是（ ）（A ）5 （B ）2- （C ）2 （D ）5-（6）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（A ）1008 （B ）1008- （C ）1007 （D ）1007- (7)已知点P 在曲线y=41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ (C)3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ（8）已知函数()|lg |f x x =．若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是(A)(22)+∞， (B)[22)+∞， (C)(3)+∞，(D)[3)+∞， （9）已知O 为坐标原点，双曲线2221x y a-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1， 则双曲线的离心率为（A ）52 （B ）3 （C ）2 （D ）233（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（11）四面体ABCD 的四个顶点都在某个球O 的表面上，BCD ∆是边长为33的等边三角形，当A 在球O 表面上运动时，四面体ABCD 所，则四面体OBCD 的体积为（A ）8 （B ）4（C ） （D ）2（12）已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（A ）(-∞ （B ）( （C ）( （D ）(-∞第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

广东省佛山一中2019届高三上学期第一次段考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共50分） 1．下列图象中，不可能是函数图象的是()2.已知全集U =R ，集合{}3|1,|12M x x N x x ⎧⎫=≥=≥-⎨⎬-⎩⎭，则()U M N =ð（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(1,2]-D.[1,2)-3. 若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z =3x +2y 的最小值是( )A ．0B ．1C ．3D ．94. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的 体积是 ( ) A ．3 B ．52C ．2D ．325．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．12-C ．1或12-D ．－1或12-7. 已知()(),1,1,1a m b n ==-（其中,m n 为正数）,若0=a b ,则11m n+的最小值是（ ）A.2B. C.4D.88．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2 f (n ) (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n项和，则S n 的最小值是 ( ). A ． B ．0C ．D ．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误．．的是 ( ) A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等10．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为 （ ）A ．4-B ．3-C ．4-+D ．32-+二、填空题（每小题5分，共20分）11．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是__________．12．不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______．13．如图所示，△A ′O ′B ′ 表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′ 在x ′ 轴上，A ′O ′ 和x ′ 轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为14．在扇形AOB 中，90AOB ∠=°，弧AB 的长为l ，则此扇形内切圆的面积为 ．三、解答题（共80分）15．(本题满分12分)已知集合23711,0,2164A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==--∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x |x 2m ≤0}，“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．16．(本题满分12分)各项均为正数的数列{}n a ，满足11a =，2212n n a a +-= （*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2211n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（1）求证：NC ∥平面MFD ；（2）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （3）求四面体NFEC 体积的最大值．AB C D EF18. （本小题满分14分）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不能超过20米。

广东省佛山市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文本试题卷共4页， 22题. 全卷满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.已知复数是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于( )A.B. 2C.D.2.已知全集U =R ，集合A ={x ||x -1|＜1}，B ={x |≥1}，则A ∩∁U B =（ ）A.B.C.D.3. 已知各项都为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 7＝256，S 4﹣S 2＝12，则S 6＝（ ） A ．31B ．32C ．63D ．644. 等差数列{a n }中，a 1＝2021，a 2021＝a 202X ﹣16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时n 的值为（ ） A ．504 B ．505C ．506D ．5075.已知函数1ln 1)(--=x x x f ，则y =f （x ）的图象大致为（ ）A. B. C. D.6.已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当]0,(-∞∈x 时，0)()('<+x xf x f 成立，若a =（20.6）•f （20.6），b =（ln2）•f （ln2），c =（）•f （），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.B.C.D.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 32B. 31C. 34D. 38 8.)2,0(,33)3sin(πααπ∈=-,则=-)62cos(πα（ ）A.934 B. 934- C.322- D.322 9.将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的32，得到函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x g 的图象，已知函数)(x g 的部分图象如图所示，则函数)(x f （ ） A ．.最小正周期为32π，最大值为2B ．.最小正周期为π，图象关于点)0,6(π中心对称C ．最小正周期为32π，图象关于直线6π=x 对称 D ．最小正周期为π，在区间]3,6[ππ单调递减10.若)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π上的值域为]1,21[-，则ω的最小值为（ ） A.32 B.43 C.34 D.23 11.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()3(x f x f -=-，对]3,0[,21∈∀x x 且21x x ≠，都有0)()(2121>--x x x f x f ，则有（ ）A.)81()64()49(f f f <<B. )64()81()49(f f f <<C.)81()49()64(f f f <<D.)49()81()64(f f f <<12.设函数若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为A.B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列{}n a 满足：,26,7753=+=a a a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-112n a 的前n 项和为 . 14.)32cos(21sin )(2π-+=x x x f 在]4,3[ππ-上的单调增区间为 . 15.已知曲线C 1：xe y =与曲线C 2：2)(a x y +=．若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为______．16. 已知数列{}n a ，21=a ，S n为数列{}n a 的前n 项的和，且对任意n ≥2，都有122=-nn n nS S a a ，则{}n a 的通项公式为 ．三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题12分，第22题10分，共70分） 17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知BA ca Cb a sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若b ＝3，cos A ＝，求△ABC 的面积18 ．已知函数π()sin()3f x A x ϕ=+，x ∈R ，0A >，π02ϕ<<.()y f x =的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，2π3PRQ ∠=，求A 的值.19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且)1(1++=+n n na S n n ．等比数列{b n }中，b 1＝a 2，b 2＝a 5，b 3＝a 6．（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足)(,23*N n n S a n n ∈+=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记)12(log )1(3+⋅-=n nn a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .21. 设函数x a e x f x ln )(1-=-，其中e 为自然对数的底数． （1）若a =1，求f （x ）的单调区间； （2）若e a ≤≤0，求证：f （x ）无零点．21.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．佛山一中2021届高三10月份月考答案文科数学CCCB ABAD DAAA13.)1(4+n n 14.]4,6[ππ- 15.2-ln4 16.2,)1(21,2≥⎪⎩⎪⎨⎧--==n n n n a n5.【答案】A 解：令g （x ）=x -ln x -1，则x >0, 因为，由g '（x ）＞0，得x ＞1，即函数g （x ）在（1，+∞）上单调递增， 由g '（x ）＜0，得0＜x ＜1，即函数g （x ）在（0，1）上单调递减， 所以当x =1时，函数g （x ）有最小值，g （x ）min =g （1）=0， 于是对任意的x ∈（0，1）∪（1，+∞），有g （x ）>0， 则f (x )>0,故排除B 、D ，因函数g （x ）在（0，1）上单调递减，则函数f （x ）在（0，1）上递增，故排除C ，故选A ．6.【答案】B 解： 根据题意，令，因为对成立， 所以，因此函数为R 上奇函数. 又因为当时，，所以函数在（-∞，0]上为减函数， 又因为函数为奇函数，所以函数在R 上为减函数， 因为，所以，即.故选B ．7.【答案】A 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P -ABC （如图），过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上，且BD ⊥AD ，AC =CD =1，BD =2，PD =2， ∴该几何体的体积V ==．故选A ．9.【答案】D 解：根据函数的图象得到：A ＝2，T ＝，所以ω＝．当x ＝时，φ）＝0，所以φ＝k π，由于，故φ＝﹣，则，将所得函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，所以，再将函数f （x ）的图象向左平移个单位长度，得到f （x ）＝2sin （2x +），所以函数的最小正周期为π，故排除A 和C ，对于选项B ，当x ＝时，f （）＝0，但是对称中心不止一个，故B 不正确．对于选项D ，令（k ∈Z ），得（k ∈Z ），当k ＝0时单调递减区间为[]，由于[]，故选项D 正确．10.【答案】A解：根据题意，函数f （x ）满足f （x -3）=-f （x ），所以f （x -6）=-f （x -3）=f （x ）， 则函数f （x ）是周期为6的函数，所以f （49）=f （1+6×8）=f （1）， f （81）=f （-3+6×14）=f （-3），f （64）=f （-2+6×11）=f （-2），又由函数为偶函数，得f （81）=f （-3）=f （3），f （64）=f （-2）=f （2）， 因为对∀x 1，x 2∈[0，3]且x 1≠x 2，都有＞0，则函数f （x ）在区间[0，3]上为增函数，进而有f （1）＜f （2）＜f （3），即f （49）＜f （64）＜f （81），故选：A . 11.【答案】A 666,0πωππωππ-≤-≤-∴≤≤x x ，)(x f 值域为]1,21[-，21)6sin()0(-=-=πf Z k k k ∈+≤-≤+∴,672622πππωπππ，整理得Z k k k ∈+≤≤+,342322ω，又0>ω，ω∴的最小值为32，故选A 。

佛山一中2020届高三9月份月考试题数学（文科）本试题卷共4页，22题. 全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数a 等于 A. -2 B. 2C.12D. -1【答案】C2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.2.已知全集U R =，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=ð（ ） A. {}12x x << B. {}12x x <≤ C. {}12x x ≤< D. {}14x x ≤<【答案】C 【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得U B ð，及U A B ⋂ð。

【详解】由题意得{}{}{}|1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<，{}25410|1411x x B x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭或，∴{}14U B x x =≤<ð，∴(){}12U A B x x ⋂=≤<ð．故选C ．【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。

3.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37256a a =，4212S S -=，则6S =（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】C 【分析】由等比数列的性质，求得516a =，再由3412a a +=，求得公比2q =，最后利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，在等比数列{}n a 中，因为37256a a =，得2375256a a a ==，解得516a =，又由42S S 12-=，得3412a a +=. 设等比数列{}n a 的公比为q （0q >）， 则553422161612a a a a q q q q +=+=+=，解得23q =-（舍去）或2q =， 所以51441612a q a ===.所以()661126312S ⨯-==-. 故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和性质的应用，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质，求得等比数列的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.等差数列{}n a 中，12019a =，2019201516a a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）A. 504B. 505C. 506D. 507【答案】B 【分析】先根据已知求得数列{}n a 的公差4d =-，再利用等差数列正负交界法求数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时n 的值.【详解】∵数列{}n a 为等差数列，2019201516a a =-，∴数列{}n a 的公差4d =-，∴()1120234n a a n d n =+-=-，令0n a ≥，得20234n ≤. 又*n N ∈，∴n S 取最大值时n 的值为505. 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和等差数列的通项的求法，考查等差数列前n 项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【分析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项.由于()10010020101f ee=>-，排除D 选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解+析式，判断函数的图象，属于基础题.6.已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c >> B. a c b >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】C 【分析】根据题意，构造函数h （x ）＝xf （x ），则a ＝h （20.6），b ＝h （ln 2），c ＝（218log ）•f （218log ）＝h （﹣3），分析可得h （x ）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h （x ）在（0，+∞）上为减函数，分析有218log ＜0＜ln 2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，令h （x ）＝xf （x ），h （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣h （x ），则h （x ）为奇函数；当x ∈（﹣∞，0）时，h ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＜0，则h （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又由函数h （x ）为奇函数，则h （x ）在（0，+∞）上为减函数， 所以h （x ）在R 上为减函数，a ＝（20.6）•f （20.6）＝h （20.6），b ＝（ln 2）•f （ln 2）＝h （ln 2），c ＝（218log ）•f （218log ）＝h （218log ）＝h （﹣3）， 因为218log ＜0＜ln 2＜1＜20.6，则有c b a >>； 故选：C ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h （x ）＝xf （x ），并分析h （x ）的奇偶性与单调性．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.23B.13C.43D. 83【答案】A 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上，且BD ⊥AD ．由题中数据及锥体体积公式即可得出．【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥P ABC -（如图），过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上，且BD AD ⊥，1AC CD ==，2BD =，2PD =，∴该几何体的体积112122323V =⨯⨯⨯⨯=.故选A .【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.3sin ,0,332ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）【答案】D【分析】先由诱导公式得到2cos2263sinππαα⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并计算出cos3πα⎛⎫-⎪⎝⎭，再由二倍角公式计算223sinπα⎛⎫-⎪⎝⎭即可.【详解】由02πα∈（，），则363πππα-∈-（，），所以cos03πα⎛⎫->⎪⎝⎭,所以cos33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，又22cos2cos222sin62333sinπππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos3πα⎛⎫-⎪⎝⎭=2333⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了诱导公式的运用，考查了二倍角公式的应用，考查了角的配凑技巧，属于基础题.9.将函数()f x的图象向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数()()sin(0,0,)2g x A x Aπωϕωϕ=+>><的图象.已知函数()g x 的部分图象如图所示，则函数()f x（）A. 最小正周期为23π，最大值为2 B. 最小正周期π，图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C. 最小正周期为23π，图象关于直线6x π=对称 D. 最小正周期为π，在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减【答案】D 【分析】先根据函数的图像求出()2sin 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求出()2sin 2x 6f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.利用函数的最小正周期否定选项A,C,再求函数f(x)的对称中心否定选项B,再求函数f(x)的单调区间确定选项D 是真命题.【详解】由图可知，2A =，2249183T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴23T πω==. 又由229g π⎛⎫=⎪⎝⎭可得26k πϕπ=-+，k Z ∈，而2πϕ<，∴6πϕ=-. ∴()2sin 36g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()2sin 2x 6f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∴()f x 的最小正周期为π，选项A ，C 错误.对于选项B,令2x 6π+=kπ（k∈z）,所以x=2k π-12π，所以函数f(x)的对称中心为（2k π-012，π）（k∈z），所以选项B 是错误的；又当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数，所以选项D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数解+析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.若函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为（ ） A.23B.34C.43D.32【答案】A 【分析】要使()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，得到x 的范围要求，则6x πω-要在其范围内，然后得到ω的范围，找到最小值.【详解】0x Q π≤≤666x πππωωπ∴-≤-≤-而()f x 值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，发现()10sin 62f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5266πππωπ∴≤-≤， 整理得213ω≤≤， 则ω最小值为23，选A 项.【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合的数学思想，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A. (49)(64)(81)f f f <<B. (49)(81)(64)f f f <<C. (64)(49)(81)f f f <<D. (64)(81)(49)f f f << 【答案】A试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．12.设函数4310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，，,若关于x 的方程2()(2)()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A. (22)-B. 32]2，C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.2,)+∞【答案】B作出函数()431,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程()()()2230f x a f x -++=在(]1,2内有两个不同实数根，()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪∴⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得3232,2a <≤∴实数a 的取值范围是3232,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解+析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.则数列{}n a 的前n 项和为n S = ▲ ． 【答案】22n n + 略14.21()sin cos 223f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为________. 【答案】[,]64ππ-【分析】由题意利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简函数的解+析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【详解】211cos 21()sin cos(2)cos 2223244x f x x x x x π-=+-=++111112cos 2)sin(2)222262x x x π=-+=-+. ,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，52,663x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，当2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增， ()f x ∴的单调递增区间为,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查二倍角公式及两角差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．15.已知曲线1C ：xy e =与曲线2C ：2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为__________. 【答案】22ln 2-设交点为(,)tt e ，则切线斜率为222(),()(),4,2t t t tte e t a e t a e e =+=+∴==Q22ln 422ln 2a t ∴=-=-=-16.已知数列{}n a ，12a =，n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且对任意2n ≥，都有221nn n na a S S =-，则{}n a 的通项公式为_____． 【答案】2,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【分析】当n 2≥时，由n 2n n n n n 12a 1111a S S S S 2得-=-=-.所以n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，求出2n S n=，再利用项和公式求得{}n a 的通项公式. 【详解】当2n ≥时，由()()1221221n n nn n n n n n n S S a a S S S S S S ---=⇒--- ()111211112n n n nn n S S S S S S ----==⇒-=-. 又111112S a ==，∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列. ∴12n n S =，∴2n S n=，当2n ≥时，∴()122211n n n a S S n n n n -=-=-=---， 所以()2,12,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩. 故答案为：()2,12,21n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查n S 与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题12分，第22题10分，共70分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin a b a cC A B+-=-． Ⅰ.求：角B ； Ⅱ.若3b =，cos A =求：ABC ∆的面积． 【答案】I.3B π=；II.ABC S ∆=【分析】I.根据正弦定理化简边角关系式，构造出cos B 的形式，求得cos B ，从而得到B ；II.由同角三角函数关系求得sin A ，用正弦定理求得a ，再利用()sin sin C A B =+求得sin C ，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】I.由正弦定理可得：a b a cc a b+-=-，即222a b ac c -=- 整理可得：222a c b ac +-=则2221cos 22a cb B ac +-==()0,B π∈Q 3B π∴=II.由cos A =得：sin A =由正弦定理sin sin a b A B=可得：3sin 2sin b Aa B === 又()1sin sin sin cos cos sin 32326C A B A B A B =+=+=11sin 232262ABC S ab C ∆∴==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式应用、三角形面积公式的应用，熟练应用定理和公式进行边角关系式的化简和未知量的求解是解题的关键，属于常规题型.18.已知函数()sin()3f x A x πϕ=+，x∈R ，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （2）若点R 的坐标为(1,0)，，求A 的值.【答案】（1）6，6π；（2）3.【详解】(1)由题意得T ＝23ππ＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin 3x πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭的图象上， 所以sin 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1.因为0<φ<2π，所以φ＝6π.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A)．由题意可知3πx 0＋6π＝32π，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得 cos ∠PRQ ＝222222212229RP RQ PQ RP RQ A A⋅⋅＋－＋＋－（＋）＝＝－＋，解得A 2＝3.又A>0，所以A 319.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)n n S na n n +=++.等比数列{}n b 中，12b a =，25b a =，36b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 313n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭;(Ⅱ) 31135(5)3n n T n -⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）将n 换为n ﹣1，相减，由数列的递推式和等差数列的定义，以及等比数列的中项性质和通项公式，计算可得所求通项公式； （Ⅱ）求得c n ＝a n b n ＝（13﹣2n ）•（13）n ﹣3，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】（Ⅰ）1(1)n n S na n n +=++， 当2n ≥时，1(1)(1)n n S n a n n -=-+-，两式相减可得11(1)(1)(1)n n n n S S na n a n n n n -+=--++--- 可得1(1)2n n n a na n a n +=--+，即为12n n na na n +-=-，即为12n n a a +-=-， 当1n =时，1122a S a ==+，也满足上式， 则数列{}n a 为公差为2-的等差数列， 等比数列{}n b 中，12b a =，25b a =，36b a =.可得2213b b b =，即2526a a a =，即有()()()21118210a a a -=--，解得111a =，则112(1)132n a n n ==﹣﹣﹣； 由129b a ==，253b a ==，361b a ==，可得公比13q =， 即313n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）31(132)3n n n n c a b n -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，可得前n 项和213111119(132)333n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋯+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，121111119(132)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋯+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，相减可得21322111111(2)(132)33333n n n T n ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+-++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2113113992(132)1313n n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅--⋅ ⎪⎝⎭-， 化简可得31135(5)3n n T n -⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*32,()n n a S n n N =+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记3(1)log (21)nn n b a =-⋅+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1) *113,()22n n a n N =⋅-∈;(2)见解+析【分析】（1）将n 换为n ﹣1，相减，得：a n ＝3a n ﹣1+1，然后证明数列{12n a +}是以32为首项，3为公比的等比数列．求出通项公式．（2）通过递推关系式求出数列的通项公式，利用分组求和法分n 为奇偶求解数列的和即可． 【详解】（1）当1n =时，11321a a =+，11a ∴= 当2n ≥时，32n n a S n =+，11321n n a S n --=+-，两式相减得：13321n n n a a a --=+ 131n n a a -∴=+1113()22n n a a -∴+=+ 111113()33222n n n a a --∴+=+⋅=⋅11322n n a ∴=⋅-1n =时也符合上式，*113,()22n n a n N ∴=⋅-∈（2）3(1)log (21)n n n b a =-⋅+Q ，(1)nn b n ∴=-⋅∴当n 为偶数时，(12)(34)[(1)]12n n T n n =-++-++--+=⋅L 当n 为奇数时，11122n n n n n T T b n ----=+=-= 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查了数列求和，考查转化思想以及计算能力．21.设函数1()eln x f x a x -=-,其中e 为自然对数的底数．（1）若1a =,求()f x 的单调区间; （2）若0e a ≤≤,求证:()f x 无零点．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,1,单调递增区间为()1,+∞ ；（2）详见解+析. 【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间； （2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，从而证得结果.【详解】（1）若1a =,则()1e ln (0)xf x x x -=->,∴()1e 1'(0)x x f x x x--=>．令()1e1(0)x t x x x -=->,则()()1'1e (0)x t x x x -=+>,当0x >时,()'0t x >,即()t x 单调递增,又()10t =, ∴当()0,1x ∈时,()()()0,'0,t x f x f x <<单调递减, 当()1,x ∈+∞时,()()()0,'0,t x f x f x >>单调递增． ∴()f x 的单调递减区间为()0,1,单调递增区间为()1,+∞． （2）当0a =时,()1e 0xf x -=>，显然()f x 无零点．当0e a <≤时,(i)当01x <≤时,()1ln 0,ln 0,eln 0x x a x f x a x -≤≤=->，显然()f x 无零点．(ii)当1x >时，易证0ln 1x x <<-，∴()()ln 1e 1a x a x x <-≤-, ∴()()11e ln e e 1x x f x a x x --=->--． 令()()1ee 1x g x x -=--，则()1e e x g x -'=-，令()0g x '=，得2x =，当12x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>， 故min ()(2)0g x g ==，从而()0f x >，显然()f x 无零点.综上,()f x 无零点． 【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的值域证得函数没有零点，属于较难题目.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）minPQ =31(,)22P .试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题详细分析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．。

2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，每题只有一个正确选项，共40分）1．已知集合A ＝{x |ax ﹣1＝0}，B ＝{x ∈N *|2≤x ＜5}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是（ ） A ．{12，13} B ．{14，13}C ．{12，13，14}D ．{0，12，13，14}2．设复数z 满足iz ＝1+i ，则|z 2−zz |＝（ ） A ．0 B ．√2C ．2D ．2√23．已知sinα=√55，α为钝角，tan(α−β)=13，则tan β＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（ ） A ．146B ．123C ．523D ．165．在△ABC 中，设AC →2−AB →2=2AM →⋅(AC →−AB →)，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．设函数f(x)=sin(ωx +π6)，x ∈(0，5π)，方程[f （x ）]2＝1恰有5个实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[1315，1615) B ．(1315，1615]C ．(2930，76) D ．(136，196) 7．已知a ＝e﹣0.02，b ＝0.01，c ＝ln 1.01，则（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且|MF 1|＝2|MA |，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2√33B ．√2C ．2D ．√3+1二、多选题（本大题共4小题，共20分。