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第 1 页 共 1 页 2016年中科大量子力学考研真题（完整
版）凯程首发
刚考完2016考研初试，凯程教育的电话瞬间变成了热线，同学们兴奋地汇报自己的答题情况，几乎所有内容都在凯程考研集训营系统训练过，所考专业课难度与往年相当，答题的时候非常顺手，相信凯程的学员们对此非常熟悉，预祝亲爱的同学们复试顺利。
考研分笔试、面试，如果没有准备，或者准备不充分，很容易被挂掉。
如果需要复试的帮助，同学们可以联系凯程老师辅导。
下面凯程老师把专业的真题全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发!
一共只有七道大题
一、在平面转动体系下，给定一个初态波函数，（1）求能量可能值及其概率，（2）求角度在t 时刻的平均值（3）在t=0时，突然改变势函数，求t>0时的能量平均值
二、在&势阱下，反射系数为透射系数两倍时，能量应满足什么条件？
三、给定三个矩阵，问哪几个能组成一组完备本征集，并求出本征态，以及三个矩阵在该表象下的表示
四、自旋，之前真题原题，2004年第五题。
今年科大卷子变化挺大，一般不会出现原题，所以下一届学弟学妹们不要抱有侥幸心理，踏实学习是王道
五、V （x ）=k/z,粒子不能到z<0的空间，求边界条件以及能级
六、微扰一道，表示不太记得了。
河北⼤学研究⽣⼊学考试量⼦⼒学题库考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 A⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电⼦云”的概念，量⼦⼒学的解释是什么？3、⼒学量G在⾃⾝表象中的矩阵表⽰有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电⼦在位置和⾃旋z S ?表象下，波函数=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归⼀化？解释各项的⼏率意义。
⼆（20分）设⼀粒⼦在⼀维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。
求其定态能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒⼦处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒⼦的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在⼀个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。
在不含时微扰H'?作⽤下，总哈密顿算符H在)0(?H 表象下为=**21100E E E H βαβα。
求受微扰后的能量⾄⼀级。
五（20分）对电⼦，求在x S ?表象下的xS ?、y S ?、z S ?的矩阵表⽰。
考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 B⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归⼀化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量⼒学量F 的可能值及其⼏率的⽅法。
3、设粒⼦在位置表象中处于态),(t r ψ,采⽤Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采⽤Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表⽰？ 4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？⼆（20分）设粒⼦在三维势场()ax a z y x U <>??∞=x 0,,中运动，求粒⼦定态能量和波函数。
三（20分）⼀维运动的粒⼦在态()00<>=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中0>λ。
河北大学课程考核参考答案及评分标准（ — 学年第 学期）考核科目 量子力学 课程类别 必修 考核方式 闭卷 卷别 A一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。
1. 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2. 电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。
轨道：电子径向分布几率最大之处。
3. 力学量Gˆ在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G ˆ的本征值。
4. 能量测不准关系的数学表示式为E t /2∆∙∆≥ ，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
5. 利用()()()2212x,y,z x,y,z d 1ψψτ+=⎰进行归一化，其中：()21x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z =的几率密度，()22x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z -=的几率密度。
二、20分，主要考察定态问题的求解。
解：()222b b x ax bxc a x c 2a 4a U ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ 体系的定态薛定谔方程为：()()()x E x c 4a b 2a b x a x 222222ϕϕϕμ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 整理得,()()()x c 4a b E x 2a b x a x 222222ϕϕϕμ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 令2a b x X +=, 221a μϖ=, c 4ab E E 2-+='则： ()()()22222X 1X X E X 22X d d ϕμϖϕϕμ'-+= 此为一维线性谐振子的定态薛定谔方程，其定态波函数为：()()X H e 2X n 2X 21n 21n 22απαϕα-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=!n 其中，μϖα=，其定态能级为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='3210n 21n E n ,,,ϖ代入2b b X x ,E Ec 2a 4aϖ'=+==+-得系统的定态波函数与能级为：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a b x 2H e !22x 412n 22a b x 221n 21412n 2212 μπμϕμa n a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3210n 4a b c 21n E 2n ,,,ϖ 。
