二阶瞬态响应特性与稳定性分析(1)

二阶瞬态响应特性与稳定性分析二阶系统是指具有两个自由度的动力学系统，广泛应用于控制系统、信号处理等领域。

瞬态响应特性与稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。

本文将从瞬态响应特性和稳定性两个方面进行分析，以深入理解二阶系统的行为。

瞬态响应特性是指系统对于输入信号的临时响应过程。

对于一个二阶系统，其瞬态响应特性主要包括过渡过程、超调和振荡频率等。

过渡过程是指系统从初始状态到最终稳态的响应过程。

具体地说，对于一个二阶系统，过渡过程的特性由系统的自然频率和阻尼比决定。

自然频率是指系统在没有任何外部干扰的情况下自由振荡的频率。

阻尼比是指系统阻尼量与临界阻尼量之比，描述了系统的阻尼程度。

超调是指系统响应过程中达到的最大偏离稳态值的幅度。

超调的大小与系统的阻尼比有关，当系统的阻尼比增大时，超调量会减小。

振荡频率是指系统在过渡过程中振荡的频率，与系统的自然频率相关。

稳定性是评估系统的动态性能和可靠性的重要指标。

一个二阶系统是稳定的，当且仅当其系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。

稳定性分析可以通过系统的传递函数进行。

传递函数是系统输入转换为输出的比例关系，在频域上可以用于确定系统的稳定性。

当传递函数的所有极点都位于左半平面时，系统是稳定的。

极点是指传递函数分母方程为零的点，也可以看作传递函数的零点。

对于一个二阶系统，其稳定性主要取决于极点的位置。

当极点的实部都小于零时，系统是稳定的。

当极点的实部大于等于零时，系统是不稳定的。

稳定性分析还可以通过系统的阶跃响应特性进行。

阶跃响应是指系统对于阶跃输入信号的响应。

稳定系统的阶跃响应的幅值会在一些临界值附近趋于稳定。

当系统是不稳定的时，系统的阶跃响应会无限增大或者振荡。

综上所述，瞬态响应特性和稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。

瞬态响应特性包括过渡过程、超调和振荡频率等，可以通过自然频率和阻尼比进行调节。

稳定性分析可以通过传递函数的极点位置和阶跃响应特性进行评估。

3.3 二阶系统的瞬态响应凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

标准形式的二阶系统的微分方程是(3.27)或(3.28)上两式中，T称为系统的时间常数。

称为系统的阻尼系数或阻尼比，称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。

K为放大系数。

图3.9是标准二阶系统的结构图。

图3.9 二阶系统的结构图标准形式二阶系统的闭环传递函数为(3.29)二阶系统的状态空间表达式为(3.30)(3.31)在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1,u(t)为输入函数。

二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。

同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。

3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应二阶系统的特征方程为(3.32)特征方程的二个根为(3.33)这也是二阶系统的闭环极点。

从式（3.33）可以看出，二阶系统的参数，是变化的，取值不同，特征方程的根（即闭环极点）可能是复数，也可能是实数。

系统的响应形式也因此会有较大的区别。

在单位阶跃函数输入下，二阶系统的输出为(3.34)下面分几种不同的情况来讨论二阶系统的单位阶跃响应。

1. 无阻尼状态（=0）当二阶系统的阻尼比时，我们称二阶系统处于无阻尼状态或无阻尼情况。

时，二阶系统特征方程的根是共轭纯虚数根闭环极点在s平面上的分布如图3.10所示。

随变动，闭环极点的位置沿虚轴变化。

系统的单位阶跃响应为(3.35)响应的时域表达式为(3.36)这是一个等幅的正弦振荡。

这说明在无阻尼状态下系统不可能跟踪单位阶跃输入的变化。

的变化曲线如图3.15所示。

图3.10 时特征根分布图3.11 欠阻尼状态下的闭环极点2. 欠阻尼状态（）当二阶系统的阻尼系数时，我们称二阶系统的单位阶跃响应是欠阻尼情况或者说二阶系统处于欠阻尼状态。

当时，二阶系统特征方程的根是一对共轭复数根：(3.37)闭环极点在s平面上的分布如图3.11所示。

特征方程的根具有相同的实部。

特征方程的根的虚部为，我们定义(3.38)称为阻尼频率。

3.1.2二阶系统瞬态响应和稳定性一. 实验目的1.了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及I 型二阶闭 环系统的传递函数标准式。

2.研究I 型二阶闭环系统的结构参数 --无阻尼振荡频率3 n 阻 尼比E 对过渡过程的影响。

3.掌握欠阻尼I 型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能 指标Mp tp 、ts 的计算。

4.观察和分析I 型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的 瞬态响应曲线，及在阶跃信号输入时的动态性能指标 Mp tp值，并与理论计算值作比对。

二. 实验原理及说明图3-1-13是典型I 型二阶单位反馈闭环系统。

图3-1-13 典型I 型二阶单位反馈闭环系统(3-1-1 )I 型二阶系统的开环传递函数G(S)TiS US 1)I 型二阶系统的闭环传递函数标准式：（s ） 0S _____________ 2（）1 G （s ）S2 2 n S 2（3-1-2 ）自然频率（无阻尼振荡频率）：n’KT?阻尼比：石（3-1-3）有二阶闭环系统模拟电路如图3-1-14所示。

它由积分环节（A2 单元）和惯性环节（A3单元）的构成，其积分时间常数 Ti=R1*C1 = 1 秒，惯性时间常数T=R2*C2=秒。

模拟电路的各环节参数代入式（3-1-1 ），该电路的开环传递函数 为:K G (S) K 其中 K R 2100kRRG (S)TiS US 1)S(0.1S 1)数为:2nS 2 2 n S模拟电路的各环节参数代入式 （3-1-3 ），阻尼比和开环增益K 的关系式为:模拟电路的开环传递函数代入式（3-1-2 ），该电路的闭环传递函10K S 2 10S 10K(s)图3-1-14 I 型二阶闭环系统模拟电路临界阻尼响应：E =1, K二，R=40k Q欠阻尼响应：0<E <1，设R=4k Q, K=25 E =过阻尼响应：E>1,设R=70k Q, K=E =>1计算欠阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态指标Mp tp、ts : （K=25 二、n =）超调量：M p ©厂100% 35.1% 峰t p j 20.21值时间：调节时间：ts —0.6n三.实验内容及步骤1. I型二阶闭环系统模拟电路见图3-1-14，改变A3单元中输入电阻R来调整系统的开环增益K,从而改变系统的结构参数，观察阻尼比E对该系统的过渡过程的影响。

实验二 二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1．掌握二阶系统的传递函数形式并能够设计出相应的模拟电路； 2．了解参数变化对二阶系统动态性能的影响。

二、实验设备1．THBDC-1型 控制理论·计算机控制技术实验平台；2．PC 机一台(含“THBDC-1”软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线。

三、实验内容1．观测二阶系统在10<<ζ、1=ζ和1>ζ三种情况下的单位阶跃响应曲线； 2．调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比7070.ζ=，测量此时系统的超调量σ、调节时间s t (Δ= ±0.05)；3．ζ为定值时,观测系统在不同n ω时的阶跃响应曲线。

四、实验原理1．二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

其微分方程的一般形式为)t (r ω)t (c ωdt )t (dc ζωdt)t (dc n n n 22222=++ 上式经拉普拉斯变换整理得到二阶系统的传递函数的一般形式为2222n n n ωs ζωs ω)s (R )s (C )s (W ++==从式中可以看出，ζ和n ω是决定二阶系统动态特性的两个非常重要的参数。

其中，ζ称为阻尼比；n ω称为无阻尼自然振荡频率。

由二阶系统传递函数的一般形式可知，二阶系统闭环特征方程为0222=++n n ωs ζωs解得闭环特征方程的根1221-±-=ζωζωs n n ,，当阻尼比ζ不同范围内取值时，特征方程的根也不同，下面针对ζ的三种不同取值范围进行讨论。

1)10<<ζ（欠阻尼）系统特征根为一对具有负实部的共轭复根，即2211ζωj ζωs n n ,-±-=，系统的单位阶跃响应的时域表达式为)βt ωsin(e ζ)t (C d t n ζω+--=-2111其阶跃响应曲线呈衰减震荡过程，如图2-1（a ）所示。

其震荡频率就是阻尼震荡频率d ω，而其幅值则按指数规律衰减，两者均由参数ζ和n ω决定。

实验二 二阶系统的瞬态响应一、实验目的1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。

二、实验原理1. 二阶系统的瞬态响应用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为2222)()(n n n S S S R S C ωζωω++= (2-1) 闭环特征方程：0222=++n n S ωζω其解 122,1-±-=ζωζωn n S ，针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况：1）0<ζ<1（欠阻尼），22,11ζωζω-±-=n n j S此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。

它的数学表达式为：式中21ζωω-=n d ，ζζβ211-=-tg 。

2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。

3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。

(a) 欠阻尼(0<ζ<1) (b)临界阻尼(1=ζ) (c)过阻尼(1>ζ)图2-1 二阶系统的动态响应曲线虽然当ζ=1或ζ>1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，)t (Sin e 111)t (C d t 2n βωζζω+--=-故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取ζ=0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。

2. 二阶系统的典型结构典型的二阶系统结构方框图和模拟电路图如2-2、如2-3所示。

图2-2 二阶系统的方框图图2-3 二阶系统的模拟电路图（电路参考单元为：U 7、U 9、U 11、U 6）图2-3中最后一个单元为反相器。

由图2-4可得其开环传递函数为：)1S T (S K )s (G 1+= ，其中：21T k K =， RR k X 1= (C R T X 1=，RC T 2=) 其闭环传递函数为： 1121T K S T 1S T K)S (W ++= 与式2-1相比较，可得RC 1T T k 211n ==ω，X112R 2R T k T 21==ξ 三、实验设备：THBDC-1实验平台THBDC-1虚拟示波器四、实验步骤根据图2-3，选择实验台上的通用电路单元设计并组建模拟电路。

2020年第10期136信息技术与信息化电子与通信技术二阶系统瞬态响应和稳定性分析李明辉* LI Ming-hui摘　要 在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍，其重要性不言而喻。

本文利用MATLAB 软件对二阶系统三种阻尼情况下的响应及稳定性情况进行分析，并结合磁盘驱动读取系统具体分析其在实际工程中的应用，仿真结果直观明了。

关键词 磁盘驱动读取系统；二阶系统；稳定性doi：10.3969/j.issn.1672-9528.2020.10.043* 泰州学院 江苏泰州 225300[基金项目] 泰州学院2020年大学生创新训练计划项目校级项目（项目编号：2020CXXL049）0 引言在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术展现出愈加关键的作用。

如何对控制系统进行设计分析已得到广泛关注[1-3]。

实际工程之中有许多控制系统都可以建立起高阶系统[4-6]，但在某些条件下，可以忽略一些次要因素，把高阶系统视为二阶系统来研究[7]。

因此，分析和理解二阶系统特点有着重要意义。

1 原理及说明典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统如图1所示。

图1 典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统Ⅰ型二阶系统的开环传递函数为：（1）Ⅰ型二阶系统的闭环传递函数标准式为：（2）其中，为自然频率（无阻尼振荡频率），为阻尼比。

2 二阶系统的单位阶跃响应令（2）式的分母为零，得到二阶系统的特征方程，可以发现值的大小决定了二阶系统的特征根。

当，说明方程有两个实部大于0的特征根，系统单位阶跃响应为：式中，。

或者因为阻尼比，指数部分为正，该系统的动态过程展现为发散正弦振荡或单调发散，说明系统是不稳定的。

当，那么方程有一对纯虚根，，与s 平面上一组共轭极点照应，系统的阶跃响应为等幅振荡，该系统对应无阻尼状态。

当，那么特征方程有一对共轭复根，，与s 平面左半部分的共轭复数极点照应，其阶跃响应是一个衰减的振荡过程，该系统对应欠阻尼状态。

当，特征方程有两个相等的负实根，，与s平面负实轴上的两个相等的实极点照应，其阶跃响应非周期地趋于稳态输出，系统处于临界阻尼状态。

实验二二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1、熟悉二阶模拟系统的组成。

2、研究二阶系统在不同参数状态下的单位阶跃响应，并分别测量出系统的超调量 p、峰值时间t p和调整时间t s。

3、研究增益K对二阶系统阶跃响应的影响。

二、实验仪器1、1、TKKL-1控制理论实验箱1台2、TDS1001B数字存储示波器1台3、万用表1只4、U盘1只（学生自备）三、实验原理图1为二阶系统的方框图，它的闭环传递函数为图1 二阶系统的方框图C（S）K/（T1T2）ωn²R（S）= S²+S/T1+K/（T1T2）= S²+2ξωns+ωn²由上式求得ωn=√ K/（T1T2）ξ=√T2/（4T1K）若令T1=0.2S，T2=0.5S，则ωn=√10K ，ξ=√0.625/K因此只要改变K值,就能同时改变ωn和ξ的值,由此可以得到过阻尼(ξ>1)、临界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ<1）三种情况下的阶跃响应曲线。

四、实验内容与步骤1、按开环传递函数G（S）= K/）的要求,设计相应的实验线路图。

令r（t）=1V,在示波器上观察不同K（K=10，5，2，1，0.625，0.5，0.312，其中K=10, 5，2,0.625，0.5必做，其他K值选做）下闭环二阶系统的瞬态响应曲线,并由图求得相应的σp、t p和t s的值。

2、调节K值，使该二阶系统的阻尼比ξ=1/√ 2 ,观察并记录阶跃响应波形。

3、实验前按所设计的二阶系统，计算K=10,K=2,K=0.625三种情况下的ξ和ωn值。

据此，求得相应的动态性能指标t p、t p和t s，并与实验所得出的结果作比较。

K不同值是图像和对于不同时间如下：K等于10；tr=170mstp=280msts=1040ms；K等于5tr=330mstp=520msts= 1520mstr=720mstp=860ms ts= 2080ms K等于0.625tp=3260mstp=4560ms数据处理由wn=√10∗k;ε=√0.625/k; tp=π/wn√tr=β=tanarc√1− ε∗ ε/ εts=4/wn ε; Δ=0.02ts=3/wn ε; Δ=0.05当K等于10时由实验得; tr=170mstp=280msts=1040ms；理论解得：tr=182ms 误差=|tr′−tr|/tr=6.59%tp=324ms 误差=|tp′−tp/tp=13.58%ts=1200ms 误差=|ts′−ts/ts=13.33%当K等于2时；由实验得：tr=720mstp=860msts= 2080ms理论解得：tr=865ms 误差=|tr′−tr|/tr=16.76%tp=847ms 误差=|tp′−tp/tp=2.01%ts=1600ms 误差=|ts′−ts/ts=30.00%ts=1200ms 误差=|ts′−ts/ts=73.3%当K等于0.625时；由实验得tp=3260ms理论解得：tr= 无穷大误差=|tr′−tr|/tr=100%tp=无穷大误差=|tp′−tp/tp=100%五、心得与体会1、在测量过程，有的测量数据和理论计算数值相差过大，误差过大，可能不够严谨，可能是仪器存在误差，也可能是读数时没找准读数位置造成的。

广西大学实验报告纸组长： 组员：指导老师： 成绩：学院：电气工程学院 专业：自动化 班级：163实验内容：实验五 二阶瞬态响应特性与稳定性分析 2018年5月11日【实验时间】 2018年 5月 11日 【实验地点】 综合808【实验目的】1、以实际对象为基础，了解和掌握典型二阶系统的传递函数和模拟电路图。

2、观察和分析典型二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的响应曲线。

3、学会用MATLAB 分析系统稳定性。

【实验设备与软件】1、Multisim 10电路设计与仿真软件2、labACT 试验台与虚拟示波器3、MATLAB 数值分析软件【实验原理】1、被模拟对象模型描述永磁他励电枢控制式直流电机如图1（a ）所示。

根据Kirchhoff 定律和机电转换原理，可得如下方程u k Ri dtdiLe =++ω （1） l t T i k b dtd J-=+ωω（2） ωθ=dtd （3） 式中，各参数如图1（a ）所示：L 、R 为电机和负载折合到电机轴上的转动惯量，Tl 是折合到电机轴上的总的负载转矩，b 是电机与负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数；kt 是转矩系数（Nm/A ），ke 是反电动势系数（Vs/rad ）。

令RL /e=τ(电磁时间常数)，b J /m=τ（机械时间常数），于是可由这三个方程画出如图1（b ）的线性模型框图。

将Tl 看成对控制系统的扰动，仅考虑先行模型框图中()()s s UΘ→的传递函数为()()()()()sRb k k s s Rb k s U s s G t e m e t 1/11/⋅+++=Θ=ττ （4） 考虑到电枢电感L 较小，在工程应用中常忽略不计，于是上式转化为()()())1(+=Θ=s T s K s U s s G em d （5）式中，()t e t dk k Rb k K +=/为传动函数，()t e em k k Rb JR T +=/为机电时间常数。